重庆市西南大学附中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）新人教A版.doc

2012-2013学年重庆市西南大学附中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）复数对应的点在第几象限（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：先利用复数代数形式的运算法则化简z，然后写出其对应的点，从而得到答案解答：解：=，复数z对应的点为（1，2），故复数z对应的点在第四象限，故选d点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的几何意义，属基础题2（5分）已知n（0，2），p（3）=0.018，则p（33）=（）a0.036b0.964c0.018d0.968考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：概率与统计分析：画出正态分布n（0，2）的密度函数的图象，由图象的对称性可得结果解答：解：由随机变量服从正态分布n（0，2）可知正态密度曲线关于y轴对称，而p（3）=0.018，则p（3）=0.018，故p（33）=1p（3）p（3）=0.964，故选b点评：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解3（5分）函数f（x）=x3+3x1的极大植与极小值分别为（）a极小值为3，极大值为1b极小值为16，极大值为4c极小值为1，极大值为0d极小值为3，极大值为1考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案解答：解：由题意可得：y=3x2+3，令y=3x2+30，得1x1，所以函数f（x）=x3+3x1在（1，1）上递增，在（，1），（1，+）上递减，所以当x=1时，函数有极大值f（1）=13+311=1，当x=1时，函数有极小值f（1）=（1）3+3（1）1=3故答案为 d点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用4（5分）（2004湖北）若，则下列结论中不正确的是（）alogablogbab|logab+logba|2c（logba）21d|logab|+|logba|logab+logba|考点：对数的运算性质专题：压轴题分析：若，则易得0ba1，则可以根据指数的性质：logab1，0logba1，及logablogba=1，对四个答案逐一进行分析，易得答案解答：解法一：（常规做法），0ba1，则logab1，0logba1，logablogba=1，logablogba，故a正确由基本不等式得：logab+logba2=2，故b正确0（logba）21，故c正确|logab|+|logba|logab+logba|，故d错误解法二：（特殊值代入法），0ba1，不妨令b=，a=则logab=2，logba=易得a，b，c均正确，只有d错误故选d点评：特殊值代入法，是解选择题和填空题常用的方法之一，使用时要注意，其方法是通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法这个特殊值应该满足的条件：首先，无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；其次，这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系；最后，这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量5（5分）从个位与十位数字之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数字为0的概率是（）abcd考点：等可能事件的概率专题：概率与统计分析：确定个位与十位数字之和为偶数的两位数的个数，其个位数字为0的个数，即可求出概率解答：解：由题意，个位与十位数字之和为偶数的两位数一共有奇奇型=20；偶偶型4+=16，一共36个其中个位与十位数字之和为偶数的两位数，个位数字为0的，共有4个所以概率为=故选c点评：本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定基本事件的个数是关键6（5分）函数f（x）=4x1+22x的最小值为（）a3bc2d1考点：基本不等式在最值问题中的应用；复合函数的单调性专题：函数的性质及应用分析：先对f（x）进行变形，得f（x）=，然后利用基本不等式可得其最小值解答：解：f（x）=3，当且仅当，即x=1时取得等号，所以f（x）的最小值为3，故选a点评：本题考查复合函数的单调性、基本不等式求函数最值，属中档题7（5分）现有2名学生代表，2名教师代表和1名家长代表合影，则同类代表互不相邻的概率为（）abcd考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：所有的排列方法有种，先用捆绑法求出有同类代表相邻的排法有+ 种，可得同类代表相邻的排法种数，由此求得同类代表互不相邻的概率解答：解：所有的排列方法有=120种，若2个学生代表相邻，方法有 种；若2位教师相邻，方法共有 种；2个学生相邻同时2个教师也相邻的排法有种；故有同类代表相邻的排法有+=72 种，同类代表互不相邻的排法有12072=48种故同类代表互不相邻的概率为 =，故选b点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意相邻问题用捆绑法古典概率及其计算公式的应用，属于中档题8（5分）函数f（x）=（0x2）的最小值为（）abc0d考点：基本不等式；两角和与差的余弦函数专题：函数的性质及应用分析：先由f（x）=，得f（x）=，再设6+2cosx=t，其中4t8则有y=+6根据函数单调性与导数的关系，需要求出导函数并令其等于零得到x的值，然后讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可解答：解：由f（x）=，得f（x）=，设6+2cosx=t，则4t8y=+6得y=，令y=0，得t=，当4t时，f（x）0，f（x）在4，）单调递减f（x）在4，8单调递减故函数y=+6在t=8时取得极小值，也是最小值f（x）min=（+6）=故选d点评：本题考查了函数的导数运算，研究函数的最值问题考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识9（5分）已知可导函数f（x）为定义域上的奇函数，f（1）=1，f（2）=2当x0时，有3f（x）xf（x）1，则f（）的取值范围为（）a（，）b（，）c（8，1）d（4，8）考点：导数的运算；奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：为了得到3f（x）xf（x）的原函数，构造函数g（x）=，g（x）=0，则g（x）在（0，+）上是增函数，因此g（1）g（）g（2），从而得到f（）的范围，f（x）又是奇函数，那么f（）的取值范围自然就得出来了解答：解：令g（x）=，当x0时，g（x）=0，所以g（x）在x0上单调增；g（1）=1，g（2）=4，12，g（1）g（）g（2），即1g（）4所以，14，f（）因为f（x）是奇函数，所以f（）=f（），f（）=f（），代入上式得：f（）所以：f（）（，）故选b点评：本题主要考查导数的运算和奇偶性与单调性的综合，解答的关键是构造函数g（x）=，利用导数研究其单调性属于难题10（5分）函数f（x）=alnx+x，对任意的x，e时，f（x）0恒成立，则a的范围为（）a1，b，1ce，d1，1考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的综合应用分析：先求导数，研究函数的极值点和最值点要使f（x）0恒成立，实质是求当x，e时，函数f（x）的最小值，只有让最小值满足f（x）0即可解答：解；函数的定义域为（0，+）函数的导数为要使f（x）0恒成立，则只需当x，e时，求函数f（x）的最小值，让最小值满足大于0，即可若a0，f（x）0，此时函数在，e单调递增，所以最小值为，此时由，解得若a0，由f（x）=0，得x=a，函数f（x）在x=a处取得极小值若a，在函数在，e单调递增，所以最小值为，此时，恒成立，此时a0若ae，此时函数在x=a处取得最小值，此时f（a）=aln（a）a0，解得ea若ae，此时函数在，e单调递递减，此时最小值为f（e）=alne+e0，解得ae综上：a的范围为e，故选c点评：本题的考点的是利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题实质是函数最值恒成立要进行转化二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上11（5分）复数的实部为考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：计算题分析：根据复数代数形式的除法法则进行化简，然后根据复数的基本概念即可得到答案解答：解：=，所以复数的实部为故答案为：点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记有关法则及基本概念是解决问题的基础12（5分）（x1）dx=考点：定积分专题：计算题分析：求出被积函数2x2的原函数，将积分的上限、下限代入求值解答：解：（x1）dx=（x2x）=1=故答案为：点评：本题主要考查了定积分的计算，解决该类问题的关键是求出被积函数的原函数，属于计算题、基础题13（5分）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，则成功次数的方差的最大值为25考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：根据独立重复试验的方差公式，可以表示出方差，因为要求成功次数的方差的值最大时对应的概率，所以需要求出方差取得最大值时概率的值，利用均值不等式来求最值，得到结果解答：解：由独立重复试验的方差公式可以得到d=npqn（ ）2=，等号在p=q=时成立，d=100=25，故答案为：25点评：本题是一个综合题，考查独立重复试验的方差公式，基本不等式在求最值中的应用，独立重复试验不好判断，它是指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验14（5分）一个口袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从袋中每次至少取一个球，共3次取完，并将3次取到的球分别放入三个不同的箱中，则不同的放法共有27种考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；分类讨论；概率与统计分析：由题意，可将问题转化为将五个小球分为三组放入三个盒子的问题，由于小球的颜色有两种，计数较复杂，可按白球的分组方式分类计数得到正确答案解答：解：由题意，本题是一个将五个小球分为三组的问题，着色相同的小球之间无区别五个小球分三组，只有3、1、1与2、2、1两种方式若为3、1、1型，二白在一起，一种分法，放入三个不同的箱中有三种方法，二白球不在一起有两种分法，当两球各单独一组时，放入三个箱中有三种放法，两球不全单独时，有a=6种放法；若为2、2、1型，二白在一起，一种分法，放入三个不同的盒子共有a=6种放法，二白球不在一起有两种分法，两白球各与一红球在一起时有三种放法，有一个白球单独一组时有有a=6种放法综上，不同的放法种数为3+3+6+6+3+6=27种故答案为27点评：本题考查计数问题，正确分类是解题的关键15（5分）对任意实数a（a0）和b，不等式|a+b|+|ab|a|（|x1|+|x2|）恒成立，则实数x的取值范围是考点：绝对值不等式专题：不等式的解法及应用分析：由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|ab|2|a|，再由所给的条件可得2|a|a|（|x1|+|x2|），即 2|x1|+|x2|再根据绝对值的意义求得2|x1|+|x2|的解集解答：解：由绝对值不等式的性质可得|a+b|+|ab|a+b+（ab）|=2|a|，再由不等式|a+b|+|ab|a|（|x1|+|x2|）恒成立，可得2|a|a|（|x1|+|x2|），故有2|a|a|（|x1|+|x2|），即 2|x1|+|x2|而由绝对值的意义可得|x1|+|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故2|x1|+|x2|的解集为 ，故答案为 点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（13分）我校模拟联合国小组共5人，其中3人从来没有参加过模拟联合国的比赛，2人曾经参加过模拟联合国的比赛（1）现从中选2人参加本年度的模拟联合国比赛，求恰好有1人曾参加过模拟联合国比赛的概率？（2）若从该组中任选2人参加本年度模拟联合国比赛，比赛结束后，该小组没有参加过模拟联合国比赛的学生人数为，求的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（1）参加联合国比赛的2人中有2人曾经参加过模拟联合国的比赛，现从中选2人参加本年度的模拟联合国比赛的方法数是c，恰好有1人曾参加过模拟联合国比赛的方法数是c，故可求其概率；（2）=0，1，2，3，求出相应的概率，即可求得的分布列及数学期望解答：解：（1）从中选2人参加本年度的模拟联合国比赛的方法数是c，恰好有1人曾参加过模拟联合国比赛的方法数是c，故恰好有1人曾参加过模拟联合国比赛的概率（2）=1，2，3，所求的分布列为：，的数学期望点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确理解事件，求概率，确定变量的取值，属于中档题17（13分）已知f（x）=x3+ax2（2a+3）x+a2（ar）（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线2xy1=0平行，求a的值；（2）当a=2时，求f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）先求导数，由条件知f（1）=2，然后求解（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间解答：解：（1）由题意得f（x）=3x2+2ax（2a+3），因为y=f（x）在x=1处的切线与直线2xy1=0平行，f（1）=2f（1）=32a（2a+3）=2，（2）a=2，f（x）=x32x2+x+4f（x）=3x24x+1，令f（x）0，得令f（x）0，得f（x）单调递增区间为，（1，+），f（x）单调递减区间为点评：本题的考点是导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间18（13分）已知a，br+且a2ab+b2=a+b，求证：1a+b4考点：不等式的证明专题：证明题分析：利用a2+b2ab（a+b）2，可证a+b1，利用基本不等式，可证a+b4解答：证明：a2+b2ab（a+b）2（a+b）（a+b）2a，br+，a+b1又0a+b4综上：1a+b4点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）已知数列an，an0，且（1）求a1，a2，a3；（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明考点：数学归纳法；数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（i）因为n1时，分别令n=1，2，3从而求出an，再根据求出的结果猜想an=n即可；（ii）先根据当n=1时，把n=1代入求值不等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意nn*时都成立解答：解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，猜想an=n（2）假设nk成立，即ak=k，下证n=k+1时，=由，解得ak+1=k+1综上，an=n（nn*），点评：本题考查归纳推理，考查数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键20（12分）已知函数f（x）=mxlnx3（mr）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，存在x（0，+）使f（x）nx4有解，求实数n的取值范围；（2）当0ab4且be时，试比较的大小考点：利用导数研究函数的极值；不等关系与不等式专题：导数