（基础数学专业论文）非线性粘性浅水波方程的整体适定性及极限行为.pdf

江苏大学硕士毕业论文 摘要 本文主要在索伯列夫空间日5 ( 9 ，s i 3 ，及空间r ( 9 上研究一类非线性浅水 波方程的整体适定性及极限行为，在r ( 马我们得到非线性水波方程存在唯 一局部解，并通过能量估计、扩展定理证明整体解的存在和唯一。同时我们得到 在此情况下的非线性水波方程解的极限行为。 全文分五个部分： 第一部分：介绍研究背景、现状及本文主要结果。 第二部分：介绍了研究过程中需要的基本理论，基本概念等。 第三部分：3 1 考虑粘性d p 方程在r ( 9 时整体解的适定性，主要用了 能量估计及扩展定理证明局部解的适定性，进而证明整体解的适定性。 3 2 在前一步的基础上考虑粘性d p 方程解的极限行为，即解在 占一0 时，粘性d p 方程的解是趋近于d p 方程的解的。 第四部分：主要介绍了非线性水波方程4 1 1 解的存在性问题，通过应用粘 性估计和先验估计，证明了在r ( r ) n l 4 僻) 至少有一个弱解，并且满足一组有约 束条件的熵不等式；在f ( r ) n b v ( r ) 上存在熵弱解。 第五部分：主要介绍了b 族方程的整体适定性，首先证明了局部适定性然后 通过能量估计，一般扩展理论等证明了整体适定性。 关键词：非线性粘性水波方程；d p 方程；适定性；极限行为；弱解 i 江苏大学硕士毕业论文 i nt h i sp a p e rt h eg l o b a lw e l l - p o s e d n e s sa n dl i m i tb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n st ot h e n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n sa r es t u d i e s g e tt h eg l o b a le x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so fs o l u t i o nt ot h en o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n sf o ru o r ( r ) a c c o r d i n gt ot h ee n e r g ye s t i m a t e ，w er e s u l tt h el o c a lw e l l p o s e d n e s sf o ru o r ( r ) t h es t r o n ga n dw e a kl i m i tb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h en o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v e e q u a t i o n sa r eg o t t e n t h e r ea r ef i v es e c t i o n si nt h i sp a p e r t h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t ya n ds u m m a r i z et h e m a i nr e s u l t t h es e c o n ds e c t i o n ，w ew i l li n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r y , b a s i cc o n c e p t sn e e d e di n t h es t u d y s t h e 衄r ds e c t i o n ，w eu s et h ee n e r g ye s t i m a t ea n dt h eu s u a le x t e n s i o nt h e o r y ，t h e g l o b a lw e l l p o s e d n e s so ft h ed i s p e r s i v ed pe q u a t i o ni sp r o v e d ；t h es t r o n ga n d w e a k l i m i tb e h a v i o ro fs o l u t i o n st ot h en o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n sa r eg o t t e n t h ef o r ls e c t i o n ，s t u d i e st h ew e a ks o l u t i o n 、e n t r o p yw e a ks o l u t i o nf o rn o n l i n e a r d i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s b yu s i n gv i s c o u sa p p r o x i m a t i o n sa n dap r i o r ie s t i m a t e s ， w ep r o v et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ew e a ks o l u t i o n ，s a t i s f y i n gar e s t r i c t e ds e to f e n t r o p yi n e q u a l i t y i n t h ec l a s sr 僻) n r ) ，a n di nr ( r ) r 、b v ( r ) e x i s t i n g e n t r o p yw e a k s o l u t i o n t h ef i f t hs e c t i o n ，w es t u d yt h ew e l l p o s e d n e s so ft h eb - f a m i l ye q u a t i o n s ，w em a i n l y u s e dt h et h ee n e r g ye s t i m a t ea n dt h eu s u a le x t e n s i o nt h e o r y k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n s ，d pe q u a t i o n ，w e l l p o s e d n e s s ， l i m i tb e h a v i o r ，w 色a ks o l u t i o n i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：朵觳媚 2 0 0 8 年1 2 月 嗽：叼五南 2 0 0 8 年1 2 月 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：粟 ：5 ：叉塌 日期：2 0 0 8 年1 2 月 江苏大学硕士毕业论文 1 1 历史发展背景 第一章绪论 利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，揭示流体运动规律与内在联系 实现代数学以及应用数学的重要内容。 1 9 8 4 年，英国科学家s c o t t - r u s s e l l 在爱丁堡道格拉斯哥的狭长运河中，站在 匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察，并且随后在文中【3 6 】，作了关于 水波的报告，在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性模型来模拟水波，但这 却推动了非线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、光通讯、量子物理、弹 性杆、金融等领域的发展。 非线性科学是继量子力学、相对论后2 0 世纪自然科学的重要发现。物理学 大师爱因斯坦曾预言：“由于物理学的基本系统都是非线性的，因此所有的数学 物理都必须从头研究 。非线性科学的迅速发展使它成为众多科学的前沿课题之 一。特别是近十几年来获得了重要进展，不仅开拓了数学物理新的研究领域，还 在许多高科技领域有着重要的应用。 1 8 9 5 年荷兰的应用数学家k o r t e w e g 和d ev r i e s 针对浅水波运动引入描述具 有小振幅长波色散的非线性偏微分方程，写下了著名的k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程：u ，+ “，+ u u ，+ “。= 0 ，u ( x ，t ) 表示波的高度( 相对于平地) 。 另一个经典的水波方程模型b b m 方程或者称为正则水波方程： u t + 比，+ 础，+ “脚= 0 ，它最初是由b e n j a m i n ，b o n a 和m a h o n y 在1 9 7 2 年推导出 来1 1 勺 3 7 1 ，所以命名为b b m 方程，b b m 方程由于他仅有三个守恒律，所及是不 可积1 拘 3 8 1 1 3 9 。 1 9 9 3 年，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的c a m a s s a 和h o l m 应用哈密顿方法 导出一个新的浅水波色散波动方程c a m a s s a - h o l m 方程： u r 一“呶+ 妇j = - - 3 u j u _ 舡+ 口“m + 知j u “ 其中u ( x ，t ) 表示波的高度( 相对于平地) ，k 是与临界波相关的一个常数，当k = 0 江苏大学硕士毕业论文 时限性色散项消失，即得到通常的c h 方程： u t h 呶+ 3 u u j = 2 u j 比+ “比越 注意到左边的线性项与b b m 方程的线性项类似，然而h 配。这一项使方程 c a m a s s a h o l m 具有很强的非线性，所以它被归为一类非线性色散波模型。 1 9 9 9 年，d e g a s p p e r i s 和p r o c e s i 在【1 7 】中应用渐进可积的方法，验证了如下 一类非线性发展方程：d e g a s p p e r i s p r o c e s i 类方程( d p 类方程) u f u t x x + ( 6 + 1 ) u u ，= b u ，u 。+ u u x 。 只有b = 2 , b = 3 时才是完全可积的。当b = 2 时，方程是无线性色散项的c h 方程， 当b = 3 时方程是无线性色散项的d p 类方程 u f u r = + 4 u u j = 3 u j u “+ 比甜蹦 2 0 0年， c o c l t e ，h o l d e n ，k a r l s e n 等在【8 】中研究了方程 u t 一“呶+ 知“，= , z ( 2 u ，u 。+ u u x x x ) 的推广形式即：广义超弹性杆波动方程 1 u t u t = + 去g ( 甜) 甜。= 2 ( 2 u ，甜材+ u u x x t ) ； 近十年来，关于孤立波研究的工作在理论及应用方面均取得突破性成果。无 论是可积系统，还是耗散系统，及其时空动力学复杂行为规律，因它们在拟序结 构、高速光纤通讯、化学反应斑图、生物中斑图、纳米的量子效应等方面的巨大 潜在应用背景，使对它们的研究成为众多科技关注的热点之一。另一方面，关于 浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有 广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。讨论浅 水波方程解的相关性质( 特别是水波方程的局部适定性理论、稳定性理论、散射 理论、解的整体存在性及b l o w u p 理论( 爆破现象) ) 并揭示波的传播规律，在 准确解释自然现象，确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。 非线性偏微分方程c a u c h y 问题( 或称初值问题) 的定性理论在非线性偏微 分方程理论研究中有着非常重要的地位。由于物理学、力学和工程技术等方面的 许多问题都归结为偏微分方程的定解问题，因而数学物理方程最终目的是研究这 2 江苏大学硕士毕业论文 些问题的解法。但是数学物理方程的任务也不只局限于是对具体的问题来研究求 解的方法，它还要对物理学、力学和工程技术中所可能碰到的方程及其定解问题 作系统的研究。这些研究有助于求解问题，也有助于把实际问题归结为偏微分方 程的定解问题。因此它一方面从量的侧面来考察这种归结的合理性，另一方面对 定解问题的提法给出一定的要求。这样对于数学物理方程就需要考虑对事先选定 的某函数空间，定解问题的解在该函数空间是否存在、唯一并且稳定即适定性的 问题。 1 2 研究现状与主要内容 文献 1 中d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 研究了如下三阶色散p d e 守衡律族： u t - l - c o u x + 。一口2 = ( c l , 2 + c 2 u 2 + c 3 l l l 4 x s ) x ( 1 2 1 ) 其中，口，c o ，q ，c 2 ，c 3 是实常数。如果q = _ 2 巳口2 ，c 2 = 巳经过一系列变换后，方程 ( 1 2 1 ) 就转化为b 族方程的形式： j u t - - u r ；t + ( b + ，1 、) u u x = 。b u x u x x + o 艇r ( 1 2 2 ) 【u ( x ，o ) = u o ( x ) ，x r ” 当b = 2 时，方程( 1 2 2 ) 变为c a m a s s a h o l m 方程，文献 2 研究了该方程 具有双哈一密顿结构，且是完全可积的。c a m a s s a - h o l m 方程被很多研究者所研究。 在文献 4 0 4 1 中，建立了该方程的数值模拟和守恒量。在文献 4 2 中，讨论了 该方程的对称性和可积扰动问题。在文献 4 3 中，用变量方法研究了该方程的孤 子解。田立新等在文献 4 4 中讨论了该方程的行波解和双孤子解，并引进了凹 面、凹面尖峰孤子和光滑孤子解得定义。田，宋，殷在文献 4 5 4 6 3 中考虑了广 义c - h 方程，发现了新的精确尖峰解和孤立子解。在文献 4 7 4 8 4 9 中， c o n s t a n t i n 和e s t h e r 研究了该方程的全局存在性，解的爆破和h a m i l t o n 结构。 在文献 5 0 中，c o n s t a n t i n 和s t r a u s s 证明了孤立波具有c - h 方程孤立子的谱 性质，并且它们的形状在小扰动下是稳定的。在文献 5 0 3 3 5 1 中， c o n s t a n t i n ，j l e n e l i s ，r b e a l s ，o s a t t n g e r ，和j s z m i g i e l s k i 研究了该方程 的散射问题。在文献 5 2 5 3 中，c o n s t a n t i n ，j e s c h e r 和r d a n c h i n 研究了非 线性非局部浅水波方程的碎波解，其中如果解有界但是它的斜率在有限时间内无 3 江苏大学硕士毕业论文 穷大时碎波成立。 在方程( 1 2 2 ) ，当b = 3 时，可得到o e g a s p e r i s p r o c e s i 方程： u t l 呶+ 4 “，= 3 u 。u 。+ u u x 。，t 0 ，x r 。 ( 1 2 3 ) 在文献 1 3 中d e g a s p e r i s ，h o l m 和h o n e 通过构造拉克斯对证明了方程( 1 2 3 ) 的可积性他们也证明了方程( 1 2 3 ) 有双哈一密顿结构和无穷多守恒量，且有 与c h 方程相似的精确尖峰解。 d - p 方程可看作一个非线性浅水波方程的一个模型，它的渐近精度与c h 方 程相同，在文献 1 4 中，d u l l i n ，g o t t w a l d ，和h o l m 证明d - p 方程可通过k o d a m a 变换从浅水波中得到。v a k h n e n k o 和p a r k e s 在文献 1 5 中研究了方程( 1 2 3 ) 的行波解。h o l m 和s t a l e y 研究了方程( 1 2 3 ) 的孤子解的稳定性及数值尖峰 解。 在d - p 方程给出以后，它被广泛的研究，例如，在文献 1 6 中殷朝阳证明 了方程( 1 2 3 ) 在初值“。日5 ) ，( s 兰 的条件下线性周期局部适定性，导出精 确爆破准则，并给出一个爆破结果。在文献 1 7 1 8 中给出了方程( 1 3 ) 的强解 与整体弱解的整体存在性。目前，在文献 1 9 中l e n e l i s 归类了所有的弱行波解。 在文献 2 4 中m a t s u n o 研究了多重孤子解和它们的尖峰极限。在文献 5 4 中 h e n r y 以及在文献 5 5 中m u s t a f a 均证明了方程( 1 2 3 ) 有无限传播速度。在文 献 2 7 中c o c l i t e 和k a r l s e n 证明t t 葩l ( r ) n b v ( r ) 和r ( r ) n l 4 僻) 上存在唯 一的全局熵弱解。 除了与c a m a s s a h o l m 方程的相似，这两类方程还有很多不同之处。 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程不仅有尖峰孤子解 甜( ，x ) = c e - i x - d l ，c 0 ，而且有下述 形式的激波解： 甜( f ，x ) = 鬲1 s g n ( x ) p h ，七 o 。 c a m a s s a - h 。l m 方程有l a x 对：一专少一砌y = o ；d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程有 4 江苏大学硕士毕业论文 l a x 对：虬一一砌y = 0 ，其中肌= 一。这两类方程的守衡量也不相同， c a m a s s a h o l m方程的三个重要的守衡量为 巨( 甜) = m a k ，巨( 甜) = 丘m ，脓，毛( “- - 工甜3 出，而d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程相应 的三个重要的守衡量为 q ( 材) = m d x ， 皿( “) = 工( u 2 + ) 出，皿( “) = 上( 甜3 + 甜“：) 出 ，其中 肌= 1 一a ：) 甜，v = ( 4 一a ：) 一“。 方程( 1 2 3 ) 中的缸比，换为4 u ”u ，( n o ) 变为： l i f 一够橛+ 4 “”u ，= 3 “靠+ u u x x x ，t 0 ，x e r ( 1 2 4 ) 我们把方程( 1 2 4 ) 称之为广义d p 方程。 方程( 1 2 3 ) 加一色散项变为 以一“鳅+ 4 u u x + 厂( “一z k ) ，= 3 u x u = + 甜矽。，t 0 ，xe r( 1 2 5 ) f a l q u i 5 6 以及陈，刘和张 5 7 最近提出了两维耦合广义c a m a s s a - h o l m 方 程为： = 毗一2 m u ，+ 户级， 肛= 一( 倒) ， 其中肌- - - - u h 。在文献 5 6 5 7 5 8 中，这个广义系统和c a m a s s a h o l m 方程类 似是a k n s 层的第一负流，具有双哈密顿结构、尖峰和多重解。这个广义系统的 基本思想是把l a x 对包含在附加函数里面然后从这个广义的l a x 对形式中提取出 这个方程的基本性质。 另一方面，在文献 3 1 中z i e m o w i tp o p o w i c z 提出了两维耦合广义 d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的哈密顿形式为： 仍= 一如岛 一( 向+ 如) p ， 砚= - 3 m u ，一他“+ 屯局吱， 其中m = a - i l u 。当岛= k 2 = 1 ，岛为一个任意常数或者屯= 1 ，岛= 0 ，岛取任意 5 江苏大学硕士毕业论文 值时。第二种广义形式为： 肛= - 2 p u ，一成“o ， r n , = 锄豇，一h 一，+ 2 p p 。， 其中m = a 。1 地。 同时在文献 3 1 中建立t c a m a s s a h o l m 与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的两维 耦合方程： j 鸭2 - 3 m ( 知x + u ? 一( 知+ ? ( 1 2 6 ) 【，= - 2 n ( 2 u ，+ 屹) 一n x ( 2 u + d 其中m = 比一蹦。，露= v k 。这就是耦合系统的方程，其中包括了c a m a s a a h o l m 方程与d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程。事实上当 = v = 0 时调节系统的时间后还原 成d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程；当m = u = 0 时系统还原成c a m a s s a h o l m 方程。 方程( 1 2 6 ) 有三个独立的守恒量： n o = ( 聊+ 玎) a x ， 且= 卜丑所。1 。2 驯3 d x ， 吼= h 一9 刀扣2 肌- ( 1 + 2 2 ) 3 + 1 2 n x m x n 2 - 1 聊弋4 + 2 丑垆一4 磁刀五聊书+ 2 丑垆) 出， 其中元是一个任意常数。有趣的是当旯= 0 时日li e 好是d e g a s p e r i s p r o c e s i 方 程的c a s i m i r 函数；当见= 1 2 时变为c a m a s s a h o l m 方程的c a s i m i r 函数。从三个 独立守恒量的存在性可以看出这个系统是可积的。 在上面的研究基础上，本文研究了粘性d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程的c a u c h y 问题的局部，整体适定性理论及专0 时的极限行为。粘性非线性水波方程的弱 解，及c a u c h y 问题的适定性理论，其中适定性理论用两种方法证明，一种是先 证明局部适定性，然后通过能量估计，扩展理论来证明整体适定性，另一种方法 是把方程化成能量形式利用k a t o r 理论来证明弱解，及c a u c h y 问题的适定性理 论，本文最后一部分用能量估计等方法证明了b 族方程的适定性问题。 6 江苏大学硕士毕业论文 第二章预备知识 2 1 索伯列夫空间的定义以及几个重要的定理 1 t 9 ( r “) 间上的f o u r i e r 变换 定义在基本空间1 9 ( r “) 上的f o u r i e r 变换。对于任一函数，( 力1 9 ( r ：) ，定义其 f o u r i e r 变换为 f 【，】- ，f ( x ) e 以。7 d x ， r ： 又若函数g ( 9 汐( r ；) ，定义其f 0 u r i e r 变换为 厂1 9 2 瞬吣南蛳 这里z 乡= j c l 卣+ 屯色+ + 毛磊。 2 索伯列夫空间的定义： 设q c r ”是一给定的区域，对m 0 ，1 p o o ，定义s o b o l e v 空间日”，p ( 固为 满足条件d “ ) r ( q ) ，h m 的广义函数u 全体所构成的集合，并装备已范数 m n ) 一；i d 8 甜i l p ) 古，l p 一k ，一1 ：1 k ，j | - - h 册吨。( r ”) 。 p n 设! 一一1 c o ( 瞅) 又记口= 1 一一n ，则还有日1 ，p ( r ”) c 专c 4 ( 础) 。 4 有界线性算子： 我们取( y ，| | | | 矿) 是一个普通的线性空间，集合b ( v , r ) = w v ：l l v 一彩眇 o ，b o ，p 1 ，q 1 且! + ! ：1 则有 p q 工1 曲竺+ 竺 pq 特别的，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式。 3 h o l d e r 不等式： 设三+ 三：1 ， p q p l ，q l ，则对任何以( 力r ( 哟，v ( 力r ( q ) ， q “( j ) v ( x 出l ( q 俐7d x ) 古( q 扩出) 1 ， 4 a g m o n 不等式： 设q 瞅是关于每个坐标都是l i p s c h i t z 连续的，则存在仅依赖于q 的非负常 9 江苏大学硕士毕业论文 数c ，满足： 峙出鞋衰篓篇= 5 m in k o w s k i 不等式 - 设p l ，那么对任何，( 力，g ( 砷l p ( r ) ，成立 1ll ( f l s ( x ) + g ( x ) f p d x ) i ( 舅( x ) l p a x ) i + ( j l g ( x ) r a x ) i qoq 6 p o i n c a r e 不等式： 设1 p o 、u o i - , 2 ( 妁，初始值问题( 3 1 2 ) 在 x = c ( 【0 ，呦；e ( 呦n c ( ( o ，呦；碳( 呦 ( 3 1 3 ) 上有解。为了证明定理1 ，我们先来证明在r ( r ) 时初始值问题( 3 1 2 ) 局部解的适定性问题。 定理2 对于占 0 、u o r ( 岣，存在阿亿o ，占夕 0 和( 3 1 2 ) 唯一的解h 。即 m 。( x ，f ) ec ( o ，t i ；l 2 i ( r ) ) f i c ( ( o ，丁】；日：( r ) ) 这里局部存在性依赖于而不是i h o k 。为了证明定理1 我们需要先证明定理 2 且通过能量估计及一般扩展理论来证明定1 。 1 2 中定理2 在初始问题( 3 1 2 ) 上是最优的，但在空间日3 ( r ) 上当s 硒时不满足局部适定性，我们要证明的结果 江苏大学硕士毕业论文 利用了空间日：( r ) 上的能量估计及扩展理论，但是我们仅需要用空间e ( r ) 上的 数据，因为此数据与空间叫( r ) 上数据产生相同效果。 在第二部分，我们建立和引入一些与算子a ，( 1 一a ：) 一有关的估计，在第三部 分我们对方程的非线性部分做出估计，同时利用引理4 中的估计，我们建立一些 关于a ，u 的估计，第四部分，我们证明定理2 并显示方程( 3 1 2 ) 解的局部存在 性，进而我们的通过能量估计及一般扩展理论来证明( 3 1 2 ) 的整体解的适定性， 第五部分，我们给出当占一0 时解的极限行为。 3 2 预备知识 考虑初始值的粘性d p 方程为 a f “= z o z u + f ( u ，a ，“) ，而f ri u ( x ，0 ) - - - - u 。( 力j ( 3 2 1 ) 其中m ，屯炉3 ( h m ( 丸甜) 2 ) 一三o x ( 1 一a m 材2 ) 一1 2 0 x ( “) 2 坷弘 其积分形式为 h ( 圳) = e d 砖l i o + f p 印- f ) 罡厂 ，a ，比) a t ， ( 3 2 2 ) 其中p d 罡h o = ( p - 4 矿d 善砧。( 劝。 为了证明定理1 我们需要引入一些估计 1 2 首先我们建立与算子 , l o a ：) _ 有关的不等式，岛力r ( 哟， 纵1 一或) _ ( 酬- 0 ，存在t = 丁 o ，力 0 ，有 i i a x e d ： u o l 矿( m 1 2 栅烙万 证明 记 瑶) c 日1 ( r ) 有“；与比。，i e ，l 阳- uo k 专0 ，当n o o 因此有 ( 3 2 9 ) 江苏大学硕士毕业论文 0 a x e a 罡u o k = 0 a ，p d 砖( z 岛一磁+ z 塔) 0 辱乓 i l a ，p d 砖( 一瑶) 0 辱丘+ 0 a ，p b i 2 ”；i i 辟硅 = ( 舢a 。p 枷：( 甜：一) 1 2 出班) 必+ ( f 牡盯“玎e x d t ) 必 rr 两1 妒呲+ ( 舻砖乩衍) 研1 黔呲+ 丁胁也 ( 3 2 1 0 ) 对第二项的估计利用右手定则且依赖于e d 的性质，对第一项的研究主要依 赖于下述线性理论： 考虑线性方程 o t t m = t ：0 2 x w 利用能量估计，对方程两边同乘w ，然后对x 在r 上积分。 d w 2 d x = 2 s 少a ：叻出= 之占( 也叻2 出 然后再对上述方程两边对t 从0 到t 积分， 知丢，2 删，= 丢c p 硝叫m 呦2 咖一gm w ，2 撇 因此我们得到如下的不等式 f 虹w ) 2 撇万1 似出 ( 3 2 1 1 ) 皿。一r 从( 3 2 1 0 ) 我们继续讨论不等式给出万 0 ，n n 对任意玎n ， 研1 陪0 1 4 o 对于刀，丁m 吨妄得到 江苏大学硕士毕业论文 a ，p d 砖“。l | 鼋乓万 的解 1 e ， 下面我们考虑( 3 2 2 ) 非线性部分做标记 ，：“一e d 砖，y 是初始值 c o t v = 0 ) ：2 x v ，+ 0 厂 ，也叻，)0 ) = ，j 吠五f ) = f p 印- f ) 砖， ，a ，“) ( x ，f 。) a t 首先我们有如下的估计 引理4 此引理是对f 的范数的估计： 证明 z 1 4 层c ( 0 “2 辱层+ 0 a x u l l 2 辱乓+ i i a ，“0 辱乓) o 厂0 4 e = i l 兰a ，( 1 一a ；) 一( ( a ，甜) 2 ) 一三也( 1 一a ：) 一( 甜2 ) 一虿1a ，( “) 2 - k o ，u 0 4 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) r l i 兰a ，c t a ：，。1 c c a 。甜，2 ，一兰a ，c - 一a ：，一c 2 ，一丢a ，c 甜，2 - k o ，u i i 丘衍 兰r0 a ，( 1 一a ；) 一1 ( ( a ，“) 2 ) 0 丘刃+ 三2r a ，( 1 一a ：) 一1 ( 甜2 ) 0 4 出 + r 怯a ，材眨衍+ 后r l | a ，甜i k 西 _ 一3 ；c g ul i d t + 三2r l b d t + r i 卜。霹i o x u i k 衍+ 七r i i a ，掰。层出 兰( ro a ，“o ：刃+ f i k | i 丘2 西) + r l i 甜i 圩；o a ，甜。丘刃+ kj c ni o a i 层衍 三( f l i a 。材l l 二衍+ f | | ”o 足2 衍) + c 。r i i a ，甜乓2 衍+ 后f i i a ，“i i 层衍 1 7 江苏大学硕士毕业论文 c ( 0 甜0 2 辱乓+ j i a 。“l j 2 辱砖+ a x u 0 辱乓) 下面我们做出关于k 的估计， 引理5 鹏c ( 挪i 辱辟+ 脚+ m ， 炒嵫c s 一( 2 辱丘+ 脚0 2 辱乓+ h o x u 嵫) 2 证明利用引理4 我们有 | f v f f 嬲 = i e t ( t - t ) ( u , o x u ) ( x ，) 功0 霉e m i 置西 = 4 叠 c ( 0 甜1 1 2 辱e + o x u i l 2 辱e + i o ，u 0 辱乓) ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 7 ) ( 3 2 1 8 ) 接f 去我们利用( 3 2 1 2 ) 得标准能量形式，方程( 3 2 1 2 ) 两边i 司乘vl 司时 对x 在r 上积分部分积分后我们有 丢序+ s p 咖= 眵 吾卜2 ( 丁边一寻卜2 ( o 进+ 占r 虹v ) 2 拗= r 忙坳 ( 3 2 1 9 ) -r-r rr 对任意占 0 占r 虹d 2 d x d t o ，存在t = 瓦 0 ，a 0 硐矽体：) 互x ：义矽：工：一石：是 一个紧的映射。 证明我们首先需要验证映射对于给出的a 和t 是合适的，记h x 三有 忙- e a u o k 也( 酬辱丘+ b ( 3 3 3 ) 下面我们逐个考虑( 3 3 3 ) 中的每一项，有引理1 ( 3 3 3 ) 中的第一项得如下结果； ) - e a g u o k = 0fp “f f ) 罡厂( u , o x u ) ( x ，) 衍i l 耳匠 = 0 甜( x ，t ) - e 峨u o l i 辱置 c ( 0 “0 层+ 0 a ，“0 弓2 乓+ 10 ，u i i 辱乓) c l 邢 ( 3 3 4 ) 有引理2 ，( 3 3 3 ) 中的第二项有如下估计 矿护：+ p 1 岫蚣班匕 江苏大学硕士毕业论文 le ob p f 递f ( u , o ，u 班忱 舻训e 衍恤印- f 蛾m 以槲矽k ( 舻嘞吨2 ) 北印_ f ) 罡厂( u , o x u 脚仳 ( fo 甜。i t ) + c r ( o “o 层+ i l a ，甜o 层+ o x u o 辱丘) 丁i i 甜。0 足+ c t l i i 甜2 ； ( 3 3 5 ) 利用引理6 ，( 3 3 3 ) 中的第三项得到如下结果。 愀咄置= 0 c o x e 8 t a ：+ 0 xp 。颧u , o x u ) ( 彬矽恍 中b 0 0 xp 域厂( u , o x u ) ( 彬圳聪 万+ 参( 矗也啦也) 姗如叭 综合利用( 3 3 4 ) 一( 3 3 6 ) i c ul = 慨一p d k 也( 酬必+ 恻i 辱丘 a + r l l 呲+ c ( m 铡2 + 捌钟 万+ 丁讯”c ( 1 + 丁) ( 1 + 专) 矿 ( 3 3 6 ) 在合适的万，口，z 条件下， 我们能够得到0 9 i u a ，i e ，且定义合适的映射 咖：x ：一x ： 2 1 江苏大学硕士毕业论文 n n i 刖i i n # ：拜- - , x ；是一个紧的映射。 0 ( “) 一( v ) c in v ( 3 3 7 ) 其中c = c ( 丁，口，占，i 辟碡，辱丘，l 限甜i | j ! 季层，i o x vz ；l ；) - r o c 1 和相应的t 和a 定理3 证毕。 证明定理2 ， 定理2 与定理3 在证明方法上是一致的。 3 4 粘性d p 方程的整体解 为了证明定理1 ，我们仍需要建立一些先验估计下面我们对方程( 3 1 2 ) 两 边同乘算子( 1 一a ：) 得 ( 1 - a ：) a ，甜一占( 1 一a ：) a ：u - - - - _ 2 3 0 ，( ( a ，甜) 2 ) 一互3a ，( 甜2 ) 一丢( 1 一a ：) a ，( z ，2 ) 一k ( 1 - a ：) a ，材 ( 3 4 1 ) 对( 3 4 1 ) 进行能量估计，对x 在r 上积分得， ( 1 一a m u d x - s ( 1 一a 砒 = 三2p ，( 丸甜) 2 出一三p 。( 甜2 ) 出一言( 1 一a ：) 吼( 材2 胁一后( 1 一a ：) 乱础 = ， = 3 s o ，u a ：础一3 p a ；u d x - ( 1 一a ：) “a ，眺一七j ( 1 一a ：) a ，u d x = ( 1 一a ：) 色诎一s ( 1 一a ：) a ：z 疵+ 七如一a ：) a ，u d x = 3 1 0 ，“a ：础一3 p ，眺一( 1 一a ：如a 。u d x = i o - o ：) o ，诎+ 七( 1 一或) a ，u d x = 3 p a ，2 础一3 p ，u d x 一( 1 一a ：) “a ，u d x + f j ( 1 一a ：) 础 江苏大学硕士毕业论文 丢( 1 一) 础+ 七( 1 一箧) a ，沈+ s ( 1 一) a ：z 疵 = 3 f o ，u a ：础一3 p ，u d x 一( 1 一z 如a ，u d x = 3 p x u a ：“出一3 p ，u d x 一弘a ，u d x + p ： a ，h ) 出 = 3 p ，髓a ，2 诚一4 p ，u d x + 3 j o ，h a ：础+ f u a ：u a = 6 f a x u c 3 ：u d x - 4p ，u d x + 1 o ：u a - - 3 i a ，g u ) 2 d x 一2 p x , 2 出+ p 诚 = | | 3 p ( 盈d x 一2 且甜2 出+ 弘a ：谢k 足 0 ) 。在这一部分中我们将给出 在粘性d p 与d p 方程间解的极限行为。 定义( 弱解) 我们规定函数h ：r r j r 为初始值问题( 3 1 2 ) 的解，如果u 满足下列条件： i ) “r ( r + ；r ( r ) ) ， i i ) o t u + 3 ，( 孚+ 砌一s 甜，) + a ，p = 0 ，i nd t ( 【o ，呦r ) ， 有v 矽c 孑( 【o ，o o ) r