数值计算方法A课程教学大纲.doc

数值计算方法A课程教学大纲Numerical Computing Method A课程代码： 课程性质：专业方向理论课/必修适用专业：信息与计算科学 开课学期：5总学时数：56 总学分数：3.5编写年月：2006年6月 修订年月：2007年7月执 笔：徐圣兵一、课程的性质和目的本课程是信息与计算科学（信息计算方向）的一门专业基础必修课。本课程的学习目的在于使学生掌握适合在计算机上使用的数值计算方法以及与此相关的理论，包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析。要求学生根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少的计算方法，具备对数学问题的数值解理论进行研究和探讨的能力，为专业课学习和参加科学工程计算实践打下必要的基础。二、课程教学内容及学时分配第一章 绪论(4学时，其中实验2学时)掌握误差的来源、绝对误差及绝对误差限、相对误差及相对误差限、有效数字以及数据误差的影响，了解机器数系及如何尽量减少误差。重点是绝对误差、有效数字、数据误差对函数值的影响和数值稳定性。本章知识点为：误差与误差限，有效数字，数值稳定性、误差危害的防止。为进一步加强对数值稳定性，误差危害的认识，可适当安排实验一次：舍入误差与数值稳定性。第二章 方程求根(8学时，其中实验2学时) 掌握方程根的概念，求根步骤，求根的四种方法(二分法，迭代法，牛顿法，割线法)，了解代数方程求根的劈因子法。重点是用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。本章知识点为：方程的根，二分法，简单迭代法，牛顿迭代法，割线法，劈因子法为进一步加强对方程求根的理解，可适当安排实验一次：方程求根。第三章 线性方程组数值解法(10学时，其中实验2学时)了解和掌握线性方程组的两类数值解法：一类是直接法，就是在没有舍入误差的情况下，通过有限步四则运算可以求得方程组准确解的方法；另一类是迭代法，就是先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则逐步求出解的各个更准确的近似值的方法。了解向量范数和矩阵范数的定义，会求常用的三种范数。重点是用列主元高斯消去法解线性方程组，用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组并判断迭代格式的收敛性。本章知识点为：列主元高斯消去法，三角分解法，追赶法，雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法，向量范数，矩阵范数，谱半径。为进一步加强对求线性方程组数值解的理解，安排实验一次：线性方程组数值解法。第四章 插值法(8学时)本章要求掌握多项式插值的概念，各种多项式插值的计算方法。还要求会用三次样条插值解决实际问题。本章重点是插值多项式的定义、存在唯一性，插值多项式的两种表示形式及插值余项公式。本章知识点为：节点，插值函数，多项式插值，拉格朗日插值，差商，差分，牛顿插值，余项表示，分段线性插值和分段二次插值及其余项估计，带导数条件的插值，三次样条。为进一步加强对数值计算方法这门功课的认识和对函数逼近的理解，安排综合实验一次：用三次样条插值设计公路曲线。第五章 曲线拟合（2学时）要求掌握各最小二乘原理，会求线性拟合函数及超定方程组的最小二乘解，了解某些非线性最小二乘拟合问题的求解。本章重点是正确写出正规方程组并求解。本章知识点为：最小二乘原理，拟合函数，正规方程组，超定方程组。第六章 数值积分与数值微分（10学时，其中实验2学时）本章要求掌握导出插值型求积公式的基本思想，能推导出梯形公式、辛卜生公式及其截断误差的表达式。掌握代数精度的概念。掌握复化梯形公式，复化辛卜生公式及其截断误差的表达式。掌握复化公式阶的概念。了解求各公式处推思想、柯特斯公式、龙贝格公式及龙贝格积分法。了解插值型求导公式，会用中点公式。本章重点是插值型求积公式，梯形公式、辛卜生公式及其截断误差的表达式，代数精度，复化梯形公式、复化辛卜生公式及其截断误差的表达式以及复化公式的阶。本章知识点为：插值型求积公式，梯形公式，辛卜生公式，截断误差，代数精度，复化求积公式及其阶，数值微分。本章可适当安排一次综合实验：用梯形求积公式求面积的计算。第七章 常微分方程数值解法（8学时）本章要求熟练掌握求解常微分方程初值问题的欧拉公式、改进欧拉公式、变形欧拉公式和经典龙格库塔公式，掌握显式公式、隐式公式、预测校正系统、局部截断误差、整体截断误差及阶的概念，会推导欧拉公式、改进欧拉公式和变形欧公式的局部截断误差，了解线性多步法。本章重点是欧拉公式、改进欧拉公式和变形欧拉公式，能推导出它们的局部截断误差。本章知识点为：数值解法，节点，欧拉公式，局部截断误差，整体截断误差，梯形公式，显式格式，隐式格式，单步法，线性多步法。第八章 矩阵的特征值及特征向量的计算（6学时）本章主要是介绍求矩阵按模最大的特征值及相应特征向量的幂法和求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法，求实对称矩阵全部特征值及相应特征向量的雅可比方法，求一般矩阵全部特征值的QR方法。本章知识点为：幂法，反幂法，雅可比方法，QR方法。三、课程教学的基本要求本课程是信息与计算科学专业的专业基础课程，是一门与计算机密切结合的实用性很强的课程，是本专业的必修课程。在教学方法上，采用课堂讲授，课后自学，课堂讨论，实验等教学形式。(一)课堂讲授本课程属专业基础课程，涉及到较多的数学知识和计算机知识，在讲述的过程中教师应注重理论联系实际，不要陷入到繁复的数学推导之中。在教学中要求同学重点掌握误差、数值稳定性、数值解的基本概念，数值计算方法的收敛性、稳定性以及误差分析，要着重培养学生具有误差意识、解决实际问题的能力，在课程内容方面既要保持理论的系统性，又要注意联系实际，并且重视学生实际动手能力的培养。（二）课后自学为了培养学生整理归纳，综合分析和处理问题的能力，每章都安排一部分内容，课上教师只给出自学提纲，不作详细讲解，课后学生自学。（三）课堂讨论课堂讨论的目的是活跃学习气氛，开拓思路。教师应认真组织，要求同学们事先预习并查看相关资料，可安排重点发言，充分调动每一名同学的学习积极性，做好总结。（四）习题课习题课以典型例题分析为主，并适当安排开阔思路及综合性的练习及讨论。共4学时（已包括在前述学时分配中）。（五）课外作业课外作业的内容选择基于对基本理论和实际问题的理解和巩固，培养同学们运用所学计算方法知识，利用计算机解决实际问题的能力。习题以实用性小题为主，强调综合性。（六）平时测验为及时了解教学情况，教师可适当安排平时课堂测验，每次测验不超过30分钟。（七）实验实验以巩固所学各种有关方法为主，验证理论为辅。通过实验要求同学们会自己编制计算方法程序，体会各种方法的收敛性、稳定性、误差分析等相关理论。如果条件允许，可适当安排一些课外实习课。（八）考试考试采用闭卷形式。试题包括基本概念，基本理论，分析与计算，题型可采用填空，选择，判断，计算，简答等方式。总评成绩：课外作业，平时测验，实验占30%；期末闭卷考试占70%。四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析或高等数学，高等代数或线性代数，Matlab编程及应用后续课程：