（固体力学专业论文）结构拓扑优化设计密度惩罚法与水平集法.pdf

山东建筑大学硕士学位论文 摘要 连续体结构拓扑优化设计是目前结构优化研究领域的一个热点，它能使结构材料得 到充分利用、结构内力分布更合理，从而大大减轻结构重量、改善结构性能，给工程带 来直接的经济效益。因此，利用拓扑优化方法设计工程结构，可以提高工程设计的科学 性和准确性，有着重要的意义。 本文采用有限元分析技术、利用密度惩罚法和水平集拓扑优化方法，实现了对工程 中常见的梁结构模型的拓扑优化，研究内容主要包括： 1 通过建立基于密度惩罚插值的优化模型、研究了密度惩罚优化算法，并结合 m a t l a b 编程实现了短悬臂梁、m b b 梁、m i c h e l l 型结构和吊车梁等模型结构的拓扑优化 设计及分析； 2 概述了水平集算法的基本原理和概念、h a m i l t o n - j a c o b i 方程的数值计算方法和过 程及水平集演化实现方法和过程，为相应水平集优化方法研究奠定了基础； 3 研究了水平集方法优化模型及优化问题的解法，结合m a t l a b 编程实现了对悬 臂梁等结构模型的优化设计，并对密度惩罚法和水平集法的优化结果进行了对比分析， 得到了一些具有工程价值的结论。 密度惩罚法是对均匀化方法的进一步改进，它减少了设计变量的数量、程序实施简 单、计算效率高，是目前结构优化方法研究的主流之一，但其依然存在棋盘格、灰度单 元等数值不稳定现象，而且最终得到的拓扑结构不仅与惩罚因子有关，而且与网格划分 有关。 本文利用水平集方法有效地解决了密度惩罚法存在的数值不稳定现象，解决了以往 算法中不能解决的拓扑结构变化问题，具有跟踪拓扑结构变化、优化边界清晰光滑等优 点。算例表明了本方法的可行性和有效性。因此，应用改进的水平集法进行结构拓扑优 化设计是一个有价值的研究方向。 关键词：结构拓扑优化，密度惩罚法，水平集法，棋盘格现象 山东建筑大学硕士学位论文 s o l i dl s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o na n dl e v e ls e tm e t h o di n s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g n l i nz h a n j u n ( s o l i dm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yl ux i a o y a n g a b s t r a c t c o n t i n u u ms t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g ni sah o tr e s e a r c hf i e l d ，w h i c h e n a b l e sm o r ee c o n o m i c a lu s eo fs t r u c t u r a lm a t e r i a l s ，a n ds t r e s sd i s t r i b u t i o ni sm o r er e a s o n a b l e i tc a ng r e a t l yr e d u c et h es t r u c t u r a lw e i g h ta n di m p r o v es t r u c t u r a lp e r f o r m a n c e i tb r i n g sd i r e c t e c o n o m i cb e n e f i t s t h e r e f o r e ，i ti s s i g n i f i c a n tt od e s i g ne n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sb yt o p o l o g y o p t i m i z a t i o nd e s i g n i ti m p r o v e st h ed e s i g ns c i e n t i f i c a l l ya n da c c u r a t e l y t h i sp a p e ri sa i m e da tc o m m o np r o j e c to nc o m p a r i s o no fo p t i m i z a t i o no fb e a ms t r u c t u r e ， a n di tw i l lc o m et r u eb yu s i n gs o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n ( s t m e ) a n dt h el e v e l s e tm e t h o d ( l s m ) t o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o d s i ta l s oc o m b i n e sf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ，t o a c h i e v et h er e s u l t m a i n l ys t u d i e dt h ef o l l o w i n g ： 1 i te s t a b l i s h e so p t i m a lm o d e lb a s e do ns i m p i ts t u d i e ss i m p a l g o r i t h m ，a n dc o m b i n e d w i t hm a t l a bp r o g r a m m i n go ft h es h o r tc a n t i l e v e rb e a m ，m b bb e a m ，m i c h e l l - t y p es t r u c t u r e a n dt h ec r a n eb e a m so ft h em o d e ls t r u c t u r et o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g na n da n a l y s i s ； 2 i ti l l u s t r a t e st h eb a s i c c o n c e p to ft h e l e v e ls e tm e t h o d ，h a m i l t o n j a c o b i p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，a n dt h el e v e ls e te v o l u t i o np r o c e s s ； 3 i ts t u d i e ss o m eb a s i ci d e a si ns o l v i n gt h el e v e ls e tm e t h o di nt h ec o n t i n u u mt o p o l o g y o p t i m i z a t i o n i ta l s o d i s c u s s e st h ec o n t i n u u mt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nl e v e ls e tf u n c t i o n d e s c r i p t i o n ，o p t i m i z a t i o nm o d e l ，l e v e ls e tm e t h o do ft h e o r e t i c a ld e r i v a t i o na n dn u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n e n g i n e e r i n gc o m p o n e n t so ft h eb e a ma r eo p t i m i z e db yu s i n gm a t l a b p r o g r a m m i n g i ta n a l y z e da n dc o m p a r e dr e s e a r c h e st h eo p t i m i z a t i o nr e s u l t so ft h el s mt o s i m p 1 1 山东建筑大学硕士学位论文 s i m pi sau n i f o r mm e t h o df o rf u r t h e ri m p r o v e m e n t t h ep r o g r a mb e c o m e sm a i n s t r e a mo f o p t i m i z a t i o nm e t h o db e c a u s ei tr e d u c e st h ea m o u n to fd e s i g nv a r i a b l e s ，s i m p l i f i e st h ep r o g r a m ， a n di m p r o v e st h ev a r i e t yo fc a l c u l a t i o n h o w e v e r , i ts t i l lr e m a i n st h a tc h e c k e r b o a r dp a t t e m s ， 黟a yu n i tv a l u e ss u c ha si n s t a b i l i t y i tm e n t i o n sn o to n l yt h et o p o l o g yo fp e n a l t yf a c t o r , b u t a l s ow i t ht h ei n i t i a lf i n i t ee l e m e n tm e s h ( i e m e s hd e p e n d e n c y ) a ss h o w e di n t h i sr e s e a r c hw o r k ，t h el e v e ls e tm e t h o df o rs t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o ni nt h e f i e l do fa p p l i c a t i o nh a su n i q u ea d v a n t a g e st ot r a c kt o p o l o g yc h a n g e st oo p t i m i z ea n dh a st h e b o u n d a r yc l e a rs m o o t ha n de f f e c t i v es o l u t i o nt o t h es i m pe x i s t i n gs u c ha sc h e c k e r b o a r d p a t t e r n sn u m e r i c a li n s t a b i l i t y t h u st h el e v e ls e tm e t h o d i sap r o m i s i n gr e s e a r c hd i r e c t i o nw i t h t h ea d v a n t a g eo fa ni m p o r t a n tt h e o r e t i c a lv a l u e k e yw o r d s ：s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，s o l i di s o t r o p i c m a t e r i a lw i t h p e n a l i z a t i o n ，l e v e ls e tm e t h o d ，c h e c k e r b o a r dp a t t e r n s 1 1 1 山东建筑大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位证书而使用过 的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承担本声明的法律责任。 学位论文作者签名：奎遗至 日期：2 d f o 6 勋 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它手段保存、汇编学位论 文。 保密论文在解密后遵守此声明。 学位论文作者签名：豸蔓戊鋈 日期：学位论文作者签名：而喇飞翌日期： 导师签名： 幼7 0 6 勿 山东建筑大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 拓扑优化思想在古代已有萌芽，当时的建筑工匠们将泥沙和稻草按不同比例进行简 单混合来修建不同拓扑结构形式的房屋，体现了一种原始的拓扑优化思想。我国隋代赵 州桥( 图11 ) 的设计就蕴含着原始的拓扑优化思想，古人在考虑桥体承受一定荷载的作用 下，设计出了形式最简洁、结构整体刚性最好的桥体结构。 a ) 实物蛄构图 ( b 】最优结构拓扑图 图1 1 赵州桥的实物蛄构固与最优结构拓扑分布田 近几十年来，随着计算机应用技术和有限元方法的飞速发展，结构优化设计 ( s t n 圯t u r a l o p t i m i z a t i o n d e 酊鲷) 在理论、方法和软件等方面都取得了显著的进展，为人们 进行工程结构和产品的设计最优化提供了更加先进的方法和工具，现已成为近代设计方 法的重要内容之一。结构优化设计的发展是结构力学、数学规划法、计算机科学及各个 工程学科交叉的结果，它使得工程设计的方法由被动的分析校核上升为主动的设计与优 化，因而结构优化具有更大的难度和复杂性。它不仅要用有限元等数值方法作为分析手 段，而且要面向工程设计中的各种实际问题建立优化分析模型，主要有几何模型、力学 模型和数学模型等，还要根据结构与力学的特点对数学规划方法进行必要的改进，甚至 山东建筑大学硕士学位论文 于发展独特的结构优化算法。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 结构拓扑优化设计 结构优化设计从马克斯威尔理论( m a ) ( w e l l ) 和米歇尔( m i c h e l l ) 1 】桁架出现起已有百年， 从史密特( s c h m i t ) 【2 】用数学规划法来解决结构优化设计算起亦有5 0 年历史，特别是过去 3 0 年内，在理论、算法和应用等方面都取得了长足进展。 结构优化按照设计变量的类型和求解问题的难易程度可分为尺寸优化( 尺寸变量) 、形 状优化( 形状变量) 和拓扑优化( 拓扑变量) 三个层次，分别对应于三个不同的产品设计阶 段，即概念设计、基本设计及详细设计三个阶段【3 】，如图1 2 所示。 r 一一一一一一一一一 i i i i i _ - 一一一一一一一一一i l | | i _ 眈e o p t i m i 化z a t i o n7 h 咖e o p t i m 化i z a t mh 脚o l o 槲g y o 优p t i 化m 跏0 n 图1 2 结构优化的三个阶段 尺寸优化( s i z i n go p t i m i z a t i o n ) ：在保持结构的形状和拓扑结构不变的情况下，寻求 结构组件的最佳截面尺寸以及最佳材料性能的组合关系，如优化截面的最优面积，选择 板的最佳厚度等，其设计变量容易表达，求解理论和方法更加成熟。 ( a ) 原始桁架结构( b ) 尺寸优化后的最优桁架结构 图1 3 尺寸优化示意图 山东建筑大学硕士学位论文 形状优化( s h a p eo p t i m i z a t i o n ) ：在优化结构的拓扑关系保持不变的情况下，使设计 域的形状和边界发生变化，来寻求结构最理想的边界和几何形状。形状优化在骨架结构 中表现为优化节点的最优位置，在实体结构中表现为优化结构的边界形状。目前有关形 状优化的研究已取得较大进展。 ( a ) 原始形状 图1 4 形状优化示意图 ( b ) 形状优化后的最优形状 拓扑优化( t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ) ：在一个确定的连续区域内，寻求结构内部非实体 区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式的最优化，从而使 结构在满足应力、位移等约束条件下，传递外载荷到结构支撑位置，且使结构的某种性 态指标达到最优。 ( a ) 设计空间 图1 5 拓扑优化示意图 ( b ) 最优拓扑结构 拓扑优化处于结构的概念设计阶段，它的优化结果是一切后续设计的基础。当结构 的初始拓扑不是最优拓扑时，尺寸和形状优化有可能导致次优结构的产生，因此在初始 概念设计阶段需要确定结构的最佳拓扑形式。结构拓扑优化与尺寸优化和形状优化相比 较，层次更高，具有更大的收益和更重要的工程结构领域应用前景，它是结构优化中最 为复杂的一类问题。 山东建筑大学硕士学位论文 1 2 2 连续体结构拓扑优化方法 根据优化对象的不同，结构拓扑优化可以分为两大类：一类是以桁架结构为代表的 离散体结构拓扑优化，主要确定节点间单元的相互连接方式，同时包括节点的删除与增 加；另一类是连续体结构的拓扑优化，主要是确定其内部有无空洞、孔洞的位置、数量 和形状等等，这是本文研究的重点。连续体结构拓扑优化设计由于优化模型描述困难和 数值优化计算量大，其发展相当缓慢。随着计算机技术的发展，大规模数值计算成为可 能，各种拓扑优化方法也相继出现，主要包括均匀化方法、密度惩罚法、独立连续映射 法、渐进结构优化方法、冒泡法、拓扑导数法以及水平集方法等。 均匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d s ) 是由b e n d s o e 和k i k u c h i 4 】于1 9 8 8 年提出来的， 它的提出标志着连续体结构优化的研究进入了一个崭新的阶段，成为目前应用较为广泛 的一种物理描述方法，以结构柔顺度最小为目标函数、结构体积为约束条件的连续体结 构优化设计模型由此建立。均匀化方法是在均质基体材料中引入某种形状的材料或孔洞， 构成周期性密布的微结构( 如图1 6 ) ，微结构的形式和尺寸参数决定了宏观材料在此点的 弹性性质和密度等宏观属性，优化过程中以微结构的几何尺寸为拓扑设计变量，通过改 变微结构的尺寸实现其有无，并产生由中间尺寸构成的复合材料微结构，拓展了设计空 间，实现了拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一和连续化。 ( a ) 宏观结构，( b 凇结构及其周期性， ( c ) 单胞 图1 6 微结构 均匀化方法是一种经典的拓扑优化方法，它在数学和力学理论上最为严密，但设计 变量多，敏度计算复杂，并且优化后的结构含有多孔质材料，不易制造，目前主要应用 山东建筑大学硕士学位论文 于拓扑优化理论研究方面。 固体各向同性材料惩罚法( s o l i di s o t r o p i cm a t e r i a lw i t hp e n a l i z a t i o n ，简称s i m p ) 即密 度惩罚法【5 】是b e n d s o e 于1 9 8 9 年提出来的，它改进了均匀化方法，是目前算法上最便于 实施、工程上最有应用前景的一种拓扑优化插值方法。在优化过程中以单元设计变量的 大小决定单元取舍，是一种带有惩罚因子的相对密度法。密度惩罚法引入一种假想的材 料，其相对密度在肛1 之间可变，假设材料的宏观弹性常量与其密度是非线性关系，采 用惩罚因子约束抑制介于肛1 之间的单元，在一定的材料用量的条件下，寻找具有某种 度量的最大刚度的结构材料最佳分布形式。使用该方法虽然不能从理论上证明得到的拓 扑优化结果是全局最优解，但其理论简单明了，算法实现简单，有实际应用价值，目前 已用于解决宏观线弹性结构拓扑优化问题，如复杂的二维和三维拓扑优化设计问题等， 也可用于材料微观结构构成及性能设计、压电材料结构设计【6 】等。不足之处在于优化的 结果带有明显的棋盘格等中间过渡单元，需要用过滤的方法才能得到可用的优化结果。 独立连续映射模型方法t 7 1 ( i n d e p e n d e n tc o n t i n u o u sm a p p i n g ，简称i c m ) 是国内学者 隋允康等提出的一种优化方法。独立连续映射模型方法通过引入过滤函数、磨光函数及 光滑映射变换，将桁架结构中的离散设计变量转换为连续设计变量，优化求解后再将连 续设计变量转换为离散设计变量，这样在离散设计变量和连续设计变量之间建立了一一 对应关系，从而建立完善了桁架结构拓扑优化模型，成功解决了多工况应力与位移约束 下的桁架结构拓扑优化问题，并尝试将独立连续映射模型方法推广到连续体结构拓扑优 化中，研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化问题，求解中采用了对偶规划算 法【8 1 。 渐进结构优化法【9 l ( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，简称e s o ) 是由澳大利亚维多 利亚大学的谢忆民和悉尼大学的s t e v e nc t p 于1 9 9 3 年共同提出，其基本思想是：用一个 初始的有限元模型来离散初始设计域，优化设计的目的是寻求初始离散域的一个子集， 通过将结构中无效或低效的材料逐步删除，以得到趋于最优的结构设计。此方法可用于 桁架、刚架、板壳和连续体结构的拓扑优化。优化的约束条件可包括应力、频率、位移、 刚度及临界压力等，这符合工程的直观性和直觉性，但其缺点是：计算时间长，常常得 到局部最优解而非全局最优解，并且难以应用于复杂目标函数和多约束情况下的拓扑优 化问题。此方法的关键在于用一个合适的准则来评价每个单元对结构特定行为( 结构响应) 山东建筑大学硕士学位论文 的贡献大小，以删除一些贡献最小的单元，所以，渐进结构拓扑优化方法也常被称为硬 杀( h a r dk i l l ) 法。 冒泡法( b u b b l e ) 是e s c h e n a u c r 、k o b e l e v 和s c h u m a c h e r 1 0 】于19 9 4 年提出的，目的是 为了解决形状优化方法中不能改变结构拓扑的问题。通过在结构中插入一个小圆孔，然 后再应用形状优化方法来改变孔的形状和大小，以便进一步地改进优化结果，这需要确 定插入孔的位置。在该方法中常用一些所谓的应力、应变和位移等特征函数来决定在结 构的最优位置插入已知形状的洞，用一种预定的形状拓扑方式来修改结构的拓扑形状变 化。 拓扑导数 法( t o p o l o g i c a ld e r i v a t i v em e t h o d ) 1 1 】采用了一种独立于有限元网格的拓扑 结构表达方法，参考域内定义一个拓扑函数，此函数将参考域内的每一点映射为一个数 值，并以此值为基础选择一个阀值来确定单元材料的有无。拓扑函数由一些简单函数组 成，并且由一些连续设计参数决定。拓扑函数描述法的缺点是：虽然设计描述独立于网 格，但有限元计算结果仍然依赖于网格，网格的变化将会导致计算结果的变化，因此设 计目标数值依赖于网格，特别是在有网格细化的场合下，将导致优化算法的不稳定，另 一个缺点是拓扑表达依赖于初始选定的几何体。 水平集法( l e v e ls e tm e t h o d s ，简称l s m ) 最初是o s h e r 和s e t h i a n 【1 2 】在研究曲线( 或曲 面) 以曲率相关的速度演化时用于描述曲线( 或曲面) 的演化过程的。其基本思想就是将曲 线或曲面隐式地表达成为一个高维水平集函数的零水平集。由于水平集是一种描述边界 的隐式表达法，所以它能够灵活地同时描述结构边界形状和拓扑变化【1 3 1 。s e t h i a n 和 w i e g m a n n 1 4 】最早将水平集法应用到结构优化设计中，形状和拓扑的变化根据设计边界上 的等效应力来演化，之后w a n g 1 5 】等和a l l a i r e 1 6 1 等扩展了水平集拓扑优化的方法，将水 平集方法和形状导数结合起来，通过结构边界的法向速度建立了h a m i l t o n - j a c o b i 方程同 形状导数之间的关系，采用逆风策略来求解水平集方程，实现结构边界的演化直至获得 最优解。 另外，目前有许多学者采用遗传基因算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 1 7 】- 【1 8 1 、模拟退火算法 ( s i m u l a t e da n n e a l i n ga l g o r i t h m ) 1 9 】和人工神经网络算 法( n e u r a ln e t w o r k sa l g o r i t h m ) 2 0 】- 【2 1 1 等进化计算方法进行结构拓扑优化。遗传算法在结构优化中主要应用于桁架等离散结构 的拓扑优化方面，对于同时具有多设计类型变量的混合型问题( 既有连续变量，又有离散 山末建筑大学硕士学位论文 变量1 ，采用遗传算法进行优化求解也不失为一种很好的选择。 1 23 拓扑优化数值不稳定现象 连续体结构拓扑优化过程中固定有限元网格的使用存在一些数值不稳定现蒙，主要 有：灰度单元、棋盘格( c h e c k e r b o a r d ) 现象，多孔材料( p o r o u s ) 、网格依赖性( m e s h d e p 印d 翩c y ) 和局部极值( l o c 龃m i n i m a ) 等 2 2 】_ 。灰度单元和棋盘格导致计算结果的可制 造性差，网格依赖性使计算结果的可靠性下降，局部极值问题导致计算得不到全局最优 解或工程可行解。 灰度单元：拓扑优化结果出现中间密度单元( 如图1 7 ) ，可隹雌性差。 仁 = 图1 7 灰虚单元 棋盘格式：拓扑优化结果出现材料密度高低不同的周期性分布，形式上像国际象棋 的棋盘。如图1 8 p o ) 所示，结构具体形式难以辨识，中间出现黑白相间的小块，在工程 上无法直接制造，因而无实际意义。 畿厶耐 ( a ) o ) ( c 】 图1 8 棋盘格现象 多孔材料：拓扑优化的结果中出现许多中间密度单元，使最终的拓扑结果可制造性 差。多孔材料的拓扑结果如图1 9 所示： 山东建筑大学硕士学位论文 图1 9 多孔材料 网格依赖：优化结果中出现依赣于网格划分疏密程度的细小结构，如图1 1 0 。从中 明显看出，单元划分数目的增加，致使结果越来越复杂，出现了一些纤细的结构，不利 于工程糙。 险应垒盘毯 ( a ) 1 “) x 2 4 0 网格1 2 0 x 2 8 8 同格( c ) 1 4 0 x 3 3 6 同格 圉1 1 0 网椿依赖现象 局部极值：相同的离散格式、不同的算法参数以及计算初始点的选用，得到不同的 拓扑结构，即结果收敛于局部极值。初始参数的微小变化，会导致结果的较大变化。其 原因部分是目标函数的光滑度，主要是优化过程中所用的数值方法。 棋盘格的产生与分析单元的选择有关，d i a z ，s i g m u n d 2 ”和袁振等的研究表明：合 理选择高阶单元或采用非协调元，可有效降低或消除棋盘格。除了采用高阶单元外，许 多学者深入研究了消除拓扑优化中的棋盘格和网格依赖性等数值不稳定现象的方法，这 些方法包括：h a b e r 等仁。提出的周长约束方法，s i 剑n u n d z 7 魄出的网格过滤方法，p e t e r s o n 和s i g m t m d p 。提出的局部梯度约束方法，z h o u i ”睫出的最小尺寸控制法等。 拓扑优化设计的数值不稳定现象是由于结构力学相应的变化与结构拓扑构形的变化 呈现强非线性以及有限元分析误差造成的，目前可通过对灵敏度等相关量的数值处理使 其得到抑制和减弱。 山东建筑大学硕士学位论文 1 3 主要研究内容 本文主要研究连续体结构拓扑优化中密度惩罚法与水平集方法的相关问题。具体研 究内容如下： 第1 章本章详细评述结构拓扑优化方法的发展和现状，然后在此基础上介绍本文研 究内容和意义。 第2 章本章针对有限元法等网格类方法和单位分解法等无网格方法，分析了它们的 基本特点及其适用范围，并比较了它们的优缺点。 第3 章本章建立了基于s i m p 插值的变密度法优化模型，推导了基于s i m p 插值的 优化准则迭代公式，通过算例分析这种在优化过程中出现的棋盘格等数值不稳定现象， 重点分析了惩罚因子的选取对优化结果的影响。 第4 章本章首先引入水平集基本概念，详细讨论水平集法的核心内容，即h j 偏微 分方程的数值计算过程；在此基础上依次阐述了符号距离函数、重新初始化、速度扩展 等水平集演化的数值实现过程。 第5 章本章首先建立了水平集结构拓扑优化模型，推导了结构优化水平集算法的数 值实现过程。其次利用水平集法对悬臂梁等工程构件进行优化设计，详细探讨了初始设 计中开孔的个数、初始网格的划分对优化结果的影响。最后在优化过程中将水平集法的 优化结果与密度惩罚法优化结果加以比较，以说明水平集法可以消除密度惩罚法中出现 的各种棋盘格等数值不稳定性现象，获得与密度惩罚法经过滤后相似或一致的优化结果。 第6 章本文的研究工作仍然存在诸多问题，有许多地方需要作进一步的完善和发 展。本章对全文在结构优化领域所做工作进行归纳总结，并对下一步的研究工作进行探 讨和展望。 1 4 小结 本章简要说明了课题研究背景，详细介绍了拓扑优化在国内外发展概况与研究进展。 重点分析了拓扑优化中易出现的各种数值不稳定现象。最后，对本论文各章的主要内容 进行了简单的介绍。 山东建筑大学硕士学位论文 第2 章数值方法 随着计算机科学的迅速发展，目前几乎在所有的科技及工程领域中，均采用数值计 算作为其研究和设计的手段。常见结构优化问题中的工程结构如梁、板、壳，其控制方 程一般为微分方程的初边值问题，解析解只对一些特殊问题才能求得，通常情况下仅能 求得近似解或数值解。数值方法一般需要将无限自由度的微积分方程转化为有限自由度 的代数方程，其中一个关键环节就是要构造合适的试函数( t r i a lf u n c t i o n s ) 来近似描述未 知的场函数。根据构造试函数的不同，数值方法可分为基于网格( 单元) 类方法和无网格 方法两大类。下面就这两类方法做一简单介绍。 2 2 网格类方法 网格类方法的共同特点是在求解域内划分网格或单元，在此基础上进行近似函数的 构造，这有利于模块化处理和程序实现，在计算力学和工程分析领域得到了广泛应用。 传统的有限差分法、有限单元法和边界元法都可以归为基于网格( 单元) 类的方法。 有限差分方法是( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，简称f d m ) 【3 0 】人们最早采用的数值方法之 一，其利用差分网格对求解域进行离散，以网格节点间的差商代替微分方程中的微商， 其试函数采用 t a y l o r 级数展开的近似形式。有限差分法立足于直接对原问题微分方程 进行近似求解，属于典型的强形式方法。有限差分法的优点是数学概念直观，形式简单， 理论上对各种复杂的微分方程都可以写出与之对应的差分方程，缺点是计算精度较低， 要达到比较高的计算精度，需要划分非常密的网格，导致计算量的大大增加。其中有限 体积法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ，简称f v m ) 是以原方程在网格节点控制体积内进行积分而 后构造离散差分方程，这种方法是流体力学领域中最重要的数值求解方法。在固体力学 领域，基于显式差分方法的连续介质快速拉格朗日分析( f a s tl a g r a n g ea n a l y s i so f c o n t i n u a ，简称f l a c ) 不需要求解系统整体方程，有利于求解较大规模的工程问题。 有限单元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，简称f e m ) 3 1 】- 【3 2 i 是固体力学领域最为成功和 应用最为广泛的数值方法，其基本思想是将求解域离散为相互不重叠的、按一定拓扑关 山东建筑大学硕士学位论文 系联结的单元，在单元内通过插值的方式构造近似函数，实现对未知场函数的分片近似。 近似函数在单元间的协调性通过单元在网格上的拓扑关系来满足。有限元是典型的弱形 式方法，其建立离散方程的途径主要有直接刚度法、变分原理和g a l e r k i n 力h 权余量法，其 中后两者是有限元的重要理论基础。有限元的优点是它的列式简便，概念明确，计算可 靠，便于模块化处理，非常有利于程序实现。它存在的问题是精度不高，抵抗网格畸变 能力较弱，适应性差。 下面以位移有限元为例来说明有限元的实施过程。 1 有限元位移法的一般列式 对于一个二维或三维问题，若用u 表示位移向量，则单元内某点位移u 。可用结点位 移q 。向量表示为 i l l p = n q p 其中n 为插值函数矩阵( 或称为形函数矩阵) ， 片函数，形函数也就是单元上的插值函数。 应变位移关系为 = b q 。 ( 2 1 ) 它们在单元之外的值是零，所以又称为分 ( 2 2 ) 这里，b 为几何矩阵。 单元应力为 仃= d = d b q 。= s q 。 ( 2 3 ) 其中，s - d b ，而d 为弹性常数矩阵 按照最小势能原理( 或虚功原理) 可推出 k 。q 。= e ，k 。= 伊r d b d v ( 2 4 ) 其中，k 。为单元刚度矩阵，e 为单元等效结点力，不同单元的位移在单元结点处满足位 移协调条件，即为协调元。 有了单元刚度矩阵之后，需要把每个单元的刚度矩阵，采用“对号入座 的方法， 组装成整体刚度矩阵，得到连续体的整体刚度方程 山东建筑大学硕士学位论文 k q = f ( 2 5 ) 其中，k 为结构的整体刚度矩阵，f 为作用于结构上的外力等效结点力，q 为整体结构 的结点位移。求解上述方程，得到结点位移q 。 2 有限元位移解法的基本步骤 对于简单的结构静力计算问题，有限元位移解法的基本步骤，可归结为：将连续 体划分为有限个单元，确定其几何数据、材料性质、载荷情况和边界条件等；根据单 元的力学特性计算单元的刚度矩阵和载荷项；集成单元刚度矩阵和载荷项，生成总的 刚度矩阵和总载荷向量； 求解得到的线性方程组，计算出结点位移；计算出单元 的应力或其他的值。 有限元方法自2 0 世纪5 0 年代诞生以来，迅速成为最为重要的工程数值分析工具，尤其 是在连续介质力学领域内，有限元取得了空前的成功。各种功能强大的通用软件更是将 有限元的应用推向了商业化，使之成为众多科研、工程人员不可或缺的分析工具。然而 有限元的网格依赖性使之在处理连续一非连续、高梯度、大变形等问题时表现出明显的局 限性。 边界单元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，简称b e m ) 口3 1 是2 0 世纪7 0 年代后期针对有限 差分法和有限元法占用计算机内存资源过多的缺点而发展起来的一种求解偏微分方程的 数值方法。与有限元方法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域 的边界上划分单元，在每个单元内用节点的边界值代替单元的边界值，然后用有限个解 的叠加来满足这些节点上的边界条件，并据此求解其中的待定量。域内各点的近似解， 也由这些已定的解叠加而得。与有限元相比，边界元仅在边界进行离散，降低了空间维 数；利用原来场方程的基本解，具有半解析的性质，求解精度较高，尤其适合于模拟无 限域问题。 边界元法已被应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规 范化；对非线性问题，其方法也趋成熟。在软件应用方面，它已由原来解决单一问题的 计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元程序包发展。 一般来说，边界元形成的代数方程组系数矩阵为非对称满秩阵，在求解大规模问题 上存在着局限，近年来出现的边界元快速多极算法可能是一条解决该瓶颈的途径。另外， 山东建筑大学硕士学位论文 场方程必须有合适的基本解，掌握边界元法需要比较高深的数学力学知识也是边界元法 广泛应用的限制条件。图2 1 给出三种网格类方法的基本分析流程图。 图2 1 有限差分法、有限单元法和边界单元法的基本分析流程 随着计算技术和计算机硬件的不断发展，数值计算的范围和精度不断提高，基于网 格类方法由于网格带来的局限性也不断出现，如：求解精度受网格影响、网格划分成本 高、自适应分析的困难及不易构造高阶连续场等。以有限元为例，大多数情况下近似函 数只具有c o 连续性，分片插值的构造方式难以保证近似函数在单元间的高阶导数连续。 当然，上述局限并不影响基于网格( 单元) 类方法进一步的理论发展和实际应用。就 有限元而言，相继涌现出一大批现代有限元，2 0 世纪7 0 年代初，p i a nt h h 通过在单元 内假定应力场，由最小余能原理建立了杂交应力元，唐立民教授通过假定单元应变场建 立拟协调元，陈万吉教授提出了精化不协调元，钟万勰院士提出理性有限元口嵋等等，确 保了f e m 等网格类方法目前仍然是计算力学领域内占统治地位的数值方法。 山东建筑大学硕士学位论文 2 3 无网格法( m e s h l e s sm e t h o d ) 在有限元计算中，往往受到网格限制，每次计算前都要剖分网格，数据准备工作量 大，尤其是处理不连续的界面时，要保证网格线与变形后的界面一致，更使计算精度下 降，计算程序复杂，大大增加了计算费用0 3 4 1 。这时，只需要结点信息而不需要单元信息 的无网格法便应运而生了。无网格法不需要网格，因而不像传统有限元存在抵抗畸变能 力弱、适应性差以及单元间存在着不协调等问题。其基本思想是将未知量u ( x 1 看成x 的 空间变量，在整个求解域q 内和边界i 上，用一系列无关的结点和权函数来构造近似的 函数u 6 ( x ) ，在得到这个近似函数后，再用常规的有限元方法列式求解。 无网格法的近似函数是直接通过一组离散点墨( f = 1 , 2 ，n ) 来建立的，不依赖于网 格，这与有限元不刚蚓埘3 ( 如图2 2 ) 。 ( a ) 无网格法基本思想( b ) 有限元法基本思想 图2 2 无网格法与有限元法的基本思想 无网格法有光滑粒子流体动力学法( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i cm e t h o d ，简称 s p h ) 、再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，简称r k p m ) 等十几种之多啪1 ， 此处简要介绍单位分解法和径向基函数两种方法： 单位分解法是d u r a t e 和o d e n 等人啪3 发展起来的。它的基本原理是利用以节点x ，为中 心、半径为h ，的子域q ，来覆盖全部求解区域q ，并定义仅在本子域q ，内非零的函数 仍( x ) ，并且满足单位分解条件 ( 2 6 ) 山东建筑大学硕士学位论文 函数集 仍( x ) 羔。称为属于开覆盖心，浇。的单位分解，适于构造分解函数的函数主要 有：m l s 形函数，有限元形函数，s h c p a r d 函数等。 如用k 阶最d , - 乘函数来构造单位分解，则 甜6 g ) = ；g ) f 露，+ 吼g ) f ( 2 7 ) ， l i j 式中g ，g ) 可以是大于后的任意阶单项式基，既可以是高阶单项式，也可以是增强函 数； 对这个方法扩展就是对增强函数采用不同的单位分解，得到以下有用的形式 甜一g ) ：艺；g 弦，+ 兰? g ) 吼g ) ( 2 8 ) iii 式中吼g ) 是增强函数。 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，简称r b f ) h 是一种特殊的函数，它以空间距离为 基本变量，具有形式简单、各向同性等优点，因此非常适合在数值计算中使用。 对于一组离散数据( t ，z ) r “1 ，其中i = 1 , 2 ，n ，d 表示x 所在空间的维数。构 造函数g ( x ) ：r d 专r ，满足g ( ) = z 。使用径向基函数痧( ，) 构造插值，相应的形式为： g ( x ) = e c , ( i x - x , ) i = 1 ( 2 9 ) 其* l l x 一薯0 表示数据点x 与蕾之间的距离范数，矽( 肛一t4 ) 表示中心位于而的距离 基函数，为插值结点。 常用的径向基函数有以下几种： 高斯( g a u s s ) 样条函数：) = p 一r ，主要用于神经网格； 薄板( t h i n - p l a t es p l i n e ) 样条函数：矽( 厂) = r 21 1 1 ) ，一般用来拟合具有两个参数的 平滑函数； 多二次样条( m u l t i q u a d r a t i c s ，n 称m q ) 函数：矽( ，) ：石再，用于多个方面。 相对f e m 而言，无网格法具有以下优势：无网格法的近似函数没有网格依赖性， 山东建筑大学硕士学位论文 减少了因网格畸变带来的困难，适合于处理高速碰撞、侵彻、动态裂纹扩展、塑性流动、 流固耦合等涉及大变形的计算应用；无网格法的基函数可以包含能够反映待求问题特 性的函数系列，适合于分析各类具有高梯度、奇异性等特殊性的应用问题；要求数据 简单，使用无网格法分析只需要结点的信息，不需要对计算域进行网格划分，极大地简 化了前处理工作，而且在