2011年镇海中学数学特长生招生二试试题及其解答.pdf

文 武 光 华 交交 流流 知知 识识 共共 享享 智智 慧慧 20112011 年镇海中学数学特长生招生考试试题年镇海中学数学特长生招生考试试题及其解答及其解答 第二试第二试 解答人解答人 文武光华数学工作室文武光华数学工作室 田开斌田开斌 20112011 年年 1 1 月月 2424 日日 18 3018 30 21 00 21 00 满分满分 6060 分分 本试卷共本试卷共 1212 道解答题道解答题 每题每题 5 5 分分 一 试将3 3表填满实数 使得水平相邻的任意两数之和都等于 6 而竖直相邻的任 意两数之积都等于 4 解答解答 为方便起见 我们如下表填数 显然有 a b 6 ab 4 解得 a 3 5 b 3 5 于是下表即是一种满足题设条件的填法 二 已知实数x y z t满足不等式 x y z t 4 x y z t 求证 存 在实数 a 使得 x a y a z a t a 0 证明方法一证明方法一 整理等式知 x a y a z a t a 2a x y z t a xy zt 于是知 要证明存在实数 a 使得 x a y a z a t a 0 只需证明 关于 a 的二次方程2a x y z t a xy zt 0有实根 又 x y z t 4 2 xy zt x y z t 4 x y z t 4 x y z t 2xy 2zt x y z t 4 x y z t 4 x y 4 z t 0 所以关于 a 的二次方程2a x y z t a xy zt 0有实根 命题得证 证明方法二证明方法二 变形知 x y z t 4 x y z t x y x z x t y z y t z t 0 所以x y z t 所以a x即满足题设条件 三 已知 a b c 为实数 求证 a b c 24 4a b 4b c 4c a 证明证明 变形知 b b b b a a a aa 3 5 3 53 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 53 5 文 武 光 华 交交 流流 知知 识识 共共 享享 智智 慧慧 a b c 24 4a b 4b c 4c a 3 a b c 48 8a b 8b c 8c a 0 2a b 8a b 16 2b c 8b c 16 2c a 8c a 16 0 2 a 2b b 4 2 b 2c c 4 2 c 2a a 4 0 上式显然成立 不等式得证 四 正整数a b c d满足 d 求证 d b c 1 证明证明 令d a x 则x为整数 且x a 于是知 d a x a b a c a x b ac ax cx 又b 0 所以ac ax cx 0 x c x c 1 于是知 b c 1 d ac ax cx c 1 a x ac a c 1 a c 1 x ac a c 1 a c 1 c 1 0 所以d b c 1 命题得 证 五 求证 对于任意整数n 1 在n 与 n 1 之间 不包括n 和 n 1 存在三个 不同的整数a b c满足c a b 证明证明 当n 2时 取a 6 b 8 c 5 即满足题设条件 当n 3时 取a 12 b 14 c 10 即满足题设条件 当n 4时 取a n 2n b n n 3 c n 1 此时显然有n n 1 n n 3 n 2n n 1 且 n 2n n n 3 n 1 2n 6n 9 于是知a n 2n b n n 3 c n 1即满足题设条件 综上所述 命题得证 六 正整数a b c满足a b为素数 3c c a b ab 求证 8c 1是完全平方 数 证明证明 设p a b为素数 根据条件知3c c a b ab a c b c 4c 所以 a c b c 2c 为完全平方数 而 a c b c p b c 下面分情况讨 论 1 若p b c 不妨设b c kp 则a c k 1 p 从而 a c b c k k 1 p 2c 于是k k 1 也为完全平方数 然而k k k 1 k 1 矛盾 2 若p b c 则 a c b c p b c 1 而 a c b c 2c 所 以a c和b c都为完全平方数 不妨设a c m b c n 则 2c m n 8c 1 4mn 1 且p a c b c m n m n m n 因为p为素数 所以 只能m n 1 m n 1 于是知8c 1 4n n 1 1 2n 1 为完全平方数 综上所述 命题得证 七 求证 不存在 100 个互不相等的正整数 使得其中任意 98 个正整数之和被另外两 个正整数之和整除 证明证明 我们用反证法 若存在满足题设条件的 100 个正整数 假设从小到大依次为 a a a a 记s a a a a 因为任意 98 个正整数之和被另 外两个数之和整除 所以对于任意1 i j 100 都有a a s a a a a s 我们考察a a a a a a a a 这 99 个数 因为对于任意 1 k 99 都有 100 1 99 所以只能 99 98 97 1 然而 显然有 1 与 1矛盾 所以不 存在满足题设条件的 100 个正整数 八 由数码3 4 5 6构成的 10 位十进制数中 有多少个能被66667整除 文 武 光 华 交交 流流 知知 识识 共共 享享 智智 慧慧 解答解答 设满足条件的十位数为abcdepqrst 则3 a b c d e p q r s t 6 设abcdepqrst 66667k 则abcde 10 pqrst 66666k k 即 pqrst 33333 2k 3abcde k abcde 又因为3333333333 abcdepqrst 6666666666 而 50000 99999 所以50000 k 99999 又33333 pqrst 66666 33333 abcde 66666 根据 1 知 只能2k 3abcde 1 0或1 1 若2k 3abcde 1 根据 式知k pqrst abcde 33333 此时只有 abcde 33333 pqrst 33333 k 99999 然而此时2k 3abcde 99999 1 矛 盾 2 若2k 3abcde 0 根据 式知k pqrst abcde 从而abcde 2pqrst 此时只有pqrst 33333 abcde 66666 即abcdepqrst 6666633333 3 若2k 3abcde 1 根据 式知k pqrst abcde 33333 从而 abcde 1 2 pqrst 33333 令pqrst 33333 xyzmn 则0 x y z m n 3 且abcde 1 2 xyzmn 显然abcde 1和2 xyzmn 在运算过程中都不存在进位 所以 2 xyzmn 的每一位数字都在3和6之间 所以x y z m n每一位都为 2 或 3 另一方面 x y z m n每一位都为 2 或 3 时 都满足题设条件 这样共有2 32个满足题设条件 的 10 位数 综上所述 满足题设条件的 10 位正整数共有32 1 33个 九 三人各写 100 个不同的单词 然后彼此比对 若一个单词至少有两个人写到 就 将它全部删去 是否可能最后第一个人剩下 54 个单词 第二个人剩下 75 个单词 第三个 人剩下 80 个单词 解答解答 设三个人分别为 A B C 假设 A B C 三个人都写到的单词有 k 个 只有 A B 两人写到的单词有 x 个 只有 B C 两个人写到的单词有 y 个 只有 C A 两个人写到的 单词有 z 个 则 100 k z x 54 k z x 46 1 100 k x y 75 k x y 25 2 100 k y z 80 k y z 20 3 由 3 2 1 得 k 2y 1 这是不可能的 所以不可能出现最后第一个人剩 下 54 个单词 第二个人剩下 75 个单词 第三个人剩下 80 个单词的情况 十 开始时11 11表的每个方格都是白色 每步操作可任选构成平行于格线的正方形 块的顶点的 4 个白色方格 将其中一对对角方格染为黑色 最多可将多少个方格染为黑色 解答解答 首先 我们证明 无论如何操作 每行都至少有一个白色方格不能染为黑色 我们先选定某行 若要通过一次操作 将该行中的一个方格染为黑色 则需要存在一 个四个顶点方格都为白色方格的正方形 该正方形的四个白色顶点的方格 有两个在该行 所以要将该行一个方格染为黑色 则该行至少要有两个白色方格 而每次操作 最多只能 将该行一个方格染为黑色 所以 当该行只剩一个白色方格的时候 就不能染为黑色了 所以每行都最多只有 10 个黑色方格 从而 11 行 最多只可能染有 11 10 110 个黑色方格 另一方面 我们将除主对角线外的 110 个方格 按关于主对角线成轴对称 两两配为 一对 保留主对角线的 11 个方格为白色 则以任两个配对方格为对角方格的正方形 它的 另外两个顶点方格都在主对角线上 都为白色 所以两两配对的方格 都可同时染为黑色 将所有两两配对的方格 都染为黑色 这样 便可染有 110 个黑色方格 综上所述 最多可染有 110 个黑色方格 注注 依照上述分析 对于一个n n的方格表 按上述规则 最多可染有n n 1 个黑 色方格 文 武 光 华 交交 流流 知知 识识 共共 享享 智智 慧慧 十一 如图 在锐角 ABC 中 BD CE 分别是边 AC AB 上的高 以 AB 为直径作 O 交 CE 于点 M 在 BD 上取点 N 使得 AN AM 求证 AN CN 证明证明 如图 连接 DM 则 AMD ABD ACM 所以AN AM AD AC 所以 ANC AND 所以 ANC AND 90 即 AN CN 十二 如图 在锐角 ABC 中 BAC 6