数学本质概念空间.doc

TKU94B王聰輝、楊欣燕、蕭慧君目 次一、教材內容分析2（一）教材地位(康軒版)2（二）課程內容結構2（三）數學結構3二、認知結構6（一）Piaget的理論6（二）Hart &Moore的理論6三、綱要結構8四、教學策略9（一）迷思概念及對應之教學策略9（二）其他教學策略10五、評量範例12數學本質概念空間一、 教材內容分析（一） 教材地位(康軒版)第一冊 認識上下、左右、前後、內外等方位語詞。 描述兩物的相對位置。第七冊 認識與左右方位語詞相關的標誌。 路線圖的意義。 認識方位語詞，並用以描述位置及方向。第四冊 辨認平面圖形的內外。 左右語詞描述兩物的相對位置。第十一冊 認識平面座標。 運用平面座標描述物體的位置。 運用方位及距離標定位置。（二） 課程內容結構九年一貫課程數學學習領域將幾何課程從一至九年級分成四個階段，各階段依學生的成熟度有不同的教學內容與重點，小學階段幾何課程教學原則與內容如下：表一 小學階段幾何課程教學原則與內容階段別核心內容與教學原則階段一（13年級）較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。階段二（45年級）由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合數與形兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面） 及其數量性質（如角度、邊長、面積）。階段三（67年級）察覺幾何形體的性質，或刻畫、區分幾何形體，並透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操弄，來瞭解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。此外，依據莊月嬌(民94)的研究，將小學有關於空間概念的教材內容類目歸納如下表：表二 小學幾何教材內容_空間之類目表空間概念用上下、左右、內外等方位語詞描述位置運用東、西、南、北等方位語詞描述方位用直角坐標系統描述方位與路徑平面與立體表徵之轉換（三） 數學結構1. 空間感對數感比較好的定義就是對數及數字間關係的一種直覺，而空間感也可以被定義為對形狀及形狀之間關係的一種直覺，個體的空間感就是一種對四周環境及其中物體形狀組成的幾何觀點。2. 空間能力空間能力可分為兩大類：（1） 空間視覺表像能力：對任一以圖象形式呈現的物件，能以心智想像的方式加以操作、旋轉、扭轉或倒置。（2） 空間方向感：能理解物件視覺樣式中，構成元素的安排，且能不因物件呈現方向的改變而混淆。依據九年一貫課程綱要認為學生在位置空間概念所需發展的能力包括能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。3. 空間的意義Martin Heidegger（1954）曾指出空間裡包含了因物體對人的不同遠近而形成不同位置，但這種遠近距離可在抽離人與物的關係下形成高度、寬度與深度。我們經常所說的空間量，不外乎是線的長度、曲面的面積、形體的體積等等， 所有這些構成空間概念的空間量都是可以用標準尺來度量的。其實在物理學中，人們要定量地探究許多物理概念，如距離、速度、加速度、作用力、質量、電量等等，這些物理概念它們每一個都是必須是能夠度量的。空間也是物理概念，而且是最基本的物理概念，也都必須是能夠度量的，空間在牛頓力學中的意義就是要確定一個空間點的位置，總需要三個空間量。它是可以表示成任何三個互為垂直且個自獨立的長度空間座標系，例如常用的直角座標系以 (x, y, z) 表徵其三個互為獨立的座標分量(AEEA 天文教育資訊網)。牛頓的絕對空間就像一個空闊的舞台，各種物体是舞台上的演員。無論演出任何戲碼，舞台是既不參與，也不受影響的。王凱儀、林嘉琪(民93)也提及，自然界的具體物件，各自佔有一部分的空間。周圍的物體存在著空間上的相互位置關係，也就是物體的空間方位，或稱為物體的空間位置，以上下、前後、內外、左右詞彙表示。而在日常生中最常被使用，並廣為大眾所接受的是牛頓的絕對空間觀念。而我們在確定物體的方位時首先需要有一個參照點，這個參照點即是用來確定客體空間位置的依據。4. 空間概念教育部於九年一貫課程五大主題說明中指出，圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論述性的了解。認為圖形與空間應從學生生活經驗中所熟悉的形體著手，透過察覺、辨識、操作、實驗，發現形體的組成要素及其形體之間的關係，進而能確立空間的基本概念，掌握空間的基本性質，進行簡單推理，學習據理而推的科學方法，以養成日常生中推理有據的習慣(莊月嬌，民94)。註：莊月嬌(民94)。九年一貫課程小學幾何教材內容分析研究。國立台北師範學院數理教育研究所碩士論文，未出版。學生對方位與空間概念的認知，在數學領域上是讓學生學生了解相對(位置)和絕對(位置)的意義，許民陽、鄧國雄、卓娟秀、李崑山和殷炯盛(民83)在國小學生對方向和位置兩空間概念的認知發展研究中，將辨識方向、位置等空間概念語詞區分如下：（1） 基本概念語詞：有關空間概念的基本語詞，例如：上、下、左、右、東、西、南、北。（2） 衍生概念語詞：基本概念語詞加上動詞、介詞或名詞等而衍生出的空間概念語詞，例如：上升、向前、天上。（3） 複合概念語詞：由二個或二個以上的基本概念或衍生概念所組成的語詞，例如：東北角。註：許民陽、鄧國雄、卓娟秀、李崑山和殷炯盛(民83)。國小學童對方向及位置兩空間概念認知發展的研究。台北市立師範學院學報，91-120。二、 認知結構（一） Piaget的理論Piaget認為兒童空間概念的發展經過三階段：1. 拓樸階段約三歲六個月至四歲之間，屬前運思期，兒童發展出有關接近、分離、順序範圍和連續性的概念。在空間範圍內觀察物體時，僅能描述物體的特徵及保留最簡單的空間特性，如他們已能想像路線，並能簡單的將路標放在路線旁。2. 投影空間約四歲至七、八歲之間，位於運思前期與具體運思期之間，兒童逐漸領會物體位置與物體間的關係，並漸漸形成二度和三度空間的物體相互轉換以及歐幾里得幾何學（Euclidean geometry）的概念，但這種認知仍無法擺脫視覺的影響。亦有人說明學齡前的兒童對於空間的認知發展為：三歲幼兒能分辨上、下的物體關係；四歲時能分辨前、後的物體關係；五歲以後左、右概念開始發展。3. 平面空間即為具體運思期後之形式運思期，兒童的空間理解能力已成熟，他們能從視覺迷惑中超脫，將所有物體和物體間的空間關係統整為整體概念。（二） Hart &Moore的理論Hart & Moore認為空間表徵中，最重要的要素是參照系統，因為大環境中個人使用參照系統連結個人、位置、路線以及移動方式，才能引導個人方向。根據參照系統的性質又可分為自我中心參照系統、固定參照系統以及協調的參照系統三種，其是依序發展的，說明如下：1. 自我中心參照系統相當於Piaget的前運思期，大約是學前階段（2至7歲），兒童是以自己的看法（觀點）來看空間的，亦即他們的空間表徵是自我中心的、以行動為中心的參照標系統。當他們走在路上或是畫地圖時，他們知道路標或是下一個路標有線相連，但卻無法在心中描述路標的次序，或建立一個統整的、協調的表徵，因為路標是根據自己來定位的，無法在心理上做迴轉。2. 固定參照系統已進入Piaget的具體運思期，兒童會跟去空間中的固定物體或固定方向建立空間知識，其思考不再受限於所認識意像的順序，而是經過具體的邏輯思考，操弄空間訊息。他們會將空間中的物體連結一起，但因為路標是固定於某些次團體（如自己的家），因此，兒童仍無法將路標或路線統整為一體，即為需要參照點（如自己的家）為引導自己的方向。3. 協調的參照系統已進入形式運思期，即為運作能完全脫離具體的內容，以形式方式（form）操作。十一、十二歲的兒童已經會利用聯想和逆轉，統整各部分為一個整體，成為廣泛的概觀式的表徵。因此兒童已經能統整環境中的路標或路線，並根據路標間的關係結合路標或是選定路標為出發點，由此建立路標。並聯想不同的路徑以及由終點回溯路徑的方式來建立一個整體的路線圖。三、 綱要結構幾 何一年級1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。說明本細目應在教學活動中進行。 相對位置描述詞在日常生活中很常用，因此應及早引入，並可與序詞的教學相結合，例：最上面數下來第2個抽屜是我的。、小明右邊第3人是小麗。小華，請往前走2步。、左邊離我們比較遠的那個女生是小英。 由於人體大致上是左右對稱的，因此左右是這些詞組中較難的概念，在溝通上也要小心，學童必須能確定觀察者，才能比較沒有歧義的判斷左與右。由於兒童可能在二、三年級才能真正掌握左右，因此教師在評量上不要過於嚴苛。二年級2-s-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。說明例：觀察傾斜的裝水透明正方體容器（例如：1公升的正方體透明容器）中的水平面、容器底面與鉛垂繩子三者之間的關係。先認識水平與鉛直的概念。再透過觀察桌腳與地面、牆角、樑柱、各式窗格、欄杆、圓柱的軸向等，認識垂直與平行的現象。希望學童能注意到窗格垂直與切蛋糕四等分的方式相同、平行大致上是寬度相同的意思、從窗格觀察到垂直與平行間的關係。四、 教學策略（一） 迷思概念及對應之教學策略1. 低年級不易掌握之概念(常見迷思概念)教學者之對策方位：方位方向不清。例如：東西南北分不清楚方向例如：左右邊的概念需要花一些時間來教導學生老師覺得學生方位搞不清楚是學生平常沒有特別注意,若單單只是跟學生說左右的觀念學生一樣記不起來,因此老師會用遊戲的方式來進行這方面的訓練,老師會用一些簡單的符號例如:太陽.月亮來代表左右.等學生懂左右觀念的時候,再慢慢加深,例如向左轉再向右轉再向右轉等等,小孩子會比較容易在遊戲裡學習.甚至有些學生會在下課和同學就玩起來了,從中熟悉方向的概念. 【游毓英老師 劉哲瑄訪談】方位：方位方向不清。老師認為學生的方向感不佳，容易有左右不分的情形，此狀況會影響讀題的能力。所以老師常會問學生，窗戶在你們的哪一邊？答左邊。那窗戶在老師的哪一邊？右邊。老師會強調此時是以老師為基準點。 【施淑敏老師 李美珊、許庭瑤訪談】左右的概念A.老師讓學生舉左手/右手的方式，練習分辨左右。B.站在學生的角度去想左/右方向，如果只剩少數學生不會，就下課時間輔導；結合生活課程教東/西，只要記住左手左邊，就可以推出右邊，東/西則和左右相反，即 左右 西東 【陳麗玲老師受訪，朱惠卿訪談】小朋友會左右不分請他們回家多加練習，老師說在不行就在右手寫個右左手寫個左摟 【黃乃玲老師受訪，黃綺紋訪談】2. 中年級不易掌握之概念(常見迷思概念)教學者之對策像體積這種空間的概念會有不少人無法理解第一次帶到平面或空間的概念時，老師會拿衛生紙或布，從點到線到面到空間；很多點可以點成一直線，而在布上可以看到很多線組成平面，然後又可以用衛生紙撕開一直疊上去，最後則可以構成一個立體圖形。 【盧燕萍老師受訪，郭士賢訪談】空間：(1)展開圖的部分。(2)透視圖的部分。學生不太清楚A點位在形體的那個位置。如下： A一、針對左列所提的迷思(1)：一定要讓學生實際操作。透過這個活動的目的是要讓學生了解每個形體的展開圖不是只有一種。二、針對左列所提的迷思(2)：使用可以清楚看到一個形體的透視圖(如：用牙籤和黏土組合成一個立方體，如此即可清楚看到各個點)。之後再拿無法透視的形體來問學生。【顏慧真老師受訪，黃意菁訪談】（二） 其他教學策略1. 低年級空間教學以個人為中心為主以自己（個人為中心）到整體（客體為中心），透過兒童與自己身體相聯繫的方式開始，教導學生方位的認識與説明。ex：水平面（前後） 【教學順序】：前面是臉，後面是背我的前面是桌子，後面是黑板黑板的前面有螢幕，後面有牆壁ex：水平面（內外）嘴巴裡面有牙齒，嘴巴外面有嘴唇ex：水平面（左右）【初階】一個人站在兒童前並背對著他。【進階】一個人站在兒童前並面對著他。2. 操弄與建構幾何圖形透過操弄圖形、做圖形、辨認圖形等等，希望兒童在活動中不僅能辨認圖形，也能形成更精細的空間表徵與空間想像能力。（1） 拚圖：七巧板、魏氏智力測驗中的拚圖，都是可以培養兒童空間能力很不錯的媒介物。（2） 摺紙、剪紙：一般摺紙與剪紙遊戲可以增加空間想像能力，若特別設計也可以增加兒童對某些圖形的認識，例如：摺紙可以認識垂直與對稱。3. 做圖形：用牙籤、火柴棒、吸管等等仿作各種圖形。五、 評量範例1. 新的一學期開始，老師重新排座位，大雄想要坐在靜香的左方、小夫的右前方並且離胖虎的座位愈遠愈好：講台45213以面對講台為基準，大雄應該坐在哪一個座位才對呢？座位1 座位2 座位3座位4 座位5 【92年凌心儀提供】2. 今天一大早，小虎在第2排第1列的地方收到了一張長方形的卡片，原來今天是他的生日。如果你是小虎，最希望收到的哪一樣禮物？你必須清楚地說出它