2009年全国高中数学联赛训练题.doc

2009年全国高中数学联赛训练题一填空题：1已知过点可作曲线三条切线，则的取值范围是 .A（2，3）B（3，2）C（1，1）D（7，2）2若函数有最小值，则a的取值范围是 . 3将一组以1开头的连续的正整数写在黑板上，擦去其中一个数，余下的数的算术平均数为，则擦去的那个数是 .4已知，则的最小值是 .5设函数的定义域为，且满足，若的图像有对称轴，在区间上单调递减，则的取值范围为 . （ ） A B C D6设是的任一排列，是到的映射，且满足，记数表.若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表. 则满足条件的不同的数表的张数为( )A144 B192 C216 D5767设集合，是S子集，且满足：，那么满足条件的子集的个数为 8 .9从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为 10在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上. AD的长度的最小值为 .11是平面上不共线三点，向量，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，向量若，则的值是_ _12函数是定义在无限集合D上的函数，关且满足对于任意的，若则= ；试写出满足下面条件的一个函数存在，使得由，组成的集合有且仅有两个元素.这样的函数可以是= .（只需写出一个满足条件的函数）二、解答题：13已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且()2（）判断ABC的形状，并求sinAsinB的取值范围； （）若不等式a2(bc)b2(ca)c2(ab)kabc，对任意的满足题意的a，b，c都成立，求k的取值范围14设椭圆C：1的左焦点为F，左准线为l，一条直线过点F与椭圆C交于A，B两点，若直线l上存在点P，使ABP为等边三角形，求直线AB的方程 15已知，其中正整数（1）求证：对于一切的正整数，都有；（2）求的最小值，其中约定16、若四位数的各位数码中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数参考答案：1、（3，2） 2、 3、 4、5、 6、216 7、371个 8、1 9、 10、 11、8 12、0 13、略 14、解法一：F(，0)，l：x2，离心率e（1）当AB垂直x轴时，A(，1)，B(，1)|AB|2，又此时线段AB的垂直平分线与直线l的交点为P(2，0)，P，A，B不构成等边三角形，不合题意（2）当AB不垂直x轴时，设AB的方程为yk(x)(k0)，代入1得，(12k2)x24k2x4(k21)0，0，且x1x2，x1x2，设AB中点为M，则M(，)，线段AB的垂直平分线方程为y(x)，此直线与l的交点为P，则P的坐标为(2，)，|MP|(或|MP|xMxP|)而|AB|(ex12)(ex22)(x1x2)4()4ABP为等边三角形|AB|MP|，即，解得k所以直线AB的方程为y(x)解法二：如图，F(，0)，l：x2，离心率e设过点F的弦AB的中点为M，分别过A，B，M向准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|(|AA1|BB1|)()|AB|，又因为PAB为等边三角形|PM|AB|，所以，xyOFABMB1A1M1lP即cosPMM1，sinPMM1，tamPMM1，又kPMtamPMM1ABPM，kAB.所以直线AB的方程为y(x)15、（1）证明：对于一切的正整数，（2）由不等式知 当时，等于成立，所以有最小值16、称为的数码组，则；一、当数码组只含一个值，为，共得个值；二、当数码组恰含二个值，、数码组为型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个，可取个值，则数码组个数为，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，的取值123456789中的个数共得个数码组，对于每组，有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，据构成三角形条件，有，同上得个数码组，对于每组，两个有种占位方式，于是这种有个以上共计个三、当数码组恰含三个值，、数码组为型，据构成三角形条件，则有，这种有组，每组中有种占位方式，于是这种有个、数码组为型，此条件等价于中取三个不同的