高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第45讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离学案.doc

第45讲立体几何中的向量方法(二)求空间角和距离考纲要求考情分析命题趋势能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.2017全国卷，182017全国卷，192017全国卷，192017江苏卷，22用向量法证明线线、线面、面面的平行与垂直，用向量法求空间角和空间距离，用向量法解决探索性问题.分值：68分1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，)求法cos _cos 2直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成角为，a与n的夹角为，则sin |cos |_.3求二面角的大小(1)如图，ab，cd分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为_，_.(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |_|cos n1，n2|_，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)4利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点a(x1，y1，z1)，点b(x2，y2，z2)，则|ab|_.(2)点到平面的距离如图所示，已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则b到平面的距离为|.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，()2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为(a)a30b60c120d150解析 cos m，n，0m，n180，m，n120，l与所成角为90(180120)30，故选a3正三棱柱(如右图，底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则ac1与侧面abb1a1所成的角为_30_.解析 取a1b1的中点e，连接c1e，ae，由正三棱柱性质得平面a1b1c1平面a1b1ba，又c1ea1b1，a1b1是平面a1b1c1与平面a1b1ba的交线，c1e平面a1b1ba，则c1ae为所求又a1b12，aa12，ae3，c1e，tan c1ae，c1ae30，ac1与平面abb1a1所成角为30.4二面角的棱上有a，b两点，直线ac，bd分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于ab已知ab4，ac6，bd8，cd2，则该二面角的大小为_60_.解析 由条件，知0，0，|2|2|2|2222624282268cos ，(2)2，cos ，即，120，二面角的大小为60.5p是二面角ab棱上一点，分别在平面，上引射线pm，pn，如果bpmbpn45，mpn60，那么二面角ab的大小为_90_.解析 过ab上一点q分别在，内作ab的垂线，交pm，pn于m，n，则mqn为二面角ab的平面角设pqa，bpmbpn45，qmqna，pmpna.又mpn60，知pmn为正三角形，则mna，解三角形qmn，易知mqn90.一求异面直线所成的角用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值【例1】 (2017江苏卷)如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，且abad2，aa1，bad120.(1)求异面直线a1b与ac1所成角的余弦值；(2)求二面角ba1da的正弦值解析 在平面abcd内，过点a作aead，交bc于点e.因为aa1平面abcd，所以aa1ae，aa1ad如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系axyz.因为abad2，aa1，bad120，则b(，1,0)，d(0,2,0)，e(，0,0)，a1(0,0，)，c1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos ，.因此异面直线a1b与ac1所成角的余弦值为.(2)平面a1da的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面ba1d的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面ba1d的一个法向量，从而cos ，m.设二面角ba1da的大小为，则|cos |.因为，所以sin .因此二面角ba1da的正弦值为.二求直线与平面所成的角利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所成的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角【例2】 如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab16，bc10，aa18，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1ed1f4.过点e，f的平面与此长方体的底面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线af与平面所成角的正弦值解析 (1)交线围成的正方形ehgf如图：(2)作emab，垂足为m，则ama1e4，emaa18.因为四边形ehgf为正方形，所以ehefbc10.于是mh6，所以ah10.以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(10,0,0)，h(10,10,0)，e(10,4,8)，f(0,4,8)，(10,0,0)，(0，6,8)设n(x，y，z)是平面ehgf的法向量，则即所以可取n(0,4,3)又(10,4,8)，故|cos n，|.所以af与平面所成角的正弦值为.三求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角【例3】 (2017浙江卷)如图，已知正四面体dabc(所有棱长均相等的三棱锥)，p，q，r分别为ab，bc，ca上的点，appb，2.分别记二面角dprq，dpqr，dqrp的平面角为，则(b)abcd|og|of|，tan tan tan ，又，为锐角，故选b【例4】 (2017北京卷)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为正方形，平面pad平面abcd，点m在线段pb上，pd平面mac，papd，ab4.(1)求证：m为pb的中点；(2)求二面角为bpda的大小；(3)求直线mc与平面bdp所成角的正弦值解析 (1)如图，设ac，bd的交点e，连接me.因为pd平面mac，平面mac平面pdbme，所以pdme，因为abcd是正方形，所以e为bd的中点，所以m为pb的中点(2)取ad的中点o，连接op，oe.因为papd，所以opad又因为平面pad平面abcd，且op平面pad，所以op平面abcd因为oe平面abcd，所以opoe.因为abcd是正方形，所以oead如图建立空间直角坐标 系oxyz，则p(0,0，)，d(2,0,0)，b(2,4,0)，(4，4,0)，(2,0，)设平面bdp的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则y1，z，于是n(1,1，)平面pad的法向量为p(0,1,0)所以cos n，p.由题知二面角bpda为锐角，所以它的大小为.(3)由题意知m，c(2,4,0)，.设直线mc与平面bdp所成角为，则sin |cos n，|.【例5】 (2017全国卷)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值解析 (1)取pa的中点f，连续ef，bf，因为e是pd的中点，所以efad，efad由badabc90得bcad，又bcad，所以efbc，四边形bcef是平行四边形，cebf，又bf平面pab，ce平面pab，故ce平面pab(2)由已知得baad，以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为bm与底面abcd所成的角为45，而n(0,0,1)是底面abcd的法向量，所以|cos ，n|sin 45，即，即(x1)2y2z20.又m在棱pc上，设，则x，y1，z.由，解得舍去，所以m，从而.设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cos m，n.因此二面角mabd的余弦值为.四求空间距离求点面距一般有以下三种方法：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；等体积法；向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便【例6】 如图，三棱柱abca1b1c1中，cc1平面abc，acbcaa1，d是棱aa1的中点，dc1bd(1)证明：dc1bc；(2)设aa12，a1b1的中点为p，求点p到平面bdc1的距离解析 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于d为aa1的中点，故dcdc1.又acaa1，可得dcdc2cc，所以dc1dc又dc1bd，dcbdd，所以dc1平面bcd因为bc平面bcd，所以dc1bc(2)由(1)知bcdc1，且bccc1，则bc平面acc1a1，所以ca，cb，cc1两两垂直，以c为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.由题意知b(0,1,0)，d(1,0,1)，c1(0,0,2)，b1(0,1,2)，p，则(1，1,1)，(1,0,1)，.设m(x，y，z)是平面bdc1的法向量，则即可取m(1,2,1)设点p到平面bdc1的距离为d，则d.1如右图所示正方体abcdabcd，已知点h在abcd的对角线bd上，hda60.求dh与cc所成角的大小解析 如图所示，以d为原点，da为单位长度，建立空间直角坐标系dxyz，则(1,0,0)，(0,0,1)设(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos ，可得2m，解得m，cos ，又0，180，45，即dh与cc所成的角为45.2(2017山东模拟)如图，在直棱柱abcda1b1c1d1中，adbc，bad90，acbd，bc1，adaa13.(1)证明：acb1d；(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值解析 (1)证明：易知，ab，ad，aa1两两垂直，如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设|ab|t，则相关各点的坐标为b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)，因为acbd，所以t2300，解得t.于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300，所以，即acb1d(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)，设n(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线b1c1与平面acd1所成的角为，则cos |cos n，b1c1|.即直线b1c1与平面acd1所成的角的正弦值为.3如图，三棱锥pabc中，pc平面abc，pc3，acb，d，e分别为线段ab，bc上的点，且cdde，ce2eb2.(1)证明：de平面pcd；(2)求二面角apdc的余弦值解析 (1)证明：由pc平面abc，de平面abc，故pcde.由ce2，cdde得cde为等腰直角三角形，故cdde.由pccdc，de垂直于平面pcd内两条相交直线，故de平面pcd(2)由(1)知，cde为等腰直角三角形，dce，如图，过d作df垂直ce于f，易知dffcfe1，又已知eb1，故fb2.由acb，得dfac，故acdf.以c为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则p(0,0,3)，a，e(0,2,0)，d(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.设平面pad的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1,1)由(1)可知de平面pcd，故平面pcd的法向量n2可取为，即n2(1，1,0)所以cos n1，n2，故所求二面角apdc的余弦值为.4如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，bac90，abacaa11，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点，且pb1平面bda1.(1)求证：cdc1d；(2)求二面角aa1db的平面角的余弦值；(3)求点c到平面b1dp的距离解析 (1)证明：连接ab1，交ba1于点o，连接odb1p平面bda1，b1p平面ab1p，平面ab1p平面ba1dod，b1pod又o为b1a的中点，d为ap的中点c1daa1，c1为a1p的中点dc1aa1cc1，c1dcd(2)建立如图所示的空间直角坐标系a1xyz，则b1(1,0,0)，b(1,0,1)，d，(1,0,0)，(1,0,1)，.设平面ba1d的一个法向量为n(x1，y1，z1)由得令z12，则x12，y11，n(2，1,2)又(1,0,0)为平面aa1d的一个法向量cos n，.由图形可知二面角aa1db为锐角，二面角aa1db的平面角的余弦值为.(3)c(0,1,1)，d，b1(1,0,0)，p(0,2,0)，.设平面b1dp的一个法向量为m(x2，y2，z2)由得令z22，则x22，y21，m(2,1,2)点c到平面b1dp的距离d.易错点混淆向量的夹角与直线平面两元素的夹角的概念错因分析：两个方向向量的夹角与空间中直线、平面的夹角是不完全相同的，如两个相交平面的法向量的夹角与这两个平面构成的二面角相等或互补，线面角的正弦值与平面的法向量和直线的方向向量的夹角的余弦值的绝对值是相等的需要注意的是，利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角还是钝角由图形决定由图形知二面角是锐角时，cos ，二面角是钝角时，cos .当图形不能确定时，要根据向量的坐标在图形中观察向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部如图)还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部如图)，这是利用向量法求二面角的难点，也是易错点【例1】 如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点(1)证明：bedc；(2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值；(3)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabp的余弦值解析 (1)证明：依题意，以点a为原点建立空间直角坐标系如图，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2)由e为棱pc的中点，得e(1,1,1)(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以bedc(2)(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面pbd的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面pbd的一个法向量于是有cos n，所以，直线be与平面pbd所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点f在棱pc上，设，01，故(12，22，2)由bfac，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即.设n1(x，y，z)为平面fab的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面fab的一个法向量取平面abp的一个法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角fabp是锐角，所以其余弦值为.【跟踪训练1】 如图，四边形abcd和adpq均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点m在线段pq上，e，f分别为ab，bc的中点设异面直线em与af所成的角为，则cos 的最大值为_.解析 以ab为x轴，ad为y轴，aq为z轴，建立空间直角坐系，设ab2，则e(1,0,0)，f(2,1,0)，设m(0，y,2)(0y2)，则(1，y,2)，(2,1,0)，cos |cos ，|，设f(y)，f(y).0y2，f(y)0.所以与的夹角即为直线bc1与直线ab1的夹角，所以直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为.9正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为bb1，cd的中点，则点f到平面a1d1e的距离为_.解析 以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则a1(0,0,1)，e，f，d1(0,1,1)，(0,1,0)设平面a1d1e的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1.n(1,0,2)又，点f到平面a1d1e的距离为d.三、解答题10如图，直三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为a，d是侧棱cc1的中点(1)求证：平面ab1d平面abb1a1；(2)求异面直线ab1与bc所成角的余弦值；(3)求平面ab1d与平面abc所成锐二面角的大小解析 (1)证明：取ab1的中点e，ab的中点f，连接de，ef，cf.e，f分别是ab1，ab的中点，efbb1，且efbb1.三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，d是cc1的中点，cdef，且cdef，四边形cdef为平行四边形，decf.abc是正三角形，cfab三棱柱abca1b1c1是直三棱柱，bb1cf，而bb1abb，cf平面abb1a1.decf，de平面abb1a1.de平面ab1d，平面ab1d平面abb1a1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则a，c(0，a,0)，d，b1(0,0，a)，(0，a,0)，设异面直线ab1与bc所成角为，则cos ，故异面直线ab1与bc所成角的余弦值为.(3)由(2)得，.设n(1，y，z)为平面ab1d的一个法向量由得即n.显然平面abc的一个法向量为m(0,0,1)则cosm，n，故m，n.即所求二面角的大小为.11(2016全国卷)如图，四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adbc，abadac3，pabc4，m为线段ad上一点，am2md，n为pc的中点(1)证明：mn平面pab；(2)求直线an与平面pmn所成角的正弦值解析 (1