福建省师大附中高三数学上学期第十五周周练试题 理.doc

福建省师大附中2016届高三数学上学期第十五周周练试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点位于()a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限2.设全集u=r，则图1中阴影表示的集合为（ ）图1a. b. c. d.3.函数的最小正周期是（ ）a. b. c.2 d.14. 已知，则的大小关系是（ ）ab图2a. b. c. d. 5. 如图2，用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”（即图中、所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有( ). 36种 .210种 . 216种 .120种6. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的，则中间一组的频数为（ ）a.40 b.50 c.60 d.487.数列满足，是的前项和，则（ ）a.502 b.500 c.504 d.498abd csm8. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为 a. b. c. d.9. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则展开式中的常数项为（ ）a.21 b.16 c.35 d.4510.设n),则集合中元素的个数是（ ）a.1 b.3 c.2 d.411.如图3， 四棱锥s-abcd的底面是边长为 1的正方形，sdad，且sd=1，sb=，m为sa的中点，则异面直线dm与sb所成角为（ ）a. b. c. d.12. 设函数，方程有且只有两相不等实数根，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d.第卷二、（本大题共4小题，每小题5分）13.不等式的解集 .14.设、满足约束条件，则目标函数取得最大值的点的坐标是 .15.问题：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据我们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从a1，a2，an推出的 . 16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为p，是以为底边的等腰三角形若10，双曲线的离心率的取值范围为，则该椭圆的离心率的取值范围是 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）abc中，角a的对边长等于2，向量m=，向量n=.（1）求mn取得最大值时的角a；（2）在（1）的条件下，求abc面积的最大值.18. （本小题满分12分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？（2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取用表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求的概率分布及的数学期望（图4）abcdea1b1c1d119. （本小题满分12分）如图4，已知长方体中，,是上不同于端点的点，且.（1） 当为钝角时，求实数的取值范围；（2） 若，记二面角的大小为，求.20.（本小题满分12分）如图5，已知位于轴左侧的圆与轴相切于点，且被轴分成的两段弧长之比为，过点的直线与圆相交于两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点xyoc图5（1）求圆的方程；（2）当时，求出直线的方程；（3）求直线的斜率的取值范围21.（本小题满分12分）已知函数，（1）求证：函数在点处的切线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）当时，求证：在区间上，满足恒成立的函数有无穷多个请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.bacde（第22题图）22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知中，是外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至点求证：的延长线平分.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线经过定点，倾斜角为.（1）写出直线的参数方程和曲线的标准方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求证：，并说明等号成立的条件；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.理科数学答案一、 选择题1.d 2. a 3.d 4.a 5.c 6.b 7.a 8.d 9.d 10.b 11.d 12.a解析：1，即该复数对应的点在第四象限.故选d.2.，则.故选a.3.，周期.故选d.4. ，又，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有，即.故选a.5. 解法一：6种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有（种）；解法二：涂眼睛有种，涂鼻子有种，涂嘴巴有种，共有种.故选c.6. 在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1.设中间一个小长方形面积为，则，解得，中间一组的频数为.故选b.7. ，.故选a.8. 设，求出直线与圆相切时的斜率.，所以直线的斜率的取值范围为9. 第3项，第5项的系数分别为，.由题意有，整理得，解得符合题意.由，当时，有，故常数项为.故选d.10.=,分n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3(kn)四种情况，分别代入可得的值为.故选b.11. 取ab的中点n，连结mn，dn，则mnsb，dmn就是异面直线dm与sb所成的角abd csmnm为sa的中点 mnsb.在rtsad中，dm=sa=在rtand中，dn=.在rtdmn中，mn2+dm2=dn2=，dmn为直角三角形，dmn=90.异面直线dm与sb所成的角为90.故选d.212.作出函数图象，由数形结合可知，经过时有2个交点，因此可得，所以实数的取值范围.故选a.二、 填空题13. 14. 15. 16.解析：13. 由，整理得，解得.又，即，所以原不等式的解集为.14. 在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围. 欲求的最大值，即求轴上的截距最大值，由图可知，在(2, 3) 点处目标函数取得最大值. 15. 本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工.仔细读题后发现可以写出“最佳近似值”a的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于a的二次函数有最小值，而此时.16. 如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，c，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，c，m，n，则 ，得问题转化为12，求的取值范围设x，则c，所以因为1x2，所以，即三、 解答题17. 解：（1）mn2. 因为 abc，所以bca，于是mncosa22.因为，所以当且仅当，即a时，mn取得最大值.故mn取得最大值时的角a. （2）设角a、b、c所对的边长分别为a、b、c，由余弦定理，得 b2c2a22bccosa，即，所以，当且仅当时取等号. 又.当且仅当时，abc的面积最大为. 18. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”张，依题意有，解得. 即盒中有“会徽卡”3张 （2）因为表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以的所有可能取值为1，2，3，4. ；，概率分布表为： 1234p的数学期望为19. 解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题设，知，.因为，所以,所以. 从而(2，0，5)， ,. 当为钝角时，,所以,即， 解得.即实数的取值范围是. （2）当时， ,.设平面的一个法向量为，由得取，得.所以平面的一个法向量为.易知，平面的一个法向量为.因为，从而.20.解：（1）因为位于轴左侧的圆与轴相切于点，所以圆心在直线上设圆与轴的交点分别为、，由圆被轴分成的两段弧长之比为得，所以，圆心的坐标为，所以圆的方程为.4分（2）当时，由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，由得或不妨令，因为以为直径的圆恰好经过原点，所以，解得，所以所求直线方程为或（3）设直线的方程为，由题意知，解之得， 同理得，解之得或由（2）知，也满足题意所以的取值范围是 .21. 解：（1）因为，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线方程为， 整理得，所以切线恒过定点 （2）令0，对恒成立，因为（*）当时，有，即时，在（，+）上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当时，有，同理可知，在区间上，有，也不合题意；当时，有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，所以综上可知的范围是（3）当时，记因为，所以在上为增函数，所以