自考高等数学(工本)讲稿.pdf

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cos cot sin 4 tancot1 i 5 sincsc1 6 cossec1 7 22 sectan1 8 22 csccot1 三角公式其它重要公式 sinsincoscossin coscoscossinsin tantan tan 1tanan sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 1 sin sincoscos 2 1 cos coscoscos 2 1 sin cossinsin 2 2 2tan sin22sincos 1tan 222 2 2 2 cos2cossin2cos1 1tan 12sin 1tan 2 2tan tan2 1tan 1cos sin 22 2 1cos cos 22 1cos1cossin tan 21cossin1cos 2 1cos2 sin 2 2 1cos2 cos 2 二 极限 1 无穷小 极限为 0 的变量称为无穷小 运算法则 1 有限个无穷小相加是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 有极限的变量与无穷的乘积是无穷小 常数与无穷的乘积是无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小 2 无穷小与函数极限的关系 0 lim xx f xAf xAxf xAx 3 极限存在准则 1 夹逼准则 nnn xyz 2 单调有界准则 4 两个重要极限 1 0 sin lim1 x x x 0 2 x sintanxxx 2 1 0 lim 1 x x xe 5 无穷小的比较 1 是比 高阶的无穷小 iff lim0 2 与 是同阶无穷小 iff lim 0 C C 3 与 是等价无穷小 iff lim1 4 是 的 k 阶无穷小 iff lim 0 k C C 5 11 个重要的等价无穷小 sin xx arcsin xx tan xx arctan xx 2 1 1 cos 2 xx 3 1 tansin 2 xxx 1 lnax x a1 x ex log a 1 ln x x a ln 1 xx 11 1 1 n x xxx n 6 等价无穷小替换 若 且limAor 则limlim 例 3 0 tansin lim sin 2 x xx x 三 连续函数 1 定义 0 0 lim xx f xf x 或 左 右连续 0 lim0 x y 2 间断点 第一类间断点 跳跃型 可去型 第二类间断点 无穷型 振荡型 3 闭区间连续函数的性质 1 最大最小值定理 有界定理 2 介质定理 在闭区间上连续的函数必须取得介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何值 零点定理 3 导数与微分 一 导数的定义与几何意义 0 00 0 00 0 limlimlim xxxx 0 f xxf xf xf xy fx xxx x 求导函数 0 lim x f xxf x fx x 左右导数 导数 连续 几何意义 切线低斜率 二 求导数法则 1 四则运算 u xv xu xv x u xv xu x v xu x v x 2 0 u xu x v xu x v x v x v xvx 2 反函数的导数 1 fx y 3 复合函数求导 fxfxx 或 dfdfdu ux dxdu dx 4 基本求导公式 0C 1 xx ln xx aa a xx ee 1 log ln a x xa 1 ln x x sin cosxx cos sinxx 2 sec tan xx cot 2 cscxx sec tan secxx x csc cotcscxxx 2 1 sin 1 x arc x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 1 carc ot x 三 高阶导数 1 1 nn n d yddy dxdxdx n 基本公式如下 sin sin 2 n n xx cos cos 2 n n xx 1 1 ln 1 nn n n x x 莱布尼兹公式 0 n nn kk k u xv xuxvx 四 隐函数求导 关键是抓住是对什么变量求导 认清谁是函数 例 求0 xy xyee 2 2 dy d y dx dx 对数求导法 3 2 1 1 4 x xx y xe sinx yx 1 五 参数方程确定的函数求导 xx t dydy dty t yy tdxdt dxx t 例 sin 1 cos xa tt yat 求 2 2 dy d y dx dx 六 函数的微分 1 定义 00 yf xxf xAxox Ax 称为线性主部 记为 dy 2 与导数关系 可微 iff 可导 dyfx dx 3 微分基本公式与运算法 由求公式直接得到 如 1 ln dxdx x d uvvduudv 2 uvduudv d vv 4 微分形式不变性 u 可为任意变量或中间函数 dyf u du 如 sin 21 cos 21 21 dxxdx 七 微分中值定理 1 罗尔定理 若 f xC a bD a b 且 f af b 则 a b 使 0f 2 拉格朗日中值定理 若 f xC a bD a b 则 a b 使 f bf a f ba yfx 3 柯西中值定理 若 f x g xC a bD a b 且 xa b 0g x 则 a b 使 ff bf a gg bg a 八 洛必达法则 七种未定式 0 0 0 1 0 0 0 例 2 0 tan lim tan x xx xx 0 lim x x x 九 泰勒公式 若 f x在含有 0 x的某开区间内具有直到 n 1 阶的导数 则当在 a b 时 f x可以表示成 0 xx 的 n 阶多项式与一个余项 n R x之和 其中 介于 x 和 0 x之间 1 1 0 00000 1 nn nn fxf f xf xfxxxxxxx nn 拉格朗日余项 1 1 0 1 n n n f R xxx n 皮亚诺余项 0 n n R xo xx 2 常用的麦克劳林公式 1 1 1 nx xn xe exx nn 01 极小 求最值 3 判定函数的凸性 求拐点 上凸 0fx 下凹 3 不定积分 一 定义与基本公式 1 若 则 F xf x f x dxF xCF x dxF xCdF xF xC 2 基本积分公式 kdxkxC 1 1 1 1 x dxxC 1 lndxxC x 2 1 arctan 1 dxxC x 2 1 arcsin 1 dxxC x 0 1 ln x x a a dxC aa a xx e dxeC sincosxdxxC cossinxdxxC 2 sectanxdxxC 2 csccotxdxxC sec tansecxxdxxC csc cotcscxxdxxC tanln cosln sec xdxxCxC cotln sinln csc xdxxCxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdxxxC 22 11 arctan x dxC aaax 22 11 ln 2 ax dxC aaxxa 22 11 ln 2 ax dxC aaxax 22 1 arcsin x dxC a ax 22 22 1 lndxxxaC xa 二 换元积分法 一 第一类换元法 fxx dxfx dxFx C F xf x 设 例 1 11 11 xx x ee dxdx ee x 2 1 2 1 1 x x edx x 3 1 2321 dx xx 有理化 4 1 1 cos dx x 2 1 cos2cos 2 x x 5 25 sincosxxdx 6 cos3 cos2xxdx 7 4 sin2 4cos x dx x 求 8 2 cosdx 2 1 4arcsin 2 dx x x 9 1 1 ln dx xx 常见的 12 种凑微分形式 1 1 f axb dxf axb d axb a 2 1 1 nnnn f axb xdxf axb d axb na 1 2 3 xxxx f e e dxf e de 4 2 11 dx1 ffd x xx x 5 ln ln ln dx fxfx d x x 6 2 dx fxfx x dx 7 sin cos sin sinfxxdxfx d x 8 cos sin cos cosfxxdxfx d x 9 2 tan sec tan tanfxxdxfx d x 10 2 cot csc cot cotfxxdxfx d x 11 2 arcsin arcsin arcsin 1 fx dxfx dx x 12 2 arctan arctan arctan 1 fx dxfx dx x 二 第二类换元法 1 t x f x dxftt dt 1 三角代换 2 ax 2 2 ax 2 22 xa 例 32 4xx dx 2 根式换元 例 5 2 1 x dx x 1 1 x dx e 3 1 1 dx xx 3 倒变换 例 7 1 2 dx x x 42 1 1 dx xx 三 分部积分法 分解复杂度 u x dv xu x v xv x du x 1 例 kx n P x a dx sin n P xaxdx cos n P xaxdx cosxxdx 2 arcsin n P xxdx arctan n P xxdx ln n P xxdx 例 arctan xdx ln xdx 3 sin kx eaxb ddxcos kx eaxb xsin ln x dx 例 2 2 arctan arctan1 1 xx dxxdx x 分部积分法的推广公式及表格法表示 设 有 n 1 阶连续导数 则 uu x vv x 1 1 2 3 1 1 1 nnnnnnn uvdxuvu vu vu vuvdx u的各阶导数 u u u u 1 n u 1 n v 的各阶 原函数 1 n v n v 1 n v 2 n v v 四 有理函数积分 1 真分式与假分式 例 3 22 11 11 xx x xx 2 多项式在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积 Q x 22 0 Q xb xaxbxpxqxrxs 3 12 1 AP xAA Q xxaxaxa 12 1 B BB xbxbxb 1122 2212 M xNM xNM xN xpxqxpxqxpxq 1122 2212 R xS R xSR xS xrxsxrxsxrxs 怎样求系数 先通分 利用分子相等 有两种方法 1 待定系数法 2 赋值法 例 22 1111 1 1 1x xxxx 4 积分 被积函数分解后 只有三种形式 多项式 n A xa 2 n MxN xpxq 2222 nn MxNMtb dxdtdt xpxqtata 2 n 2 22122122 2 1 nn dxxx nd xaxaxa n x 2 22122122 1 2 1 nn xa nd xaxaxa n x 即 1 2221 1 23 2 1 n n x n InI anxa 有理函数的原函数都是初等函数 5 可化为有理函数的积分 1 sin cos fxx d x 由于 2 2tan 2 sin 1tan 2 x x x 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 x x x 令 tan 2 x ux 第二类换元法 根式代换 11 1 dx xx 注意分母根式内是二次式 先配方 12 2 cosxxdx 降次 分部 13 分部 14 cos ax ebxd x 1 x dx e 根式代换 15 22 1 dx xx 倒变换或三角代换 3 16 22 5 dx ax 2 三角代换 17 42 1 dx xx 倒变换或三角代换 18 sinxxdx 19 2 ln 1 xdx 分部 20 2 3 sin cos x dx x 提示 23 22 422 tansecsecsec sincossin sin cos 1 sin xxxx xxx dxdx xx 21 arctanxdx 代换 分部 22 1 cos sin x dx x 用升公式开方 分类 23 3 82 1 x dx x 凑入 1 有理函数积分 2 三角代换更好 24 11 84 32 x dx xx 凑入 25 4 16 dx x 直接可裂项 26 sin 1 sin x dx x 2 2 2 2 2cos1 cos 2 21 cos 2cos 2 sin 1 sin tan sectan cos t t tdt t t xx dxxxx dx x dt 27 sin 1 cos xx dx x 2 2 2sincos sin 22 2sec 1 cos1 cos222 2cos 2 xx xxxxx dxdxddx x xx 28 3 sin 2 cossin cos xx xx edx sinsin sec xx x xdeedx 分部 29 3 3 x dx xxx 30 2 1 x dx e 1 x t e 31 3 42 1 xx xx ee dx ee 提一个 x e凑入 32 2 1 x x xe dx e 2 1 1 1 x xx e ee 33 2 ln 1 xx dx 两次分部 34 2 3 2 ln 1 x dx x 2 3 2 2 1 1 1 x d x x 35 2 1arcsinxxdx sinxt 降次 分部 36 3 2 arccos 1 xx dx x 32 cos cos 1 sin sinxtt tdtt tdt 37 cot 1 sin x dx x cos sin 1 sin x dx xx 凑入 有理 38 3 sincos dx xx 同乘cosx 代换 倒变换 39 2cos sin dx xx 同乘sinx 凑入 有理 或直接有理 40 sin cos sincos xx dx xx 2 1 sincos 1 2sincossincos 2sin 4 xxdxdx dx xxxx x 41 cos sincos x dx xx 1 cossin cossin 2sincos xxxx dx xx 4 定积分及应用 一 定积分的概念与性质 1 dx1 定义 0 1 lim n b ii a i Sfxf x b y f x a x y 2 存在定理 1 若 f xC a b 则 f x在 a b 可积 2 若 f x在 a b 有界 且只有有限个间断点 则 f x在 a b 可积 3 定积分的几何意义 表示介于 x 轴 f x曲线 两条直线xa 和xb 之间各部分面积的代数和 4 定积分的性质 1 规定 0 a a f x dx ba ab f x dxf x dx 2 线性性 1212 bb aa k f xk g x dxkf x dxkg x dx b a 3 bcb aac f x dxf x dxf x dx 对区间的可加性 4 当被积函数为 1 时 表示积分区间的度量 b a dxba 5 若在 a b 上 则 若在 a b 上 0f x 0 b a f x dx f xg x 则 bb aa f x dxg x dx 由此有 bb aa f x dxf xdx 6 设 M 和 m 是 f x在 a b 上最大值和最小值 则 b a m baf x dxM ba 估值定理 7 若 f xC a b 则 a b 使 b a f x dxfba 积分中值定理 例 设 f x可导 且 2 3 limsin x xx tf t t dt 二 积分上限函数及性质 1 x a xf t dt x a d xf t dtf xaxb dx 更一般的 有 h x x f t dtf h xh xfxx 例 求 21 cos 2 0 lim t x x edt x 2 牛顿 莱布尼兹公式 若是连续函数 F x f x在 上的一个原函数 则 a b b bb aa a f x dxF xF xF bF a 三 定积分的换元积分法 1 定理 1 f xC a b 2 xt 在 上有连续导数 3 当 t 在 上变化时 xt 在 上变化 且 a b a b 则 b a f x dxftt dt 说明 当引入新变量时 必须 1 算微分 2 重新计算上下限 例 1 35 0 sinsinxxdx 开方分段 4 5 2 3 4 ln 1 ln e e dx xxx 3 4 2 ln 2 1 ln e e dx x 6 3 220 1 a dx xax a 0 2 0 1sincoscossin 2sincos tttt dt tt 4 4 f xa a 若 f x为偶函数 则 0 2 aa a f x dxf x dx 若 f x为奇函数 则 0 a a f x dx 如 2 1 2 1 arctan 1 xxx dx x 2 2 6 则 a 0 1 f xC 2 2 00 sin cos fx dxfx dx b 00 sin sin 2 xfx dxfx d x 如 2 0 sin 1 cos xx dx x 2 4 c 2 00 sin 2 sin fx dxfx dx 7 若 f x的周期是 T 则 0 a TT a f x dxf x dx 四 定积分的分部积分法 1 公式 bb b a aa udvuvvdu 例 证明积分公式 2 2 00 131 22 2 sincos 132 23 nn n nn n nn Ixdxxdx nn n nn 为偶数 为奇数 例 1 2 5 0 sin xdx 2 6 0 cos 2 x dx 3 2 432 2 cos sin sinxxxd x 五 反常积分 1 无穷限的反常积分 lim t aat f x dxf x dx lim bb tt f x dxf x dx 00 00 lim lim t ttt f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 2 无界函数的反常积分 瑕点 lim bb at ta f x dxf x dx lim bt aa tb f x dxf x dx lim lim bcbtb aacat tctc f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 例 1 220 a dx ax a 0 2 2 1 2 1 1 dx x 六 定积分在几何中的应用 一 求平面图形的面积 1 直角坐标系下平面图形的面积 四种情形 注意面积元素的选取方式 例 计算由曲线 2 2yx 和直线4yx 所围成的图形的面积 18 2 曲边梯形的曲边为参数方程时的情形 xx t yy t 22 11 btt att Aydxy t dx ty t x t dt 其中 12 ax tbx t 例 1 求椭圆 22 22 1 xy ab 的面积 2 3 8 2 求星形线围成的面积 求 1 4 3 3 3 cos 0 sin xax a yax 2 a 3 极坐标的情形 2 1 2 dAd 所以 2 1 2 Ad 二 求体积 1 平行截面面积为已知的文体的体积 VA b a x d x dxdydx d 2 旋转体的体积 Vf V Vx 2 b a x 2 d c y 2 b a f x 例 求曲线 2 4yx 及0y 所围成的图形绕3x 旋转构成的旋转体的体积 64 三 求平面曲线的弧长 22 dsdxdy 1 直角坐标系 2 1 dsfxdx 2 参数方程的情形 22 dsx ty tdt 3 极坐标的情形 22 dsrrd 第一章 空间解析几何与向量代数 1 空间直角坐标系 一 几个概念 1 空间直角坐标系 x 轴 y 轴 z 轴 横 纵 竖轴 2 卦限 3 空间点的坐标规定 利用三个坐标面的交点 4 坐标轴上与坐标平面上点的坐标特征 二 空间中两点间的距离公式 记的空间直角坐标为 则 12 P P 11112222 P x y zP xyz 22 12121212 PPxxyyzz 2 2 向量代数 一 向量的概念 1 向量与标量 数量 大小与方向 向量可用有向线段表示 如AB 一般是自由向量 2 向量的模 AB 或 零向量一般记作 0 3 向量相等 长度相等并且方向相同 注意不强调起点 自由向量 4 共线 共面 起点 终点在同一条直线或面上 平行 方向相同或相反 二 向量的加法 1 加法 OA 2 减法 OA OBOC OBBA 1 3 运算法则 向量加法 1 交换律 2 结合律 三 向量与数的乘法 数乘 拉伸 变向 1 运算律 1 结合律 2 对数量加法的分配律 3 对向量加法的分配律 例 化简 3 2 43 3abababab O B A C O A C O B A C O B A 4 单位向量 的单位化向量 0 四 向量的投影 A B uA uB u Prju BA ABuu 有 Prj cos uAB AB 其中 是与uAB 的夹角 范围为 0 投影的性质 2 1 Prj PrjPrj uuu u 2 Prj PrjPrj uu 3 Prj Prj uu 五 向量的坐标 1 基本单位向量 分别与 x y z 轴同方向的单位向量 i j k 向径OM的坐标 由向量在三个坐标轴上的投影定义 OM OM aibjck 的分解式 OM 2 向量线性运算的坐标表示 记 123 a a a 123 b b b 1 112233 ab ab ab 112233 ab ab ab 2 123 aaa 3 的坐标表示 312 12 aaa bbb3 4 向量 123 a a a 与 x 轴 y 轴 z 轴夹角 的余弦 称方向余弦 由 11 1 222 123 Prj coscos x aa a aaa 同理 2 222 123 cos a aaa 3 222 123 cos a aaa 因此有 cos2 22 coscos1 3 数量积与向量积 一 数量积 结果为数量 1 数量积的概念与性质 cos ii 是 与 的夹角 Prj Prj i 易得 2 i 注意使用该公式 长度化为向量数量积 运算律 1 交换律 ii 2 结合律 iii 3 分配律 iii 向量垂直与数量积关系 0 i相互垂直 2 数量积的坐标表示 设 123 a ia ja k 123 bib jb k 则 1 1223 3 aba ba b i 向量垂直的坐标表示 向量的夹角余弦 1 1223 3 0aba ba b 1 1223 3 222222 123123 cos aba ba b aaabbb i 例 已知点 A 1 1 1 B 2 2 1 C 2 1 2 求直线 AB 与 AC 的夹角 3 二 向量积 结果为向量 1 概念及性质 大小定义为 sin i 是 与 的夹角 方向定义为 垂直于 与 确定的平面 方向由 到 的右手法则确定 几何意义 表示以 和 为边的平行四边形面积 3 运算律 1 反交换律 2 结合律 3 分配律 向量平行 0 2 向量积的坐标表示 231312 123 231312 122 ijk aaaaaa aaaijk bbbbbb bbb 4 空间中的曲面和曲线 一 曲面方程 1 曲面方程的引入 定义 给定曲面 S 和三元 若 1 S 上的点都满足方程 0F x y z 0F x y z 2 满足 0F x y z 的点都在 S 上 称方程是曲面 S 的方程 S 称为方程表示 确定 的曲面 0F x y z 例 1 建立球心在点 0000 Mxyz 半径为 R 的球面方程 解 设 M x y z是球面上任一点 则 0 MMR 即 222 000 xxyyzzR 化简可得 222 000 2 xxyyzz R 0 1 研究方程所代表曲面的形状与性质 222 222481xyzxy 两个问题 1 已知曲面作为满足某些条件的点集 求曲面方程 2 已知曲面方程 研究曲面形状 例 2 方程的图形是怎样的 截痕法 22 1 2 zxy 例 3 判断方程 22 1zx y表示曲面的形状 曲面关于坐标平面对称的判定方法 设曲面方程为 0F x y z 关于对称 0z F x yzF x y z 其它类似 例 4 研究曲面关于坐标平面的对称性 2 2zxy 2 2 旋转曲面 定义 平面曲线 C 绕它所在平面的一条直线 L 旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面 C 称为母线 L 称为 旋转轴 结论 1 绕 y 轴旋转 0f y z 22 0f yxz 绕 z 轴旋转 0f y z 22 fxyz 0 2 绕 x 轴旋转 0f x y 22 0f xyz 例 1 直线绕 z 轴旋转的旋转面方程 0zay a 22 zaxy 即 圆锥面 2222 zaxy arccota 称为半顶角 2 绕 z 轴 旋转抛物面 2 0zaya 22 za xy 3 母线平行于坐标轴的柱面方程 定义 平行于定直线 L 并沿定曲线 C 移动的直线 l 所生成的曲面称为柱面 动直线称为母线 曲线称为准 线 柱面方程特征 准线为 母线与 z 轴平行 0F x y 0F x y 准线为 母线与 y 轴平行 0G x z 0G x z 准线为 母线与 x 轴平行 0H y z 0H y z 例 判断下列方程所表示的曲面 1 22 22 1 xy ab 2 2 2ypx 3 22 1xz 4 1z 5 1yz 二 空间中的曲线方程 1 空间曲线的一般方程 空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线 0 0 F x y z G x y z 该式称为空间曲线的一般方程 例 判断下列曲线的形状 4 5 1 1 2 222 222 1 1 1 xyz C xyz 22 22 1 0 zx C xyx y 2 空间曲线的参数方程 xx t yy t zz t 称为空间曲线的参数方程 例 讨论 cos sin xa ya zk 所表示的曲线 螺旋线 三 空间曲线在坐标面上的投影 过程 空间曲线 投影柱面 投影曲线 例 求空间曲线在平面 0 0 F x y z G x y z xoy上的投影方程 1 消去 z 得投影 柱面方程 2 得投影方程 0H x y 0 0 H x y z 例 求曲线 222 1 1 2 xyz z 在坐标面上的投影 5 空间中的平面与直线 一 平面方程 1 平面的点法式方程 过定点且垂直于非零向量 0000 P xyz nA B C 可确定唯一平面 记平面 上 任一点 则 即 P x y z 0 n P P i 0 A x 000 xB yy C zz0 n称法向量 将上式展开 令 则 00 By 0 Cz DAx 0zD AxByC 称为平面的一般方程 注意 平面方程的系数可重构平面的法向量 例 已知平面 经过三个点 1 1 1 1 P 2 2 1 2 P 3 3 3 1 P 求 的方程 提示 1 用点法式 关键是求法向量 用向量积 2 用一般式 待定系数法 236xyz 0 2 特殊位置的平面方程 针对 0AxByCzD 1 D 0 过原点 2 A 0 平行 x 轴 其它类似 3 A B 0 平行于 xoy 平面 其它类似 4 当 A B C D 均不为零 平面方程可化为 1 xyz abc 称为截距式方程 3 两个平面的夹角 给定平面 11111 0A xB yC zD 法向量 111 nA B C1 22222 0A xB yC zD 法向量 222 nA B C2 定义两平面夹角为锐角 则 12121212 222222 12 111222 cos n nA AB BC C nn ABCABC i i i 平面间的关系通常归结为各自法向量之间的关系 1 1 与 2 垂直 iff 121212 0A AB BC C 2 1 与 2 平行 iff 11 22 ABC ABC 1 2 例 已知平面 经过点 1 1 1 并且与给定的平面3220 xyz 平行 求平面 的方程 例 给定平面 及点 求点到0AxByCzD 0000 P xyz 0 P 的距离 d 提示 设垂足为 111 M x y z 利用 点 M 在平面上可求出 0 n MPnMP ii 0 000 222 AxByCzD d ABC 二 直线方程 1 直线方程的三种形式 1 直线的对称式方程 定点 方向向量 0000 P xyz vl m n 直线上任一点 则有 P x y z 000 xxyyzz lmn 对称式方程 2 直线的参数式方程 令 t 解出有 0 0 0 xxlt yymtt zznt 3 直线的一般式方程 直线可看作两不平行的平面的交线 1111 2222 0 0 A xB yC zD A xB yC zD 2 两条直线的夹角 规定 取锐角 设直线 1 L的方向向量为 1111 vl m n 直线 2 L的方向向量为 2222 vl m n 则 121 21212 222222 12 111222 cos v vl lm mn n vv lmnlmn i i i 由此易看出平行和垂直的条件 例 求直线与 1 21 21 xyz L zyz 0 0 2 10 21 xyz L zyz0 的夹角 3 直线与平面的夹角 规定直线与平面的夹角 1 当 L 与 垂直时 2 2 当 L 与 不垂直时 是 L 与它在 上的投 6 影直线的夹角 此时 L 0 2 表示的曲面称为椭球面 其中 xayb zc 1 对称性 面对称 2 图形描述 利用去截椭球面观察截线变化 zh 3 特殊情况 abc 球面 ab 绕 z 轴旋转的旋转椭球面 其它类似 椭球面标准方程 22 000 222 1 xxyyzz abc 2 二 椭圆抛物面 22 22 0 0 xy zab ab 1 对称性 x 0 y 0 2 图形描述 用 z h 去截 截痕法 顶点 3 特殊性 a b 旋转抛物面 22 2 xy z a 相当于 2 2 x z a 绕 z 轴旋转得到 椭圆抛物面标准方法 22 0 22 0 0 b xy zza ab 例 讨论图形 1 22 22 xy z ab 2 22 22 xz y ab 三 椭圆锥面 方程 22 2 22 0 0 xy za ab b 上下开口 原点称为椭圆锥面的顶点 当 a b 时称为圆锥面 四 单叶双曲面 222 222 1 xyz abc 五 双叶双曲面 222 222 1 xyz abc 8 第二章 多元函数的微分学 1 多元函数的基本概念 一 平面点集 平面中某些点所构成的集合称为平面点集 平面点集通常用二元不等式表示 1 邻域 给定点 0000 P xyz 22 00 UPx yxxyy 0 称为点的 0 P 邻域 若 点不包含在邻域内 则称该邻域为点的去心邻域 记作 0 P 0 P 0 o UP 2 区域 在平面上由一条或几条曲线围成并且连成一片的点集称为区域 这些曲线称为该区域的边界 边界上的每个点称为区域的边界点 若区域含边界 则称为闭区域 否则称为开区域 例如 是区域 22 14 x yxy 0 使得 D 内任何点到原的距离都小于 M 则称这个区域为有界区域 否则称 为无界区域 二 二元函数 设 D 为 R2的非空子集 平面点集 R 为实数集 若 f 为 D 到 R 的一个映射 即对于 D 中 的每一点 x y 通过 f 在 R 中存在惟一的实数 z 与之对应 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 记为 其中 x y 称自变量 z 称为因变量 D 称为 f 的定义域 记为 zf x yx yD f D ff Zzf x yx y D 称为值域 注意 二元函数在几何表示空间中的一个曲面 如 2 zxy2 表示旋转抛物面 三 多元函数的构造 1 多元函数的四则运算 类似一元函数中基本初等函数的四则运算 注意此时函数的定义域是各自函数定义的交集 例 求函数 22 2 rcsin 3 ax f x y xy y z 的定义域 2 多元函数的复合运算 1 则 uf v vg x y uF x yf g x y 2 wf u v ux y vx y z 则 wF x y zfx y zx y z 如 wvu uxyz vxyz 3 zf u v w ut vt wt 则 zF tfttt 如 2 sin cos w zuvut vt wt 4 部分复合 则 zf x u ug x y zF x yf x g x y 如 sin x zux u y 例 已知函数 2 2 xy f x y xy 求 1 x f y 1 2 2 例 设 2 f xy xyxy 求 f x y 初等函数 设有若干个不同的变量 由它们各自的一元基本初等函数出发 经过有限次的加 减 乘 除运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数 3 隐函数 若 能解出 则称由该方程确定了一个隐函数 称为显函数 同理类似 0F x y 0 yy x yf x F x y z 四 多元函数的极限 0 0 lim xx yy f x yA 或 00 lim x yxy f x yA 称二重极限 例 求下极限 P59 1 2 0 1 1 lim x y 2 xy xy 2 0 1 2 lim arcsin x y xy 3 22 22 0 0 sin2 lim x y xy xy 4 0 0 24 lim x y xy xy 例 证明极限 22 0 0 lim x y xy xy 不存在 五 多元函数的连续性 定 义 设 二 元 函 数 f x y的 定 义 域 为 f D 000 P xy是 f D的 聚 点 且 0f PD 如 果 0 0 0 lim xx yy 0 f x yf x y 则函数 f x y在点 0 y 00 P x连续 否则称为间断 结论 函数经加 减 乘 除 分母不为 0 运算得到的函数仍是连续函数 最小值 大最小值之间的任何值 函数的定义域 并作出定义域的图形 1 1 连续 2 连续函数与连续函数的复合运算得到的函数仍是连续函数 3 初等函数在其有定义的区域内连续 4 有界闭区域上的连续函数一定有最大 5 有界闭区域上的连续函数一定能取到介于其最 习题 2 1 2 求下列 zx y 2 2 ln 21 zyx 3 22 22 xy z xy 4 xy z xy 2 偏导数与全微分 一 偏导数的概念 在点设二元函数 x zfy 00 xy的某个邻域内有定义 则 关于 x 的偏增量 0 关于 y 的偏增量 函数在点 000 xz f xx yf xy 0000 yz f xyyf xy zf x y 00 xy对 x 的偏导数定义为 000 0 lim x 0 f xx yf xy x 也记作 0 00 000 00 0000 x x xxxx xy y yx xx x y yy y zf fxyzxyzz xx 注 1 偏增量与全增量不同 000 zf xx yyf xy 0 2 00 x fxy的意义 沿 0 yy 平面的变化率 3 由定义可求偏导函 1 xxx zf fx yff z xx 4 可推广到多元函数求偏导函数 例 求函数在点的两个偏导数 23 3zxxyy 1 2 例 求函数 222 uxyz 的偏导数 例 设 22 22 22 0 0 0 xy xy xyf x y xy 求在点 0处的两个偏导数 0 习题 2 2 2 求下列函数的偏导数 1 2 3 zx yxy 3 3 3 31 ln5z yx 3 xy zxe 4 xy z xy 5 arctan y z x 6 7 8 2 sin cos zxyx y 222 sin uxyz y z ux 3 设函数 2 2 f x yxyxy 求 3 4 x f 4 设函数 1 yf x yxy 求 1 1 y f 7 设函数 ln f x yxy 证明此函数满足等式 1 2 ff xy xy 二 高阶偏导数 函数在区域D内有偏导数 zf x y x z fx y x y z fx y y 如果这两个偏导函数在D内仍有偏导 数 则称它们的偏导数为 f x y的二阶偏导数二阶偏导数 二阶偏导数共有四种 2 2 z x 2 2 z y 2z x y 2z y x 其 中 2z z x yx x 可记为 xy fx y 11 fx y或 xy z 2z x y 和 2z y x 称为二阶混合偏导数二阶混合偏导数 二阶和二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数 3 定理 1 如果函数 f x y的两个混合偏导数 2z x y 及 2z y x 在区域 D 连续 则在该区域内这两个混合偏导 数必相等 即 2z x y 2z y x 例 1 求函数的所有二阶偏导数 32 3zxx yy 3 例 2 2 2 8 设函数 22 uxyz 2 证明此函数满足等式 222 222 2uuu xyz u 三 全微分 定 义 设 二 元 函 数在 点 zf x y x y zA 某 邻 域 中 有 定 义 其 全 增 量 为 可以表示为 zf xx yy f x y xB yo 其中 A B 不依赖于 xy 仅与 x y 有关 22 xy 则称函数 f x y在点 x y处可微 并称为此函数在点A xB y x y处的全微分 记为 dz 可以证明以下几个结论 1 若函数 f x y在点 x y可微 则 zz dzdxdy xy 2 若函数 的两个偏导数在点 zf x y x y处连续 则函数 f x y在点 x y可微 3 在点 x y 可微 偏导存在 可微 连续 连续与偏导存在没有关系 偏导存在 偏导连续 可微 例 1 P64 求函数 2 x zf x y y 在点 1 2 处 当0 02x 0 01y 时的全增量与全微分 例 2 2 2 9 求下列函数的全微分 1 x zxy y 2 3 22 ln 1 zx y x zy 4 yz ux 3 复合函数与隐函数的偏导数 一 复合函数的偏导数 定理 如果函数和在点 uu x y vv x y x y的偏导数存在 函数 zf u v 在对应点可微 则复合函数在点 u v zf u x y v x y x y的偏导数 z x z y 存在 且有链式法则 zfufv xuxvx 和 zfufv yuyv y 4 理解关键点 项数由 f 是几元函数确定 求偏符号当函数为一元函数时应改为求导符号 几种情况的分析 1 中间变量多于两个 zf u v w uu x y vv x y ww x y 则 zfufvfw xuxv xwx 和 zfufvfw yuyv ywy 2 中间变量只有一个 zf u 则 uu x y zdfuu f u xduxx 和 zdfuu f u yduyy 3 自变量只有一个 uu x vv xzf u v 则 dzf duf dv dxu dxv dx 全导数 4 中间变量与自变量混合出现 zf x y t xx s t yy s t 则 zfxf sxsy y s 和 zfxfyf txtyt t 例 1 对于复合函数 求 v zu ux vx dz dx 例 2 对于复合函数 vx 2 lnzuv uxy y 求 zz xy 例 3 对于复合函数 求 u ze 2 sinuxy zz xy 例 4 设函数 wF x y z zx y 都可微 求复合函数 wF x yx y 的偏导数 例 5 设 f 是可微的二元函数 求的全微分 dz 22 zf xy xy 习题 2 3 2 求下列复合函数的偏导数及全微分 其中 f 是可微函数 1 22 xy zf xye 2 11 zfxy yx 3 y zf xy x 4 设 其中 F 是可微函数 证明 zyF u 2 uxy 2 zz yxx xy 5 设函数f有二阶连续的导数或偏导数 求下列函数的二阶偏导数 1 2 22 zf xy zf xy xy 3 2 x zfx y 5 二 隐函数的偏导数 定理 1 设二元函数在点 F x y 00 xy的某邻域中有连续的偏导数 且 00 0 y F xy 00 0F xy 则方程在点 F x y 0 0 0 xy的某邻域中可唯一确定具有连续导数的隐函数 使得 yf x 00 yf x 并有 x y Fdy dxF 左右同时对 x 求导可得 2 设二元函数在点 F x y z 000 xyz的某邻域中有连续的偏导数 且 000 0 z F xyz 则方程在点 000 F xyz 0 F x 0y z 000 xyz的某邻域中可唯一确定具有连续导数的隐函数 使得 并有 zf x y 0 zf 0 xy0 x z Fz xF y z F z yF 在方程左右两端同时对 x 或对 y 求 导可得 例 1 给定方程 求由此确定的 z 为 x y 的函数的偏导数2 xyz eze 0 zz xy 习题 2 3 6 求下列由方程所确定的隐函数的导数或偏导数 1 设lnxyy a 求 d