（考黄金）高考数学一轮检测 第6讲 导数及其应用精讲 精析 新人教A版.doc

（考黄金）2014届高考数学一轮检测 第6讲 导数及其应用精讲 精析 新人教a版2013年考题1.（2013安徽高考）设，函数的图像可能是（ ）【解析】选c.可得的两个零解.当时,则当时,则当时,则选c。2.（2013广东高考）函数的单调递增区间是 a. b.(0,3) c.(1,4) d. 【解析】选d.,令,解得,故选d3.（2013湖南高考）设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数k，定义函数取函数=。若对任意的，恒有=，则 ak的最大值为2 b. k的最小值为2ck的最大值为1 d. k的最小值为1 【解析】选d。由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得d符合，此时。故选d项。4.（2013湖南高考）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）yababaoxoxybaoxyoxyba b c d【解析】选a因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选a. 注意c中为常数5.（2013天津高考）设函数则a在区间内均有零点。b在区间内均无零点。c在区间内有零点，在区间内无零点。d在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。【解析】选d.由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又。6.（2013江苏高考）函数的单调减区间为 . 【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。【答案】7.（2013辽宁高考）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3 【答案】38.（2013安徽高考）已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。【解析】的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.9.（2013安徽高考）已知函数，a0， （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上的值域。其中e=2.71828是自然对数的底数。【解析】(1)由于令 当,即时, 恒成立.在(0,)上都是增函数.当,即时由得0或 或又由得综上当时, 在上是增函数.当时, 在上是减函数,在上都是增函数.()当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为 10.（2013福建高考）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点m (,)，n(,)，p(), ,请仔细观察曲线在点p处的切线与线段mp的位置变化趋势，并解释以下问题：（i）若对任意的m (, x)，线段mp与曲线f(x)均有异于m,p的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（ii）若存在点q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为r当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为r；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.()由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故m（）n（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段mp的斜率与曲线在点p处切线的斜率之差kmp-的值由正连续变为负。线段mp与曲线是否有异于m，p的公共点与kmp的m正负有着密切的关联；kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足kmp=0的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段mp的斜率kmp 当kmp=0时，解得 (舍去)直线mp的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段mp与曲线没有异于m，p的公共点。当时，.所以存在使得即当mp与曲线有异于m,p的公共点综上，t的最小值为2.（2）类似（1）中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在x1=-1，x2=3处取得极值。故m().n() () 直线mp的方程为由得线段mp与曲线有异于m,p的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.11.（2013福建高考）已知函数且 （i）试用含的代数式表示； （）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；【解析】解法一：（i）依题意，得 由得（）由（i）得 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+-+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为r当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为r；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（i）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 12.（2013广东高考）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 【解析】（1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.13.（2013广东高考）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【解析】（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即. 14. （2013山东高考）已知函数,其中 当满足什么条件时,取得极值?已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【解析】 (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f (x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,为单调增函数;当时,为单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 15.（2013海南宁夏高考）已知函数.设，求函数的极值；若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.【解析】（1）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 16.（2013海南宁夏高考）已知函数()如，求的单调区间；()若在单调增加，在单调减少，证明6. 【解析】（）当时，故 当当从而单调减少.()由条件得：从而因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是 17.（2013浙江高考）已知函数，其中 （i）设函数若在区间上不单调，求的取值范围； （ii）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解析】（i）因，因在区间上不单调，所以在恒成立，由得 ，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以； （ii）当时有；当时有，因为当时不合题意，因此，下面讨论的情形，记a，b=（）当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，（）当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合（）（）；当时a=b，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；所以，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意 18. （2013浙江高考）已知函数 （i）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （ii）若函数在区间上不单调，求的取值范围【解析】（）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得19. （2013天津高考）已知函数其中当时，求曲线处的切线的斜率； 当时，求函数的单调区间与极值。 【解析】（i）（ii） 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：f(x)+00+f(x)极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：f(x)+00+f(x)极大值极小值 20. （2013天津高考）设函数（）当求曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。【解析】当时，所以曲线处的切线斜率为1.（2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：-0+0-极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，又，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m的取值范围是21（2013辽宁高考）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。【解析】(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调递增。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调递减，在单调增加.(ii)考虑函数 则由于1a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。【解析】（i） 由知，当时，故在区间是增函数； 当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和内是增函数，在区间内是减函数。（ii）由（i）知，当时，在或处取得最小值。 由假设知 即 解得 1a1,证明对任意的c,都有m2: ()若mk对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。【解析】（i）解：，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，则 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内， 此时由有(b1)2若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：（1）当时，由（）可知； （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 ，即下同解法130.（2013湖南高考）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【解析】（）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。31.（2013湖南高考）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。【解析】（）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c0,因为n是正整数，故0a0)的单调递增区间是 【解析】由可得.【答案】.10、（2012江苏高考）直线是曲线的一条切线，则实数b 【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以bln21【答案】ln2111、（2012江苏高考） 对于总