（衡水万卷）高考数学二轮复习 八 立体几何（二）作业 理.doc

衡水万卷作业（八）立体几何（二）考试时间：45分钟姓名：_班级：_考号：_题号一总分得分一 、解答题（本大题共5小题，共100分）（2015湖北高考真题）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值dd1c1a1efabcb1如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab = 16，bc = 10，aa1 = 8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e = d1f = 4，过点e，f的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线af与平面所成的角的正弦值。如图：四棱锥中， （1）证明：平面 （2）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由. 如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=ad=2，aa1=4，点p为面add1a1的对角线ad1上的动点（不包括端点）pm平面abcd交ad于点m，mnbd于点n（1）设ap=x，将pn长表示为x的函数；（2）当pn最小时，求异面直线pn与a1c1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）如图，直三棱柱abc-abc，bac90，abacaa，点m，n分别为ab和bc 的中点（）证明：mn平面aacc；（）若二面角a-mn-c为直二面角，求 的值衡水万卷作业（八）答案解析一 、解答题（解法1）（）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线. 由（）知，所以. 又因为底面，所以. 而，所以. 故是面与面所成二面角的平面角， 设，有，在rtpdb中, 由, 得, 则 , 解得. 所以故当面与面所成二面角的大小为时，. （解法2）（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （）由，所以是平面的一个法向量；由（）知，所以是平面的一个法向量. 若面与面所成二面角的大小为，则，解得. 所以故当面与面所成二面角的大小为时，. 考点：1.四棱锥的性质，2.线、面垂直的性质与判定，3.二面角. (1)交线圈成的正方形ehgf如图；（2）作emab,垂足为m，则am=4，em=8.因为ehgf为正方形，所以eh=ef=bc=10.于是mh=,所以ah=10.以d为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz，则a(10，0,0),h(10，10，0),e(10，4，8),f(0,4,8),=(10,0,0),设是平面ehgf的法向量，则即，所以可取又，故.所以af与平面ehgf所成角的正弦值为 。 (1)略；(2)存在，f为pd的中点 解析： (1）证明：取线段bc中点e，连结ae因为ad，pda=30，所以pa=1因为adbc，bad=150所以b=30又因为ab=ac，所以aebc，而bc2，所以acab=2，因为pc，所以pc2=pa2+ac2，即paac因为paad，且ad，ac平面abcd，adac=a，所以pa平面abcd（2）解：以a为坐标原点，以ae，ad，ap所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则p(0，0，1),b(1，,0),处（1，,，0），d(0，,0)，设，因为点f在线段pd上，设,可得，即，所以，设平面pbc的法向量为，则有，即，令x=1，得，因为直线cf与平面pbc所成角的正弦值等于，所以，解得，所以点f是线段pd的中点.【思路点拨】证明线面垂直通常利用其判定定理转化为线线垂直进行证明，遇到线面角问题，可建立空间直角坐标系利用空间向量的夹角进行求值.考点：异面直线及其所成的角；函数解析式的求解及常用方法专题：计算题；函数的性质及应用；空间角分析：（1）求出pm，am，运用余弦定理，求得pn；（2）求出pn的最小值，由于mnac，又a1c1ac，pnm为异面直线pn与a1c1所成角的平面角，通过解直角三角形pmn，即可得到解答：（1）在apm中，； 其中； 在mnd中，在pmn中，；（2）当时，pn最小，此时因为在底面abcd中，mnbd，acbd，所以mnac，又a1c1ac，pnm为异面直线pn与a1c1所成角的平面角，在pmn中，pmn为直角，所以，异面直线pn与a1c1所成角的大小点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查二次函数的性质和运用：求最值，考查运算能力，属于中档题解：（）法（一）：如图，连结ab，ac由已知bac90，abac，三棱柱abc-abc为直三棱柱，m为ab的中点又n为bc的中点，mnac；又平面aacc，ac平面aacc，mn平面aacc法（二）：取ab的中点p，连结mp，npm，n分别为ab和bc的中点，mpaa，pnac，mp平面aacc，pn平面aacc又mpnpp，平面mpn平面aacc而mn平面mpn，mn平面aacc（）以a为坐标原点，分别以直线ab，ac，aa为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系o-xyz，如图所示设aa1，则abac，a(0，0，0)，b(，0，0)，c(0，0)，a(0，0，1