初中数学竞赛试题汇编.doc

井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 1 页 共 91 页 第 4 题图 A B C N M 第 2 题图 中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会 20132013 年全国初中数学竞赛九年级预赛试题年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 本卷满分 120 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 6 个小题 每小题 5 分 共 30 分 在下列各小题中 均给出四个答案 其中有且只有一个正确答案 请将正确答案的字母代 号填入题后的括号里 不填 多填或错填均为零分 1 从长度是 2cm 2cm 4cm 4cm 的四条线段中任意选三条线段 这三条线段能够组 成等腰三角形的概率是 A B C D 1 4 1 3 1 2 1 2 如图 M 是 ABC 的边 BC 的中点 AN 平分 BAC AN BN 于 N 且 AB 10 BC 15 MN 3 则 ABC 的周长为 A 38 B 39 C 40 D 41 3 已知 且有 则的值等于 1 xy0920115 2 xx0520119 2 yy y x A B C D 9 5 5 9 5 2011 9 2011 4 已知直角三角形的一直角边长是 4 以这个直角三角形的三 边为直径作三个半圆 如图所示 已知两个月牙形 带斜线的阴影图 形 的面积之和是 10 那么以下四个整数中 最接近图中两个弓形 带点的阴影图形 面积之和的是 A 6B 7 C 8D 9 5 设 是 ABC 的三边长 二次函数在时取abc 2 2 2 b acxx b ay 1 x 最小值 则 ABC 是 b 5 8 A 等腰三角形B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 直角三角形 6 计算机中的堆栈是一些连续的存储单元 在每个堆栈中数据的存入 取出按 照 先进后出 的原则 如图 堆栈 1 中的 2 个连续存储单元已依次存入数 据 取出数据的顺序是 堆栈 2 的 3 个连续存储单元已依次存入baab 数据 取出数据的顺序是 现在要从这两个堆栈中取出 5edccde 个数据 每次取出 1 个数据 则不同顺序的取法的种数有 A 5 种 B 6 种 C 10 种 D 12 种 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 5 分 共 30 分 7 若 则满足该方程的所有根之和为 0412 2 xx 8 人教版考生做人教版考生做 如图 A 在 ABCD 中 过 A B C 三点的圆交 AD 于 E 且与 CD 相切 若 AB 4 BE 5 则 DE 的长为 8 北师大版考生做北师大版考生做 如图 B 等边三角形 ABC 中 D E 分别为 AB BC 边上的两个 动点 且总使 AD BE AE 与 CD 交于点 F AG CD 于点 G 则 FG AF b a e d 1 2 c 第 6 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 2 页 共 91 页 9 已知 且 则 01 2 aa 3 2 2 232 23 24 axaa xaa x 10 元旦期间 甲 乙两人到特价商店购买商品 已知两人购买商品的件数相同 且每 件商品的单价只有 8 元和 9 元两种 若两人购买商品一共花费了 172 元 则其中单价为 9 元 的商品有 件 11 如图 已知电线杆 AB 直立于地面上 它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上 如果 CD 与地面成 A CD 4m BC m 则电线杆 AB o 45 o 60 2264 的长为 12 实数与 使得 四个数中的三个有相同的数值 则所有xyyx yx xy y x 具有这样性质的数对为 yx 三 解答题 本大题共 3 个小题 每小题 20 分 共 60 分 13 本题满分 20 分 已知 是完全平方式 求证 axcxcxbxbxax cba 14 本题满分 20 分 如图 将 OA 6 AB 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中 动点 M N 以每秒 个单位的速度分别从点 A C 同时出发 其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动 点 N 沿 CB 向终点 B 运动 当两个动点运动了 t 秒时 过点 N 作 NP BC 交 OB 于点 P 连接 MP 1 点 B 的坐标为 用含 t 的式子表示点 P 的坐标为 2 记 OMP 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 0 t 6 并求 t 为何值时 S 有 最大值 3 试探究 当 S 有最大值时 在 y 轴 上是否存在点 T 使直线 MT 把 ONC 分 割成三角形和四边形两部分 且三角形的 面积是 ONC 面积的 若存在 求出点 3 1 T 的坐标 若不存在 请说明理由 15 本题满分 20 分 对于给定的抛物线 使实数 适合于 1 证明 baxxy 2 pq 2qbap 抛物线通过定点 qpxxy 2 2 证明 下列两个二次方程 与中至少有一个方程0 2 baxx0 2 qpxx OA BC P N Mx y OA BC x y 备用图 第 14 题图 第 11 题图 A BC D 第 8 题图 A B CD A E G F E C B A 第 8 题图 B D 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 3 页 共 91 页 A C B D O E A B F E C D 有实数根 2013 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2013 年 3 月 17 日 9 30 11 30 满分 150 分 一二三总分题 号 1 56 1011121314 得 分 评卷人 复查人 答题时注意 1 用圆珠笔或钢笔作答 2 2 解答书写时不要超过装订线 3 3 草稿纸不上交 一 选择题 共 5 个小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题 后的括号里 不填 多填或错填都得 0 分 1 设非零实数 满足 则的值为 abc 0432 032 cba cba 222 cba cabcab A B 0 C D 1 2 1 2 1 2 已知 是实常数 关于的一元二次方程有两个非零实根 则abcx0 2 cbxax 下列关于的一元二次方程中 以 为两个实根的是 x0 2 cbxax 2 1 1 x 2 2 1 x A B 0 2 2222 axacbxc0 2 2222 axacbxc C D 0 2 2222 axacbxc0 2 2222 axacbxc 3 如图 在 Rt ABC 中 已知 O 是斜边 AB 的中点 CD AB 垂足为 D DE OC 垂足为 E 若 AD DB CD 的长度都是 有理数 则线段 OD OE DE AC 的长度中 不一定是有理 数的为 A OD B OE C DE D AC 4 如图 已知 ABC 的面积为 24 点 D 在线段 AC 上 点 F 在线段 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 4 页 共 91 页 F A B C D E BC 上 且 BC 4AF DCFE 是平行四边形 则图阴影部分 BDE ADE 的面积为 A 3 B 4 C 6 D 8 5 对于任意实数 x y z 定义运算 为 且 则 60 1 1 4533 33 3223 yx xyyxx yxzyxzyx 2013 2012 3 2 的值为 A B C D 967 607 967 1821 967 5463 967 16389 二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 设 是的小数部分 则的值为 3 3 ab 2 a 3 2 b 如图 点 D E 分别是 ABC 的边 AC AB 上的点 直线 BD 与 CE 交于点 F 已 知 CDF BFE BCF 的面积分别是 3 4 5 则四边形 AEFD 的面积是 已知正整数 满足 则的最abc022 2 cba083 2 cbaabc 大值为 实数 满足 一元二次方程的两根为 一元二abcd0 2 dcxxab 次方程的两根为 则所有满足条件的数组 为 0 2 baxxcdabcd 10 小明某天在文具店做志愿者卖笔 铅笔每支售 4 元 圆珠笔每支售 7 元 开始时 他有铅笔和圆珠笔共 350 支 当天虽然笔没有全部卖完 但是他的销售收入恰好是 2013 元 则他至少卖出了 支圆珠笔 三 解答题 共 4 题 每题 20 分 共 80 分 11 如图 抛物线 顶点为 E 该抛物线3 2 bxaxy 与轴交于 A B 两点 与轴交于点 C 且 OB OC 3OA 直xy 线与轴交于点 D 求 DBC CBE 1 3 1 xyy 12 设 ABC 的外心 垂心分别为 O H 若 B C H O 共圆 对于所有的 ABC 求 BAC 所有可能的度数 13 设 是素数 记 当 abcacbx bacy cbaz yz 2 时 能否构成三角形的三边长 证明你的结论 2 yxabc A B C D E O 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 5 页 共 91 页 14 如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧 所得到的新数可被 7 整除 那么称 M 为 m 的 魔术数 例如 把 86 放在 415 的左侧 得到的数 86415 能被 7 整除 所以称 86 为 415 的魔术数 求正整数 n 的最小值 使得存在互不相同的正整数 满足任意一 n aaa 21 个正整数 m 在中都至少有一个为的 m 魔术数 n aaa 21 2013 年全国初中数学联赛江西预赛试题年全国初中数学联赛江西预赛试题 时间 2013 年 3 月 10 日上午 9 00 11 30 选择题 每小题选择题 每小题 7 分 共分 共 6 题 计题 计 42 分 分 1 若nm nm n n m 且 532 同号 则 22 22 32 654 nmnm nmnm 的值是 A 7 B 6 C 5 D 4 2 若 ABC 中 AB 26 BC 2 ABC 的面积是 1 若 B 是锐角 则 ACB 的度数是 A 30 B 45 C 60 D 75 3 若097 097 22 bbaa ab 1 则 b a a b 的值为 A 3 13 B 3 13 C 3 13 D 0 4 一块木板上钉有 9 枚铁钉 钉尖向上如图 用橡皮盘套住往其 中 4 枚铁钉 构成一个平行四边形 共有套法 A 82 B 40 C 22 D 21 5 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差 则称这个正整数为 智慧数 在正整数列中 从 1 开始数起 问第 1990 个 智慧数 是 A 2663 B 2664 C 2665 D 2626 6 能使方程 mx2 2 2m 1 x 4 m 3 0 至少有一个整数解的正整数 a 的值的个数 有 A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 每题二 填空题 每题 7 分 共分 共 4 小题 计小题 计 28 分 分 7 如图 在 ABC 中 AB 9 BC 4 Q 为 AC 的 中点 P 为 AB 边上一点 且 APQ 90 2 1 B 则 BP 的长为 8 为了迎接 2016 年世界杯足球赛的到来 某足球 协会举办了一次足球联赛 其记分规则及奖励方案如下表 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 6 页 共 91 页 胜一场平一场负一场 积分 310 奖金 元 人 15007000 当比寒进行到 12 轮结束 每人均需要 12 轮 时 A 队共积分 19 分 若每赛一 场队员人均出场费 500 元 设 A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和 为 W 元 则 W 的最大值是 9 已知 a b c d 是四个不同的实数 且 a c a d 2013 b c b d 2013 则 a d b d 10 已知 O 的半径为 6 四边形 ABCD 是圆内接四边形 对角线 AC 与 BD 交于点 E CE 1 2 若 AC 是直径 且 AD BD 则四边形 ABCD 的周长是 三 解答题 三 解答题 7070 分 分 11 满分 20 分 已知方程 x2 ax 2a 2 0 有两个整数解 求 a 的值 12 满分 25 分 已知 AE 是 ABC 的角平分线 D 是线段 AE 上的点 且 BDE 90 2 1 BAC 求证 D 是 ABC 的内心 13 满分 25 分 如图 抛物线 y mx2 5x n 与 x 轴交于 B C 两点 交 y 轴 与 A 点 过 A B C 三点作 P 且 P 与 y 轴相切于点 A 1 求 m n 的关系 2 求 BAC 的正切值 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 7 页 共 91 页 3 设抛物线的顶点为 D 试判断直线 DB 与 P 的位置关系 并证明 2012 年全国初中数学竞赛预赛试题年全国初中数学竞赛预赛试题 江西省吉安市江西省吉安市 一 一 选择题 每题选择题 每题 7 分 共分 共 42 分 分 1 化简的结果是 38194233122172 A 2 B 2 C D 3333 2 一次考试共有 5 道题 考后统计如下 有 81 的同学做对第 1 题 91 的同学做对第 2 题 85 的同学做对第 3 题 79 的同学做对第 4 题 74 的同学做对第 5 题 如果做对 3 题以上的 含 3 题 题目的同学考试合格 那么这次考试合格率的同学至少 A 70 B 79 C 74 D 81 3 如图 在 ABC 中 则 AN NL LE 等于 3 1 3 1 3 1 CACFBCBEABAD A 2 1 1 B 3 2 1 C 3 3 1 D 2 3 1 4 满足方程的所有非负整数解的组数有xyyxyx 2 22 A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 正方形 ABCD 的边长为 E F 分别是 AB BC 的中点 AF 分别交152 DE DB 于 M N 则 DMN 的面积为 A 8 B 9 C 10 D 11 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 8 页 共 91 页 6 使分式的值为整数的实数 x 的值的个数是 33 42 2 2 xx xx A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题 每题填空题 每题 7 分 共分 共 28 分 分 7 边长为整数 且面积的数值与周长相等的直角三角形的个数为 8 边长为 9cm 40cm 41cm 的三角形的重心到外心的距离是 9 已知二次函数 一次函数 若它们的图像对于问题任cbxaxy 2 4 1 2 k xky 意的数 k 都只有一个公共点 则二次函数的解析式为 10 代数式的最小值是 49 8 9 22 xx 三 解答题 共三大题 解答题 共三大题 70 分 分 11 已知关于 x 的方程的根是整数 求满足条件024 2810 4 2 2 xkxkk 的所有实数 k 的值 20 分 12 如图 在矩形 ABCD 中 点 P 在 AB 上 且 ACP 是等腰三角形 O 是 AC 的中点 OE AB 于有 点 Q 是 OE 的中点 求证 PQ CE 25 分 13 已知二次函数图像与轴交于 x1 x2 4 3 2 mxmxy 点点 0 0 21 xBxA 与 y 轴交于点 C 若 CAB 与 CBA 是锐角 1 求 m 的值 2 是否可能出现 CAB CBA 若可能 求出 m 的值 若不可能 比较 CAB 与 CBA 的大小 3 当 CAB 与 CBA 互余时 ABC 的面积是多少 25 分 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 9 页 共 91 页 2012 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 42 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 已知 那么的大小关系是 21a 32b 62c a b c A B C D abc acb bac bca 2 方程的整数解的组数为 22 2334xxyy x y A 3 B 4 C 5 D 6 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1 E 为 BC 边的延长线上一点 CE 1 连接 AE 与 CD 交于点 F 连接 BF 并延长与线段 DE 交于点 G 则 BG 的长为 D A B C D 6 3 5 3 2 6 3 2 5 3 4 已知实数满足 则的最小值为 a b 22 1ab 44 aabb A B 0 C 1 D 1 8 9 8 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 10 页 共 91 页 5 若方程的两个不相等的实数根满足 2 2320 xpxp 12 x x 则实数的所有可能的值之和为 2323 1122 4 xxxx p A 0 B C D 3 4 1 5 4 6 由 1 2 3 4 这四个数字组成四位数 数字可重复使用 要求满足abcd 这样的四位数共有 acbd A 36 个 B 40 个 C 44 个 D 48 个 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 28 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 已知互不相等的实数满足 则 a b c 111 abct bca t 2 使得是完全平方数的整数的个数为 5 21 m m 3 在 ABC 中 已知 AB AC A 40 P 为 AB 上一点 ACP 20 则 BC AP 4 4 已知实数满足 a b c1abc 4abc 则 222 4 3131319 abc aabbcc 222 abc 第二试第二试 一 一 本题满分 本题满分 20 分 分 已知直角三角形的边长均为整数 周长为 30 求它的外接圆的 面积 二 二 本题满分 本题满分 25 分 分 如图 PA 为 O 的切线 PBC 为 O 的割线 AD OP 于点 D 证明 2 ADBD CD D P O A BC 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 11 页 共 91 页 三 三 本题满分 本题满分 25 分 分 已知抛物线的顶点为 P 与轴的正半轴交 2 1 6 yxbxc x 于 A B 两点 与轴交于点 C PA 是 ABC 的外接圆的切线 1 0 x 2 0 x 12 xx y 设 M 若 AM BC 求抛物线的解析式 3 0 2 2011 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 考试时间 2011 年 3 月 20 日 9 30 11 30 满分 150 分 一 选择题一 选择题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 每道小题均给出了代号为 A B C D 的四个选项 其中有且只有一个选项是正确的 请将正确选项的代号填入题 后的括号里 不填 多填或错填都得 0 分 1 设 则代数式的值为 53 2 x 1 2 3 x xxx A 0 B 1 C 1 D 2 2 对于任意实数 a b c d 定义有序实数对 a b 与 c d 之间的运算 为 a b c d ac bd ad bc 如果对于任意实数 u v 都有 u v x y u v 那么 x y 为 A 0 1 B 1 0 C 1 0 D 0 1 3 已知 A B 是两个锐角 且满足 则 22 5 sincos 4 ABt 222 3 cossin 4 ABt 实数 t 所有可能值的和为 A B C 1 D 8 3 5 3 11 3 4 如图 点 D E 分别在 ABC 的边 AB AC 上 BE CD 相交于点 F 设 则与的大小 1EADF SS 四边形 2BDF SS 3BCF SS 4CEF SS 13 S S 24 S S 关系 为 A B 13 S S 24 S S 13 S S 24 S S F BC E D A 第 4 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 12 页 共 91 页 D P H O1 O2 C B A C D 不能确定 13 S S 24 S S 5 设 则 4S 的整数部分等于 3333 1111 1232011 S A 4 B 5 C 6 D 7 二 填空题二 填空题 共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 6 两条直角边长分别是整数 a b 其中 by z B x y z C x y z D x y z 6 将 1 2 3 4 5 6 7 8 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上 使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数 如果圆周旋转后能重合 的算作相同填法 那么不同的填法有 A 4 种 B 8 种 C 12 种 D 16 种 二 二 填空题 每小题填空题 每小题 7 7 分 共分 共 2828 分 分 1 若 k 个连续正整数之和为 2010 则 k 的最大值是 2 单位正三角形中 将其内切圆及三个角切圆 与角两边及三角形内切圆都相切的圆 的内部挖去 则三角形剩下部分的面积为 3 圆内接四边形 ABCD 的四条边长顺次为 AB 2 BC 7 CD 6 DA 9 则四边形的面积为 4 在 1 2 3 5 20 中 适当选择 号 可以得到不同代数 和的个数是 第 二二 试试 一 20 分 边长为整数的直角三角形 若其两直角边长 a b 是方程 0 的两根 求 k 的值并确定直角三角形三边之长 kxkx4 2 2 二 25 分 如图 自 ABC 内的任一点 P 作三角形三条边的垂线 PD BC PE CA PF AB 若 BD BF CD CE 证明 AE AF 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 17 页 共 91 页 三 25 分 已知 a b c 为正整数 且为有理数 证明为整 cb ba 3 3 cba cba 222 数 数学周报数学周报 杯杯 20102010 年全国初中数学竞赛试题年全国初中数学竞赛试题 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 7 7 分 共分 共 3535 分分 1 若 则的值为 10 20 c b b a cb ba A B C D 21 11 11 21 21 110 11 210 2 若实数a b满足 则a的取值范围是 02 2 1 2 baba A a B a4 C a 或 a 4 D a 4 3 如图 在四边形ABCD中 B 135 C 120 AB BC CD 则AD边的长为 32224 24 A B 6264 C D 64 622 A D C B 第 3 题图 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 18 页 共 91 页 P D O y x C A B 第 9 题图 4 在一列数 中 已知 且当k 2 时 321 xxx1 1 x 取整符号 a 表示不超过 4 2 4 1 41 1 kk xx kk 实数的最大整数 例如 2 6 2 0 2 0 则等于 2010 x A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图 在平面直角坐标系xOy中 等腰梯形ABCD的顶点 坐标分别为A 1 1 B 2 1 C 2 1 D 1 1 y轴上一点P 0 2 绕点A旋转 180 得点P1 点P1绕点B旋转 180 得点P2 点P2绕点C旋转 180 得点P3 点P3绕点D旋转 180 得点P4 重复操作依次得到点 P1 P2 则点P2010的坐标是 A 2010 2 B 2010 C 2012 D 0 2 二 填空题二 填空题 6 已知a 则 2a3 7a2 2a 12 的值等于 15 7 一辆客车 一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一 方向匀速行驶 在某一时刻 客车在前 小轿车在后 货车在客车与 小轿车的正中间 过了 10 分钟 小轿车追上了货车 又过了 5 分钟 小轿车追上了客车 再过t分钟 货车追上了客车 则t 8 如图 在平面直角坐标系xOy中 多边形OABCDE的顶点坐标分别是O 0 0 A 0 6 B 4 6 C 4 4 D 6 4 E 6 0 若直线l经过点M 2 3 且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分 则直线l的函数表达式是 9 如图 射线AM BN都垂直于线段AB 点E为AM上一点 过点A作BE的垂线AC 分别交BE BN于点F C 过点C作AM的垂线CD 垂足为 D 若CD CF 则 AD AE 10 对于i 2 3 k 正整数n除以i所得的余数为 i 1 若的最小值满足 则正整数的最 0 n3000200 0 n 小值为 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 每题题 每题 2020 分 共分 共 8080 分 分 11 如图 ABC为等腰三角形 AP是底边BC上的高 点D是线段PC上的一点 BE 和CF分别是 ABD和 ACD的外接圆直径 连接EF 求证 BC EF PAD tan 第 12A 题 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 19 页 共 91 页 12 如图 抛物线 a0 与双曲线相交于点A B 已知点A的bxaxy 2 x k y 坐标为 1 4 点B在第三象限内 且 AOB的面积为 3 O为坐标原点 1 求实数a b k的值 2 过抛物线上点A作直线AC x轴 交抛物线于另 一点C 求所有满足 EOC AOB的点E的坐标 13 求满足的所有素数p和正整数m mmpp282 22 20092009 年全国初中数学江西赛区预赛试题年全国初中数学江西赛区预赛试题 2009 年 3 月 22 日上午 9 30 11 30 一 选择题 共一 选择题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 满分分 满分 35 分 分 1 已知非零实数 a b 满足 2a 4 b 2 4 2a 则 a b 等于 a 3 b2 A 1 B 0 C 1 D 2 2 如图所示 菱形 ABCD 边长为 a 点 O 在对角线 AC 上一点 且 OA a OB OC OD 1 则 a 等于 A B 1 C D 2 1 51 2 51 3 将一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方形骰子先后投掷两 次 记第一次掷出的点数为 a 第二次掷出的点数为 b 则关于 x y 的方程组 只有正数解的概率为 22 3 yx byax 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 20 页 共 91 页 A B C D 1 12 2 9 5 18 13 36 4 如图 1 所示 在直角梯形 ABCD 中 AB CD B 90 动点 P 从点 B 出发 沿梯形的边由 B C D A 运动 设点 P 运动的路程为 x ABP 的面 积为 y 把 y 看作 x 的函数 函数图象如图 2 所示 则 ABC 的面积为 A 10 B 16 C 18 D 32 5 关于 x y 的方程的整数解 x y 的组数为 292 22 yxyx A 2 组 B 3 组 C 4 组 D 无穷多组 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 35 分 分 6 一自行车轮胎 若把它安装在前轮 则自行车行驶 5000km 后报废 若把它安装在 后轮 则自行车行驶 3000km 后报废 行驶一定路程后可以交换前 后轮胎 如果交换前 后轮胎 要使一辆自行车的一对新轮胎同时 报废 那么这辆自行车将能行驶 7 已知线段 AB 的中点为 C 以点 C 为圆心 AB 长为半径作 圆 在线段 AB 的延长线上取点 D 使得 BD AC 再以点 D 为圆心 DA 的长位半径作圆 与 A 分别相交于点 F G 两点 连接 FG 交 AB 于点 H 则的值为 AH AB 8 已知满足条件的五个不同的整数 若 54321 aaaaa 9 54321 aaaaa b 是关于 x 的方程2009 54321 axaxaxaxax 的整数根 则 b 的值为 9 如图所示 在 ABC 中 CD 是高 CE 为 ACB 的平 分线 若 AC 15 BC 20 CD 12 则 CE 的长等于 10 10 个人围成一个圆圈做游戏 游戏的规则是 每个人心里 都想好一个数 并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人 然后每 个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来 若抱出来的数 如图所示 则报 3 的人心里想的数是 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 每题小题 每题 20 分 共分 共 80 分 分 11 函数的图像与 x 轴的两个交点是 22 12 kxkxy 否都在直线 x 1 的右侧 若是 请说明理由 若不一定是 请求出 两个交点都在直线 x 1 的右侧时 k 的取值范围 12 在平面直角坐标系 xoy 中 我们把横坐标为整数 纵坐标为完成平方数的点称为 好点 求二次函数的图像上的所有 好点 的坐标 4907 90 2 xy 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 21 页 共 91 页 13 如图 给定锐角 ABC BC CA AD BE 是它的两条高 过点 C 作 ABC 的 外接圆的切线 l 过电 D E 分别作 l 的垂线 垂足分别为 F G 试比较线段 DF 和 EG 的 大小 并证明你的结论 14 n 个正整数满足如下条件 n aaa 21 且中任意 n 1 个不同的数的算术平20091 321 n aaaa n aaa 21 均数都是正整数 求 n 的最大值 2009 年初中数学竞赛江西赛区决赛试题年初中数学竞赛江西赛区决赛试题 第一试 一 一 选择题 每小题选择题 每小题 7 分 共分 共 42 分 分 1 化简的值是 2471 23 2471 23 A B C D 2 2 3 3 6 4 7 2 a b c 是互不相同的实数 则代数式经化简后得到 222 bcac bxaxc cbab axcxb caba cxbxa A B C D 2 a 2 b 2 c 2 x 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 22 页 共 91 页 3 设实数 a b c x y x 则下列四数中 值最小的一个数是 A ax by cz B cx by az C bx ay cz D ax cy bz 4 若 ABC 的三条边长 AB 3 AC 4 BC 5 分别以 A B C 为圆心作 A B C 使得这两个圆两两相切 则 A B C 面积之比是 A 1 2 3 B 3 4 5 C 1 4 9 D 9 16 25 5 数组 a b c d a b c d 由不大于 20 的四个质数组成 且满足 a d b c 这种四元组 的个数是 A 6 B 8 C 12 D 16 6 若一元二次方程的两根为整数 且两根的平方和为 2009 则这种0 2 baxx 方程有 A 1 个 B 2 个 C 4 个 D 8 个 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 7 分 共分 共 28 分 分 7 从前 20 个正整数 1 2 20 中选择 5 个不同的数填写在一个圆周上 使得圆 周上每相邻两数之和都是平方数 你的填法是 如果写成一行 首尾 的数看成相邻 8 若 f x 323232 11212 1 xxxxx 则 f 1 f 3 f 5 f 2009 9 若 AD BE 为 ABC 的两条角平分线 I 为内心 若 C D I E 四点共圆 且 DE 1 则 ID 10 设 k 为自然数 令 13 2 2 k k k a 921 aaaA 则 921 aaaB B A 第二试第二试 三 三 解答题 本题三大题 共解答题 本题三大题 共 70 分 分 11 20 分 若关于 x 的方程 的各根为整数 求 a06821 14216 281 16 2234 aaxaxaxx 的值 并解此方程 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 23 页 共 91 页 12 25 分 如图 ABC 中 AB AC D 是 BC 上的任意一点 E F 分别是 边 AC AB 上的点 且 DE AB DF AC 作点 D 关于 EF 的对称点 F 证明 PD 平分 BPC 且 PBC AEF 13 25 分 将前 300 个正整数 1 2 3 4 300 顺次在黑板上排成一行 然后划去两数 1 2 而将这两数的和写在最后面 成为 3 4 5 6 300 3 接着 再划去前两数 3 4 而将这两数的和写在最后面 成为 5 6 7 8 300 3 7 象这样一直进行下去 直到黑板剩下一个数为止 试求 黑板上出现过所以数之和 包括每次划去的数在内 20092009 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 4242 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 设 则 71a 32 312612aaa A 24 B 25 C D 4 710 4 712 2 2 在 ABC 中 最大角 A 是最小角 C 的两倍 且 AB 7 AC 8 则 BC A B C D 7 2101057 3 3 3 用表示不大于的最大整数 则方程的解的个数为 xx 2 2 30 xx A 1 B 2 C 3 D 4 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 24 页 共 91 页 4 4 设正方形 ABCD 的中心为点 O 在以五个点 A B C D O 为顶点所构成的所有三 角形中任意取出两个 它们的面积相等的概率为 B A B C D 3 14 3 7 1 2 4 7 5 5 如图 在矩形 ABCD 中 AB 3 BC 2 以 BC 为直径在矩形 内作半圆 自点 A 作半圆的切线 AE 则CBE sin A B C D 6 3 2 3 1 3 10 10 6 6 设是大于 1909 的正整数 使得为完全平方数的的个数是 n 1909 2009 n n n A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 2828 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 1 1 已知 是实数 若是关于的一元二次方程的两个非负实根 t a bx 2 210 xxt 则的最小值是 22 1 1 ab 2 2 设 D 是 ABC 的边 AB 上的一点 作 DE BC 交 AC 于点 E 作 DF AC 交 BC 于点 F 已知 ADE DBF 的面积分别为和 则四边形 DECF 的面积为 mn 3 3 如果实数满足条件 则 a b 22 1ab 22 1 2 21ababa ab 4 4 已知是正整数 且满足是整数 则这样的有序数对共有 a b 1515 2 ab a b 对 第二试第二试 一 一 本题满分 本题满分 2020 分 分 已知二次函数的图象与轴的交点分 2 0 yxbxcc x 别为 A B 与轴的交点为 C 设 ABC 的外接圆的圆心为点 P y 1 证明 P 与轴的另一个交点为定点 y 2 如果 AB 恰好为 P 的直径且 求和的值 2 ABC S bc D A B C E 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 25 页 共 91 页 二 二 本题满分 本题满分 2525 分 分 设 CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AD 上的高 分别是 1 I 2 I ADC BDC 的内心 AC 3 BC 4 求 1 I 2 I 三 三 本题满分 本题满分 2525 分 分 已知为正数 满足如下两个条件 a b c 32abc 1 4 bcacababc bccaab 是否存在以为三边长的三角形 如果存在 求出三角形的最大内角 abc 2008 年全国初中数学联合竞赛试题年全国初中数学联合竞赛试题 第一试第一试 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 42 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 设 且 则代数式的值为 2 13aa 2 13bb ab 22 11 ab 5 7 9 11 A B C D 2 如图 设 为三角形的三条高 若 ADBECFABC6AB 5BC I1 I2 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 26 页 共 91 页 则线段的长为 3EF BE 4 A 18 5 B C 21 5 D 24 5 3 从分别写有数字 1 2 3 4 5 的 5 张卡片中任意取出两张 把第一张卡片上的数字作为十位数字 第二张卡片上的数字作为 个位数字 组成一个两位数 则所组成的数是 3 的倍数的概率是 A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 4 在 中 和ABC12ABC 132ACB BM 分别是这两个角的外角平分线 且点分别在直线和直线上 则 CN M NACAB ABMCN BBMCN 和的大小关系不确定 CBMCN DBMCN 5 现有价格相同的 5 种不同商品 从今天开始每天分别降价 10 或 20 若干天后 这 5 种商品的价格互不相同 设最高价格和最低价格的比值为 则的最小值为 rr A 3 9 8 B 4 9 8 C 5 9 8 D 9 8 6 已知实数满足 则 x y 22 2008 2008 2008xxyy 的值为 20073323 22 yxyx 2008 1 A2008 B C1 D 二 填空题 本题满分二 填空题 本题满分 28 分 每小题分 每小题 7 分 分 1 设 则 51 2 a 5432 3 22aaaaa aa 2 如图 正方形的边长为 1 为所在直线上的两点 且 ABCD M NBD5AM 则四边形的面积为 135MAN AMCN 3 已知二次函数的图象与轴的两个交 2 yxaxb x 点的横坐标分别为 且 设满足上述要求的mn1mn b 的最大值和最小值分别为 则 pqpq 4 依次将正整数 1 2 3 的平方数排成一串 149162536496481100121144 排 在第 1 个位置的数字是 1 排在第 5 个位置的数字是 6 排在第 10 个位置的数字是 4 排 在第 2008 个位置的数字是 第二试第二试 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 27 页 共 91 页 一 一 本题满分 本题满分 20 分 分 1 已知 对于满足条件的一切实数 不 22 1ab 01x x 等式 1 恒成立 当乘积取最小值时 求的 1 1 0axxaxbx bxbx ab a b 值 二 二 本题满分 本题满分 25 分 分 如图 圆与圆相交于两点 为圆的切线 OD A BBCD 点在圆上 且 COABBC 1 证明 点在圆的圆周上 OD 2 设 的面积为 求圆的的半径的最小值 ABCSDr 三 三 本题满分 本题满分 25 分 分 1 设为质数 为正整数 且ab 求 的值 2 9 2 509 4511 abab ab 20082008 年全国初中年全国初中 数学周报数学周报 杯数学竞赛试题杯数学竞赛试题 一 选择题 共一 选择题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 分 1 已知实数满足 则的值为 xy 42 42 42 33yy xx 4 4 4 y x A 7 B C D 5 113 2 713 2 2 把一枚六个面编号分别为 1 2 3 4 5 6 的质地均匀的正方体骰子先 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 28 页 共 91 页 第 8 题 后投掷 2 次 若两个正面朝上的编号分别为m n 则二次函数的图象与x 2 yxmxn 轴有两个不同交点的概率是 A B C D 5 12 4 9 17 36 1 2 3 有两个同心圆 大圆周上有 4 个不同的点 小圆周上有 2 个 不同的点 则这 6 个点可以确定的不同直线最少有 A 6 条 B 8 条 C 10 条 D 12 条 4 已知是半径为 1 的圆的一条弦 且 ABO1ABa 以为一边在圆内作正 点为圆上不同于点ABOABCDO A的一点 且 的延长线交圆于点 则的长为 DBABa DCOEAE A B 1 C D a 5 2 a 3 2 5 将 1 2 3 4 5 这五个数字排成一排 最后一个数是奇数 且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除 那么满足要求的排法有 A 2 种 B 3 种 C 4 种 D 5 种 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 6 6 分 满分分 满分 3030 分 分 6 对于实数u v 定义一种运算 为 若关于x的方程u vuvv 有两个不同的实数根 则满足条件的实数a的取值范围是 1 4 xax 7 小王沿街匀速行走 发现每隔 6 分钟从背后驶过一 辆 18 路公交车 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交 车 假设每辆 18 路公交车行驶速度相同 而且 18 路公交车 总站每 隔固定时间发一辆车 那么发车间隔的时间是 分钟 8 如图 在 中 AB 7 AC 11 点M是BC的中点 AD是 BAC 的ABC 平分线 MF AD 则FC的长为 9 ABC中 AB 7 BC 8 CA 9 过 ABC的内切圆圆心I作DE BC 分别与AB AC相交于点D E 则DE的长为 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 29 页 共 91 页 10 关于x y的方程的所有正整数解为 22 208 xyxy 三 解答题 共三 解答题 共 4 4 题 每题题 每题 1515 分 满分分 满分 6060 分 分 11 在直角坐标系xOy中 一次函数的图象与轴 轴的正半bkxy 0k xy 轴分别交于A B两点 且使得 OAB的面积值等于 3OAOB 1 用b表示k 2 求 OAB面积的最小值 12 是否存在质数p q 使得关于x的一元二次方程有有理数根 2 0pxqxp 13 是否存在一个三边长恰是三个连续正整数 且其中一个内角等于另一个内角 2 倍 的 ABC 证明你的结论 14 从 1 2 9 中任取n个数 其中一定可以找到若干个数 至少一个 也可以 是全部 它们的和能被 10 整除 求n的最小值 20082008 年全国初中数学联赛决赛试题 江西卷 年全国初中数学联赛决赛试题 江西卷 2008 年 4 月 日 上午 00 一 选择题 本题满分一 选择题 本题满分 4242 分 每小题分 每小题 7 7 分 分 本题共有 6 小题 每题均给出了代号为的四个答案 其中有且仅有一个是DCBA 井冈山市龙江中学 全国初中数学竞赛试题汇编 刘定邦编 第 30 页 共 91 页 正确的 将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 每小题选对得 7 分 不选 选错或选 出的代号字母超过一个 不论是否写在括号内 一律得 0 分 1 从分数组中删去两个分数 使剩下的数之和为 1 则删去 1 1 1 1 11 2 4 6 8 10 12 两个数是 A B C D 11 48 与 11 410 与 11 810 与 11 812 与 2 化简的结果是 3 25 15 A B C D 1 2 5 4 3 8 15 7 第 5 题图 3 的末尾三位数字是 55 5 A 125 B 375 C 625 D 875 4 若实数满足方程组 则有 x y z 1 1 2 2 2 2 3 3 2 xy xy yz yz zx zx A x 2y 3z 0 B 7x 5y 2z 0 C 9x 6y 3z 0 D 10 x 7y z 0 5 将正三角形每条边四等份 然后过这些分点作平行于其它两边的直线 则以图中线 段为边的菱形