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b e i g m a n 空间上拟齐次t o e p l i t z 算子的乘积 摘要 在t o e p l i t z 算子的研究中，两个t o e p l i t z 算子的乘积是否仍为t o e p l i t z 算子? 这一直是数学家们感兴趣的本文使用m e l i n 变换作为工具，在 b e r g m a n 空间上讨论了以拟齐次函数为符号的t o c p l i t z 算子的乘积问题， 得出了当拟齐次函数的度分别处于三种不同情况时，两个t o c p l i t z 算子 乘积仍是t o e p l i t z 算子的充分必要条件在一定条件下，又进一步得出 这些充要条件的具体形式，并举例加以说咀从而完善了文献 1 】中的结 果 第一章介绍了t o e p l i t z 算子乘积研究的发展与现状 第二章介绍了b e r g m a n 空间的定义、基本性质、空间结构和规范 正交基另外，对b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子的定义作了全面分析 第三章引入了重要的工具一m e l l i n 变换，研究了m e l l i n 变换和m e l l i n 卷积的性质通过对l 2 ( d ，d a ) 空间分解的分析，论述了研究拟齐次t o e p l i t z 算子的重要意义，并讨论了以拟齐次函数为符号的t o e p l i t z 算子的一些 重要性质 第四章包含了本文的主要内容在拟齐次函数的度处于三种不同 情况日寸，分别讨论拟齐次t o e p l i t z 算子的乘积问题，得到了两个拟齐次 t o e p l i t z 算子乘积封闭的充分必要条件在一定条件下，又进一步得出 这些充要条件的具体形式，同时举例说明 关键词：b e r g m a n 空间，t o e p l i t z 算子，m e l l i n 变换，拟齐次函数 p r o d u c t so ft o e p l i t zo p e r a t o r s w i t hq u a s i h o m o g e n e o u ss y m b o l s o nt h eb e r g m a ns p a c e a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n c e r n sw i t ht h ep r o d u c to ft o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eb e r g m a n s p a c ew i t hs y m b o l si nt h eq u a s i h o m o g e n e o u sf u n c t i o n s t h r e ec a s c si nt e r m so f t h ed e g r e eo ft h es y m b o la r ed i s c u s s e d b yu s i n gm e l l i nt r a n s f o r m ，t h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ep r o d u c to ft w ot o e p l i t zo p e r a t o r st ob e a t o e p l i t zo p e r a t o r m o r e o v e r ，w eg i v ea ne x p l i c i tf o r m u l aa n da ne x a m p l ef o rt h e s y m b o lo ft h ep r o d u c ti nc e r t a i ne a s e s t h e s er e s u l t si m p r o v et h ec o n c l u s i o n si n 【l 】 t h i st h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ：i nc h a p t e r1 ，t h ep r o g r e s s o ft h er e s e a r c hi nt h ep r o d u c to ft o e p l i t zo p e r a t o r si s i n t r o d u c e d c h a p t e r2 i sc o n c e r n e dw i t ht h eb a s i cs t r u c t u r eo fb e r g m a ns p a c ea n dt h ed e f i n i t i o no f t o e p l i t zo p e r a t o ro i lt h eb e r g m a ns p a c e i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h em e l l i n t r a n s f o r m ，t h em o s tu s e f u lt o o l si nt h ea r t i c l e ，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h e m e l l i nt r a n s f o r m ，t h em e l l i nc o n v o l u t i o na n dt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hs y m b o l s i nq u a s i h o m o g e n e o n sf u n c t i o n s c h a p t e r4i st h em a i np a r to ft h i sp a p e r t h r e e c a s e si nt e r m so ft h ed e g r e eo ft h es y m b o la r ed i s c u s s e d t h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h ep r o d u c to ft w ot o e p l i t zo p e r a t o r st ob ea t o e p l i t zo p e r a t o r m o r e o v e r ，w eg i v ea ne x p l i c i tf o r m u l af o rt h es y m b o lo ft h e p r o d u c ti nc e r t a i nc a s e s k e yw o r d s ；b e r g m a ns p a c e ，t o e p l i t zo p e r a t o r ，m e l l i nt r a n s f o r m ， q u a s i h o m o g e n e o u sf u n c t i o n 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：卿麦 i 学位论文使用授权声明 日期：抄7 胪 ， 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：硼勘 j 勿 吻 聊签名：弋孚觚日期：加7 小，“ 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条 例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、 观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名称、作者、年份、 刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和版次等内容。论文中 未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：邓耋蔓 指导教肌籀垓 ( 一) 、引言 第一章绪论 算子理论是数学领域的一个重要分支随着物理学、机械学，信息控制论等 学科的发展，在一些实际问题( 如积分方程问题) 的研究中，人们开始提出各种算 子，算子类，并开始对这些算子，算子类进行系统的研究其中单侧移位算予( 符 号为z 的t o e p l i t z 算子) 由于其重要地位一直深受数学家们的关注在二十世纪 六七十年代的算子理论热潮中，t o e p l i t z 算子作为最重要的特殊算子类之一成 为了最活跃的研究对象，涌现了大量深刻且有意义的结果 在t o e p l i t z 算子的诸多代数性质中，两个t o c p l i t z 算子的乘积是否仍是t o e p l i t z 算子的阁题，一直令数学家们很感兴趣因为乘积阅题涉及到了t o c p l i t z 算子 类中乘法运算的封闭性，故对其进行研究具有重要意义早在二十世纪六十年 代，a b r o w n 和p ，r h a l m o s 在文献【2 】中以单侧移位算子( 符号为z 的t o e p l i t z 算子) 为例，说明了t o e p l i t z 算子类对乘法不一定是封闭的，所以人们很自然地 考虑；( 1 ) 在怎样的条件下两个t o e p l i t z 算子的乘积仍为t o e p l i t z 算子? ( 2 ) 乘法 封闭的两个t o e p l i t z 算子又有怎样的特点? ( 二) 、研究背景 记d 为复平面c 内的单位开圆盘，d a 为d 上规范的l e b c s g u c 测度b c r g m a n 空间l ：由l 2 ( d ，d a ) 中的解析函数组成设p 为l 2 ( d ，d a ) 的正交投影，若 u l 。( d ，d a ) ，则从瑶到l ：的符号为u 的t o e p l i t z 算子咒定义为兀( ，) = p c u ) ，l ： 记b e r g m a n 核为) = 再如= b ( i + j ) 尹，则 j-u 死( ，) ( 。) = p ( u ，) ( z ) = u ( w ) f ( w ) - f f 玎( w ) d a ( w ) f 暖( 1 ) ，d 我们感兴趣的是更为一般的t o e p l i t z 算子若u 为d 上的任一有限的复测 度，类似于等式( 1 ) ，定义符号为u 的l ：上的稠定线性算子兄： ，一冗( ，) ( z ) = f ( w ) k ；( u ) 孔( u ) j d 本文研究的问题是tb e r g m a n 空间上何时两个t o e p l i t z 算子的乘积仍为 t o e p l i t z 算子? 1 9 6 4 年b r o w n 和h a l m o s z | 完美地解决了h a r d y 空间上的类 似问题我们知道f l o o o d ) 称为解析的当且仅当，的负项f o u r i e r 系数全为 零，记作f h o 。文献 2 中就证明了当f g l ”( a d ) ，r f b = t h 的充分必分 条件为g h 。或者，日o 。，并且在这两种情况下都有h = f g 但是，在b e r g m a n 空间上t o e p | i t z 算子乘积运算封闭的问题相当复杂a h e r n 和0 “a o u i 护l 考虑了具有有界调和符号的t o e p l i t z 算子的b r o w n - h a l m o s 类似 的结果，证明了在f ，g ，h 为有界调和函数且厶 = ( 1 一2 ) 2 a h 为有界的条件下 乃l = 死当且仅当g h 。或，h 。文献【4 】中a h e r n 在， g 为单位圆盘上 的有界调和函数且满足f = f l _ + f 2 和g = g a + 彘( ，矗，g l ，虫为有界解析函数) 的 条件下，证明了乃毛= 的充分必要条件是存在解析多项式p ，q ( d e f l ( 朋) 3 ) 使得1 i = po 九，9 2 = qo 札，其中札( z ) = a 一- 。z ； z d ) 为d 上的自同构 若妒l 1 ( d ，d a ) 且满足妒( 。) = 妒( i z l ) ( v z d ) ，则称妒为径向函数函 数，称为度为k 的拟齐次函数，如果，能表示为 f ( r e 坩) = e i k e 妒( r ) ， 其中妒为径向函数 由于存在分解l 2 ( d ，d a ) = oe i k o 乳( 其中跄为d 上平方可积径向函数 组成的空间) 1 5 1 ，l o u h i c h ia n dz a k a r i a s y1 6 】重点研究了以拟齐次函数为符号 2 的t o e p l i t z 算子的诸多特性文献【1 】中l o u h i c h i 等人在两个拟齐次函数的度 依次为正整数、负整数的条件下，得出了拟齐次符号的t o e p l i t z 算子的乘积为 t o e p l i t z 算子的充分必要条件本文讨论了当两个拟齐次函数的度处于另三种情 况下t o e p l i t z 算子乘法封闭的充分必要条件，完善了文献【1 中的结果 3 第二章b e r g n m n 空间 本章主要讨论b c r g m a n 空间的定义。基本性质，空间结构、规范正交基和再 生核的特征另外还讨论了b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子，为后面的研究提供 理论基础 f - - ) b e r g m a n 空间的再生核 为了更清楚的认识b e r g m a n 空间磋( d ) ，先来观察一般的b e r g m a n 空问 必( 皿) ( p 1 ) 的一些基本事霓对于1 sp + o 。，( d ，d a ) 表示d 上l e b e s g u e 可测并满足 川：= ( i f ( z ) i 一幽( z ) ) ； o o 的函数( z ) 的全体构成的b a n a c h 空间，其中d a ( z ) 是皿的规范面积测度，它使 d 的面积为1 这样，在直角坐标系和极坐标系下，分别有 d 以( z ) ；三d 。d f 。三出抬 般的b e r g m a n 空间醒( 皿) 定义为 职( d ) = 厂：d cff 护( d ，d a ) n h o l ( d ) ， 其中h o l ( d ) 表示d 上解析函数的全体在不发生混淆的情况下，简记比= 醒( d ) 通过下面的命题可以知道，b e r g m a n 空间职为b a n a c h 空间 命题2 1 1i ? t 对于1 p + 。，醒( d ) 为扩( 西，d a ) 的闭子空间 下面的命题，可以理解为女= ) = 瓣1 在理中具有再生性 命题2 1 21 7 设l p + o 。，则v 瑶，有 f ( o = 上离卿) 且有 i f ( z 胚器 当考虑特殊情形p = 2 时，在l ：上定义内积 = 丘，列a ，则瑶成 为h i l b e r t 空间因为v z d ，计值函数为l ：上的有界线性泛函，故由r i e s z 表 示定理可知存在也髓使 f ( z ) = f ( w ) h ：( w ) d a ( w ) = v f l ：( 2 ) 设k ( z ，u ) 为dxd 上的函数，定义为k ( z ，w ) = 7 双面由公式( 2 ) 知 k ( z ，“，) 再生了磋上的任一函数，故k ( z ，u ) 称为d 上的b e r g m a n 核或 b e r g m a n 空间瑶的再生核d 上的b e r g m a n 再生核反映了 b e r g m a n 空间的本 质特性b e r g m a n 再生核与b e r g m a n 空间的任一规范正交基存在以下联系 定理2 1 3 8 1 设耳( z ，w ) 为b c r g m a n 空间l ：的再生核， ( 2 ) ) 为瑶的规 范正交基，则k ( z ，“) 一甚，i g n ( z ) 云了巧，其中( 。，“) 与基 e n ( z ) 的选取无 关 ( 二) 、b e r g m a n 空间上的t o e p l i t z 算子 设p ：驴( d ，d a ) 一磋为直交投影，称为b e r g m a n 投影下面的命题说明 利用b e r g m a n 核可以由积分表示出b e r g m a n 投影 命题2 2 11 9 1 设p 为b e r g m a n 投影，则v f l 2 ( d ，d a ) ，觇d ，有 p ，( z ) = j ，( w ) 。，u ) d a ( u ) = j ，d 丁r ! d a ( ) dk 1 一w ， 对于仳l o 。( d ，d a ) ，符号为札的t o e p l i t z 算子兀：l ：一l ：定义如下： l ( ，) = p ( u f ) ，v f ，：( 3 ) 5 显然，瓦是有界线性算子，并且 j l 瓦i l “。 利用命题2 , 2 1 可以将上面定义的咒写成下述积分算子的形式， 死( ，) ( 垆脚，) ( 加上u ( w ( 咄( 训) d a ( u ) = f ”vu(w一)f刎(“a。)dajd j d1 一w ， 关于l ：上的t o e p l i t z 算子，有下述与日2 上的t o e p l i t z 算子相似的基本事 实，其证明是不难的 命题2 , 2 2 j 9 j 设d ，夕c ，协妒三o o ( d ，d a ) ，则下述成立， ( 1 ) 已p 十脚= o 马+ p 而； ( 2 ) 岛= 咒； ( 3 ) 如妒0 ，则7 0 0 ； ( 4 ) 如妒l o 。( d ，d a ) ，妒h 。，则丁如= 丁； ( 5 ) 巧，= 巧 因为沪中函数与驴中函数的乘积仍在中，故如上定义的t o e p l i t z 算 子是最自然的但是本文关心的是更为般的t o e p l i t z 算子事实上，t o e p l i t z 算 子对无界符号也能定义，还可对d 上的有限测度进行定义 若n 为d 上的任一有限的复测度，我们定义符号为t 的2 上的算子咒为 咒( 刷z ) = f ( w ) k - 丽d u ( w )v f 醒，( 4 ) 一般情况下，算子兄为无界的，但它通常是稠定的，易知o o 在l ：中稠，并 且h ”包含在兀的定义域中我们感兴趣的是在怎样的情况下稠定算子瓦为 有界的例如t 当有限测度u 在d 中有紧支集，那么l 不但是有界的，而且咒 还是紧的 设存在f l 1 ( d ，d a ) 使得d u ( z ) = f ( z ) d a ( z ) ，则记咒= 珏同样，可 以注意到这个稠定算子在某些情况下为有界的例如 l l t 当f l i ( d ，拍) 且 6 3 r ( 0 ，1 ) 使得f 在扛；r 0 上解析，并且在点d 1 d 2 ，上的值为 零，其中d l ，d 2 ，满足 a ) i n f i 厶1 ) 0 ； b ) 。l 娩( 去) = o 。 则，在 z ：r e z o ) 上恒为零 推论3 。1 3 1 1 1 1 设妒l 1 ( 【o ，1 1 , r d r ) ，若存在n o z + = n u o ，p n 使得 ( n o4 - p ) = 0 ( v k n ) ，则妒= 0 从推论3 1 3 可以看出：函数的m c l l i n 变换在某些点处的值能决定整个函数 的情况，这正是该推论的重要之处 ( 二) 、拟齐次t o e p l i t z 算子 定义3 2 1 设妒l 1 ( d ，d a ) 且满足妒( ：) = 妒f 例) ( v z d ) ，则称妒为径 向函数 注3 2 2 我们常将单位圆盘上的可积径向函数妒与定义在【0 ，1 1 上的函数 协理解为一致的 定义3 2 3 1 1 1 函数，称为度为女的拟齐次函数，如果，能表示为 ，( r e 8 ) = e l k o 妒( r ) 9 其中 p 为径向函数 本文中我们将以拟齐次函数为符号的t o e p l i t z 算子简称为拟齐次t o e p l i t z 算子在文献1 5 中讨论了空间l 2 ( d ，d a ) 的一个重要分解设 虢= n ：。一c 为径向函数i j ( 1r f l n ( 州2 打 o o ) ， 又令吼= e “。瓣( v k z ) 由妒( r e 神) = 8 n ( r ) ( w ) 豫k ) 及 f dl 妒( z ) f 2 d a ( z ) = z 1z 2 。i 。( r ) 1 2 r d r 。， 知成为己2 ( d ，甜) 的子空间易知对k f 有上豫，并且对任一多项式 p ( z ，虿) 存在n 使 p ( z ，乏) = ( 。尹) i ni - jk 在极坐标下就有 由于多项式p ( z ，i ) 在g ( 面) 中稠，而c ( 面) 又在口( d ，d a ) 中稠，因此有分 解式 l 2 ( d ，d a ) = o b 姗瓣， 其中辩为d 上平方可积径向函数组成的空间，对任一函数妒l 2 ( d ，d a ) 就有 t p ( r e “) - e “。饥 么筑 另外，若妒l o 。( d ，d a ) cl 2 ( d ，a a ) ，则v r 0 ，1 ) ， (r)f=0“妒(re。9)etm竺s棚upl妒(,0 z t r z ) | 垤z ，( r ) f = 妒( r e 。9 ) e 1 ”罢 ：；。z ) | 垤z ， 豫 。鼬 呵 ， 0 谢 气 。一 j j z 出 故机在匾盘d 上有界从上述空间l 2 ( d ，d a ) 的分解知道，研究拟齐次函数为 符号的t o e p l i t z 算子是十分有意义的， 下面可以看到拟齐次t o e p l i t z 算子的许多重要性质 命题3 2 4 设，p z + ，妒是d 上可积径向函数，则当e 枷妒是t 一函数时 有 l - 一妒z ) = 2 ( k + p + 1 ) 9 ( 2 七十p + 2 ) z 。+ p 耳 瓦嘞( 幽；o 玎o 蜒p - l 【2 ( 一p + 1 ) 驴( 2 一p + 2 ) 一” i f k p 证明：利用交换积分的顺序可得 正t 一。( 扩) =e 伽妒( f ) 护i 焉i d a ( ) j d ；z 1f f ，一。c ，+ 1 ，e ( k + p 一，) 口r ，r d r d ；z 2 ”薹c ，+ ，矿( + p j ) 口。c j ，o 1 妒c ，r k + j + l d ：，d 一 2 ( k + p + 1 ) p ( 2 + p + 2 ) z + 同理可得另一等式口 从上面的命题可以看出，利用m e l l i n 变换可以表示出有界拟齐次t o e p l i t z 算子作用在b e r g m a n 空间l 2 的正交基中任一元素上的值 通过进一步计算可得如下推论 推论3 2 5 1 2 1 设n n ，s z + ，且妒为d 上有界径向函数，则v k n 有 n 一1 ( e w p ) “( ) = i l i ( 2 ( 自+ i s + s + 1 ) 万( 2 七+ 2 j s + s + 2 ) 】z + ”5 j = o 一丌二碧讪( 2 南+ 2 i s + s + 2 ) + 。 = 1 7 = 一z ， n 搿( 2 七+ 2 i s + 2 s + 2 ) 其中为值等于1 豹常值函数 命题3 2 6 设p z ，有界函数，是度为p 的拟齐次函数的充分必要条件 为对任意的n z + 存在a 。c 使得 7 ，c 。“，= ：。+ ，：，f 。n 。m 。a x 。( 。- 一p p ，, 0 。； 证明参见文献【6 】命题3 利用这一命题，可以得到下面这个重要结果 定理3 2 7 【6 】设p ，s z + ， ，2 是l i ( d ，d a ) 中度分别为p ，s 的两个拟齐 次1 。函数若存在1 。函数h 使得靠7 k = 蜀，则h 是度为p + s 的拟齐次函 数 1 2 第四章拟齐次t o e p l i t z 算子的乘积 由第三章( 二) 可知存在分解炉( d ，d a ) = oe 甜鸵，其中况为d 上平方可 积径向函数组成的空间l o u h i c h i 等人在文献【1 】1 中重点研究了当两个拟齐次函 数的度依次为正整数，负整数时，拟齐次符号的t o e p l i t z 算子的乘积为t o e p l i t z 算子的充分必要条件。本文进一步讨论了当两个拟齐次函数的度处于另三种情 况下t o e p l i t z 算子乘法封闭的充分必要条件，即两个拟齐次函数的度依次为负整 数、正整数；同为正整数；同为负整数的三种情况从而补充完善了文献 1 】中的 结果 ( 一) 、异号度拟齐次t o e p l i t z 算子的乘积 文献【1 】中研究了当两个拟齐次函数的度依次为正整数、负整数时，拟齐次 符号的t o e p l i t z 算子的乘积为t o e p l i t z 算子的充分必要条件，得出下面的主要结 果 定理4 1 1 1 1 l 设s ，p z + ，p s 且妒1 和妒2 为d 上两个可积的径向函数， 满足e l p 8 妒l 和e - l u o _ ，0 2 是r 一函数，则 正删p i 互- ”p m 为t o e p l i t z 算子当且仅当存在可积径向函数妒使得 ( a ) e i ( p 一。) o 妒为t 一函数； ( b ) 妒( 2 k + p 一8 + 2 ) = 0 ，0 k 5 一l ； ( c ) 妒满足方程r pc i o l $ mr u ! a 2 = r 9 ”妒+ j l f i 在这种情况下； 瓦t p 1 正一”m = 正l ( p 一一j 哪 ! 3 本文要研究的是当两个拟齐次函数的度依次为负整数正整数时，拟齐次符 号的t o e p l i t z 算子的乘积为t o e p l i t z 算子的充分必要条件 定理4 1 2 设8 ，p z + ，矽5 且妒1 和忱为d 上两个可积的径向函魏满 足e “。妒l 和e 伽l p 2 是丁一函数，则 e f p ie p m 为t o e p l i t z 算予当且仅当存在可积径向函数妒使得 ( a ) e ( p 一8 ) 8 妒为7 1 一函数； ( b ) 矽满足方程矿妒l $ r 。忱= 妒+ 村r p “ 在这种情况下t 疋口p l 正m = 正妇- ) 9 口， 证明必要性，设一一，。正t m 为t o e p l i t z 算子，则由定理3 2 7 知存在可 积径向函数妒使得e 。( p s ) o 妒为丁一函数这时 兄“p 9 l 瓦删p 2 = 正i ( p - ) 哪 放( a ) 成立利用命题3 2 4 计算可得 正”坩p 。( ) = ( e k + 2 p + 2 ) 画( 2 + p + 2 ) ；+ 9 而计算疋一p ，疋；一，：( ) 得到两种情况 ( 1 ) 当0 k + p 8 1 时有 瓦一，。巧 9 ，( 矿) = 0 ( 2 ) 当k + p s 时有 疋，9 。正m ，：( ) = 4 ( p + k + 1 ) ( + p 一8 + 1 ) 驴2 ( 2 k + p + 2 ) 驴l ( 2 k + 2 p 一8 + 2 ) z + p 一5 1 4 因为p s 且z + ，故上述第一情况不可能存在事实上对任意k z + 总有k + p s ，这时 t 一“f p l 瓦。p 一忱( 。) = 4 ( p + 七+ 1 ) ( 惫+ p s + 1 ) p 2 ( 2 七+ p + 2 ) p 1 ( 2 k + 2 p s + 2 ) z 七+ p 一8 ( 5 ) 同理可得 t ( p 一啪讪( z ) = 2 ( k + p s + 1 ) 西( 2 后+ p s + 2 ) z + p 一8 ( 6 ) 故由( 5 ) ，( 6 ) 及 i ( + 2 ) = ( 1 i ( r ) r h + l d r = 丽1 v he z + , 得 驴l ( 2 + 2 p 一8 + 2 ) 2 ( 2 k + p + 2 ) = 妒( 2 女+ p s + 2 ) ( 2 + 2 p + 2 ) ( 7 ) 又注意到 而=z1盯)rz-ldr=hr)rh+z-ldr=0j o 鼬刊 j 其中h z + 且满足r e ( h + z ) 2 ，则( 7 ) 成为 i 丽( 2 午p s + 2 ) r 穰2 ( 2 k + p s + 2 ) = 移( 2 女+ p s + 2 ) ；确( 2 女+ p 一5 + 2 ) ( 8 ) 因此，由推论3 1 3 友m e l l i n 卷积的性质可知( b ) 成立 充分性：设e 咖一。) 8 1 ；f ，为t 一函数，那么正却叫吣为有界的t o e p l i t z 算子同 时由( b ) 成立可知瓦- ，。正t 一。和巧( ) 唧作用在多项式有相同的值，故 疋一埘p l t ，一亿= t e l ( p 一) 9 咖 1 5 口 注4 1 3 对0 p p + s 时可得 故 妒l ( 2 k 一2 s p + 2 ) 2 ( 2 k 一5 十2 ) = 西( 2 岛一s p + 2 ) i ( 2 一2 s + 2 ) ，( 1 2 ) 而l ( 2 ( 七一5 一p ) + 2 ) 7 j 干奉；2 ( 2 ( 七一5 一p ) + 2 ) = 两( 2 ( 后一5 一p ) + 2 ) 简( 2 ( 格一s p ) + 2 ) ( 1 3 ) 所以，由推论3 1 3 得一妒l mr 5 + 2 9 妒2 = 7 - 1 4 ：g 2 + mr 2 p k 又由m e l l i n 卷积的定 义知妒满足方程一妒+ mr p l = 妒1 + mr p “妒2 ，故( b ) 成立， 口 定理4 2 5 设s ，p z + 且妒l 和妒2 为d 上两个可积的径向函数，使得 h ( r ) = 妒1 ( r ) a m ? - p “c 1 0 2 ( r ) 在( 0 ，1 ) 上几乎处处可微设妒为与 妒，( t ) = p t 一。a ( t ) 一t l - s a ( ) 7【0 ，1 ) 2 1 相关的径向函数，则正一， p 。l t p 。为e p l i t z 算子当且仅当函数e 一( p + 。) 。妒为 7 1 一函数 证明由条件疋一。互一“一。为t o e p l i t z 算子及定理4 2 4 知砂满足方程 妒1 + 肘，+ 5 妒2 = r 8 妒肘， 又a ( r ) = 妒1 ( r ) fr p + 4 妒2 ( r ) ，故 a = r 5 妒士mr = r 9 半吖r 4 妒 因此， a ( t ) = ，1 ( ；) v ( ；) r 5 ，( r ) j d r ? = t 一，1 r 5 一一一1 妒( r ) d r 故得到等式 t 一a ( ) = ，p 1 妒( r ) 出 由于a ( t ) 在( o ，1 ) 上几乎处处可微，两边求导可得 一p a ( t ) ) = 一圹一p 一1 妒0 ) 因此，妒( t ) = p t 一。h ( t ) 一t 1 一。a 0 ) 口 参考文献 【1 】i l o u h i c h i ，e s t r o u s ea n dl z a k a r i a s y p r o d u c t 8o ft o c o l i t zo p e r a t o r so n t h eb e r g m a ns p a c e j i n t e g r a le q u a t i o na n do p c r a t o rt h e o r y ，2 0 0 6 ，5 4 ：5 1 2 5 3 9 【2 】a b r o w n ，p r h a l m o s a l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r s j r e i n e a n g e w m a t h ，1 9 6 3 ，2 1 3 ：8 9 1 0 2 【3 】p a h e m ，z c u k o v i 6 at h e o r e m o fb r o w n h a l m o st y p ef o rb e r g m a ns p a c e t o e p l i t zo p e r a t o r s j j f u n c t a n a l ，2 0 0 1 ，1 8 7 ：2 0 0 2 1 0 【4 】p a h e r n o nt h er a n g eo ft h eb e r e z i nt r a n s f o r m j j f u n c t a n a l ，2 0 0 4 ， 2 1 5 ：2 0 6 2 1 6 【5 】玄0 u 6 o d ，n v r a o m e l l i nt r a n s f o r m ，m o m o m i a ls y m b o l s ，a n dc o m m u - t i o n gt o e p l i t zo p e r a t o r s j j f u n c t a n a l ，1 9 9 8 ，1 5 4 ：1 9 5 2 1 4 【6 】i l o u h i e h i ，l z a k a r i a s y o nt o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hq u a s i h o m o g e n e o u s s y m b o l s j a r c h m a t h 2 0 0 5 ，8 5 ：2 4 8 - 2 5 7 【7 】蹇人宜，安恒斌解析函数空间上的算子理论导引【m i 北京，科学出版 社，2 0 0 7 【8 p e r t e rd u r e n ，a l e x a n d e rs c h u s t e r b e r g m a ns p a c e m p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 4 【9 1 z h uk e h e o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e m ，m a r c e l - d e k k e r ，n e w y o r k ，1 9 9 0 【1 0 】r r e m m e r t c l a s s i c a lt o p i c s i nc o m p l e xf u n c t i o nt h e o r y m g r a d u a t e t e x t si nm a t h e m a t i c s ，n e wy o r k ：s p r i n g e r ，1 9 9 8 f 1 1 js g r u d s k y , v a s i l e v s k i b e r g m a n t o e p l i t zo p e r a t o r ：r a d i a lc o m p o n e n ti n f l u e n c e j j f u n c t a n a l ，2 0 0 1 ，4 0 ：1 6 3 3 【1 2 】i l o u h i e h i ，j o s e p ha b 棚p o w e r sa n dr o o t so ft o e p l i t zo p e r a t o r s j p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 7 ，1 3 5 ：1 4 6 5 1 4 7 5 【1 3 】p a h e r n ，玄d u e k o v i 6 p r o d u c t s o ft o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eb e r g m a n 2 3 s p a c e j i l l i n o i sj m a t h ，2 0 0 1 ，4 5 ( 1 ) ：1 1 3 1 2 1 【1 4 】s ，a x l e r ，2 o u s k o v i d c o m m u t i n gt o e p l i t zo p e r a t o mw i t hh a r m o n i cs y m - b o l s 【j 】! n t e g r a le q u a t i o no p e r a t o rt h e o r y , 1 9 9 1 ，1 4 ：1 - 1 2 【1 5 n l v a s i l e v s k i b e r g m a us p a c es t r u c t u r e ，c o m m u t a t i v e a l g e b r a s o f t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh y p e r b o l i cg e o m e t r y j i n t e g r a le q u a t i o no p e r a - t o rt h e o r y ，2 0 0 3 ，4 6 ：2 3 5 2 5 1 1 6 ls 。a x l e r ，玄c u s k o v i da n dn v r a o c o m m u t a n t so fa n a l y t i ct o e p l i t zo p e r - a t o r so nt h eb e r g m a ns p a c e j p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 0 ，1 2 8 ：1 9 5 1 1 9 5 3 【1 7 】n z o r b o s k a ，t h eb e r e z i nt r a n s f o r ma n dr a d i a lo p e r a t o r s j p r o c a m e r m a t h s o c ，2 0 0 3 ，1 3 1 ( 3 ) ：7 9 3 - 8 0 0 1 8 】sg r u d s k y ，n v a s i l e v s k ib c r g m a n t o c p l i t zo p e r a t o r s ：r a d i a lc o m p o n