（新课标）高三数学一轮复习 大题冲关集训（四）理.doc

大题冲关集训(四)1.(2014福州模拟)如图,正方形abcd所在平面与平面四边形abef所在平面互相垂直,abe是等腰直角三角形,ab=ae,fa=fe,aef=45.(1)求证:ef平面bce;(2)设线段cd的中点为p,在直线ae上是否存在一点m,使得pm平面bce?若存在,请指出点m的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.解:法一(1)取be的中点g,连接ag,由题意知efbe.由ea=ab知agbe,所以efag.平面abcd平面abef,平面abcd平面abef=ab,bcab,bc平面abef,bcag.又bcbe=b,ag平面bce,ef平面bce.(2)当m为ae中点时有pm平面bce.取ab的中点n,连接pn、mn,则mnbe,npbc,所以mn平面bce,np平面bce.又mnnp=n,所以平面pmn平面bce,又pm平面pmn且pm平面bce,pm平面bce.法二(1)因为abe为等腰直角三角形,ab=ae,所以aeab.又平面abef平面abcd,ae平面abef,平面abef平面abcd=ab,所以ae平面abcd.所以aead.因此,ad,ab,ae两两垂直,以a为坐标原点,建立直角坐标系axyz.设ab=1,则ae=1,b(0,1,0),d(1,0,0),e(0,0,1),c(1,1,0).因为fa=fe,aef=45,所以afe=90,从而,f(0,-12,12).所以ef=(0,-12,-12),be=(0,-1,1),bc=(1,0,0).efbe=0+12-12=0,efbc=0.所以efbe,efbc.又bcbe=b,所以ef平面bce.(2)存在点m,当m为ae中点时,pm平面bce.m(0,0,12),p(1,12,0).从而pm=(-1,-12,12),于是pmef=(-1,-12,12)(0,-12,-12)=0,所以pmfe,又ef平面bce,直线pm不在平面bce内,故pm平面bce.2.(2014临沂模考)如图,在三棱柱abca1b1c1中,已知bc=1,bb1=2,bcc1=90,ab侧面bb1c1c.(1)求直线c1b与底面abc所成角的正弦值;(2)在棱cc1(不包含端点c,c1)上确定一点e的位置,使得eaeb1(要求说明理由).解:法一(1)ab侧面bb1c1c,cc1面bb1c1c,abc1c,又cc1cb且cbab=b,cc1平面abc,c1bc为直线c1b与底面abc所成角.rtcc1b中,bc1=1,cc1=2,则bc1=5.sin c1bc=25=255.直线c1b与底面abc所成角的正弦值为255.(2)取cc1的中点f,连接b1f,bf.矩形bcc1b1中,bf=b1f=2,bb1=2,bfb1f,又abb1f,b1f平面abf,b1faf.故当e与f重合,即e为cc1的中点时有eaeb1.法二如图,以b为原点建立空间直角坐标系,则b(0,0,0),c1(1,2,0),b1(0,2,0)(1)直三棱柱abca1b1c1中,平面abc的法向量bb1=(0,2,0),又bc1=(1,2,0),设bc1与平面abc所成角为,则sin =|cos|=|bb1bc1|bb1|bc1|=255.直线c1b与底面abc所成角的正弦值为255.(2)设e(1,y,0),a(0,0,z),则eb1=(-1,2-y,0),ea=(-1,-y,z).eaeb1,eaeb1=1-y(2-y)=0.y=1,即e(1,1,0).e为cc1的中点.3.如图,在直角梯形abcp中,ab=bc=3,ap=7,cdap于d,现将梯形abcd沿线段cd折成60的二面角pcda,设e,f,g分别是pd,pc,bc的中点.(1)求证:pa平面efg;(2)若m为线段cd上的一个动点,问点m在什么位置时,直线mf与平面efg所成的角最大?并求此最大角的余弦值.(1)证明:adcd,pdcd,cd平面pad,平面pad平面abcd.过p作ad的垂线,垂足为o,则po平面abcd.过o作bc的垂线,交bc于h,分别以oh,od,op为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,pdo是二面角pdca的平面角,pdo=60,又pd=4,op=23,od=2,ao=1,得a(0,-1,0),b(3,-1,0),c(3,2,0),p(0,0,23),d(0,2,0),e(0,1,3),f(32,1,3),g(3,12,0),故ef=(32,0,0),eg=(3,-12,-3),设平面efg的一个法向量为n=(x,y,z),则nef=0,neg=0.即32x=0,3x-12y-3z=0,取z=1,得n=(0,-23,1),而pa=(0,-1,-23),npa=0+23-23=0,npa,又pa平面efg,故pa平面efg.(2)解:设m(x,2,0),则mf=(32-x,-1,3),设mf与平面efg所成角为,则sin =|cos|=|nmf|n|mf|=3313(32-x)2+4,故当x=32时,sin 取到最大值,则取到最大值,此时点m为线段cd的中点,mf与平面efg所成角的余弦值cos =51326.4.(2014福建师大附中模拟)一个几何体是由圆柱和三棱锥eabc组合而成,点a,b,c在圆o的圆周上,其正视图、侧视图的面积分别为10和12,如图所示,其中ea平面abc,abac,ab=ac,ae=2.(1)求证:acbd;(2)求二面角abdc的大小.解:法一(1)因为ea平面abc,ac平面abc,所以eaac,即edac.又因为acab,abed=a,所以ac平面ebd.因为bd平面ebd,所以acbd.(2)因为点a,b,c在圆o的圆周上,且abac,所以bc为圆o的直径.设圆o的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得2rh+12r2=10,2rh+122r2=12.解得r=2,h=2.所以bc=4,ab=ac=22.过点c作chbd于点h,连接ah,由(1)知,acbd,acch=c,所以bd平面ach.因为ah平面ach,所以bdah.所以ahc为二面角abdc的平面角.由(1)知,ac平面abd,ah平面abd,所以acah,即cah为直角三角形.在rtbad中,ab=22,ad=2,则bd=ab2+ad2=23.由abad=bdah,解得ah=263.因为tan ahc=acah=3.所以ahc=60.所以二面角abdc的平面角大小为60.法二(1)因为点a,b,c在圆o的圆周上,且abac,所以bc为圆o的直径.设圆o的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得2rh+12r2=10,2rh+122r2=12.解得r=2,h=2.所以bc=4,ab=ac=22.以点d为原点,dd1,de所在的直线分别为x轴、z轴建立如图的空间直角坐标系dxyz,则d(0,0,0),d1(4,0,0),a(0,0,2),b(2,2,2),c(2,-2,2),ac=(2,-2,0),db=(2,2,2).因为acdb=(2,-2,0)(2,2,2)=0,所以acdb.所以acbd.(2)设n=(x,y,z)是平面bcd的法向量,bc=(0,-4,0),nbc=0,ndb=0.即-4y=0,2x+2y+2z=0.取z=-1,则n=(1,0,-1)是平面bcd的一个法向量.由(1)知,acbd,又acab,abbd=b,所以ac平面abd.所以ac=(2,-2,0)是平面abd的一个法向量.因为cos=nac|n|ac|=2222=12,所以=60.而等于二面角abdc的平面角,所以二面角abdc的平面角大小为60.5.(2014高考浙江卷)如图,在四棱锥abcde中,平面abc平面bcde,cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=2.(1)证明:de平面acd;(2)求二面角bade的大小.(1)证明:在直角梯形bcde中,由de=be=1,cd=2,得bd=bc=2,由ac=2,ab=2得ab2=ac2+bc2,即acbc.又平面abc平面bcde,从而ac平面bcde.所以acde.又dedc,从而de平面acd.(2)解:法一作bfad,与ad交于点f,过点f作fgde,与ae交于点g,连接bg,由(1)知dead,则fgad.所以bfg是二面角bade的平面角.在直角梯形bcde中,由cd2=bc2+bd2,得bdbc.又平面abc平面bcde,得bd平面abc,从而bdab.由于ac平面bcde,得accd.在rtacd中,由dc=2,ac=2,得ad=6.在rtaed中,由ed=1,ad=6,得ae=7.在rtabd中,由bd=2,ab=2,ad=6,得bf=233,af=23ad.从而gf=23.在abe,abg中,利用余弦定理分别可得cos bae=5714,bg=23.在bfg中,cos bfg=gf2+bf2-bg22bfgf=32.所以,bfg=6,即二面角bade的大小是6.法二以d为原点,分别以射线de,dc为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系dxyz,如图所示.由题意知各点坐标如下:d(0,0,0),e(1,0,0),c(0,2,0),a(0,2,2),b(1,1,0).设平面ade的法向量m=(x1,y1,z1),平面abd的法向量为n=(x2,y2,z2),可算得ad=(0,-2,-2),ae=(1,-2,-2),db=(1,1,0).由mad=0,mae=0得-2y1-2z1=0,x1-2y1-2z1=0,可取m=(0,1,-2),由nad=0,nbd=0得-2y2-2z2=0,x2+y2=0,可取n=(1,-1,2).于是|cos|=|mn|m|n|=334=32.由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角bade的大小是6.6.如图1,o的直径ab=4,点c、d为o上两点,且cab=45,dab=60,f为bc的中点.沿直径ab折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).(1)求证:of平面acd;(2)求二面角cadb的余弦值;(3)在bd上是否存在点g,使得fg平面acd?若存在,试指出点g的位置,并求直线ag与平面acd所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.(1)证明:如图,以ab所在的直线为y轴,以oc所在的直线为z轴,以o为原点,建立空间直角坐标系oxyz,则a(0,-2,0),c(0,0,2).ac=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),点f为bc的中点,点f的坐标为(0,2,2),of=(0,2,2).of=22ac,即ofac.of平面acd,ac平面acd,of平面acd.(2)解:dab=60,点d的坐标是(3,-1,0),ad=(3,1,0).设二面角cadb的大小为,n1=(x,y,z)为平面acd的一个法向量.由n1ac=0,n1ad=0,即2y+2z=0,3x+y=0.取x=1,解得y=-3,z=3.n1=(1,-3,3).取平面adb的一个法向量n2=(0,0,1),cos =|n1n2|n1|n2|=|10+(-3)0+31|71=217.(3)解:设在bd上存在点g,使得fg平面acd,of平面acd,平面ofg平面acd,则有ogad.设og=ad(0),ad=(3,1,0),og=(3,0).又|og|=2,(3)2+2+02=2,解得=1(舍去-1).og=(3,1,0),则g为bd的中点.因此,在bd上存在点g,使得fg平面acd,且点g为bd的中点.设直线ag与平面acd所成角为,ag=(3,1,0)-(0,-2,0)=(3,3,0),根据(2)的计算n1=(1,-3,3)为平面acd的一个法向量,sin =cos(90-)=|agn1|ag|n1|=|31+3(-3)+03|237=77.因此,直线ag与平面acd所成角的正弦值为77.7.(2013高考福建卷)如图,在四棱柱abcda1b1c1d1中,侧棱aa1底面abcd,abdc,aa1=1,ab=3k,ad=4k,bc=5k,dc=6k(k0).(1)求证:cd平面add1a1;(2)若直线aa1与平面ab1c所成角的正弦值为67,求k的值;(3)现将与四棱柱abcda1b1c1d1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由)(1)证明:取cd的中点e,连接be.abde,ab=de=3k,四边形abed为平行四边形,bead且be=ad=4k.在bce中,be=4k,ce=3k,bc=5k,be2+ce2=bc2,bec=90,即becd.又bead,cdad.aa1平面abcd,cd平面abcd,aa1cd.又aa1ad=a,cd平面add1a1.(2)解:以d为原点,da,dc,dd1的方向为x,y,