上册第二章第1-3节定义;命题;公理与定理.doc

年 级初三学 科数学版 本湘教版内容标题2.1 定义 2.2 命题 2.3 公理与定理编稿老师阳矩红【本讲教育信息】一. 教学内容： 2.1 定义 2.2 命题 2.3 公理与定理教学目标 知识与技能： 1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论，奠定推理论证的基础。 2. 了解公理与定理的含义以及二者的区别。 过程与方法： 3. 初步体会命题真假判断的过程，体会公理化思想。情感、态度与价值观： 4. 探索命题真假的过程，体会学数学的乐趣。 5. 通过欧几里得的原本，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。二. 重点、难点：（一）教学重点： 1. 了解定义的概念、命题的构成，会区分真命题和假命题。 2. 公理与定理是作为判断命题真假过程中的依据。一般来说，命题真假的判断不能凭直觉和想当然，每一步推理必须有理有据，而定义、公理、定理就是我们推理过程的主要依据。（二）教学难点： 1. 能举反例说明一个命题是假命题。 2. 判定逆定理的存在性。方法指导 1. 会判定一个语句是否为命题，注意两条： （1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句）。 （2）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。 2. 要能找出命题的条件和结论，一般情况下，命题也可写成“如果，那么”或“若，则”等形式。其中“如果”或“若”引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件。这个前提条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。对于条件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如果，那么”的形式，然后再确定条件和结论。 3. 要会判定一个命题是真命题还是假命题。真命题需要依据公理、定理等推理证明，假命题需要举出反例加以说明。 4. 公理是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是判定其他命题真假的根据；定理是经过推理论证为真命题的命题。主要内容（一）定义 1. 定义是对于一个概念的特征性质的描述。 （1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现。 （2）定义是几何推理的依据，教材中列举的定义要正确理解、熟练识记，为以后的推理做好知识准备。比如： 若ABCD于O，则AOC90（垂直定义） 反过来，若AOC90，则ABCD（垂直定义） 定义既可当性质用，也可当判定用，是我们思考问题的出发点和目标。（二）命题的定义及结构、形式 （1）判断一件事情的句子，叫做命题。 不是所有的句子都称为命题，只有那些能判断是非，辨别真假的句子才是命题，各种形式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形式，才能称为命题。例如：“我很喜欢老师”，“今天的天气多么好啊！”“这个道理你明白吗？”等都不是命题。要想使之成为命题，都需改为“是”或“不是”的形式。 （2）每个命题都是由条件和结论两部分组成。 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 一般地，命题都可以写成“如果，那么”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 （3）真命题和假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题。 如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。 要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 （4）互逆命题。 如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命题，其中一个作为另一个的逆命题。 例如：命题“相等的角是对顶角”与命题“对顶角相等”是互逆的命题。一个命题为真，但不一定能保证它的逆命题为真。（三）公理与定理 1. 公理就是公认的真命题，是人们在长期实践中总结出来的认定的真命题，它作为证明的原始依据。 我们湘教版教材到目前为止选择的十条公理： （1）等量加等量，和相等。 （2）等量减等量，差相等。 （3）等量代换（即：如果ab，且bc，那么ac）。 （4）整体大于部分。 （5）通过两点有且只有一条直线。 （6）连结两点的所有连线中，线段最短。 （7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向。 （9）轴反射不改变图形的形状和大小。 （10）旋转不改变图形的形状和大小。 2. 定理是经过证明的真命题。 定理可以作为判断其他命题的真假的依据。 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理。 要求同学们熟记教材中列举的定理和逆定理，为后面的几何推理、论证奠定基础。【典型例题】 知识点1：定义和命题 例1. 在下列空格上填写适当的概念。 （1）能够完全重合的两个图形叫做_。 （2）两组对边分别平行的四边形叫做_。 （3）连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的_。 （4）_是有公共端点的两条射线组成的几何图形。 请同学们去熟悉书本上的一些定义，并能说出来。 例2. 下列语句中不是命题的有（ ） （1）两点之间，直线最短。 （2）不许大声讲话。 （3）连结A、B两点。 （4）花儿在春天开放。 （5）不相交的两条直线叫做平行线。 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 知识点2：命题的结构和种类划分 例3. 把下列命题改写成“如果那么”的形式，并指出其条件和结论。 （1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （2）菱形的四条边都相等。 （3）全等的两个三角形的面积相等。 （4）对顶角相等。 （5）等角的余角相等。 （6）两点确定一条直线。 解：条件：结论： （1）如果两个三角形的两角和其 中一角的对边对应相等那么这两个三角形全等 （2）如果一个四边形是菱形那么这个四边形的四条边相等 （3）如果两个三角形全等那么这两个三角形的面积相等 （4）如果两个角是对顶角那么这两个角相等 （5）如果两个角相等那么它们的余角也相等 （6）如果过两已知点画直线那么能够画而且只能画一条 说明：有些命题条件和结论不明显，这时一般先添上省略去的词语，改写成“如果，那么”的形式，有时需要适当增减词语，保证句子叙述通顺而不改变原意。 例4. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例。 （1）画线段AB3cm。 （2）平行于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）两条直线相交，有几个交点？ （4）相等的角都是直角。 （6）直角都相等。 解：（1）、（3）不是命题，因为句子中没有作出任何判断。 （2）、（6）是真命题。 （4）、（5）是假命题。 对于（4），比如：A30，B30，AB，但A、B都不是直角。 知识点3：公理与定理 例5. 如图，BC，B、A、D在同一直线上，DACBC，AE是DAC的平分线。 求证：AEBC 证明：BCDAC 且BC（ ） AE是DAC的平分线（ ） B1（ ） AEBC（ ） 请同学们阅读上述证法，并填写推理根据。 知识点4：逆定理与互逆定理 例6. 下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，说明理由。 （1）角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）对顶角相等。 解：（1）有逆定理 到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。 利用三角形全等可以证明。 （2）没有逆定理 比如：相等的角可能是平行线内错角、同位角或全等图形的对应角，但它们不是对顶角。 创新题：根据命题推理 例7. 小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么谁是工人，谁是农民、战士？ 分析推理： “小李比战士年龄大”说明小李不是战士；小李年龄大于战士年龄。 “农民比小张年龄小”说明小张不是农民，小张年龄大于农民年龄。 “小王与农民不同岁”说明小王不是农民。 既然小王和小张都不是农民，那么小李是农民。 根据上面结论知道他们年龄从大到小顺序是：小张、农民、战士。 因此，小王是战士，小张是工人。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题。 1. 梯形的定义是：_。 2. 把命题“等边三角形的每一个内角都为60”改成“如果，那么”的形式为_。 3. 定理“等角对等边”的逆定理是：_。 4. “两负数之积为正数”的条件是_，结论是_。 5. 下列语句是命题的，请将序号填在横线上：_。 延长线段AB到C，使BCAB 若，则 画角AOB的平分线OC 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 开发大西北 你好，小燕子！ 快走！不然就迟到了。 “WTO”所指的是什么？ 6. 写出一条平行线的性质定理：_。二. 选择题。 1. 命题“度数之和为90的两个角互为余角”的条件是（ ） A. 90 B. 两个角 C. 度数之和为90 D. 度数之和为90的两个角 2. 下列命题中假命题有（ ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形。 （2）一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形。 （3）正比例函数一定是一次函数。 （4）速度一定，路程和时间成正比例关系。 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题错误的是（ ） A. 设这个角是45，它的余角是45，但4545 B. 设这个角是30，它的余角是60，但3060 C. 设这个角是60，它的余角是30，但3060 D. 设这个角是50，它的余角是40，但4050 4. “两直线相交只有一个交点”这个命题的条件是（ ） A. 两条直线B. 相交 C. 只有一个交点D. 两条直线相交 5. 若m、n、p为三个正实数，如果，那么之成立的依据是（ ） A. 等量加等量和相等 B. 等量减等量差相等 C. 不等式的基本性质 D. 整体大于部分 6. 下列定理存在逆定理的有（ ） （1）等腰梯形的两条对角线相等。 （2）矩形的对角线相等。 （3）正方形的四个角都是直角。 （4）如果一个三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 7. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 直角的补角是直角 B. 钝角的补角是锐角 C. 垂线段最短 D. 同旁内角互补三. 解答题。 1. 有下列三个结论：（1）；（2）；（3） 请你以其中两个为条件，写出2个真命题。 2. 下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，举一个反例说明。 （1）正方形的对角线互相垂直平分且相等。 （2）对顶角相等。 （3）若正n边形的每一个外角为60，则n6。 （4）平行四边形的对边相等。 3. A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话。现请你推测一下，到底谁说真话？谁说谎话？ 4. 地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲上都写了代号，他请5个同学认出2大洲，五个同学的回答是： 甲：3号是欧洲，2号是美洲； 乙：4号是亚洲，2号是大洋洲； 丙：1号是亚洲，5号是非洲； 丁：4号是非洲，3号是大洋洲； 戊：2号是欧洲，5号是美洲。 地理老师说：“你们每个人都认对了一半”。请问每个号码各代表哪个洲？【试题答案】一. 填空题。 1. 有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2. 如果一个三角形是等边三角形，那么它的每一个内角都为60。 3. 等边对等角 4. 两负数相乘，积是正数。 5. ，