（计算数学专业论文）j中心对称矩阵方程反问题的研究.pdf

摘要 利用j 一中心对称矩阵和反，一中心对称矩阵的结构和约化性质，本文 研究了，一中心对称矩阵和反一中心对称矩阵方程的最小二乘解，分别得 到了解的通式，然后考虑了解集合对给定矩阵的最佳逼近问题，并分别 给出了唯一最佳逼近解的表达式。 本文将讨论如下几个问题： 问题i 给定x ，b c 2 2 ”( 2 ，l 2 n ) ，求a 口4 ，使得 0 朋一口0 = m i n 问题给定石，b c 2 舭2 “( 2 m 2 n ) ，求a 口”，使得 a x = b 问题给定彳c 2 m 2 m ，求彳+ & ，使得 0 j 一彳l l = 一i n 。f 。i a 一彳0 其中& 是问题l 或问题i i 的解集。 问题给定x ，b c 2 拟2 4 ( 2 m 2 n ) ，求a s ；”，使得 0 似一b 0 = m i n 问题v 给定肖，b c 2 戤2 “( 2 m 2 n ) ，求a s ；雕，使得 a x = b 问题给定彳c 2 埘抽，求a s 叵，使得 i i 彳一么+ 0 = i n 。品f 一彳i i 其中s 。是问题或问题v 的解集。 关键词：，一中心对称矩阵；反j 一中心对称矩阵；最小二乘解；最佳逼近 a b s t r a c t b ye x p l o i t i n gt h es t r u c t u r ea n dr e d u c i b l ep r o p e r t yo fj c e n t r o s y m m e t r i c m a t r i c e sa n dj - s k e wc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ，t h eg e n e r i cs o l u t i o na n d t h el e a s t s q u a r e ss o l u t i o no fj c e n t r o s y m m e t r i c ( j s k e wc e n t r o s y m m e t r i c ) m a t r i xe q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e di nt h i sp a p e r a l s o ，t h ep r o b l e mf o rt h eb e s t a p p r o x i m a t i o ni ns o l u t i o ns e to fm a t r i xe q u a t i o n st oag i v e nm a t r i xi s a l s o d i s c u s s e d ，a n dt h eu n i q u eb e s ta p p r o x i m a t i o ni sp r e s e n t e d t h ep r o b l e m sw h i c hw i l lb em a i n l yd i s c u s s e di nt h em st h e s i sa r ea s f o l l o w s ： p r o b l e mig i v e nx ，b c 2 m x 2 4 ( 2 m 2 n ) ，f i n da ，c e n t r o s y m m e t r i c e sm a t r i x a c ；”s u c ht h a t 0 艇一b | | = m i n p r o b l e mi ig i v e nx ，b c 2 舭2 “2 m 2 以) ，f i n daj c e n t r o s y m m e t r i c e sm a t r i x a 口“s u c ht h a t a x = b p r o b l e m l l ll e t s e b et h es o l u t i o ns e to fp r o b l e mio rp r o b l e mi i g i v e n a c 2 m 抽，f i n da s e s u c ht h a t 0 j 一彳0 = 爪i n & f 。一纠l p r o b l e m g i v e nx ，b c 2 ”x 2 亓( 2 m 2 n ) ，f i n daj s k e wc e n t r o s y m m e t r i c e s m a t r i x s 口”s u c ht h a t l l 似一b 9 = m i n p r o b l e mvg i v e nx ，b c 2 麻。2 ”( 2 m 2 n ) ，f i n daj - s k e wc e n t r o s y m m e t r i c e s m a t r i xs 口。s u c ht h a t a x = b p r o b l e m v il e ts e b et h es o l u t i o ns e to fp r o b l e m 斟o rp r o b l e mv g i v e n c 2 ”。2 膈， i n da f s u c h a cf i n dass u c ht h a t 2 ”。z 膈，f i i i i j 一彳l i = 月i n 。f ；一彳i k e y w o r d s ：j c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ；j s k e wc e n t r o s y m m e t r i cm a t r i c e s ；l e a s t - s q u a r e ss o l u t i o n ；o p t i m a la p p r o x i m a t i o n i i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：科西山日期：d 歹年厂月多石日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：孙匈山日期：。多年f 月j 占e l 导师虢补p 乏 日期秒年r 月彩日 第一章引言 在引言中，主要介绍的是本文的研究背景、内容及意义。 1 1 课题研究背景 反问题是相对于正问题而言的。按照j b k e1le r 1 1 的提法，若在两 个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全 部的或部分的知识，我们称其中一个为正问题，另一个为反问题。进而， 我们称一个先前被研究得相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相 对应的研究较晚的另一个问题为反问题。通常反问题研究起来要比正问 题复杂得多，但在工程实际中却有重要的应用【2 ，3 1 ，反问题在振动理论 4 - 6 】、结构设计f7 1 、分子光谱学【8 1 与线性系统管理【9 】等领域有广泛应用。 自l9 5 6 年d o w inin g 和h o u s e h o ld e r 1 0 1 首次提出矩阵反问题的加法 和乘法以来，特别是近十几年来，由于实际的需要，矩阵反问题已成为 当今计算数学中一个非常活跃的研究课题。矩阵反问题涉及的领域有结 构动力学、固体力学、物理学、生物学、电学、分子光谱学、量子力学、 结构设计、参数识别、自动控制理论、振动理论、非线性规划、动态分 析等等。 在矩阵方程a x = b 中，已知矩阵x 以及右端项曰，求系数矩阵彳，称 为矩阵反问题。线性方程组a x = b 的求解是数值线性代数的三大常规问题 之一，但实际中出现了一类反问题。19 8 2 年，李森林教授在研究控制系 统绝对稳定性时【1 提出：给定向量x 以及右端项b ，求正定矩阵彳，使得 a x = b ，这就是线性方程组反问题。后来，张磊教授在正定矩阵集合类中 就线性方程组反问题进行了研究【12 1 ，得到了该问题可解的条件以及一般 解的表达式，把向量工扩展成矩阵x ，右端向量b 扩展成矩阵b ，就变成 了矩阵反问题。 研究了矩阵反问题的有李绍疆【1 ”、张磊【14 1 、胡锡炎【15 1 ”、戴华【l 8 】 等人，他们研究了对称矩阵约束的矩阵反问题，孙继广对一类矩阵反问 题解的稳定性作了研究【19 1 ，吴雷【2 0 1 在复数域中的实部非对称证定集合类 中研究了反问题魃= b ，解决了解的存在性问题，给出了解的构造方法。 张磊和谢冬秀【2 1 ，2 2 】还研究了正交矩阵集合与反对称矩阵集合类的矩阵反 问题，给出了有解的条件及求解的方法。廖安平 2 3 , 2 4 研究了实反对称矩 阵和线性流形上的子空间上半正定阵反问题，给出了这些问题可解的充 要条件、通解以及最佳逼近解。刘仲云 2 5 - 2 7 研究了中心h e r m itia n 类矩 阵反问题、最小二乘解，并给出了唯一最佳逼近解的表达式。 1 2 选题依据、研究内容 1 2 1 本文的选题依据 矩阵反问题在科学技术许多领域中有应用背景，在矩阵理论与方法 研究上具有重要意义。近十几年来，经过国内外专家、学者不断努力， 取得了一系列重要成果。约束矩阵方程问题涉及的约束矩阵集合类包括： ( 反) 对称矩阵、次( 反) 对称矩阵、( 非) 对称半正定矩阵、正交矩阵、 非负矩阵、双( 反) 对称、( 反) 中心对称矩阵、对称次反对称矩阵、反 对称次对称矩阵、j a c o bi 矩阵、t o e p lit e 矩阵、h ess e n be r g 矩阵、中心 h e r m itia n 矩阵等。使用的方法有s c h u r 分解、c h o lesk y 分解、谱分解、 极分解、正交分解、奇异值分解【28 1 、广义奇异值分解、标准相关分解1 2 9 、 2 商奇异值分解【3 0 】等。但是，还有许多重要问题没有涉及或研究得不够深 入系统。本文就将对以前没有涉及到的中心对称矩阵和反，一中心对称 矩阵的反问题进行一些研究。 1 2 2 本文的研究内容 本文分别在第三章和第四章研究了j 中心对称矩阵和反，中心对称 矩阵方程的最小二乘解，分别得到了解的通式，然后考虑了解集合对给 定矩阵的最佳逼近问题，并分别给出了唯一最佳逼近解的表达式。 3 2 。1 符号及定义 第二章预备知识 在这一节里，我们主要介绍在论文后面将要用到的一些记号和定义， 对于在后面章节中单独出现的概念再另做介绍。 c 2 耐2 ”表示复的2 m 阶矩阵集合，u ”表示靠阶酉矩阵集合。x + 表示矩 阵彳的m o o r e p e n r 0 se 广义逆，x 月表示矩阵x 的共轭转置。对于任意的 矩阵a , bc ”，矩阵彳，b 的内积定义为( 么，艿) = 加c e ( b 4 ) ，由此导出的矩阵 范数为f r 。b e n i u s 范数，记为1 1 | l ，。i 爱j 2 m = ( 一羔台) ，l 指m 阶单位阵， 当j ：。的维数上下文能判断时，：m 简记为j 定义2 1 设a c 2 删2 _ ，如果= 剧，则称a 为j 一中心对称矩阵，它 的集合用c ；”表示；若a j = - j a ，则称a 为反j 一中心对称矩阵，它的集合 用岛”表示。 2 2 问题的提出 ，中心对称矩阵和反- 厂中心对称矩阵在信息论、线性系统理论、线 性估计系统理论及数值分析等领域中有实际应用，如在控制论中，研究 h a m i l t o n 系统时就会出现，特别地，对称的实h a m i l t o n 矩阵，就是一类 反，中心对称矩阵，对称的实反h a m i l t o n 矩阵，是一类，中心对称矩阵 【3 。在许多领域中都常会遇到j 中心( 反，中心) 对称矩阵反问题，因 此研究这个问题是有意义的，但这方面文献仍未见到，本文将讨论这类 问题。 4 问题i 给定x ，b c 2 舭2 ”( 2 m 2 n ) ，求么c j ”，使得 0 删一bj | = m i n 问题i i 给定x ，b c 2 2 ”( 2 m 2 n ) ，求彳巧晰，使得 a x = b 问题给定彳c 2 抽，求a s e ，使得 l l 彳一彳l i = i n f 。4 一彳0 其中& 是问题i 或问题i i 的解集。 问题给定x ，b c 2 蝌2 ”( 2 m 2 n ) ，求a s j ”，使得 i l 删一b i i = m i n 问题v 给定x ，口c 2 删2 ”( 2 m 2 n ) ，求彳s ；孵，使得 a x = b 问题给定彳c 2 删2 埘，求a s e ，使得 j 一彳i = 爪i n f 。i a 一彳l i 其中& 是问题或问题v 的解集 2 3 引理 引理2 1 设彳是一个2 r e x2 m 阶的j 中心对称矩阵，则彳有如下的分块 形式： 令 易证p 是一个酉阵， 彳= 眭1 2 p = 郝甜 若a e 埘，则有 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 彳：尸f4 - i a 2 o p n 。 ( 2 3 3 ) l 0 a t + i a 2 引理2 2 设彳是一个2 m x2 m 阶的反j 中心对称矩阵，则a 有如下的分 块形式： 彳= 眭一a 4 2 ) 3 削 令 尸= 揣身 3 易证p 是一个酉阵，若a s j ”，则有 彳：彳。彳l 刊2 。 ( 2 3 6 ) 肚气 谢2 1 o2 尸。 6 ) 引理2 3 设彳是一个秩为r ( r o ) 的m xn 矩阵，则存在m 阶酉矩阵u 和n 阶酉矩阵y ，使彳= u z y 7 ，其中朋刀矩阵的分块形式为= ( 苫习，且 d = 破昭p ，仃2 ，仃，) ，q ( f = 1 ，2 ，) 为a 的奇异值。 u f 明!田参考立献r 3 2 1 。 6 第三章j 一中心对称矩阵方程的解及其最佳逼近 在本章中，我们主要讨论了，中心对称矩阵方程的最小二乘解，得 到了解的通式，然后考虑了解集合对给定矩阵的最佳逼近问题，给出了 唯一最佳逼近解的表达式。 3 1 问题i 和问题的解 由引理2 1 知当彳是一个2 m x2 m 阶的，中心对称矩阵时4 可以表示为 o 、1 。 4 + 鸪j p 片x = ( 囊) ，p 日曰= ( 主) ，x 。，x ：，曰。，曰：c ”x 2 _ 由引理2 3 知x ，x 2 的奇异值分解分别为 五 厂f ：叫卅 ( 0：v h = u 2 i 巧= 啦：n t t = 炸：吖 m ， 其中u = 妙l ，u 2 ) u “肘，v = ( k ，) u 2 “h ，u 1 c 删，i ，巧c 2 雕，l ，r t = r a n k ( x 1 ) ， 。= d i a g ( t r l ，) ，吼 0 ( 1 一时，步( 3 ) 花费了3 2 m n z _ 6 4 3 刀3 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法尊算，当 m 足够小时，步( 3 ) 花费了6 4 m n 2 _ 1 2 _ _ 3 8 8 玎3 次实乘除法运算和差不多相同次的 实加减法运算。步( 4 ) 花费了( 4 n + 2 m + 1 ) 2 m r 次实乘除法运算和差不多相同 次的实加减法运算。步( 5 ) 花费了8 m 2 ( 2 m - r ) + m 2 ( 4 n + 2 m + 1 ) 2 m r 次实乘除法 运算和差不多相同次的实加减法运算。当聊 刀时，总共计算彳需要 1 2 z = 1 6 掰3 + 3 2 m n 2 + 1 6 m n r - 4 所2 ，一了6 4 栉3 + d 如刀) 次实乘除法运算和差不多相同 次的实加减法运算，当m 足够小时，总共计算a 需要z = 1 6 m 3 + 6 4 r a n 2 + 1 6 m n r - 4 m 2 r _ 1 2 _ _ 3 _ 墨8 玎3 + d g 2 ) 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运 算。 现在我们来看a 的一般算法，a 。可以表示为a = b 吭宝。痧，+ j d ：d 。 当小 刀时，这个算法需要花费z = 6 4 m 3 + 3 2 m n 2 + 1 6 朋玎声一1 6 m 2 声一詈，z 3 + d 如挖) 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运算，当m 足够小时，这个 算法需要花费五= 6 4 m j + 6 4 m n 2 + 1 6 ，z ，z 声一1 6 删2 声一6 4 ) n 3 + o ( n 2 ) 次实乘除法运算 和差不多相同次的实加减法运算。 比较z 和z 、z 和幺我们得到，当小 胛时，算法3 1 比传统算法在 计算量上节省了至少4 m 3 + 8 ，l 菥+ d 如，1 ) 次实乘除法运算和差不多相同次的 实加减法运算，当掰足够小时，算法3 1 比传统算法在计算量上节省了 至少l o m 3 + 8 刀小声+ d g 2 ) 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运算。 1 3 第四章反j 一中心对称矩阵方程的解及其最佳逼近 在本章中，我们主要讨论了反，中一i i , 对称矩阵方程的最小二乘解， 得到了解的通式，然后考虑了解集合对给定矩阵的最佳逼近问题，给出 了唯一最佳逼近解的表达式。 4 1 问题和问题v 的解 由引理2 2 知当彳是一个2 m 2 m 阶的及j - 甲心对称矩阵时a 口j 以衣不 为么= 可彳。+ 0 谢：4 - 。i , 4 2 ) 尸。 记 p 片x = ( 乏) ，p 曰= ( 复) ，x ，x ：，曰。，曰：c 删2 。 c4 t t ， 由9 1 理2 3 知x l ，x 2 的奇异值分解分别为 弘叮i 三v h = u 。2 ：i 巧= m ( i ：n x = 岬：吖 m ) 其中u = 妙。，u ：) u “m ，y = 眠，) u 2 础- ，u 。c ” ，k c 2 删，i ，_ = r a n k ( x 。) ， 。= d i a g ( o r l 一，盯n ) ，o r 。 o ( 1 f ) m = 似。，m 2 ) eu 删肼，= ，2 ) v 2 “h ， m 。c ”。吃，n 。c 2 月。吃，吃- - r a 以k ( x 2 ) ，：= d i a g 8 。，吒) ，4 o ( 1 f ，2 ) 。 于是我们得到问题的解： 定理4 1 设x ，b c 2 m 幽。置，b ，( f = l ，2 ) 如( 4 1 1 ) 式，p 形如( 2 3 5 ) 式。设x 。和x ：的奇异值分解如式( 4 1 2 ) ，则问题i v 有解，且解可表示 彳= 4 + 尸( q g 1 孑夕) 尸，g 。c 耐“1 ) ，g ：c ”“一，2 ) 彳4 岛鼻蜀斗 证明由引理4 1 知，对任意a s ；。，有 1 4 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) p n a p = ( o铲谢2 4 + 谢2 0 j 因此，由f 范数的酉不变性，有 a x - b 2 = 炒么尸p 片x - p b 2 鸩4 oj r & ) 蚓 = 8 ( 彳一谢：l r ：一且i | 2 + 谢：归。一曰：0 2 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) l i m c 4 一所：m ( i ：) - m n b i 1 1 2 + i i u c 彳+ 谢：妙( i 三) 一u b ：矿| 1 2 - - i i m , ( a , 一i 4 2 m 。：一肘，蜀l 2 + i l - m ，e 1 1 2 + 0 m 夕( 4 一谢：m ，：一m h b 。l0 2 + l | - m 夕目20 2 + l u ，0 。+ 谢：妙。，一c ，曰：k 1 2 + i | _ 吖b ：1 1 2 + l l u 夕“+ “：妙。一u 夕曰：k0 2 + i l - 皑召：l | 2 所以0 允r b l i 。爪m 巧i n 。当且仅当 记 由 m ，0 。- i a ：m 。= 肘，且i ；1 ，m ( a t i , 4 ：m l = m h b , n ! ；1 ( 4 1 7 ) u ，( 4 + i a ：妙。= 吖曰：k i 1 ，u 夕( 4 + i a 2 妙。= 皑b 2 k i 1 g 。= m ( m ，( a , - i , 4 2 ) m 2 1 c “( 肘一1 ) m 跏= 瞄 ( a 。 “ b l n t 将( 4 1 7 ) 式中的前两项代入( 4 1 8 ) 式得 1 5 e = l ；1m ， ( 4 1 8 ) l、， m m 谢认 一 一彳4 ，j2 m m m m 认认 一 一 ， 一2 一、， 一2 2 m 丑曰 2 m m ，。- ，卫l 删 同理 a i a 2 = b ix ；+ g l m ： 4 + 谢2 = b 2 x j + g 2 u 罗 ( 4 1 9 ) ( 4 1 1 0 ) 将( 4 1 9 ) ( 4 1 10 ) 式代入( 4 1 5 ) 式可得( 4 1 3 ) 式成立。口 推论4 1 设x ，b c 2 m m ，x f ，b ，( i - - 1 , 2 ) ；g ip 分别如( 4 1 1 ) 和( 2 3 5 ) 式定义，x 。和x 2 的奇异值分解如( 4 1 2 ) 式，则i - j 题v 有解的充要条件 是 b i x ；x 2 = b i ，b 2 x i x l = b 2 且通解可表示为( 4 1 3 ) 式其中g iec 辨( m 一 ，g 2 c ”x ( m 一例。 证明显然，a x = b 等价于0 从一酬2 = o ，因此，由( 4 1 6 ) 式知w - j 题 i i 有解当且仅当( 4 1 7 ) 式和下式成立 m ，蜀2 = 0 ，m 罗蜀2 = 0 ，v ( s 2 匕= 0 ，【，罗b 2 = 0 ( 4 1 1 2 ) 由( 4 1 8 ) 式和定理4 1 的证明知，a x = b 的解的通式可表示为( 4 1 3 ) 式。 因为u u = ，m ，m m 日= ，。，u = 妙l ，u 2 ) 和m = 似i ，m 2 ) ，所示( 4 1 1 2 ) 式等价于 b l 2 = 0 ，b 2 = 0 ( 4 1 13 ) 将2 ，= j ：一x ；x 。和吒哆= ，：。一x ；五代入( 4 1 11 ) 式，同时注意到 硝2 = 2 。一 和哆= ，2 。一也，得( 4 1 13 ) 和( 4 1 1 1 ) 式等价。口 4 2 问题的解 定理4 2 设a c 2 枷_ ，x ，b c 2 _ 咖的条件和定理4 1 相同，则问题 存在唯一解a & ，且彳可表示为 1 6 彳= a + 尸( 互：曼u 夕互l 0 膨夕 户 ( 4 2 1 ) 其中4 = 也? 蜀斗锄m 腻互= 华。 互。= 三( 卜玎炳一彳。t ，互：= 圭( 叫炳一凡：( 二 c4 2 2 ， 证明由定理4 1 ，s 中任何元素彳可表示为 彳= 彳。+ 尸( g ：吕罗g 1 苫， p ，g 。c 耐( 埘1 ) ，g ：c 朋h 一划， c4 2 3 ， 由引理3 2 和3 3 ，对彳c 2 x 2 m ，存在唯一的彳( 1 ) 口”和彳( 2 j s ；”，使 彳= 互+ 互和互= 半，互= 半，( 互，互) 一o o 记p 伍一4 ) p f ，互， 一l 互。狲 其中 - 4 1 , = 1 ( i ，一玎炮一a 3 ( 三) ，a , 2 = 1 ( i ，一玎婉一a ( 二) ， 互。= 三( ，玎烧一4 ( 三) 五= 三( ，玎婉一厶 ( 二 ， 利用引理4 2 和p 是酉阵，对任意a s ，有 4 j 一彳1 1 2 = 8 互一以一攻g ：吕g 1 苫罗 p 日+ 互l | 2 = i i 互i j 2 + 0 互一 一攻g ：，g 1 警， p 1 1 2 = o 互0 2 + l l p 何g 乏一厶) p 一( g 吕夕 = 互一g l 膨夕8 2 + 0 五一g 2 u 钏2 + l 互：1 2 + 0 互。1 1 2 + l 陋0 2 所以忙一么i | = 粟妥等价于互- 一g , m 罗i i = m i n 和l l 夏一g ：u 钏= m i n ， 其中 g i c 删( 肘一 ，g 2 c 叫卅一制，注意到u 是酉阵及m h m 2 = 0 ，m 2 h m 2 = 肼一，l ，有 1 7 2 、， 2 m o g 悟一g 。m 列2 = 0 互。m g 。m 夕m i l 2 = i j 互。m 。1 1 2 + l 陋。m ：一g i0 2 ，所以当g 。= a i i m ：时， 懈。一g 1 m 钏达到最小值，同理当g 2 = 互：时，i l 互：一g ：u 剐达到最小值，将 g l 和g 2 代入( 4 2 3 ) 式得( 4 2 1 ) 式。口 下面我们给出求问题的算法： 算法4 1 ( 1 ) 输入彳，x 和b ( 2 ) 按( 4 1 1 ) 式计算x i ，置，且，岛 ( 3 ) 按( 4 1 2 ) 式计算x l ，x 2 奇异值分解 ( 4 ) 按( 4 1 4 ) 式计算a ( 5 ) 按( 4 2 3 ) 式计算a 一1 l ，a 一2 2 ( 6 ) 按( 4 2 2 ) 式计算a 现在我们来给出该算法的计算量。根据算法可以看出，大部分计算量 集中在步( 3 ) 到( 5 ) 上，其余的计算量可以忽略不计。当m , i 时，步( 3 ) 花费了3 2 m n 2 _ 6 3 4 以3 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运算，当 m 足够小时，步( 3 ) 花费了6 4 m n 2 _ 1 2 _ _ 3 8 8 刀3 次实乘除法运算和差不多相同次的 实加减法运算。步( 4 ) 花费了( 4 n + 2 m + 1 ) 2 m r 次实乘除法运算和差不多相i n 次的实加减法运算。步( 5 ) 花费了8 m 2 ( 2 m 一，) + 朋2 ( 4 n + 2 m + 1 ) 2 m r 次实乘除法 运算和差不多相同次的实加减法运算。当m n 时，总共计算a 需要 = 1 6 m j + 3 2 m n 2 + 1 6 m n r - 4 m 2 r - 6 3 4 以3 + 如n ) 次实乘除法运算和差不多相同 次的实加减法运算，当m 足够小时，总共计算彳需要z = 1 6 m 3 + 6 4 r a n 2 + 1 6 m n r - 4 m 2 r _ 1 2 3 8 疗3 + o g 2 ) 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运 算。 现在我们来看a 的一般算法，彳可以表示为a = 曰反宝。d ，+ 彳d ：痧。当 ，z 甩时，这个算法需要花费 = 6 4 m 3 + 3 2 m n 2 + 1 6 m n 声- 1 6 m 2 声一3 2 3 以3 + d ( 扰刀) 次 实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运算，当m 足够小时，这个算 法需要花费五：6 4 m ，+ 6 4 ，z ，l ：+ 1 6 m n 声一1 6 m 2 声一了6 4 刀，+ o ( n z ) 次实乘除法运算和 差不多相同次的实加减法运算。 比较z 和z 、z 和幺我们得到，当m 刀时，算法4 1 比传统算法在 计算量上节省了至少4 m 3 + 8 ，z m 声+ 烈所以) 次实乘除法运算和差不多相同次的 实加减法运算，当m 足够小时，算法4 1 比传统算法在计算量上节省了 至少1 0 m 3 + 8 ，l m 声+ d g 2 ) 次实乘除法运算和差不多相同次的实加减法运算。 1 9 结论 - ，中心对称矩阵和反- ，中心对称矩阵在信息论、线性系统理论、线 性估计系统理论及数值分析等领域中有实际应用，在许多领域中常会遇 到，中心( 反j 中心) 对称矩阵反问题。 本文分别在第三章和第四章研究了，中心对称矩阵和反，中心对称 矩阵方程的最小二乘解，分别得到了解的通式，然后考虑了解集合对给 定矩阵的最佳逼近问题，并分别给出了唯一最佳逼近解的表达式及其算 法。本文所给出的算法与传统算法相比，无论是从计算量上还是从存储 量上都能确保相当的节省。 本文只对，中心对称矩阵和反- 厂中心对称矩阵的反问题进行一些研 究，而还有很多种其他类型的矩阵类的反问题有待于进一步讨论。 参考文献 【1 】 j b k e l l e r i n v e r s ep r o b l e m a m m a t h m o n ，19 7 6 ，8 3 ：10 7 - 118 a k i r s c h a ni n t r o d u c t i o nt ot h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo fi n v e r s e p r o b l e m s s p r i n g e r - 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c e n t r o h e r m i t i a nm a t r i c e s j c o m p u t a t i o n a l & a p p l i e dm a t h ，2 0 0 7 ，2 0 6 1 ： 5 7 8 5 8 5 2 8 】 g h g o l u b ，c f v a nl o a n j o h n sh o p k i n su p b a l t i m o r e m a t r i xc o m p u t a t i o n s ，19 9 6 ：5 3 - 6 4 4 2 9 】 g h g o l u b ，h y z h a p e r t u r b a t i o na n a l y s i so ft h ec a n o n i c a lc o r r e l a t i o n so fm a t r i xp a i r s l i n e a ra l g e b r aa p p l ，19 9 4 ，210 ：3 2 8 3 0 】d c h u ，b d em o o r o nav a r i a t i o n a lf o r m u l a t i o no ft h eq s v da n dt h e r s v d l i n e a ra l g e b r aa p p l ，2 0 0 0 ，311 ：61 7 8 【31 】a b g e r s t n e r ，r b y e r s ，v m e h r m a n n ac h a r to fn u m e r i c a lm e t h o d s f o rs t r u c t u r e d e i g e n v a l u ep r o b l e m s s i a mj m a t r i xa n a l a p p l ，2 0 0 3 ，4 6 4 4 8 5 【3 2 】杨奇译r a h o r n ，c r j o h n s o n 著，矩阵分析，天津大学出版社， 19 8 9 ( 9 ) ：2 9 4 2 9 5 3 3 】z y l i u s o m ep r o p e r t i e so fc e n t r o s y m m t r i em a t r i c e s ，a p p l ym a t h c o m p u t a t i o n 2 0 0 3 ，1 4 1 ：2 9 7 - 3 0 6 【3 4 z y l i u ，y l z h a n g ，r r a l h a c o m p u t i n gt h es q u a r er o o t so fm a t r i c e s w i t h c e n t r a l s y m m e t r y ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n d c o m p u t a t i o n ， 2 0 0 7 ，1 8 6 ：7 1 5 - 7 2 6 f 3 5 】z y l i u ，h d c a o ，h j c h e n an o t eo nc o m p u t i n gm a t r i x v e c t o r p r o d u c t sw i t hg e n e r a l i z e dc e n t r o s y m m e t r i c ( c e n t r o h e r i t i a n ) m a t r i e e s ， a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 5 ，i6 9 ：13 3 2 13 4 5 【3 6 】g w c r o s s ，p l a n c a s t e r s q u a r er o o t so fc o m p l e xm a t r i c e s ，l i