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硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 摘要 近年来，由于非线性偏微分方程常作为物理学、化学、信息科学、生命科学、地理 科学等领域的所研究问题的数学模型，使它成为当前科学发展的前沿和热门话题。非线 性偏微分方程有很多种，大体可以分成两类：第一类是可积和弱不可积系统，这些方程 具有一些比较好的性质，比如存在b a c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换和无穷守恒律等，其中 孤立波形式的解由于得到广泛应用而备受关注；另一类是不可积系统，其解可能出现 混沌现象。 本文主要研究了b o r n i n f e l d 型方程解的性质。此类方程属于第一类系统的非线性 偏微分方程，都具有孤立波形式的解。 本文，首先介绍了b a t e m a n 方程求通解的过程。并列出了这些解具有的性质。 其次，本文着重研究b o r n i n f e l d 型方程，类比于b a t e m a n 方程的求解，得到了 b o m - i n f e l d 型方程的通解及解的一些有趣特性。 最后，对b o r n i n f e l d 方程，给出了该方程的c a u e h y 解的详尽求解过程。 关键词：b a t e m a n 方程，b o m - i n f e l d 方程，l e g e n d r e 变换，守恒律，孤立波，速度图变换 a b s t r a c t 硕士论文 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r , a st h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fp h y s i c s ，c h e m i s t r y , i n f o r m a t i o ns c i e n c e ，l i f e s c i e n c e ，g e o g r a p h ya n do t h e rf i e l d so fs c i e n c e ，n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v e b e c o m et h ef o r e f r o n to fs c i e n t i f i cd e v e l o p m e n ta n dah o tt o p i c av a r i e t yo fn o n l i n e a rp a i r t i m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb er o u g h l yd i v i d e di n t ot w oc a t e g o r i e s o n ei si n t e g r a b l ea n dt h e w e a kn o n i n t e g r a b l e t h e s ee q u a t i o n sh a v es o m eb e r e rp r o p e r t ys u c ha sb a c k l u n d t r a n s f o r m a t i o n ，d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n di n f i n i t ec o n s e r v a t i o nl a w s o n ef o r mo fs o l i t a r y w a v es o l u t i o n sw h i c ha r e w i d e l y u s e dh a sa t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n t h eo t h e ri s n o n i n t e g r a b l es y s t e m ，w h o s es o l u t i o n sm a yb ec h a o t i cp h e n o m e n a i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ep r o p e r t yo fb o r n i n f e l de q u a t i o n s t h i sc l a s so fe q u a t i o n s b e l o n g st ot h ef i r s tc a t e g o r y ，w h i c hh a st h ef o r mo fs o l i t a r yw a v es o l u t i o n f i r s t l y , t h i sp a p e rs u m m a r i z e st h eg e n e r a ls o l u t i o no fb a t e m a ne q u m i o n ，a sw e l la ss o m e s p e c i a lp r o p e r t i e s s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h et y p eo fb o r n t n f e l de q u a t i o na n dg i v et h eg e n e r a ls o l u t i o no f t h i se q u a t i o nv i aas i m i l a ra r g u m e n tt ob a t e m a ne q u a t i o n t h i r d l y , w eg i v et h ec a u c h ys o l u t i o no fb o r n - i n f e l de q u a t i o ni nd e t a i l k e y w o r d s ：b a t e m a ne q u a t i o n ，b o m - i n f e l d e q u a t i o n ，l e g e n d r e t r a n s f o r m a t i o n c o n s e r v a t i o nl a w , s o l i t a r yw a v e ，h o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o n l i 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本学 位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或公布 过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使用过的 材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 研究生签名： 鱼垫 1 利刖。日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上 网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并授权 其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密论文， 按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：! 垦竺 1 年月乒日 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 1 引言 许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理，力学学科的 基本方程本身就是偏微分方程。无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方 程均用于力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域。 利用非线性偏微分方程描述上述领域的问题，充分的考虑到空间、时间、时滞的 影响，因而更能准确的反映实际。因此，非线性偏微分方程是现代数学的一个重 要分支。随着应用偏微分方程的发展，很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归 结为非线性偏微分方程的研究，而且随着研究的深入，有些原先都可以用线性偏微分方 程作近似处理的问题也必须考虑非线性项的影响。因此，现在应用偏微分方程研究的主 体是非线性偏微分方程。为求解非线性微分方程远比求解线性偏微分方程困难的多，现 在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的泛函分析方法，为处理线性和非线性偏微分方程 提供了一个强有力框架和工具，并在实践中得到广泛的应用，而广义函数又提供了一种 框架，其中很多经典的方法( 如f o u r i e r 分析) 进一步发挥了重要的作用，此后还出现 拟线性微分算子等强有力的理论和工具，不仅极大的改变了线性偏微分方程的研究面 貌，并开始应用于非线性偏微分方程的问题。对非线性偏微分方程解的性质的研究，主 要集中在偏微分方程解的存在唯一性( 和多解性) 及稳定性；偏微分方程的初值 问题、初边值问题的整体解( 包括周期解和概周期解) 的存在性及渐近性；平衡 解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的 稳定性问题；非线性方程的数值解，深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影 响，诸如静态解、周期解的存在性、解的渐近性等问题；寻求它们在含间断项的 非线性偏微分方程方面的突破，对于解决实际问题有很重要作用。在应用数学学科 的这一研究领域中，非线性偏微分方程及其应用属于国内外前沿性研究热点之一。 讨论偏微分方程解的守恒律性质，具有重要意义。守恒定律历来是物理学中研究的 中心课题之一，在数学中借助于守恒量对偏微分方程的解做出先验的估计，这些估计是 方程解的存在性、唯一性和稳定性判断的关键，在求方程近似解时，选取好差分格式也 要应用守恒律，所以守恒律在偏微分方程中有很大应用。还有b a c k l u n d 变换可以从已 知解( 如零解) 求出新解，另外这种变换还能引入一个简单的非线性叠加公式，利用这 公式可以通过纯代数方法从单孤立子解构成多孤立子解，因此b a c k l u n d 变换已成为研 究非线性方程的有力工具。 1 1 研究的两类偏微分方程背景应用概述 本文主要研究如下的两类非线性偏微分方程：b a t e m a n 方程和b o r n - i n f e l d 型方程。 虽然它们方程的形式很相似，但是方程物理背景、方程类别和通解形式等却不相同。 i 引言硕士论文 b a t e m a n 方程的基本形式是丸杉+ 矽w 彩一2 苁，吮丸= 0 ，可以发现它是对称的、退化的方 程。对这个方程的研究比较完善，d a v i db f a i r l i e 和j a ng o v a e r t s 在【2 】中给出求通解的 方法，求出其通解形式是硕( 矽) + 嫒( ) = c ，彳，厶是任意函数，c 是常数；d b f a i r l i e ， j g o v a e r t s 和a m o r o z o v 在【9 中给出另一种解法，还给出解的不变性质即任意一个解 矽( x ，f ) 的二次可微函数f ( 矽) 也是它的解，并提出了b a t e m a n 方程的守恒律等；f a i r l i ed b 在【3 】中把b a t e m a n 方程从二维推广到高维，给出高维b a t e m a n 方程，并相应给出了其 通解。d b f a i r l i e 和a n l e z n o v 在【5 】中定义了复的b a t e m a n 方程，并给出通解和证明 过程，而他们后来又把复的b a t e m a n 方程推广到高维形式。我们所说的b o r n i n f e l d 型 方程，其形式是u 盯+ 2 6 ( 坼，u x ) u 血+ c ( “，u x ) t t x x = 0 而通常的b o m - i n f e l d 方程是它的特殊形 式，它的方程形式是( 1 + 霞) 吼一2 纹够纥- ( 1 - 才) 纵= 0 ，它描述1 + 2 维m i n k o u s k i 空间 中的极小曲面，同时也是n a m b u 弦的一个特例。关于b o r n i n f e l d 方程也有了大量的研 究结果，如d b f a i r l i e 和j a m u l v e y 在【1 8 】中讨论了b o r n i n f e l d 方程的可积性，以及 给出了b o r n i n f e l d 方程的守恒律，也有文章讨论了其对称性等，并利用辅助常微分方 程可以求出大量特解，例如y u a n x ix i e 和j i a s h it a n g 在 1 1 】中把偏微分方程转化成常微 分方程求出大量特解，同时也可以求出其通解，比如阮立志在 1 6 】中给出解的表示形式 t 缈( ，x ) = f ( x ) i v ( s ，x ) d s ，并rn - - i 以发现b a t e m a n 方程则是b o r n i n f e l d 方程的特殊形式。 占 本文在系统地总结这两类方程已有研究成果的基础上，讨论高维的b a t e m a n 方程解的一 些性质，如守恒律、特解、通解等，推导b o r n i n f e l d 型方程u u + 2 b ( u 。，u ，) d t - c ( z i t ，蚝) = 0 的通解、守恒律以及涉及各种变换，重新详细地给出b o r n i n f e l d 型方程的c a u c h y 问题 的解的表示。 1 2 本文的主要工作 本文主要讨论b a t e m a n 方程，b o r n i n f e l d 型方程的一些性质，含四部分内容： 第一部分是引言，简要介绍所研究问题的背景和研究的工作。 第二部分分别讨论b a t e m a n 方程和b o r n i n f e l d 一般形式的方程，包含实的、复的、 高维的方程的各种特解，如行波解、通解等。 第三部分主要讨论和两类方程相关的各种变换，如l e g e n d r e 变换、b a c k l u n d 变换 等，以及方程所具有的守恒律。 第四部分主要讨论b a t e m a n 方程和b o r n i n f e l d 一般形式的方程的初值问题与解的 2 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 表示，着重是给出第二类方程的初值问题的解的详细推导。 3 2 特解和通解 硕士论文 2 特解和通解 2 1b a t e m a n 类型的方程 九形+ 办刃一2 蝣丸力= 0 ( 2 1 ) d e t 睢争 眨2 ， 刃+ 矽：= 0 消除谚，丸可以得到，并且是一个典型的可积结构，它是二维万有域方程的原型。 定义1 【1 】：二元函数的l e g e n d r e 变换就是把积分曲面用它的切平面坐标来表示，而不是 用点坐标来表示，即曲面由点坐标到平面坐标的变换。变量( x ，y ，u ( x ，y ) ) 与新变量 l e g e n d r e 变换和单纯的坐标变换有本质上的区别，因为坐标变换只是对一个点配给另一 个点，而l e g e n d r e 变换却是对每个面元，配给另一个面元。有多种微分方程的求解问 丸衫+ 妨刃一2 如苁办= o 硕士论文两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 的通解形式是 硕( 矽) + 卫疋( ) = c 证明： b a t e m a n 方程我们有两种方法求其通解。 第一种方法： 用l e g e n d r e 变换把b a t e m a n 方程变成线性方程，然后用数学物理方程中的方法可 解出。 运用l e g e n d r e 变换把( 2 1 ) 变成： 孝2 + 2 勃+ i 2 野= o ( 2 4 ) 其特征方程为： 孝2 ( 切) 2 2 孝叩c 蟛d r l + r 1 2 ( d 孝) 2 = 0 ( 孝d ，7 一刁d f ) 2 = 0 令1 1 = 得出： x ( 善，r ) ：罢 5 y ( 善，刁) = ，7 + 善 从上面我们可以解出国：厂( 兰) + ( f + ，7 ) g ( 兰) ，其中厂，g 是任意函数，对彩分别作微分 得： 代入公式( 2 3 ) 得： x = 咚= l 材 f + ( 孝+ 机】+ g y ：一妄 厂+ ( 孝+ 7 7 ) g 】+ g 户一手l 厂“争们g 】+ g 重新整理得到b a t e m a n 方程的通解： 其中石五是任意函数，c 是常数。 ：一厂( 鱼) 刁 萌( ) + 咒疋( ) = c ( 2 5 ) 5 2 特解和通解 硕上论文 第二种方法： 对( 2 1 ) 作替换材( x ，y ) ：牟得到一阶微分方程 织 丝：“丝( 2 6 ) 砂 苏 解得： = g ( x + u y ) ，g 是任意函数， ( 2 7 ) 由此可推出b a t e m a n 方程的一般解( 2 5 ) 。 证毕 b a t e m a n 方程的解具有不变的性质，任意一个解矽( x ，) 的任意二次可微函数f 的复 合，( ) 也是它的解。 注：把= g ( x + a y ) 代入b a t e m a n 方程可以看出它也是其解，所以b a t e m a n 方程 具有行波解。 定义2 【3 】刀维的b a t e m a n 方程为： 0 氏 氏氏两 吸吮 味。k 。 c x n i 氏靠。 噍而4 欢一。铂 = 0( 2 8 ) 在对不可积的偏微分方程进行潘勒韦检验，可以得到一类描述移动的奇异流形的微分约 束，发现这类约束就是b a t e m a n 方程高维的形式。通过高维的波动方程，可以推出一些 详细性质，从中可以看出奇异流形的条件等价于高维的b a t e m a n 方程。 定理2 【3 】胛维的b a t e m a n 方程通解是二维的推广的形式是： 其中是刀维任意函数，c 是常数。 证明：求其通解也是利用l e g e n d r e 变换。引入一个关于毒，i = l ，刀对偶空间，按 下面方式定义函数缈( 毒) ： 6 c = 、，缈 ，l r = 、x 脚 硕士论文两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 ( 五，屯，毛) + 缈( 缶，岛，磊) = 五点+ 而岛+ + 己， 噍= 磊，屯= 乞，九= 磊， 2 x l ，2 而，2 ， 为了计算办引入两个黑塞矩阵，形，矩阵的元素分别为办，白= ，假定形= 1 和 普叫- 1 ) 盯，若卅b 贝| j i 匿龇g e n d r e 变换( 2 8 ) 变成线性二阶方程 荨参乞老= 。 解这个方程得： 缈= 巧( 磊磊) + f 2 ( 磊己) 其中巧是任意的一个加权为零的函数，五是任意一个加权为一的函数。 刀维的b a t e m a n 方程通解由下面方程确定 地妒川= 一彭叫，劫舻詈 最后重新整理得到通解： _ 乃( ) = c 当上式重新整理可以得到： t 考叫专) 当f = 0 ，这样可以直接得出它就是万有域方程的一个解。 2 1 2 复的b a t e m a n 方程 或者 复的b a t e m a n 方程其形式是： 证毕 盟丝生+ 盟盟堕一丝盟盟一盟丝生：o f ，o 、 挑锄锄鸽饥挑钆挑砂：钆坝钆钆 j7 7 2 特解和通解 硕士论文 。 丝丝 g y ,钆 a a 2 矽a 2 矽 钆钆m 钆此 a 西 a 2 矽a 2 # o x 2 y l 反2 y 2 = 0 ( 2 1 0 ) 这里( m ，奶) 是( 五，而) 对应复变量，对于实的b a t e m a n 方程相比较可以看成 x = 五+ 乃，y 2 x 2 + y 2 定理3 【4 l 复的b a t e m a n 方程 通解为： 丝丝! 生+ 丝丝塑一丝盟堕一丝盟塑：o 挑坝孰一挑朝观a y 2 g x 2 a y , g x 2 0 x 20 2d x 2 朝o x l o y 2嘶观吼砂l 嘶2毗 其中g ，为任意函数。 g ( 矽，y l ，儿) = f ( 矽，五，x 2 ) 证明：首先把( 2 9 ) 分成三个线性独立方程： 口l 丝+ 口2 盟：o 砒砒 a 矽 a 口1a 矽a c z 2a 矽 n 一一= i ， 挑挑钆两钆 a 矽 a 口1a 矽a c z 2a 矽 n 一一一= i ， 锄锄 这里口1 ，口2 是关于五，x 2 ，m ，的函数 ( 2 1 1 ) 由( 2 1 1 ) 得到： 婺+ 导( 1 0 9 ( 口) 一l o g ( 0 , 2 ) ) 学口2 ：o l ll l0 1 2 学+ 三( 1 0 9 ( 口) 一l o g ( 口：) ) 掣口：o ( 2 1 2 ) o o x 2o y 2 通过十字微分法可以看出( 尝口2 ) 一1 是关于( 矽，y l ，) 的函数，因此可以写成： 8 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 1 0 9 ( 妥) ：k ( 矽，m ，奶) 口。 其中k 是任意关于( 矽，m ，此) ，由这些方程又可以得出： 署一南k ，生0 3 , 去k钆 口r口2 k 是k 关于的导数，因此存在一个函数u ( ，乃，咒) 使得 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 掣：u ( 饥奶) 婺 ( 2 1 5 ) o y l 相似的可以引入函数y ( 矽，五，而) 推导出第二个式子 婺：y ( ，五，屯) 孚 ( 2 1 6 ) 钆”一7 然后通过上面式子可得： g ( 矽，y l ，y 2 ) = f ( 矽，x l ，恐) 其解是确定两个任意函数f ，g ，f 关于矽，耳，而的函数和g 关于矽，乃，y 2 的函数，解出 g ( ，m ，奶) = f ( 矽，五，而) ，就可得到，是关于并西，x 2 ，y l ，y 2 的函数。 证毕 和实的b a t e m a n 方程解性质相似，也具有解的共变性质，若矽是它的解，则任意关 于的可微的函数f ( ) 都是它的解。并且复的b a t e m a n 方程的解实际包含实的b a t e m a n 方程的解，当 f = 而，( ) + m g ( ) g = 一砭厂( 矽) 一兕g ( 矽) + c 推出实的b a t e m a n 方程的解。揪i ( x 1 ，x 2 ) 和( m ，y 2 ) 重新参数化，复的b a t e m a n 方 程也是保持不变的，所以复的b a t e m a n 方程是具有巨大不变群的方程。 还能推广至高维情形，复的b a t e m a n 方程推广到高维有一个显著的不变群理论，并 且它的解是非常简单隐函数形式。 定义3 【5 1 通过与万有域方程类比，定义下面这个式子 9 2 特解和通解 硕一 ：论文 。丝 a m a 矽a 2 o y , 朝籼毗d m i i a 矽a 2 矽 一一 一o y o y o y l i c y a 2 函 = = = o y l o y n a 2 西 砂。a y 。 = 0 为刀维复的b a t e m a n 方程。 下述定理就给出复的b a t e m a n 方程的通解 定理4 【5 1 胛维复的b a t e m a n 方程的通解由函数1 决定，然而y 1 是一个由刀一1 个方程组确 定隐函数，而这胛一1 个方程组是关于疗一1 个少”的函数的方程组。 ，( ；y ) = f ( y ；j ，) ，= f 一 2 彳( 甩一1 ) 证明： 刀维复的b a t e m a n 方程也可以写成n + 1 个线性方程 口。砖= o ，九= 吒岛 l = l 相似的，也可以等价于下面n + 1 个线性方程 九= o ，续= 砖九 一 ，i y t 一 y 1 1j l i = l l 由上面两个式子可以看出： 口羔砖= 群 对( 2 1 7 ) 乘以，然后相加，同样处理( 2 1 8 ) ，z 。一1 0 ： ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 5 吒岛= o ，口5 侉屯= o 然后重复使用已经得到的方程 吒= 钇5 ，口辟= 秒。1 3 ( 2 1 9 ) j， 从中可以看出9 是一个单位元，是线性方程组和复的b a t e m a n 方程等价的一个重要元 素。 1 0 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 引入记号v ”= 等，材= 等把( 2 1 9 ) 消除秒可得： 一吃= e u 吃，一蜂= v ”晦 通过上述式子我们得到二维时相似的解 q ”( y ；乃，) = 尸”( 少；乃9o - - 9 以) ， v = 1 n - 1 2 2b o r n i n f e l d 方程 证毕 b o m - i n f e l d 方程是1 + 1 维的二阶拟线性方程并且是混合型方程 ( 1 + 程) 一2 纯仍一( 1 一矛) = 0 ，o ，x r ( 2 2 0 ) 它是b m e m a n 方程的非齐次形式，它描述了1 + 1 维m i n k o w s k i 空间中极小曲面，同时 也就是n a m b n 弦的一个特例，一般作一个变换 x = x + 办 f 。= x 一办 程+ 霄一( 允+ 2 纯仍) = 0 兄0( 2 2 1 ) 当元= 0 时，变成了b a t e m a n 方程，所以b a t e m a n 方程也是b o r n - i n f e l d 方程的特殊形式。 2 2 1b o r n 1 n f e l d 方程的特解 第一种方法 ( 2 2 1 ) 特征方程： t z 2 u 2 一( 允+ 2 织仍) “+ 方= 0 ， 其解为： 驴丝霍旺2 2 ， = 2 + 2 c p p t - 獗4 2 2 + 4 2 c p p t b o m - i n f e l d 方程就可以写成： 2 特解和通解硕士论文 堕：甜，亟 o to x o u ，o u ， o = u t o o to x 用速度图变换将自变量和因变量互换可以得到： a xa t 一= 一z f 一 抛22 抛2 o xo t 一= 一甜一 1 o u io u i 解出得： x = f ( u 1 ) 一“l f 。( “1 ) + g ( u 2 ) 一u 2 9 。( 甜2 ) ，= f 。( “1 ) + g ( “2 ) 其中厂，g 是任意函数。 理论上可以得到解通过x ，解出u l ，u ：的方程，积分之后得： a 矽1 一= - ；= = ；= = o x “l 一“2 丝一型竺! 丝 匆一厄一厄 当f ( u 1 ) = 砰，g ( u ：) = 一甜；时，这样求出u 1 ，u ：关于x ，的函数： 甜。= 一下( 4 x + t 2 ) 甜：= 一下( 4 x - f 1 ) 代入( 2 2 6 ) 然后积分可得一个特解： 缈= 一丁f 2 、了4 x - f l + ( 等) ；m 这有一个特解形式为： 矽= f ( a x + f i t ) + y x + 6 t 其中f 是任意函数，常数口，厉7 ，万满足多项式方程： 九o c p + 2 a f l y 6 一p 2 矿一仅2 6 2 = 0 1 2 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 第二种方法 我们利用行波解方法把b o r n i n f e l d 方程转化成常微分方程， 出很多特解。 令“= 甜( 孝) ，f = x - ) l t ，( 2 2 0 ) 转化成关于孝的常微分方程： 【1 一力2 ( “。) 2 】材。+ 2 2 2 ( 甜) 2 u 。一2 2 1 + ( “) 2 】l ，= 0 为了求解( 2 2 8 ) 我们引入一个关于“( 孝) 常微分方程： ”。= 口o + ( c o s u + b js i n u ) j = l 利用数学软件能够得 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 其中吩( j = 0 ，1 ，2 ，) ，b j ( j = o ，1 ，2 ，) 是待定常数，刀也能够通过l e a d i n g - o r d e r 分析方法来 确定。 利用公式： s i n u = e i i wm e - l u c o s “：! ：( 2 3 0 )s t ，鲫2t 埋 z iz 把( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) 代入到( 2 2 8 ) ，利用l e a d i n g o r d e r 分析方法来确定疗= 1 ，利用分离 变量方法和m a t h e m a t i c a 软件，我们可以得到大量的特解如： 出力= 2 一卜藤( c o t 厕+ c s c 厕) 忙 彳 砰 出力= 2 一+ 雁c 劬孕叩卜榭 2 2 2b o r n i n f e l d 类型方程的通解 求b o r n i n f e l d 类型方程的通解，一般在双曲区域即b 2 一c 0 ，利用l e g e n d r e 变换 变成线性方程来求解。 n i t + 2 6 ( ，u x ) u t x + c ( u t ，u x ) u 矗= 0 ( 2 4 0 ) 用l e g e n d r e 变换线性化得到： 缈誊+ 2 6 ( 孝，7 7 ) 国岛+ c ( 孝，7 ) 玎= 0 ( 2 4 1 ) 1 3 2 特解和通解 硕上论文 特征方程为： 其特征值： 把( 2 4 2 ) 化成线= 0 ，解得： 对缈作微分可得到： 可以得到： ( d 7 7 ) 2 2 6 ( 善，7 7 ) d 善d 叩+ c ( f ，叩) ( d f ) 2 = 0 ( 2 4 2 ) ，：6 一再 j ：6 + 仄 国= ( j ) + t g ( s ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) x 2 咚2 i f ( s ) 懈( s ) 】0 + 删0 ( 2 4 5 ) y = = i f 。( j ) + 留。( s ) 】岛+ g ( j ) 岛 u = 一c o + x b x + 朋 这样我们可以得到b o r n i n f e l d 类型方程的通解，它是简单的隐函数形式。 1 4 ( 2 4 6 ) 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 3 变换和守恒律 3 1l e g e n d r e 变换 l e g e n d r e 变换是根据微分方程的集合解释提出的，有多种微分方程的求解问题用 l e g e n d r e 变换可以大大简化，这种变换是根据微分方程的几何解释提出来的，关于二元 函数的l e g e n d r e 变换在2 1 1 提出，下面详细介绍其推导过程。 描述x ，y ，”空间的曲面，一般有两种办法，一：把曲面作为由函数甜( 毛) ，) 所确 定的点集给出；二：把它看成切平面的包络即建立一个方程，它能满足于切平面。如果 x ，y ，“是方程为 “- s x r y + r o = 0 c xr y “一 2 的平面的流动坐标，那么就把孝，r ，缈叫做这个平面的平面坐标。又因为和曲面u ( x ，y ) 切 于点( x ，y ，u ) 的平面的方程为： u - - 材一( x x ) u x 一( y y ) u y = 0 所以它的平面坐标是： 孝= z ，7 = u y ，国= x u x + j ，一u 现在如果国是孝，刁的已知函数，根据它表现出的双参数切平面族，那么所考虑的曲 面也就确定。我们从u ( x ，y ) 利用方程 p 乡2 u x ，7 2 u 。 定出x 和y 为善，r l 的函数，并带入方程 = x u x + m y t l = x 考+ y q u 中就能求出函数关系缈( 孝，r 1 ) 。 反之，要想由切平面坐标定出点坐标，我们需求出函数国( 孝，r 1 ) 的偏导数。由于 善= 蚝，7 = 材，立即得出 咚= x + 孝妻+ 刁考一蚝妻一甜y 考爿 2y 可以得到公式： 缈( f ，刁) + 甜( x ，y ) = + y 刁 孝= 砧。，r = ”j ， x 2 ，y 2 它表示出点坐标与切平面坐标间关系的对偶性质但l e g e n d r e 变换对于可展曲面是失 效的。为了将l e g e n d r e 变换用于二阶微分方程，我们算出对函数甜( x ，y ) 7 f h 彩( 善，7 7 ) 的二 阶导数变换，得到： 1 = 甜“哆彰+ “叫够翻 0 = u x y 毖七u 沪翻 0 = 甜吐曙+ “砂j 7 1 = z ，叫够纫+ ”吁 如果为了简便，令 ，1 吁一吆2 万 褂憎一u t , 2p 则得： 材h 2 p q q u 础2 一p m 翻 u y y 2 p 伪髂 在b a t e m a n 方程中把丸= 鸭玎，幻= 慨玎，九= ，代入到( 2 1 ) 得到线性方程( 2 4 ) 。 对于b o r n i n f e l d 类型方程，我们利用u x x = p 吁，“叫= 一雕岛，= 变换把( 2 4 0 ) 变 成( 2 4 1 ) 。 下面介绍疗元函数的l e g e n d r e 变换 定义4 f l 】：它是由下列公式组给出的： u ( x t ，恐，) + 彩( 点，受，磊) = 五缶+ x 2 乞+ + 六， = 缶 = 色，”而= 己， ( 3 1 ) 2 孔，2 x 2 ，2 矗， 1 6 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 巨圳薯 中的元素而，屹磊的余因式用q ，来表示， ( 3 2 ) 并将这二矩阵的行列式用u ，q 来表示， d x ，x k - - 告= 告 3 ) 且f l u = 1 l e g e n d r e 变换能够应用的条件是u o ( o r q 0 ) 。 对刀维的b a t e m a n 方程，我们用刀元函数的l e g e n d r e 变换把方程( 2 8 ) 变成了线性的 方程： 渺老一。 这样对求通解比较方便。 3 2 守恒律 在物理学中讲过三个重要的守恒定律：质量守恒，动量守恒和能量守恒，它们首先 是实验的结果，反映了时空的对称性，在数学中用方程来表示，如流体力学中的连续方 程 望+ o ( v p ) ：0( 3 4 ) 研出 一般说，若一个物理现象可用偏微分方程 = h ( u ，u ，甜。，) ( 3 5 ) 来描述，若存在甜，蚝，的函数丁( 材) 和x ( “) 满足方程 旦塑+ o x ( u ) ：0 8 t瓠 ( 3 6 ) 则方程( 3 6 ) 是( 3 5 ) 的一个守恒律，丁称为守恒密度，x 称为守恒流量。守恒定律 历来是物理学中研究的中心课题之一，数学中借助于守恒律对偏微分方程解的研究有很 大的帮助，越来越多的事实表明，孤立子解的存在与无穷多个守恒律的存在两者是密切 相关的，凡具有孤立子解的非线性发展方程，大多有无穷多个守恒律。b a t e m a n 方程它 具有矽= g + 缈) 这样的孤立子解；对于b o r n i n f e l d 方程一般形式具有u = “ + q f ) 和 1 7 3 变换和守恒律硕：上论文 u = 甜( x + 吃，) 这两种孤立子解；对于b o r n i n f e l d 方程则具有甜= u ( x - t ) 和“= z ，( x + ，) 这 两种形式的孤立子解。 在b a t e m a i l 方程作替换甜( x ，j ，) ：拿得到： 织 一o u ：鲋丝 ( 2 o ，)2 鲋l z j 砂 叙 然而对( 2 4 ) 存在无限守恒律 旦“n ：旦( 旦z ，川) 加o x 、n + 1 7 对于高维的b a t e m a n 方程，因为具有拉格朗日算子的欧拉方程并不涉及本身，而 是关于散度形式，这就意味着高维的b a t e m a n 方程具有无限守恒律，这也就意味着能和 二维b a t e m a n 方程一样完全可积。 对于b o r n i n f e l d 方程的一般形式： + 2 b ( u f ，u ，) ”槐+ c ( ，z ) z k = 0 当满足 b 2 一c 0 可以把上面方程写成： a c 一2 c 丝：0 丝+ 鱼一2 b o b ：0 a t ,a q一卸2 0 qa q 器州毡， 堡+ s 尘：o+ s = u 岔玉 塑+ ，鱼：o+ ，= u 西苏 其中 ，：6 一厉 j ：6 + 厉 由此可以得到这个一般方程的守恒律： 1 8 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 昙( ) = 昙( 船) 矿厂2 + 坶) = 昙( 嘶) a - 望，l - ( r 3 + r 2 s + r s 2 + s 3 ) = - 昙( r s ( r 2 + r s + f m 守恒律的通式就是昙最= 昙( 碱一。) ，其中瓯代表，s 对称多项式，然后可以用数学归 优o x 纳法很容易证出。 在2 2 1 中b o r n i n f e l d 方程是上述一般方程的特殊形式，类似的可以写成下面形式 亟：“，盟 西 。o x ( 3 7 ) o u ，a u ， - 三= o a1 苏 然而( 3 7 ) 有无限守恒律，很容易证明： 知栅：) = 昙“蚴 0 2 螺”l ，；) = 昙( ( 鹄) ) 昙( “? + “沁m 矿2 甜2 = 丢( 懒( 甜卜+ 甜；) ) 实际上，如果最表示关于，1 4 2 的刀阶对称多项式，那么守恒律的通式是 昙最= 丢( 懒) 其中墨：甜? + 玑最，然后可以用数学归纳法很容易证出。 3 = 3 速度图变换 在解b o r n i n f e l d 一类方程中经常需要用到速度图变换速度图变换主要是把方程 组线性化，下面简介速度图变换： 在一般理论中，我们用“，1 ，表示因变量，用x ，y 表示自变量，于是微分方程的一般 形式为： 厶= 4 叱+ b 1 2 l j ，+ c l 也+ d 1 0 + 臣= o ( 3 8 ) 厶= 4 ，+ b 2 uj ，+ c 2 u + d 2 g y + e 2 = 0 式中4 ，4 ，易是x ，y ，“，1 ，的已知函数。假定所有函数总是连续，且不失一般性，我们 1 9 3 变换和守恒律硕十论文 假定4 ：4 = e ：岛= c l ：c 2 = j g , ：皿处处不成立，若巨= 易= 0 ，则方程组是齐次的；若 系数彳，b ，c ，d ，e 只是x 和y 的函数，那么方程组是线性的，因而比较好处理。 若以上方程组是齐次的，即巨= 易= 0 ，且系数4 ，砬只是甜，的函数，那么我 们称方程组是可约的，在这种情形下，方程组是可以线性化，对j a c o b i 行列式 = 蚝b 一“以 ( 3 9 ) 不为零的任何区域，都可以借助交换因变量和自变量的地位将方程组化成等价的线性方 程组对( 3 8 ) 的一个解u ( x ，y ) ，v ( x ，y ) 来说，如果0 ，我们就可以把x 和y 看作是u 和v 的函数，由 u x = j y ，u j t = 一i x , ， 屹= 一j y ，2 y x 看出x ( u ，v ) 和y ( u ，1 ，) 满足线性微分方程组 4 儿一置一c l 咒+ q 吒2 0 ( 3 1 0 ) 4 儿一岛一c 2 咒+ 皿吒= 0 反之，若j a c o b i 行列式 j = x 。y v x v y u 不为零，则方程( 3 1 0 ) 的每个解x ，y 都导致( 3 8 ) 的解。 上述从( x ，y ) 平面到( “，v ) 平面的转换就称为速度图变换。上述推演的可能性实质取 决于_ ，0 ，所以对于= 0 的那些解，不能用速度图变换来求解。 对于b o r n i n f e l d 类型的一般方程中，利用黎曼不变量的定义可以得出： 鱼+ 一o r ：0 s 0 + = 西街 堡+ 厂一o s ：0 + 厂o 研出 其中 ，：6 一矿= j ：6 + 厉 对于上述方程就可以利用速度图变换 硕士论文 两类非线性( 混合和退化的) 偏微分方程解的性质 因为s 一，0 所以j 0 由 j = 墨一= ( s 一，) 是 0 = j t s ，= 一j x s s x = 一j t r ，s t = i x , 可以把上述方程线性化得到： t = s t s ，= r t r 所以速度图变换在解上述一类方程组起到很大作用。 3 4b a c k l u n d 变换 定义5 ：考虑一个二阶的偏微分方程 d ( ，n a y ，u y y ，蚝，u j ，u ，x ，力2 0 它有两个解地( x ，y ) 和u 2 ( x ，y ) ，它们之间有以下关系 z l l ，= p ( ，吃，“2 ， 1 2 yx ，y ) 】，= q ( 坼，吻，u 2 ，1 1 2 j ，x ，y ) 若上式满足可积条件( 即u x y = 材弦) a d0 1 一= 一 苏 砂 则方程( 3 1 1 ) 是( 3 1 2 ) 的b a c l d u n d 变换。 显然b a c k l u n d 变换是给出一个方程的两个解之间的关系， 之间的b a c k l u n d 变换称为自b a c k l u n d 变换。 b a c k l u n d 变换也可以建立在两个方程的解之间。 定义6 ：考虑两个二阶偏微分方程 d ( ，“秽，u ，u x ，u j ，u ，x ，y ) = 0 g ( k ，叱，b ，v ，z ，y ) = 0 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 同一个方程两个不同解 ( 3 1 3 ) 它们的解材和1 ，满足以下一阶方程 互( 甜，v ，甜，以，甜y