（基础数学专业论文）纤维方法在椭圆方程中的应用.pdf

西南大学硕士学位论文 纤维方法在椭圆方程中的应用 学科专业 基础数学研究方向 非线性分析 指导教师t 唐春雷教授高师硕士 张杰 1 2 2 0 0 6 3 1 4 0 1 0 0 0 3 摘要 纤维方法是近年兴起的一个解决非线性椭圆问题解的存在性 多解性 无穷 多解以及解的非存在性的新方法 特别是在r 上 研究具有临界增长的椭圆问 题解的存在性 纤维方法比变分方法显得要方便得多 本文正是利用这一方法 讨论了两个较特殊的椭圆方程 首先 考虑如下一个具体的s e m i p o s i t o n e 问题 i 一 p t 俨一p z q t 0 z q 1 lu 0 2 a q 这里 d i v i w l p 一2 v u q 是冗 2 中的有界连通区域 具有光滑边界 a q p 0 假设 s 1 p 与q 满足0 p 一1 g 矿一l 其中 小 辑 当1 p 0 其次 本文结合纤维方法与l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理还讨论如下问题 一 x u 口 2 t b c x l u l q 2 卫正 0 z r 2 其中 2 q 2 时 2 两2 n 当 2 时 2 o 假设 h 1 口 z 6 七 r 啼r 是非平凡 非负可测函数 西南大学硕士学位论文 中文摘要 主要结果如下t 定理2 假设条件 h 1 满足 则问题 2 有无穷多解士仳m 言2 口 且 0 0 当m 叶 时 其中e 2 口 表示空间础 r 且范数定义为 i l u l l f r n c i v u l 2 i 让1 2 出 j 1 关键词 纤维方法 椭圆方程 l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理 临界点 i i t h ea p p l i c a t i o n so ft h ef i b e r i n gm e t h o dt o e l l i p t i ce q u a t i o n s m a j o r s p e c i a l i t y s u p e r v i s o r a u t h o rl b a s i cm a t h e m a t i c s n o u n e a ra n a l y s i s p r o f t a n gc h u n l e i z h a n g j i e 1 2 2 0 0 6 3 1 4 0 1 0 0 0 3 a b s t r a c t t h ef i b e r i n gm e t h o di san e wm e t h o di nr e n c e n t l yy e a r s w h i c hm a i na p p l i e d t os o l v et h ee x i s t e n c e n o n e x i s t e n c ea n dm u l t i p l ef o rs o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m s m o r e o v e r a p p l i c a t i o n so ft h ef i r b e r i n gm e t h o d i se a s i e rt os t u d yt h e e x i s t e n c e f o rs o l u t i o n so fe u p t i cp r o b l e m sw i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n to nr t h a nv a r i a t i o n m e t h o d s t h i sp a p e rc o n s i d e r e dt w oc l a s s e ss p e c i a le l l i p t i ce q u a t i o n sb yt h i sm e t h o d f i r s t l y c o n s i d e r i n gt h ef o l l o w i n gas e m i p o s i t o n ep r o b l e m l 一 p u t g p z f t u 0 z q 1 lu 0 z a q h e r ea 一 d i v i v u p 2 v u qi sac o n n e c t e da n db o u n d e ds u b s e to fr w i t hb o u n d a r y 触i np 1 aa n d 肛 0 a s s u m e s 1 p 与qs a t i s f y0 p 一1 g p 一1 w h e r e f 甏 当1 p 0 m o r e o v e r t c 1 a 瓦 f o rs o m eo t 0 s e c o n d l y w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp r o b l e m 一 t 正 口 z u b x l u q 一2 心 0 z j w h e r e2 q 2a n d2 o w h i l en 2 a s s u m e h i 口 z b x r r a r en o n t r i v a ln o n n e g a t i v em e a s u r a b l ef u n c t i o n s i i i 2 西南大学硕士学位论文英文摘要 t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m2l e ta s s l l m p t i o n s h 1 b es a t i s f i e l d t h e np r o b l e m 2 h a si n 鼬锣 m a n ys o l u t i o n s 士u m e 2 口 w i t h0 u m a o o 船m o o w h e r ee 2 a d e n o t ea s 础 冗 w i t hr e s p e c tt ot h eb o r m i 上 1 v u l 2 i 讹1 2 如 互1 k e y w o r d s t h ef i r b i n gm e t h o d e l l i p t i ce q u a t i o n l y u s t e r n i k s h n i r e l m a ut h e o r e m c r i t i c a lp o i n t i v 学位论文题目 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果 论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果 文中已加了 特别标注口对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师 朋友 同仁 在文中作了明确说明并表示衷心感谢 论文作者 签字日期 年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留 使用学位论文的规 定 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允 许论文被查阅和借阅 本人授权西南大学研究生院 筹 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩 印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 本论文 口不保密 口保密期限至年月止 论文作者签名 导师签名 签字日期 年月 日 签字日期 年月 日 西南大学硕士学位论文第1 章引言与文献综述 第1 章引言与文献综述 i i 引言 纤维方法最初是由a d a m e 在文 1 1 中研究一些变分问题和非线性椭圆问题 而提出 后被p o h o z a e v 发展和广泛应用 2 5 设x 与y 为两个b a n a c h 空间 a 为x 到y 的一个算子 考虑如下方程 a 让 1 纤维方法正是研究方程 1 基于下列形式的解 u 纫 2 其中t 是参数 t 0 且t icr j 是冗中的开集 t 是x 中满足如下方程的 非零元 h t 一c 0 3 在变分问题中通常将任何满足一般条件的泛函取作h t 因而 h t 移 也 称作纤维泛函 特别地 令h t 御 则条件 3 可取 l 1 称为球面纤维 并 且方程 1 的不为0 的解就转化为寻找 2 式在t r 与移 s 扣 x i l 1 时的形式 由此可见纤维方法的本质就是将方程 1 的x 空间嵌入到更大的空间冗xx 中 研究 1 在条件 3 下的可解性问题 这个方法既有可能得出新的可解性定 理 也可能得到非线性边值问题无解的新定理 特别地 一方面在研究边值问题 的可解性中 该方法能够分离这个问题的代数及拓扑因子 它们能够影响解的个 数 从而得到问题的多解 另一方面运用该方法无需考虑s o b o l e v 嵌入紧性 因 而使得在研究具有临界指数或无界区域上的椭圆方程要方便一些 1 6 1 9 本文正是利用这一方法研究了几个较特殊的椭圆问题解的存在性及多解性 1 2 文献综述 三三喜 u g p 三重曼 c 4 这里 一 d i v v u l p 一2 v u q 是r 22 中的有界连通区域 具有光滑边界 西南大学硕士学位论文 第1 章引言与文献综述 其中 i 鸽 当1 p 0 可能有t g p 0 因此该问题也可看作一个特殊的s e m i p o s i t o n e 问题 8 1 由于0 是其上解 找该类问题的非负解 尤其是正解较困难 通常研 究s e m i p o s i t o n e 问题有积分法 上下解方法 度理论和移动平面法 如文献f 7 假设一个线性逼近非线性项的条件下 利用上下解方法得到一个非负非平凡解 当p 2 时 文 8 用移动平面法得到问题的一个正解 当q 是 个球时 文 9 利用变分法和s c h w a r z 对称法获得问题的两个正解 本文呈现一个新方法j 在一 般有界区域上和不假设其它条件情况下 得到问题的一个非平凡非负解 其次 我们考虑r 上一类椭圆方程 一a u 口 z u b x l u l q 一2 乱亍0 z r 6 其中 口 z 6 z r 尺是非平凡 非负可测函数 2 口 2 时 2 莉2 n 当n 2 时 2 在有界区域上 相关结果较多 如文献 l o 1 1 1 而在r 上 大多需要针对口 z b x 假设一系列条件 使相应的泛函满足 p s 或 p s c 条件 如文献 1 2 1 4 本文 仅假设口 z 6 z 是非平凡 非负可测函数 结合纤维方法与l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理 1 5 得到问题 2 的无穷多解 同时也呈现了一个新的方法 2 西南大学硕士学位论文第2 章预备知识 第2 章预备知识 为了后文叙述的方便 在这节中简单介绍一些相关的概念和引理 设x 是实b a n a c h 空间 在x o 上具有可微范数 寻找泛函j c 3 僻 o 的临界点 不同于x 的零点 的问题可归结为以 下泛函的条件临界点的问题 1 五 u 屯 t 在相应条件 7 凰 口 暑 以 t 口 t 一c o 其中c d 4 1 t i v 是对应方程 幻 t 0 的解 其中i 1 引理2 1 1 4 1 设j c 3 o 令在条件 j t v v t c o 下的问题 t 口 移 0 的解t i v 是问题 7 的条件临界点 且t i u i 0 那么 似 是j 的非零 临界点 令j c 1 x 且j u 而 t 缸 其中而 u i i 让l l p p 1 以 c 1 x 这里选择纤维泛函h 满足日 t l p 使得条件 3 具有i i v l i 1 的形式 即用 球面纤维的方法 泛函j t v 有 j 阜 t 口 i t l p 以 t 御 s 方程 晶 u 爿 u 0 8 等价于 p 2 舌 名 t 口 t 0 t 0 9 t j i t v l 1 3 曼 其中 是l a g r a n g 乘子 v v x 定义泛函 以 t 所以考虑在u b 砌 x 怕0s1 上关于t 的一阶标量方程 9 假设这个方程有解如 i 1 令 五 伽 l 彘 p 0 t 叫 叫 在单位闭球b 中考虑这些泛函 定义2 1 1 4 1 叫 b 称为单位闭球b 上可微泛函五的临界点 若满足下列条 件之一 1 在b 内部且是五的通常临界点 3 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 2 a b s 而且是泛函 在球面s 的条件临界点 定义2 2 4 l 临界点们 b 称为可微泛函五的正规临界点 若妣 0 t t 挑 0 且泛函t t 在t t 7 t 可微 这里t i w 是对 t 7 b 问题 9 的解 引理2 2 1 4 1 假设泛函五有正规临界点桃 b 则啦 s 气 锄 毗是 8 的非零解 引理2 3 1 5 l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理 假设s m 是空间j p 1 中的单位 球面 若 被m 1 个闭集覆盖 则存在一对点u 1 坳 5 且u l t 2 一1 使 得至少有一个闭集包含u 1 u 2 引理2 4 2 0 1 k o n d r a s h o v 嵌人定理 假设n 是 中具有锥性的区域 j f m 是两个非负整数 且p l o o 如果r a p 0 假设 s 1 p 与q 满足0 p 一1 g p 一1 其中 p 鹤 当l 0 注1 文献 5 假设一个线性逼近非线性项的条件下 利用上下解方法得到 个非负非平凡解 当p 2 时 文 6 用移动平面法得到问题的一个正解 当q 是一个球时 文f 7 利用变分法和s c h w a r z 对称法获得问题的两个正解 这里呈 现 个新方法 在一般有界区域上和不假设其它条件情况下 得到问题的一个非 平凡非负解 3 2 一类非线性椭圆方程的多解性 其次 本文结合纤维方法与l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理还讨论如下问题 一a u d z u b x l u l q 一2 u 0 z 冗 其中 2 口 2 时 2 鹩 当n52 时 2 o 假设 h 1 o z b x r 一r 是非平凡 非负可测函数 主要结果如下 定理2 假设条件 h i 满足 则问题 2 有无穷多解士嘶 眈 曲且 i l u m i c 2 一0 0 当m o b 寸 5 西南大学硕士学位论文第3 章主要结果 其中 2 a 表示瑶 r 空间中范数定义为 删名 厶 i 砜1 2 坩 如 吾 的空间 注2 在有界区域上 相关结果较多 如文献睁9 而在r n 上 大多需 要针对口 z 一 z 假设一系列条件 使相应的泛函满足 p s 或 p s 条件 如 文献 l o n 本文仅假设口 6 z 是非平凡 非负可测函数 结合纤维方法与 l y u s t e r n i k s h n i r e l m s n 定理得到问题 2 的无穷多解 同时也呈现了一个新的方 法 6 西南大学硕士学位论文第4 章主要结果的证明 第4 章主要结果的证明 定理3 1 的证明依据纤维方法我们将证明分以下几步 步骤1 介绍问题 1 0 的e u l e r 函数 问题 1 0 的解 就是对应如下e u l e r 函数的一个临界点 e 让 一三上l v u i p 如 矗毛上i 珏i q 1 如一pl i 钆 圳如 根据纤维方法 我们设 让 z 其中r r t 耐 p q 从而有 吼 e 叩 一 i r l 兰li v 姚i 鬻小i 什l 如一炒加蚓如 由于纤维化泛函v 埘 p q 满足厶l v t l p 如 1 从而有 豆 t 一竺p 石r q 1 1 f n 扣i g l 如一 l i u i 出 对 1 4 式两边对 求偏导 得到分歧方程 一c o e 一妒 1 七r 口li t i u r j og 1 出一弘上m 圳如 n 即 一r p 午r 口 1 l v l q 1 如一p r i v x l d x 0 e v e r v u 步骤2 考虑变分问题 m o s u p e 口 口 埘护 q l v v l p d x 1 n 由 1 6 式 我们可以得到 一型 r q l v f lj q l d x p p p 业p 加酬峨 一 n 从而有 e 秒 e 口 臼 r q l li v i 时1 如 p 警上m 圳如 斜加 1 如叩 加删如 7 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 西南大学硕士学位论文 第4 章主要结果的证明 即有 豆 专 占手 什1 移 上m 什1 如一 u 1 一三 上m z l d x 1 9 依据条件 s 1 我们可以得到豆 钞 0 使得 l l 碥l l w l p n a v n n 由假设 2 4 和 5 则w 1 是紧嵌入到l q 1 q 我们可以假设 在工口 1 q 中强收敛 从而由 2 5 得 上1 1 善r l d z i q l 当n 2 6 即序列极大化问题0 s 在嚼 p q 中是有界的 因此 我们可以假设 在埘 p 中弱收敛 从而由假设条件 5 可以得到 在l 口 1 q 中 一 0 0 这就意味着 1 1 w o l l p l i 一m i n f v v n 1 p 8 芝 皇皂 皇 皇 皇 竺皇苎竺 苎 兰 l 二 兰 根据l l v 1 l 厶i v v i v 如 1 我们有 o i l v 伽籽五i v 如i p 如 1 2 7 现在我们需要证明等式 l v t j o p d z 1 28 jrl 假设等式 2 8 不成立 不妨设 ivvolp如 1 29 jn 我们断言有 o 0 一定 存在伽 n 使得对任意的n n 0 有 一f 童 m o 对任意的0 0 1 有 营p 一f 一e 亩 m o 3 1 由 1 8 式得 讯 2 错付1 li 叫州如一刚字 小 从而 1 8 p p 1 厂1 上 f 出 e 对任意的礼 伽 因此 我们有 l o l 如 r 0il v o z l d x 0 n q 当扎一十o o 和v o c j 0 o 从而有豆 o 这与蜗 1 例如 驴 1 如i v 如 z i p 如 1 使得 1 3 拳 p 如满足 s l v 饥 z p 如 1 和 豆 仉 豆p 2 铿罟 一菩 筹口g 1li 咖l 口 1 如一p r 秒li 圳如 r a i n 刍 两p q l 加r 1 如叫li 啡 l d x 鲥 生p 而p q l 小1 州如憎小 f 如 9 西南大学硕士学位论文第4 章主要结果的证明 因此 豆0 奇 这个不等式与 1 8 式的定义矛盾 从而 我们获得了变分问题 1 8 的一个解 步骤3t 证明问题 1 0 解的存在性 记 豆 咖 s u p 营 t w 零 q i l l v i p 如 1 纤维方法暗示了 r o t 沁 其中r o 0 而且 一堡p 而r o 口 1 加r 1 如一 肌胁p i d x 眢 一詈 再r q j l 上i t i 口 1 如 wf l 甜 酬如 我们可以 用l 1 来代替 从而可以假设铷是非负的 而且存在一个l a g r a n g e 乘数孑使得 旁 盯 上l v i p 如 危v 九 嚼 p 3 7 从上面的方程并且把i o 看作测试函数 我们有 r 0 上 q p v o 出 i v v o l j f l p 如 肛 j n 依据 1 6 式 可以得到口 萼 0 从而我们有 旁 妒 一 p u o 就等价于 一 p r o 如 伽枷 一p 因此 如果我们假设u r 0 如之0 那么就可以说u 是问题 1 9 的一个解 步骤4 对一切的缸 0 我们有豆 0 从而让 0 是问题 1 0 的 个非 平凡解 步骤5 我们已经得到u 是问题 1 0 的一个非负非平凡解 由d r a b e k 的文 献 2 l 的标准靴带定理 我们可以得到t 工o o q 从而我们完成了定理3 1 的 证明 定理3 2 的证明用 l i i w 1 1 2 l l o 训1 2 一i l 轧l l 口表示硪 r 上的范数 空 间记为e 2 d 口 用 l i i w 1 1 2 i l a t 1 1 2 表示础 r 上的范数 空间记为e 2 n 定义在e 2 n 口 6 上的原泛函圣嵌入在 2 a 上 有 西 心 三ij v u ij 丢l l 口1 2 仳l l 一昙0 6 1 口t 上i l 西南大学硕士学位论文 第4 章主要结果的证明 根据纤维方法 令u 幻 则有 圣 亡t 三亡2 i i v 训尼 互1 t 2 i i a l 2 v l 屋一6 1 旧 记球面纤维s 为 洲钮 穹 1 l w l l 4 l l 口l 2 l 1 2 1 对应于泛函西 作泛函 毗小 铷b l q v i i 口 由分岐方程的定义有 圣 t t 二i t l q 一2 t l l b l u 0 从而找到如下形式的非零实解 t t 1 i b l 1 1 q 1 2 一彩 令泛函芦 口 西 t 秽 则有形式 及归等 1 i b 聊喇句口 p 由于口 z 6 z 是非平凡 非负的可测函数 设a 6 满足e 2 口 0 0l q b 因此可 以在单位球面sc 6 2 口 考虑丁 u 于是应用l y u s t e r n i k s h n i r e l m a n 定理 得到西 在s 上有可数个的临界点u 1 也 j 一 且 i i 1 l i b l q 一0 m o o 从而由引理2 1 引理2 2 圣 t b 1 存在可数个临界点4 u 1 i u 2 士 且 u m v m c z l l b l i q v ml l q q l c q 一2 其中i l u m l k o o m o o 由此定理3 2 得证 西南大学硕士学位论文第5 章分析和思考 解 第5 章分析和思考 还有一些值得我们思考和进一步讨论的问题 1 问题 1 的非线性项能否改为一般形式 2 能否将问题 2 的证明推广到一般的s e m i p o s i t o n e 问题上得到无究多 3 能否将问题 2 推广到冗 上具有临界指数增长问题 1 2 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 f 1 r a a d a m s s o b o l e vs p a c e m a c a d e m i ap r e s s n y 1 9 7 5 1 2 p o h o z a e vsi on o n ea p p r o a c ht on o n l i n e a re q u a t i o n j d o klak a dna u k 1 9 7 9 2 4 7 1 3 2 7 2 13 3 1 i nr u s s i a n 1 9 7 9 2 0 9 1 2 9 1 6 i ne n g l i s h f 3 p o h o z a e vsi o nac o n s tr u c t i v em e th o di nc a l c u l u so fv a x i a t i o n s j d o k la k a dn a u k 1 9 8 8 2 9 8 l3 3 0 2 13 3 3 i nr u s s i a n 1 9 8 8 3 7 2 7 2 2 7 7 i ne n g h s h 4 p o h o z a e vsi o nf i b e r i n gm e t h o df o rt h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j t r u d ym a ti n s ts t e l d o v 1 9 9 0 1 9 2 1 4 6 1 6 3 i nr u s s i a n f 5 p o h o z a e vsi t h ef i b e r i n gm e t h o da n di t8a p p l i c a t i o n st on o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m j r e n di s t i tm a tu n i vt r i e s t e 1 9 9 9 3 1 2 3 5 3 0 5 f 6 a c a s t r o c m a y a r s h i v a j i n o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m sw i t hs e m i p o s i t o n es t r u c t u r e j e l e c t r o nj d i f f e r e q u c o n f 2 0 0 0 5 3 3 4 9 7 e n d a n c e r z h i t a oz h a n g c r i t i c a lp o i n t a n t i m a x i m u mp r i n c i p l ea n ds e m i p o s i t o n e p l a p l a c i a np r o b l e m s j d i s c r e t ea n dc o n t i n d y n s y s t 2 0 0 6 0 2 0 9 2 1 5 8 a c a s t r o m h a s s a n p o u r r s h i v a j i u n i q u e n e s so fn o n n e g a t i v es o l u t i o n sf o ras e m i p o s i t o n ep r o b l e mw i t hc o n c a v en o n l i n e a r i t y j c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 9 5 6 1 9 2 7 1 9 3 6 f 9 d g c o s t a h o s s e i nt e h r a n ia n dj y a n g o n8v a r i a t i o n a la p p r o a c ht oe x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rs e m i p o s i t o n ep r o b l e m s j e l e c t r o nj d i i f e r e q u c o n f 2 0 0 6 1 1 1 1 0 1 0 a m b r o s e t t ia r a b i n o w i t zph d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s j f n n c ta n a l 1 9 7 3 1 4 3 4 9 3 8 1 1 1 b e r e s t y c h i l i o n s n o n l i n e a rs c a l a rf i e l de q u a t i o n s 2 e x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o u t i o n s j a r c h r a t m e c h a n a l 1 9 8 3 8 3 4 7 3 7 5 1 2 l j e a n j e a n o nt h ee x i s t e n c eo fb o u n d e dp a l a i s s m a l es e q u e n c e sa n da p p l i c a t i o n st oa l a n d e s m a n l a z e r t y p ep r o b l e ms e to nr f j p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t 1 9 9 9 4 1 2 9 7 8 7 8 0 9 f 1 3 c a od a o m i n l ig o n g b a o z h o uh u a n s o n g e x i s t e n c eo ft w os o l u t i o n so nq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o ni nr j c h i n e s ea n n a l so fm a t h e m a t i c s 1 9 9 6 1 7 a 4 4 7 5 4 8 2 1 4 a d d o l o r a t as a l v a t o r e s o m em u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o ras u p e r l i n e a re l l i p t i cp r o b l e mi nr n j t o p o l o g i c a lm e t h o d si n n o n l i n e a ra n a l y s i sj o u r n a lo ft h ej u l i u s zs c h a u d e rc e n t e r2 0 0 3 2 1 2 9 3 9 1 5 a r m s t r o n g m a b a s i ct o p o l o g y 嘲 b e r ks h i r e m c g r a w h i l lb o o kc o m p a n y u k l i m i t e d 1 9 7 9 1 3 i 8 y u r ib o z h k o v e n z om i t i d i e r i e x i s t e n c eo fm u l t i p l es 0 1 u t b n sf o rq u a s i l i n e a rs y s t e m sv i a f i b e r i n gm e t h o d j j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 9 0 2 0 0 3 2 3 9 2 6 7 1 7 徐彬 张正杰 用纤维方法研究一类带有s o b ol e v 临界指数和h a r d y 项的半线性椭 圆方程解的存在性问题 j 中南民族大学学报 自然科学版 第2 5 卷第4 期 2 0 0 6 年 1 2 月 1 0 1 1 0 3 f 1 8 赵强 龙