（基础数学专业论文）时空变系数伪双曲方程的h1galerkin混合有限远方法.pdf

日1 g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rp s e u d o h y p e r b o l i ce q u a t i o n s w i t hs p a c e t i m ec o e m c i e n t y u n f e ig a 0 s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rh o n gl i s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y h o h l l o t 010 0 21 m a j y 2 0 1 1 原创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果 除本文已经注明引用的内容外 论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果 也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 匆主 臣指导教师签多 日日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 即 内蒙 古大学有权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构 部门送交 学位论文的复印件和磁盘 允许编入有关数据库进行检索 也可以采用影印 缩 印或其他复制手段保存 汇编学位论文 为保护学院和导师的知识产权 作者 在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学 作者今后使用涉及在学期间主要 研究内容或研究成果 须征得内蒙古大学就读期间导师的同意 若用于发表 论文 版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名 日期 南之移 日 指导撕弛强 时空变系数伪双曲方程的日1 一g a l e r k i n 混合有限元方法 摘要 本文研究一类二阶时空变系数伪双曲偏微分方程的两种日 g m e r k i n 混合 有限元方法 我们得到一维情况下函数和它的梯度的半离散格式的最优收敛 阶误差估计 并且证明了混合有限元解的稳定性和存在唯一性 更重要的是 与传统混合有限元方法相比具有一些优势 首先 该方法不用验证l b b 相容 性条件 其次有限元空间 和 中的多项式的次数可以不必相同 而且 对l 2 和日 误差估计不需要拟一致网格的要求 关键词 日1 g a l e r k i n 混合有限元方法 伪双曲方程 稳定性 存在唯一性 最优阶误差估计 日1 g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o r p s e u d 伊h y p e r b o l i ce q u a t i o n sw i t hs p a c e t i m ec o e m c i e n t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s t w o 日1 一g a l e r k i nm i x e d6 n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r es t u d i e df o rac l a u s s o fs e c o n d o r d e rp s e u d 0 h y p e r b o l i cp a r t i a le q u a t i o n sw i t hs p a u c e t i m ec o e m c i e n t o p t i m a l e r r o re s t i m a t e so ft h es c a l a ru n k n 伽l i la j l di t sg r a d i e n tf o rs e i l l i d i s c r e t es c h e m e 甜ed e r i v e d f o rp r o b l e m si no n es p a c ed i m e n s i o n a n dt h es t a b i l i t y 函s t e n c ea n du n i q u e n e s s w h a t s m o r e c o m p a r e dt os t a n d a r dm i x e dm e t h o d s t h ep r o p o s e dm e t h o d sh a es e v e r a la t t r a c t i v e f 宅a t u r e s f i r s t t h e ya r en o ts u b j e c tt ot h el b bc o n s i s t e n c yc o n d i t i o n t h e6 n i t ee l e m e n t s p a c e s a n di 杪km a yb ed i f f e r e n tp 0 1 y n o m i a ld e g r e e sw i t h o u tr e q u i r i n gt h ef i n i t ee l e m e n t m e s ht ob eq u a s i u n i f o r ma b o u tt h el 2 一a n d 日1 一e r r o re s t i m a t e s k e y w o r d s 日1 g a l e r k i nm 议e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s p s e u d 伽h y p e r b o l i ce q u a t i o n s t a b i l i t y e 妇s t e n c ea n du n i m l e n e s s o p t i m a le r r o re 8 t i m a t 髑 i i 中文摘要 英文摘要 引言 目录 第一章原问题的等价系统 第二章系统 i 的日1 g a l e r k i n 混合有限元方法 第三章系统 i i 的日1 g a l e r k i n 混合有限元方法 第四章结论与展望 参考文献 致谢 i i i i 1 l 4 5 l 5 7 9 i 1 1 1 l 内蒙古大学硕士学位论文 引言 本文考虑如下一类时空变系数伪双曲型偏微分方程 一v 口 z v 让t 6 z v 札 仳t z t q 正 札 z o z t a q 歹 o o 1 i t 上 z o u o z t 正t z o 让1 z z q q 是 d 1 2 3 中具有l 细s c 耽t z 连续边界a q 的凸有界区域 j o 卅 对于固定的 丁 0 t o 贝i j 存在常数c c q 0 使得 删 护sc 1 u 1 1 p lf u d s l 让 w 坳 q 1s q 特别当u 啊巾 q 时 此不等式给出了嚼 p q 空间中范数 i l l p 与半范数i 1 1 p 的等价性 此时可有 i i t 正i i o p c l t 正1 1 p t 正 w 苫巾 q 1 口 5 l 2 j 内积用 表示 令硪 u 日1i 口 o 移 1 o 传统的s o b o l e v 空间记作 彬m p 1 p 相应的范数为 护 特别当p 2 时 把 m 2 记作日m 其范数简记为 i i m 原问题的等价系统 第一章原问题的等价系统 本节考虑 o o 1 的特殊情形 一维伪双曲型偏微分方程的初边值问题 fu 托一 口 z 6 z z z 毗 z t t q z 让 o t 让 1 o t 歹 1 o 1 t 正 z o u o z 毗 z o t 上1 z z q 其中q o 1 j o 即 函数o 知 n z t 冬口1 0 b 0 b z t b 1 o 为常数 设p g 一靓 叩 u 一砒 参见文献 l l 1 2 有 对于歹 o 1 1 1 7 7 l l 吼儿 c 危七 1 一 i i 乱i i 七 1 i i u t i i 七 l 扎 s i i 七十1 i u t s i 七 1 d s 2 o 1 8 0 l i p i l j c 7 1 一 i q l 1 l l 矶吣 c 圹 1 一o i i 吼 r 1 2 o 1 9 对于歹 o 1 和1 p o 有 i 聊 c 知 1 j 1 w 川 p i l u s f l p d s 2 o 2 0 l l j d l i 仉 j p c r 1 一j g r l p 2 o 2 1 下面给出误差估计 令 珏一t 正 l u 一面 l 面 一u 7 g 一弧 g 一甄 百k 一饥 p 毒 由式 2 o 1 一 2 o 1 7 可以得到误差方程为 凸 b t l 6 t k j 口 t 拓 vu i l 2 o 2 2 q t 伽 q 叫 a 伽h 口 伽 1 一 q p 叫h 一 n 风 伽 一 口p 伽h 卢n 7 k 白 p 1 伽九 卢1 彻 锄 伽 a p 伽 1 v 叫 2 o 2 3 7 系统 i 的h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法 定理2 o 3 若取乱 i l 0 锄 0 吼 0 甄 o 则 i i t 正一t 正h i i l i q g i l i u u 1 1 1 c 衲 r 1 宴 舅忆 肿 i 筹慨肼t 等忆 肘1 i 一乱 t l l u 一札1 1 1 1 1 1 c 触 r i i 舅 肘 妻 舅忆 肿 刊甜纠肿 等岫肿1 l i t 正一 i i l ps c m 饥 7 1 知 1 i l t 正i i l 2 日k 1 f l 乱t l i 工2 日k i l 札i l 工1 w k l p i i t 工i i l w k l p i i l 2 日r 1 i i 吼i i l 2 舻 1 证明 因为p 和叩给定 所以只需估计估计f 和 在 2 o 2 2 式中取t 协 则有 o 缸 龟 岛q 由于2 o 龟z q 爱 n q 一 毗龟 缸 利用c a u c h y s d l w a n z 不等式及y o u n g 不等式 同时注意系数范围及其相互关系可得 勃n 锄2 c 2 2 俐2 2 0 2 4 对上式两端对时间从 到t 积分 并注意到 o o 可得 1 1 1 1 2 c i i q i l 2 d s i i p i l 2 i i 1 1 2 d 8 2 o 2 5 由g r o n w a l 圬1 理及积分不等式 o o 2 可得 l 蚓 2 c z 1 i p i l 2 i i 1 1 2 d s z z 7 1 l p i l 2 i i f i l 2 d s 打 c 1 i p i l 2 i i 1 1 2 d s 1 l p i l 2 i i f i l 2 d s 打 0 0 0 sc 1 2 2 幽 2 o 2 6 在 2 o 2 3 式中令伽h f 同时在空间上进行分部积分并注意边值条件 则有 扣细2 丢勃q 钏2 眯 q 钏2 一 口t 肪 一 口以 卢n 龟 卢1 锄 卢1 缸 入 p 一 q t p 荨 一 o 风 p 缸 一 7 尻红专 卢n 岛 卢1 缸 专 一 仇 卢l z f 卢1 已 p 1 毒 一 7 卢l z 荨 卢1 岛 a j d f f 2 o 2 7 8 经过整理 利用c 岫 s d l w a r t z 不等式 y o u n g 不等式及各个系数的有界性可得 三知口吾 1 1 2 忪锄2 幡 i i c jj pj j j i 见j j jj 7 7 i j jj i i j i 现j j jj 岛 jj j l 毒j i c i i 叼i i i 叩t l i l l 矗l i 入l i f i l 2 s c i i 1 1 2 l i n l l 2 1 1 7 7 1 1 2 l i 缸f 1 2 i l 1 1 2 l i 吼 1 2 jj q 1 1 2 詈ij 岛jj 2 2 o 2 8 在 2 o 2 2 式中取秽i i l 龟 经过简单的计算即得 f 1 1 2 c i l 缸1 1 2 i i p i l 2 i 1 2 c c i i p i l 2 l i f i l 2 c 1 i p i l 2 i l 毒i 2 d s 2 o 2 9 0 2 o 2 8 两边对町1 日j 从 到 积分 j 司时注意 o o 式 2 o 2 6 2 o 2 9 和 o o 2 得 扣 2 印小 i d s c 1 l p i l 2 i l m i l 2 l f 叩1 1 2 l i 引1 2 i i 吼1 1 2 d s 0 z 讯m 川2 d s 州 一 t c 厶 i i p i l 2 i l p t i l 2 l i 叩1 1 2 i f 仇1 1 2 d s i i 1 1 2 d s 2 o 3 0 0 t 0 对上式再次应用g r o n w a l l l 引理及积分不等式f o o 2 1 可得 t 蚓1 2 d s 俐2 o c s c 厶 i i p i l 2 l l 卵1 1 2 i i 肌1 1 2 i i 叩t i l 2 d s 2 o 3 1 0 因此将上式估计代入 2 o 2 6 并应用积分不等式 o o 2 可得 i i 1 1 2 c 1 i p i l 2 i i 1 1 2 d s 胁 2 d s z 2 尉川2 川1 2 圳2 圳1 2 姗 s z 2 恻1 2 2 2 d s 2 0 3 2 9 系统 i 的h 1 一g m e r k i n 混合有限元方法 将 2 o 3 1 估计代入 2 o 2 9 并应用积分不等式 o o 2 可得 l l 缸t i l 2 c 1 i p i l 2 i i 1 1 2 c i i p i l 2 l i 1 1 2 d s c i l p i l 2 i i p i l 2 i l 肌1 1 2 i 7 1 1 2 l i 仇1 1 2 d s z z r i i j d 2 f i 肌1 1 2 1 1 7 7 1 1 2 l i 吼 1 2 d s d 丁 c i i p l l 2 c i p i l 2 i i 风1 1 2 i i 叩1 1 2 i i 仇1 1 2 d s 2 o 3 3 叉因为 q 础 所以由p o i n c 盯6 不等式得 i i i m i i i q t 故有 i i o 为常数 设p 口一氨 叼 u 一魂 参见文献 1 1 1 2 有 l i 叩 l j c 九 1 一 1 1 乱l l 七 1 l i 吼ii j c 缸 1 一ji i u l i i c 1 3 o 7 和 i i p 吣 i i 矶阢 i l 触i b c r 1 一 i i 口i f r l l i 吼i i r 1 i l 吼t i l 1 i i g s l i l d s o 而且 对于j o 1 和1 p o 我们有 一 f 川j j p c 矿 卜o g 彬 i i g s i i 件t d s 1 l j 8 9 0 0 3 3 i i 系统 i i 的h 1 一g a l e r l i n 混合有限元方法 和 为了得到误差估计 令 7 l i i 矿j p c l 七十1 一jj i 仳i w k 1 p t 正一钍九 t 正一面 豇 l u 叩 口一吼 口一饥 孔一吼 j d 专 3 0 1 0 由 3 o 1 一 3 o 6 可以得到误差方程为 n 龟 7 讶 p 口k 毒 vu l v x 3 o 1 1 q 毒 纨 岛t t i 茁 侥岛 卢缸 伽九 q t 伽 一 q j d 纨t 正 一 q p t 叫九 入 胁 叫 1 1 v 加 i 3 o 1 2 定理3 o 4 若q o 口u o z g t o a u l z 取吼 o 磊 o 妣 r 吼 o 倦里的r 是通 过 叫一r 叫 叫 0 叫 定义的l 2 投影 则 l i u u i i l 乱一t 正 1 1 1 蚴俪啡 1 1 口 t 删 参孙州 宴 等忆 肘 l i 舅慨肿 i l q 一吼 口一吼 t i l 口一吼i i l c 扩 0 州 l i 口l l 础肿t 妻 舅忆一 肿 i 舅慨肘1 i i 一 i f 驴 c 九m 讥 七 1 1 l i 口t o l l 1 i i g i i l t 日件1 i i 让i i 工 k 1 p 妻 鬻忆一 肿 舅慨刖1 i i q 一吼i l 驴 c 1 i g t o i i l i l q i l l r p l l g l i l 旷 t t p i l 口i i 己1 日r 妻 i 骞i l 一 肿 舅 姐州 证明 因为p 和叼给定 所以只需估计估计 和 在 3 o 1 1 式中取 则由c a u d l y s d l w a r t z 不等式及y o u n g 不等式易得 i i l i c 忪 i i 3 o 1 3 在 3 o 1 2 式中取叫l i 6 则雨 q f 托 纠 白 t 岛 傀z 白 q t 纠 一 a p 泓 一 口p a 所 其中 q 优 a t t 已 2 q 6 已 a 缸 a t 瓯毒 a 已 风矗 缸 丢 尻 已 一 阮 矗 吨 邑 丢丢 q 剖一丢 锄 鼽 q 武 丢象 q 怎专 一丢 钺 锄 三丢 q 正f 一丢 q n 将以上表达式代入 3 o 1 4 利用c a u c h y s c h w 盯t z 不等式及y o u n g 不等式 围及其相互关系可得 丢扣 卅圭知 去丢 a 锄 丢盖 风岛 i 岛川2 一 风专妇 丢 毗 三 一兰 a t 一 q p t 一 q j d 托 入 p t c 1 l l l j 1 1 1 1 2 l p i l 2 l l 风1 1 2 l l j d 托1 1 2 丢l l 疵1 1 2 3 0 1 4 同时注意系数范 3 o 1 5 对上式两端对时间从 到t 积分 并注意到钆 o 勃 o 及积分不等式 o o 2 可得 三i i a 杰善 2 丢l i q 荨1 1 2 去i i a 1 1 2 雅刨2 静眺 1 1 2 d 8 c l o 1 1 2 1 i i i 1 1 2 i l p i l 2 i i m l l 2 l i p t t i l 2 d s l 再由g r o i l w a l l 弓1 理及积分不等式 o o 2 即得 i i 1 1 2 c i i o 1 1 2 1 i p s 1 1 2 l l m s 1 1 2 i i p s 1 1 2 d s 恻 2 c i 脚 1 2 上 2 脚 i 2 l 触 s 1 1 2 d s l l 善l l c l l o 1 1 2 f 1 i p 8 1 1 2 i i m s 1 1 2 十i i 触 s 1 1 2 d s1 1 3 3 0 1 6 3 o 1 7 系统 i i 的h 1 一g a l e r k i n 混合有限元方法 由p o i n c a r 6 不等式吲i c i l c l i l i 及 3 o 1 3 式可得 i c i i 1 1 c m i i 3 o 1 8 再者 由吼 o 的l 2 投影可得i i o i c 矿 1 l i 吼 o i i r l 参见文献 9 由式 3 o 1 3 3 o 1 7 3 o 1 8 和 3 o 7 3 o 8 以及三角不等式 可得定理中的l 2 模及日1 模 当1 p o 由s o b o l e v 空间的嵌入定理 可得 l 护 c 1 1 硪 知 l p c 雌1 1 1 日1 由三角不等式 式 3 o 9 3 o 1 0 和 3 o 1 7 3 o 1 8 以及s o b o l e v 空间的嵌入定理 即得 定理中的驴模的误差估计 注 i 从定理2 中我们可以清楚地看到当七 r 我们有 i u 一乱 i i l l 2 i i u t 正 i i l 一 日1 i l 乱一让 l i 工 w 巾 d 惫 1 i i 对于口的l 2 模 日1 模 汐模都是与空间y 无关的量 并且有 i i g 一弧i l 工 二2 l l g g i i l 一 日1 i i g 一口 i i l w o p o r 1 i i i 该方法很容易推广到二维和三维情况 虽然误差估计不是最优的 但是可以得到和 传统有限元法相同的收敛阶数 而且不用验证三b b 相容性条件 1 4 内蒙占人学硕士学位论文 第四章结论与展望 本文中给出了时空变系伪双曲型偏微分方程的两种日1 g a l l e r l i n 混合有限元格式 对 于系统 i 给出了解的存在唯一性和格式稳定性的证明 同时推导了一维情况下最优收 敛阶误差估计 对于格式 i i 我们仅仅给出了误差估计证明的详细过程 其解的存在唯一 性和格式的稳定性问题可类似于格式 i 的证明得到 从问题的研究可以看出 格式 i 要 优于格式 i i 主要体现在格式 i 能够同时将空间及时间方向的导数降为一阶形式 从 而有利于数值计算 而格式 i i 在时间方向上仍然保持了2 阶导数问题 相对来说数值求 解过程要复杂一些 我们通过误差估计对这两种格式作一个简单的说明 从误差估计结 果可以看出两种方法都能得到最优收敛阶误差估计 这正是日1 g m e r k i n 混合有限元方法 的优点的体现 该方法除了可以数值求解线性的时空变系数伪双曲方程 还能求解如下 半线性发展方程 半线性时空变系数伪双曲型偏微分方程 f 牡优一v o z t v u t 6 z t v u u t t 正 z t q z l 乱 z t o z t a q 4 o 1 l i i让 z o 乱o z 毗 z o 让1 z z q q 是r d d 1 2 3 中具有l t p s c 耽t z 连续边界a q 的凸有界区域 j o 卅 对于固定的 t o t o u o u 1 是已知连续函数 其中系数o z 和6 z 满足函数0 口o o z 0 1 0 6 d 6 z t 6 1 o 而 乱 关于u 满足利普西斯条件 也就是说i 乱1 一 乱2 i c u 1 一札2 i 讹1 u 2 按照本文过程可以得到两种混合弱形式 o 阮z g v 秒 础 4 o 2 q g t 伽 q t g 硼 q z 叫z q 口 伽 卢1 t t 正 叫 卢l t 正以 伽 p l 札 叫 一 让 t v 伽 日1 4 o 3 和 口 口 v 秽 础 4 o 4 q 口 扰 叫 吼z t 阮口 z 伽 n 口 t 叫 一 u t v 伽 日1 4 o 5 对于以上的两种混合弱形式 虽然是可行的 但是相应的误差估计从理论上来讲不能得 到最优的结果 于是类似于文献 1 5 1 6 给出下面改进的格式 n 阮z 口 vu 日3 4 o 6 5 结束语 和 a 吼 叫 口t g 彬 q 叠 加z a 口 t 正 卢n t 正z 伽 卢1 仳武 伽 卢1 t 2 t t 九 u p q 一 n 6 缸z t 叫 v 叫 日1 4 o 7 n 牡z g vu 三珐 q g 优 叫 蛾 傀g z q 口 t 伽 u q 口 伽 对于以上两种格式从理论上来说能够推导出最优收敛阶误差估计 程可结合本文和文献 1 5 1 6 证明过程得到 1 6 4 0 8 v 伽 日1 4 o 9 误差估计的证明过 内蒙古人学硕士学位论文 参考文献 l c o n n a nj l i ny n o n c l a s s i c a l l 日1p r o j e c t i o na n dg a l e r k i nm e t h o d 8f d rn o i l l i n e a ri n t e 铲o d i 如r e n t i a le q u a t i o n s j c a l c o l o 1 9 9 8 2 5 1 8 7 2 0 1 2 d o u 9 1 嬲jj r d u p o u tre w h e e l e rm f 日1 g a j e r k i nm e t h o d sf d rt h el a p l a u c ea n dh e a te q u 扣 t i o n s m a t h e l n a t i c a l 缸p e c to ff i i l i t ee l e m e n t si np a r t i a ld t 髓r e n t 谢e q u a t i o l l s c d eb o o r e d a c a d e m i cp r e 豁 n e wy 6 r k 1 9 7 5 3 8 3 4 1 5 3 p 盯kej m 溉df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 五d rn o n l i n e a rs e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b k m s j s i a m jn u m e r a n a l 1 9 9 5 3 2 8 6 5 8 8 5 4 r a v i a npa t h o m a sjm am i x e d 丘n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rs e c o n do r d e re 1 1 i p t i cp r o b l e m s j l e c t u e rn o t e si nm a t h 6 0 6 s p r i n g e r b e r l i n 1 9 7 7 2 9 2 3 1 5 j o h n s o nc t h o m 6 ev e r r o re 8 t i m a t e sf o rs o m em i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp a u r a b o l i c p r o b l e i n s j r a r l on u m e r a n a l 1 9 8 1 1 5 4 l 一7 8 6 c o w s 盯lc d u p o u ttf w h e e l e rm f ap r i o r ie s t i m a t e sf o rm b e d 五n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rt h ew a v ee q u a t i o i l s j c o m p u t m e t h o d 8a p p l m e c h e n g r g 1 9 9 0 8 2 2 0 5 2 2 2 7 p a n iak a n 日1 g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp 甜a b o l i cp 盯t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s j s i a mj n u m e r a n a l 1 9 9 8 3 5 7 1 2 7 2 7 8 p a n iak e a i r w h e t h e rg 日1 一g a l e r k i nm i e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp a r a b 0 1 i cp 盯t i 址 i n t e g r o d i 虢r e n t 瑚e q u a t i o 璐 j i m aj o u r n o fn u m e r i c a la n a l y s i s 2 0 0 2 2 2 2 3 1 2 5 2 9 p a n iak s i n h ark o t t aak a n 日1 g 以e r k i nm 波e dm e t h o df o rs e c o n do r d e r1 1 y p e r b o l i c e q u a t i o i l s j i n t e rj o u r n a lo fn u m e r i c a l la n a la n dm o d e l i n g 2 0 0 4 1 2 1 1 1 1 2 9 1 0 王瑞文 双曲型积分微分方程日1 一g a l l e r k i n 混合元法的误差估计 j 计算数学 2 0 0 6 2 8 1 1 9 3 0 1 1 w h e e l e rw f ap r i o r il 2 一e r r o r e s t i m a t e sf o rg a l e r k i na p p r o 贼m a t i o i l st op 盯a b o h cd i 乱r e n t 试 e 1 u a t i o n j s i a mj n u m e r a n a l 1 9 7 3 1 0 7 2 3 7 4 9 1 2 l i nyp z h a n gt f i i l i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rn o n l i n e 盯s o b 0 1 e ve q u a t i o 璐w i t hn 6 n l i n e 盯 b o u n d 哪 c o n d i t i o i l s j j m a t h a n a l l a p p l 1 9 9 2 1 6 5 1 8 m 1 9 1 1 3 l i uy l ih 日1 一g a l e r k i nm 恢e d 矗n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rp s e u d o h y p e r b 0 1 i ce q u a t i o n s j a p p l m a t h c o i n p u t 2 0 0 9 2 1 2 4 4 6 4 5 7 l4 刘洋 李宏 何斯日古楞 伪双曲型积分 微分方程的日1 g m e r k i n 混合元法误差估计 j 高等学校计算数学学报 2 0 1 0 3 2 1 1 2 0 1 5 刘洋 李宏 阻尼s i i 峥g o r d o n 方程的h 1 g a l l e r h n 混合元方法数值解 j 应用数 学 2 0 0 9 2 2 3 5 7 9 5 8 8 1 7 参考文献 16 刘洋 李宏 展 2 0 1 0 3 9 4 线性s c h r o d i n g e r 方程的日1 一g a l e 出n 混合有限元方法 j 数学进 4 2 9 4 4 2 17 l i uy j a n g l ih o n g w a n gj i n f e n g e r r o r 髑t i m a t e 8o f 日1 一g a l e r k i nm b e d