（应用数学专业论文）奇异超线性二阶三点边值问题.pdf

摘要 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学，边界层理论，反应扩散过程，生物学 等应用学科中，是微分方程理论中一个重要的研究课题 本文给出了下面奇异三点边值问题 i + q ( 0 9 ( t ，t ，) = 0 ，t ( 0 ，1 ) q ( 0 ，1 ) ，7 ( 0 ，1 】 lu ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = ，y 让( 目) 的至少有一个正解的存在性结果奇性可能在“= 0 ，t = 0 处产生，并且函数g 允许在 i i , = 。o 超线性并且可以变号存在性结果是通过修正的奇异三点边值问题上下解理论得 到的 本文是文献【4 】中奇异问题一些结果的直接推广，其中技巧主要结合了【4 j 中的修正 的奇异上下解理论，这些理论对此类型的问题都很适用本文就是利用【4 】中的修正的奇 异上下解理论将两点边值条件时的结果推广到三点边值条件的情形 文章共分为四部分，首先是弓f 言部分。介绍论文写作背景和要研究的问题，即奇异 超线性二阶三点边值问题简要概括已读文献中对该问题做出的成果，引入一些基本知 识理论以及在正文证明过程中需要用到的命题结果 其次给出了奇异上下解方法，这些定理的证明需要f 4 1 中所用到的内容和方法 第三部分屉文章的主要结果，给出并证明了奇异超线性二阶三点边值问题至少有一 个正解的存在性定理，这些定理的证明用到了第二部分的结果需要 4 1 和【1 7 】中所用到 的内容和方法 最后是例，给出了具体例子说明上述定理 关键词：奇异边值问题；上下解理论；存在性； 超线性 i a b s t r a c t s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w h i c ha r i s ei nav a r i e t yo fa r e a ss u c ha sm e c h a n i c s ，b o u n d a r y l a y e rt h e o r y ，d i f f u s i o na n dr e a c t i o ne q u a t i o n s ，b i o l o g y , e c t ，b e c o m ea ni m - p o t a n tt o p i ci no r d i n a r ye q u a t i o n sf i e l d s i nt h i sp a p e r ，e x i s t e n c et h e o r yf o ra tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o ni s p r e s e n t e dt os i n g u l a rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i “”+ q ( t ) g ( t ，u ，钆7 ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) 印( 0 ，1 ) ，7 ( 0 ，1 】 i 札( o ) = 0 ，让( 1 ) = ，y u ( 叩) t h es i n g u l a r i t ym a ya p p e a ra tu = 0 t = 0a n dt h ef u n c t i o ngm a yb e8 u p e r l i n e a ra tu = ( 3 0a n dc h a n g es i g n t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n si so b t a i n e d v i aa nu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o d t h ep r e s e n tw o r ki sad i r e c te x t e n s i o no fs o m er e s u l t si nf 4 1f o rt h e s i n g u l a rp r o b l e m o u rt e c h n i q u eo fp r o o fu s e se s s e n t i a l l yt h em o d i f i e d m e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sw h i c hw eb e l i e v ei sw e l la d a p t e d t ot h i st y p eo fp r o b l e m w ee x t e n t e dt h er e s u l t so ft w o p o i n tb o u n d a r y v a l u ec o n d i t i o nt ot h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o nu s i n gt h em o d i f i e d m e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si n 4 4 t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c e t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fp r o b l e m sw h i c hw i l lb ei n v e s t i g a t e da n dt h e m a i np r o m l e ms t u d i e di nt h i sp a p e r ，n a m e l ys u p e r l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h e r ei sab r i e fs u m m a r i z eo f r e s u l t so ft h i sp r o b l e mi no t h e rl i t e r a t u r e s ，a n di n t r o d u c t i o no fs o m eb a s i c k n o w l e d g ea n dp r o p o s i t i o n st h a tn e e d e di nt h ep r o o fo ft h et h e o r e m i nt h es e c o n dp a r t ，w ep r e s e n to u rr e s u l to nu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i nt h i sp a r t ，w ew i l lu s i n gc o n t e n t sa n dm e t h o d s f r o m 【4 】 t h et h i r dp a r ti so u rm a i nr e s u l t s ，w ee s t a b l i s he x i s t e n c ep r i n c i p l e s f o rs u p e r l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i nt h i sp a r t ，w ew i l lu s i n gc o n t e n t sa n dm e t h o d sf r o m 【4 1a n d 【1 7 】 i i t h el a s tp a r ti se x a m p l e ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oe x p l a i nt h em a i n r e s u l t s k e yw o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；u p p e ra n dl o w e rs o l u - t i o n s ；e x i s t e n c e ；s u p e r l i n e a r i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签名：；重主生垫日期；! z ：兰! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘。允许论文被 查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进衙检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：；垂塑垫指导教师签名：矗查盎 日期：! z ! ! ! !日 期：亟墨! 兰 学位论文作者毕业后去向t 工作单位；篮耋查多 通讯地址：丝薹苎塑鎏学嘞 电话： 邮编： 肚沁。甜 ，弓p o 引言 非线性常微分方程奇异边值问题来源于力学边界层理论、反应扩散过程、生物学 等应用学科中，是常微分方程理论中一个重要研究课题自上世纪以来。奇异常微分方 程经常出现在许多应用学科的数学模型中，大量的关于特征形式的奇异方程的边值问题 的研究结果也随之出现由于奇异边值问题在应用中的地位越来越重要，近四十年来， 数学工作者开始系统地研究这类问题，得到了一些完整的一般性结果 近几十年来，奇异方程形式出e m d e n - f o w l e r 方程发展成各种各样，方程的奇性不仅 仅产生于自变量也产生于相变量同时奇异方程的应用越来越广泛，例如天体力学中的 n 体问题、边界层理论、反应扩散理论、非n e w t o n i a n 流理论、非线性流体理论等等此 外，奇异常微分方程与其它数学分支也有联系，例如求椭圆方程( 组) 径向解以及偏微分 方程( 组) 平衡解问题往往转化为奇异常微分方程，总之，奇异方程已经成为常微分方程 中的一个重要的分支根据实际问题的不同要求，各种定解条件的提法是多种多样的， 因此在奇异常微分方程边值问题中，边值条件的提法是多种多样的奇异二阶常微分方 程包括奇异二阶周期边值问题和奇异二阶d i r i c h t e t ( 或d i r i c h l e t n e u m a n n ) 边值问题 虽然奇异常微分方程很早就从应用中产生，但由于奇异方程本身带来的困难，早期大多 数研究都局限于特殊形式的初值问题和边值问题，其系统研究只有四十年的历史 g u p t a 5 受线性二阶常微分方程多点边值问题的启发开始研究一些非线性常微分 方程三点边值问题从此，许多作者通过l e r a y s c h a u d e r 理论，l e r a y - s c h a u d e r 非线性 抉择或重合度理论研究更一般的非线性多点边值问题我们给出读者非线性多点边值问 题的存在结果，见f 7 1 0 ，1 2 一1 4 1 马如云( 8 1 8 考虑三点边值问题 l = ，( t ，z ，一) ，t ( 0 ，1 ) io ( o ) = a ，z ( q ) 一z ( 1 ) = ( 印1 ) b ， 这里q ( 0 ，1 ) ，：l o ，1 】r r r 连续，且a ，b r 他用，的符号取代以前提到 的增长限制，依据l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择进行解的存在性的讨论 马如云( 1 0 】通过锥不动点理论证明三点边值问题 ju ”+ b ( t ) g ( u ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) i 札( o ) = 0 ，u ( 1 ) = o u ( 目) ， 的正解的存在性这里，7 ( 0 ，1 ) ，0 口 ；1 ，b 0 和9 0 是超线性或次线性 1 w f e n g 和j r l w e b b 【1 2 】考虑三点边值问题 i 茁”0 ) = ，( t ，z o ) ，一0 ) ) + e ( f ) ，t ( 0 ，1 ) iz ( o ) = 0 ，z ( 1 ) = 口z ( 叩) ， 其中，： 0 ，1 】r 2 一r 连续，e ： o ，1 1 一r 是定义在l 1 f o ，l 】他们利用重合度理论证 明当伽= 1 时三点边值问题的解的存在性和惟一性 最近，许多文章解决当g 不依赖于时的三点边值问题，例如，见【5 ，1 5 ，2 3 2 s w e b b 1 5 考虑三点边值问题正解的存在性特别地，他研究三点边值问题 i + g ( t ) ，( 缸( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) lu ( o ) = 0 ，“( 1 ) 一a u ( u ) = 0 其中0 目 0 ，存在l m 0 使得 g ( t ，z ，z ) l m ，v ( t ，z ，z ) e ( o ，。】【一m ， 卅， ( ) 存在q c ( ( o ，1 ) ，耐) 使得： l g ( t ，z ，z ) l q ( t ) ( f ( z ) + q ( z ) ) ( 1 + i t ( 1 一t ) ： ；) ，于( 0 ，1 ) ( 0 ，o o ) r 2 这里，y 1 ，f 0 在( o ，o o ) 上连续，q 0 在【o ，o o ) 上连续，并且譬在( o ，o o ) 上单 调不减并且， t l 。i m 。+ t 2 q ( t ) 2 墨晋( 1 一t ) 2 q c t ) = 0 ，j c t ( i t ) g ( ) 8 。 m a x s u pf o ( f ) l ，s u pi 妒7 ( ) ) + “：= m a x i , 0 ( 1 ) 一o ( o ) l ，i n ( 1 ) 一p ( o ) j ， 以及 j f v n 黑h ( s e ，) 一 其中 e ：= f o th(咖+(i+sup1t2h(州暑蹄m一删mindo t e 0 1 j 。( t ) ) ( 2 8 ) 。1 o 【u t l jt i u ，ij 引理2 1 假设俾4 j 和偿印成立，那么下面的边值问题 ：；豸掣0 y ( 1 篙7 y ( r ，：0 仁。， l 可( o ) = ，) 一) = 、 有唯一解y ( t ) e ( 【o ，l 】，r + ) n c 2 ( ( o ，1 ) ，兄) ，t y 讹) c ( 【o ，1 】，兄) ，可以表示为 g o ) = a ( t ，s ) h ( s ) d s ，0 t 1 ， j 0 这里a ( t ，s ) 是边值问题一y ”= 0 ，u ( o ) = 0 ，v ( 1 ) = 7 y ( n ) 的格林函数，具体表示为 当0 s r 时， 蛳，= 箨篙： 当q s 1 时。 晰，= 萨；鬟 5 ” 0 h 虬 静静 + + 如咄班“烈以“八 = u 0 里 这 ，ll，、-i l l 力 u o广 巳而 证明惟性解的惟一性的证明是显然的我们只须考虑存在性 存在性，令 ， f ( ) ：2 上c ( t ，8 ) h ( s ) d s ，0 。1 绯，= 缮翠僦：譬攀：馏麓泛普 ( 2 1 0 ) v ，= 罢蒌揽：墨篡辫瑞絮。譬仉 矿( t ) = 一h ( t ) v t ( 0 ，1 ) 因为詹t h ( t ) d t 0 ( 不依赖 于u ) ( o 6 l 女) 使得， ( 圣) ( ) ；，t f o ，2 , h j ，( 2 1 7 ) 另一方面，由( 2 1 6 ) 得 i ( 圣u ) i t ) i 墨l ，【6 l ，1 1 令品= 壶，那么对任意的t l ，t 2 6 l ，1 ， t l t 2 l 如，有 f ( 垂赶) ( o t ) 一( 母“) ( 如) sl i t 一如f ； 令6 = r a i n 6 l ，如) ，由( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 得， l ( 圣) ( 如) 一( c u ) i t 2 ) l ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 对任意的t 1 ，t 2 【0 ，1 】，j t l t 2 l d 成立这表明“圣) ( t ) ：t x ) 在1 0 , 1 】等度连续 类似的，由( 2 1 4 ) 和下面的事实 【( 西u ) 也) 】7 lsl 1 ，t 阢，1 ) c ( 0 ，1 ) ， 7 可得 i t l ( 圣u ) 7 ( t 1 ) 一如( 西u ) ( t 2 ) i 0 ( 不依赖于u 。) ( 0 5 1 0 由x ( o ) 0 ，x ( 1 ) 7 z ( q ) ，可得口( 0 ，1 ) 故存在一区间( a ，盯】c ( 0 ，1 ) 使得在( a ，口】 上x ( t ) 0 ，且 z ( 口) = 0 ，z ( 口) 2 * m 【。a ，x 1 1 。( ) 0 ，z 7 ( 盯) = 0 ，( 口) 0 ( 2 2 6 ) 由( 22 6 ) ，我们有( 注意到i 口t 7 p ) i = j a p 7 ( 口) l ( 盯) 8 因此矿( 盯) 0 ，矛盾这表示在【o ，1 】上t 0 ) s 卢( t ) 同理我们可以证明在( o ，1 1 上“( t ) 口( t ) 这表明( i ) 成立 因为：m a x i 卢( 1 ) 一n ( o ) i ，i o ( 1 ) 一卢( o ) 1 ) ，存在r ( 0 ，1 ) 使得( 下) i p ，那么 l r t ，( f - 、# i , - - “ 假设第二部分不成立不矢一般性，我们假设存在0s t i 0 和e 0 使得 g ( t ，z ，；) l m ，v ( t ，z ，z ) ( 0 ，1 】( 0 ，e 】【一m ，m ， ( ) 1 9 ( t ，z ，z ) i ( f ( x ) + q ( 。) ) ( 1 + i t z i ；) ， 于【0 ，1 】( 0 ，0 0 ) r 这里7 1 ，f 0 在( o ，o o ) 上连续且单调不增，q 0 在 o ，o o ) 上连续，且譬在 ( 0 ，o o ) 上单调不减并且， l i r a + t 2 q ( f ) = 0 1 1 幻( t ) d t 。o 1 ( z 1 r ) r 】，打) 。d s l 这里 伽= 上1 t g ( ) 出， ：0 1 ( 胁r ) r 】，打) 。幽 则p ， f 或者f j j j ，至少存在一个解牡g ( 【o ，1 】，r + ) nc 2 ( ( o ，1 ) ，r ) t u ，( t ) c ( o ，1 】，r ) 注3 1q ( t ) = t 一“，0 m 2 满足( 3 2 ) 和( 33 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 现在我们考虑边值问题 笳掣嚣0 7 划u ( n ，兰筝1 州墟2 ， 砒 i “( o ) = j ，“( 1 ) 一) = 导，n 1 ) 、“ 类似于引理2 1 ，我们有 引理3 1 边值问题 j w ”+ q ( t ) 2 0 ，0 0 且5 0 ( 5 ， ( 3 7 ) ( 1 + 躐) ( n 。+ 6 0 k p f ( u ) 一 对任意的m 0 ，选择n o ( 1 ，2 ，) 使得磊1 m i n e m l w l l ，6 ，这里w 是 ( 3 6 ) 的解，选择0 m m vte ( o ，1 1 于足 o ：( t ) + q ( t ) g ( t ，o 。( t ) ，a ：( ) ) = ( r o w ( t ) + ：) ”+ q ( t ) g ( t ，m w ( t ) + j ，m w ( t ) ) = m w 7 铘) + q ( t ) g ( t ，m w ( t ) + i 1 ，m w ，( t ) ) = q ( ) ( g ( ，m w ( t ) + ；，m w ，( c ) ) 一m ) 0 ，0 t 1 并且n 。( o ) = r o w ( o ) + ：= i ，和 n 。( 1 ) 一7 q 。( q ) = r o w ( 1 ) + i 一，y ( m w ( 町) + ：) = r e ( w ( 1 ) 一7 w ( q ) ) + 与= 导 断言证毕 类似于文【1 6 】的证明，我们可得如下引理 引理3 2 方程( 3 1 ) 。的任意解札。( t ) 是方程( 3 1 ) 。+ l n + ) 的上解 引理3 3 方程( 3 1 ) 。至少存在一个解 证明我们考虑奇异边值问题 1 ，+ q ( 亡) ( f ( “) + q ( t ) ) ( 1 + i t i 。) = 。， t ( 。，1 ) ( 3 8 ) 【u ( o ) = ；，t ( 1 ) 一7 “( 7 7 ) = 导 1 1 为证明( 3 8 ) 的解的存在性，对每一个入( 0 ，1 ) ，研究下面的边值问题 fu ”+ a q ( t ) ( f ( t ) + q m ) ) ( 1 + i t u ，i ) ：0 ，t ( 0 ，1 ) ， 1 钍( 0 ) ：川l h 。( 萨导， 。8 其中 州= ：箍；： 令“是( 38 ) 的一个解，那么让是凹函数并且u ( t ) j ，t o ，1 1 ，因为( 1 ) 一：= ，y ( u ( q ) 一；) u ( q ) i ，所以存在t o ( o ，1 ) 使得在( o ，t o ) 上( t ) 0 ，而在( t o ，1 ) 上 0 ， 对方程( 3 8 ) 从8 ( 0 s t o ) 到t o 积分得 喇 f ( 删( + 罴错器) ( z 幻咖渺+ l ( 幻【g ( r 脚邮t 。以f t 。嘶t 胁 ) ， 注意到u ( t ) ：，t f 0 ，1 】，则 “如) 叫“( s ) ) ( ，+ 渊) ( ，“卅) 打+ ( n 。o ) 一n ( r 阳1 ) ， 然后从0 到t o 积分得 高( + 是渊) ( 小g ( s 删。) 一肌“ q ( 咖印酬) ( 3 9 ) ( 3 9 ) 意味着 莉d u 外。啪o ) - 孙) ( ，+ 粼) 即， 雨d ? l 0 使得 i t u i osk a ( 3 1 2 ) 证明( 3 8 ) 有解与证明“= a t u 有不动点是等价的，这里 ( 孔) ( 幻：2 元1 + f 0 1 g ( ts ) g ( s ) f + ( u ( s ) ) ( 1 + 善：若器) ( 1 + l s ( s ) i ) d s 显然( 见引理2 2 ) t ：x x 是全连续令 u ：= 似x ：l u l o k + 1 ，i t u i o 0 和 0 使得 g ( t ，z ) lv ( t ，。) 【0 ，1 ( 0 ，e 】，且f ( z ) l ，z ( 0 ，e 】 ( t 1 3 ) l i m + t 2 q ( t ) = o ，f o i t q ( 岫 ， 吲。删i 百幕o 雨户6 0 1 这里 ， b 。2 j or q ( r ) d r 则方程p j 至少存在一个正解u e ( f 0 ，1 1 ，f 0 ，o o ) ) n c 2 ( ( o ，1 ) ，r ) ，且在( 0 ，1 1 上u ( t ) 0 1 4 四例 例4 1 考虑奇异边值问题 ft ，+ 盯t m ( u 一。+ 矿+ s i n ( 8 7 r t ) ) ( 1 + l t i ) = 0 ，t ( o ，1 ) lt ( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 7 t ( q ) ，”( 0 ，1 ) ，y ( 0 ，1 】，口 o 是常数 其中，y 1 ，0 m ，n 0 ，b 0 令 g ( t ，“，口) = a t m ( 札一。+ t 6 + s i n ( 8 7 r t ) ) ( 1 + i t v l ) ， f ( u ) = o u 一4 ，q ( u ) = 盯( 让6 + 1 ) ，q ( t ) = t 一”， 知= j ( 0 1 t o - m ) 出= 云1 丽， 6 d = - f 1 ( a ir 9 ( - m ) d r ) 。缸 由定理3 1 ，边值问题( 4 1 ) 至少存在一个正解。如果 z 。+ l z - ( - o ，r ) ( a + 1 ) ( 1 + z 。+ 。十6 ) ( n o + 6 0 z ) 显然，定理3 1 中( h z ) 一( 恐) 成立 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 注4 1 如果0 曼b + = 1 0 解都存在 例4 2 考虑奇异边值问题 j “”+ 口t 一4 ( u 一。+ “4 一s i n ( s 7 r t ) ) 2o ，。( o ，1 ( 4 3 ) lu ( o ) = 0 ，缸( 1 ) = 7 u ( 7 7 ) ，1 7 ( 0 ，1 ) ，7 ( 0 ，1 】 、7 其中0 s m 0 ，o 0 ，p 20 令 f ( “) = 札一。，q ( u ) = + 1 ，q c t ) = 口t 一“ 6 0 = z 1 删d r = 南 由推论3 1 ，边值问题( 4 3 ) 至少存在一个正解，如果 4 0 注4 2 如果0 p 0 解都存在 参考文献 【1 】o r e g a n d p o s i t i v es o l u t i o n st os i n g u l a ra n dn o n s i n g u l a rs e c o n d - o r d e r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 8 9 ，( 1 4 2 ) ：4 0 - 5 2 2 】a g a r w a lrp 0 r e g a nd n o n l i n e a rs u p e r l i n e a rs i n g u l a ra n dn o n s i n - g u l a rs e c o n d o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j ， j ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 8 ，( 1 4 3 ) ：6 0 - 9 5 3 】j i a n gdqu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sf o ras u p e r l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m j ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ，2 0 0 1 ，( 4 1 ) ：5 6 3 5 6 9 4 1j i a n gdqu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sm e t h o da n das u p e r l i n e a rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a - t i o n s 2 0 0 2 ，( 4 4 ) ：3 2 3 3 3 7 5 】g u p t acp s o l v a b i l i t yo fat h r e e - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e mf o ras e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n j j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 2 ，( 1 6 8 ) ：5 4 0 5 5 1 【6 】g u p t acp ，n t o u y n ssk ，t s a m a t o spc s o l v a b i l i t yo fam - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j ，m a t h a n a l ，a p p l ，1 9 9 5 ( 1 8 9 ) ：5 7 5 - 5 8 4 7 jg u p t acpas h a r p e rc o n d i t i o nf o rt h cs o l v a b i l i t yo fat h r e c - p o i n ts e c o n d o r d c rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，( 2 0 5 ) ：5 8 6 - 5 9 7 8 】m ar e x i s t e n c et h e o r e m sf o r as e c o n do r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，( 2 1 2 ) ：4 3 0 4 4 2 【9 】m are x i s t e n c et h e o r e m sf o ras e c o n do r d e rm p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b 1 e m j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，( 2 1 1 ) ：5 4 5 5 5 5 【1 0 m ar p o s i t i v es o l u t i o n so f an o n l i n e a rt h r e e _ p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j ， e l e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 9 ，3 4 ( 1 ) ：1 - 8 1 1 1 z h a n gzx ，w a n g jy t h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o df o rac 1 8 器 o fs i n g u l 髓n o n l i n e a rs e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j 。3 c o m p u t a p p l ，2 0 0 2 ，( 1 4 7 ) ：4 1 - 5 2 【1 2 f e n gw ，w e b b jrl s o l v a b i l i t yo fat h r e e - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sa tr e s o n a n c e j ，n o n l i n e a ra n a l y s i st m a ，1 9 9 7 ，3 0 ( 6 ) ：3 2 2 7 - 3 2 3 8 【1 3 f e n gw ，w e b b jr l s o l v a b i l i t yo fam - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hn o n l i n e a rg r o w t h j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 7 ，( 2 1 2 ) ：4 6 7 - 4 8 0 【1 4 f e n gw o n am - p o i n tn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m j ，n o n l i n e a ra n a l y s i st m a ，1 9 9 7 ，3 0 ( 6 ) ：5 3 6 9 - 5 3 7 4 【1 5 w e b bjr l p o s i t i v es o l u t i o n so fs o m et h r e ep o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s v i af i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y j ，n o n l i n e a ra n a l ，2 0 0 1 ，( 4 7 ) ：4 3 1 9 4 3 3 2 1 6 h a b e t sp ，z a n o l i nf u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sf o rag e n e r a l i z e de m d e n - f o w l e re q u a t i o n j ，m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 4 ，( 1 8 1 ) ：6 8 4 - 7 0 0 【1 7 a g a r w a lrp ，g a ohy ，j i a n gdqa n do7 r e g a nd e x i s t e n c ep r i n c i p l e sa n d au p p e ra n dl o w c rs o l u t i o nt h e o r yf o rt h eo n e - d i m e n s i o np - l a p l a c i a ns i n c u - l a rb o u