陕西省西安市长安一中高三数学上学期第三次质检试卷（含解析）.doc

陕西省西安市长安一中2015届 高三上学期第三次质检数学试卷一选择题（本大题共14小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合a=1，1，b=x|ax+1=0，若ba，则实数a的所有可能取值的集合为( )a1b1c1，1d1，0，1考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题分析：根据题中条件：“ba”，得到b是a的子集，故集合b可能是或b=1，或1，由此得出方程ax+1=0无解或只有一个解x=1或x=1从而得出a的值即可解答：解：由于ba，b=或b=1，或1，a=0或a=1或a=1，实数a的所有可能取值的集合为1，0，1故选d点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题2若i为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：=所对应的点为位于第四象限故选d点评：熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键3设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的( )a充要条件b充分而不必要的条件c必要而不充分的条件d既不充分也不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：常规题型分析：由题意a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，若ab，l与a垂直，且斜交，推不出l一定垂直平面，利用此对命题进行判断；解答：解：a、b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，“la，lb”，若ab，l可以与平面斜交，推不出l，若“l，a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，“la，lb”是“l”的必要而不充分的条件，故选c点评：此题以平面立体几何为载体，考查了线线垂直和线面垂直的判定定了，还考查了必要条件和充分条件的定义，是一道基础题4等差数列中，如果a4+a6=22，则前9项的和为( )a297b144c99d 66考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解解答：解：等差数列中，a4+a6=22，前9项的和s9=99故选：c点评：本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用5已知向量=（2，1），=（sincos，sin+cos），且，则cos2+sin2=( )abcd考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：直接由向量共线的坐标表示列式求得tan，然后利用万能公式化简求值解答：解：向量=（2，1），=（sincos，sin+cos），且，2（sin+cos）（sincos）=0，即sin+3cos=0，解得tan=3cos2+sin2=故选：b点评：本题考查平行向量的坐标运算，考查了三角函数的万能公式，是基础的计算题6过p（2，0）的直线被圆（x2）2+（y3）2=9截得的线段长为2时，直线l的斜率为( )abc1d考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：设直线l的方程为：y=kx2k，由已知条件结合圆的性质和点到直线的距离公式推导出=2，由此能求出直线的斜率解答：解：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx2k，（x2）2+（y3）2=9的圆心c（2，3），半径r=3，过p（2，0）的直线被圆（x2）2+（y3）2=9截得的线段长为2，圆心c（2，3）到直线ab的距离d=2，点c（2，3）到直线y=kx2k的距离d=2，2=3，解得k=故选：a点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用7已知x，y满足不等式，设z=，则z的最大值与最小值的差为( )a4b3c2d1考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，z的几何意义为过原点的直线的斜率，根据数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域，如图：z的几何意义为过原点的直线的斜率，则当直线经过点a时，oa的斜率最小，经过点b时，ob的斜率最大，由，解得，此时a（2，4），即z的最小值为，由，解得，此时b（1，6），即z的最大值为，z的最大值与最小值的差为62=4，故选：a点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键8设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是( )a0b4c5d6考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=3x+z，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，经过点a时，直线的截距最大，此时z最大由，解得，即a（2，0），此时zmax=32=6，故选：d点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键9函数y=ln（x+1）与y=的图象交点的横坐标所在区间为( )a（0，1）b（1，2）c（2，3）d（3，4）考点：函数零点的判定定理 专题：转化思想；函数的性质及应用分析：该问题可转化为方程ln（x+1）=的解的问题，进一步可转化为函数f（x）=ln（x+1）的零点问题解答：解：令f（x）=ln（x+1），f（2）=ln30，f（1）=ln21lne1=0，又函数f（x）在（1，2）上的图象是一条连续不断的曲线，函数f（x）在区间（1，2）内有零点，即ln（x+1）=有解，此解即为函数y=ln（x+1）与y=的图象交点的横坐标故选：b点评：本题考查函数零点的存在问题，本题中函数y=ln（x+1）与y=的图象交点的横坐标，可转化为函数f（x）=ln（x+1）的零点注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用10如图所给的程序运行结果为s=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )ak=7bk6ck6dk6考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据程序，依次进行运行得到当s=35时，满足的条件，即可得到结论解答：解：当k=10时，s=1+10=11，k=9，当k=9时，s=11+9=20，k=8，当k=8时，s=20+8=28，k=7，当k=7时，s=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，判断框中应填入的关于k的条件是k6，故选：d点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，依次将按照程序依次进行运行即可11若当x=时，函数f（x）=asin（x+）（a0）取得最小值，则函数y=f（x）是( )a奇函数且图象关于点（，0）对称b偶函数且图象关于直线x=对称c奇函数且图象关于直线x=对称d偶函数且图象关于点（，0）对称考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由f（ ）=asin（ +）=a可求得=2k（kz），从而可求得y=f（ x）的解析式，利用正弦函数的奇偶性与对称性判断即可解答：解：f（）=asin（+）=a，+=2k，=2k（kz），y=f（x）=asin（x+2k）=acosx，令y=g（x）=acosx，则g（x）=acos（x）=1acosx=g（x），y=g（x）是偶函数，可排除a，c；其对称轴为x=k，kz，对称中心为（k+，0）kz，可排除b；令k=0，x=，则函数的对称中心（，0），故选：d点评：本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，求是难点，考查正弦函数的奇偶性与对称性，属于中档题12已知椭圆的焦点为f1、f2，在长轴a1a2上任取一点m，过m作垂直于a1a2的直线交椭圆于p，则使得的m点的概率为( )abcd考点：椭圆的应用；几何概型 专题：计算题；压轴题分析：当f1pf2=90时，p点坐标为，由，得f1pf290故的m点的概率解答：解：|a1a2|=2a=4，设p（x0，y0），当f1pf2=90时，解得，把代入椭圆得由，得f1pf290结合题设条件可知使得的m点的概率=故选c点评：作出草图，数形结合，事半功倍13如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为( )a5.16b6.16c18.84d17.84考点：几何概型 专题：计算题分析：欲估计出椭圆的面积，可利用概率模拟，只要利用平面图形的面积比求出落在椭圆外的概率即可解答：解：黄豆落在椭圆外的概率为：即：解得：s=18.84故选c点评：本题考查几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，称为几何概型14已知函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，则方程gf（x）a=0（a为正实数）的根的个数不可能为( )a3个b4个c5个d6个考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；压轴题分析：由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=m的交点情况为：当a3，或a1时，有一个交点；当a=3，或a=1时，有两个交点；当3a1时，有三个交点；g（x）与y=a点情况为（x）与y=a的交点情况为：当0a1时有两个交点，一个在区间（4，3）上，一个在区间（3，2）上；当a=1时有两个交点，一个为3，一个为；当a1时有两个交点，一个在区间（0，）上，一个在区间（，1）上分类讨论后，即可得到方程gf（x）a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案解答：解：函数f（x）=x33x2+1，g（x）=，当a=1时，若方程gf（x）a=0，则：f（x）=3，此时方程有2个根或f（x）=，此时方程有3个根故方程gf（x）a=0可能共有5个根；当0a1时，方程gf（x）a=0，则：f（x）（4，3），此时方程有1个根或f（x）（3，2），此时方程有3个根故方程gf（x）a=0可能共有4个根；当a1时，方程gf（x）a=0，则：可能有4个、5个或6个根故选a点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题纸相应的位置.）15一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：探究型；空间位置关系与距离分析：由三视图确定该几何体的结构然后利用相应的体积公式进行求解解答：解：由三视图可知该几何体是一个侧棱和底面垂直的四棱锥，其中以俯视图为底，底面为菱形其中高pd=1，底面菱形的对角线长为2，所以四棱锥的体积为故答案为：点评：本题主要考查三视图的识别以及几何体的体积公式利用三视图进行还原是解决三视图问题的基本方法16已知abc面积s和三边a，b，c满足：s=a2（bc）2，b+c=8，则abc面积s的最大值为考点：余弦定理 专题：三角函数的求值分析：利用三角形面积公式变形出s，利用余弦定理列出关系式，代入已知等式计算即可求出s的最大值解答：解：a2=b2+c22bccosa，即a2b2c2=2bccosa，sabc=bcsina，分别代入已知等式得：bcsina=2bc2bccosa，即sina=44cosa，代入sin2a+cos2a=1得：cosa=，sina=，b+c=8，c=8b，sabc=bcsina=bc=b（8b）（）2=，当且仅当b=8b，即b=4时取等号，则abc面积s的最大值为故答案为：点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键17已知ab0，e1，e2分别是圆锥曲线+=1和=1的离心率，设m=lge1+lge2，则m的取值范围是（，0）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分别求出e1，e2，利用对数的运算性质，即可求得结论解答：解：由题意，ab001，e1=，e2=，0e1e21，m=lge1+lge2=lg（e1e2）0故答案为：（，0）点评：本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查对数的运算性质，考查学生的计算能力，属于中档题18把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij（i，jn+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a52=11则a87=38考点：归纳推理 专题：规律型分析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故a87表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7个正偶数解答：解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，故a87表示第8行的第7个数字，即第2+4+6+7=19个正偶数故a87=219=38，故答案为：38点评：本题考查简单的演绎推理，考查数列的特点，是一个综合题，这种题目是我们经常见到的问题，是一个比较新颖的题目，注意观察分析数字的排列规律三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共70分）19已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（，an+1）（nn*）在函数y=x2+1的图象上（）求数列an的通项公式；（）若列数bn满足b1=1，bn+1=bn+2an，求证：bnbn+2bn+12考点：等差数列的通项公式；等比数列的性质 分析：（）将点代入到函数解析式中即可；（）比较代数式大小时，可以用作差的方法解答：解：解法一：（）由已知得an+1=an+1、即an+1an=1，又a1=1，所以数列an是以1为首项，公差为1的等差数列故an=1+（n1）1=n（）由（）知：an=n从而bn+1bn=2nbn=（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1=2n1+2n2+2+1=bnbn+2bn+12=（2n1）（2n+21）（2n+11）2=（22n+22n2n+2+1）（22n+222n+1+1）=2n0bnbn+2bn+12解法二：（）同解法一（）b2=1bnbn+2bn+12=（bn+12n）（bn+1+2n+1）bn+12=2n+1bn+12nbn+12n2n+1=2n（bn+12n+1）=2n（bn+2n2n+1）=2n（bn2n）=2n（b12）=2n0bnbn+2bn+12点评：2015届高考考点：本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力易错提醒：第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负，而往往很多学生不注意备考提示：对于递推数列要学生掌握常见求法，至少线性的要懂得处理20如图，设四棱锥sabcd的底面为菱形，且abc=60，ab=sc=2，sa=sb=（）求证：平面sab平面abcd；（）求平面ads与平面abs所夹角的余弦值考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）连接ac，取ab的中点e，连接se、ec，证明seab，seec，即可证明se面abcd，从而可得平面sab平面abcd；（）以e为坐标原点建立空间直角坐标系，通过求解平面ads与平面abs法向量所成角的余弦值得到平面ads与平面abs所夹角的余弦值解答：（）证明：连接ac，取ab的中点e，连接se、ec，seab，ab=2，se=1，又四棱锥sabcd的底面为菱形，且abc=60，abc是等边三角形，ab=2，又sc=2，sc2=ce2+se2，seec，abec=e，se面abcd，se平面sab，平面sab平面abcd；（）解：由（）知，分别以ec，eb，es为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系则面abs的一个法向量=（1，0，0），a（0，1，0），s（0，0，1），设面ads的法向量=（x，y，z），则=，=y+z=0，令，则，=，设平面ads与平面abs所夹角的大小为，则cos=点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的大小，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题21为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量x表示所抽取的3名学生中得分在80，90，）内的学生人数，求随机变量x的分布列及数学期望（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（1）由频率公式和图求出样本容量n，由频率分布直方图中的数据求出x、y的值；（2）理科：先求出分数在80，90）、90，100内的学生人数，求出抽取的3名学生中得分在80，90）的人数x的可能取值，由概率公式分别求出它们的概率并列出x的分布列，代入公式求出ex；文科：先对7名学生分类进行编号，列出所有的基本事件，再列出2名同学的分数都不在90，100内的情况，利用概率公式和对立事件的概率公式求出即可解答：解：（1）由题意可知，样本容量n=50，y=0.004，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（理科）（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，分数在90，100内的学生有2人，共7人抽取的3名学生中得分在80，90）的人数x的可能取值为1，2，3，则p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=所以x的分布列为 x123p所以ex=1+2+3=（文科）（2）由题意可知，分数在80，90）内的学生有5人，记这5人分别为1、2、3、4、5，分数在90，100内的学生有2人，记这2人分别为a、b抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（2，b），（3，4），（3，5），（3，a），（3，b），（4，5），（4，a），（4，b），（5，a），（5，b），（a，b）其中2名同学的分数都不在90，100内的情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）所抽取的2名学生中至少有一人得分在90，100内的概率p=1=点评：本题考查茎叶图、频率分布直方图，随机变量x的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合22如图，椭圆c：+=1（ab0）的右焦点为f，右顶点、上顶点分别为点a、b，且|ab|=|bf|（）求椭圆c的离心率；（）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆c于p、q两点，opoq求直线l的方程及椭圆c的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用|ab|=|bf|，求出a，c的关系，即可求椭圆c的离心率；（）直线l的方程为y2=2（x0），即2xy+2=0与椭圆c：联立，opoq，可得，利用韦达定理，即可求出椭圆c的方程解答：解：（）由已知，即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2c2）=5a2，（）由（）知a2=4b2，椭圆c：设p（x1，y1），q（x2，y2），直线l的方程为y2=2（x0），即2xy+2=0由，即17x2+32x+164b2=0，opoq，即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0从而，解得b=1，椭圆c的方程为点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题23已知函数f（x）=exx2+a，xr的图象在点x=0处的切线为y=bx（e2.71828）（1）求函数f（x）的解析式；（理科）（2）若kz，且f（x）+（3x25x2k）0对任意xr恒成立，求k的最大值（文科）（2）若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由函数f（x）=exx2+a，xr的图象在点x=0处的切线为y=bx，得，求得a，b后可得函数解析式；（理科）（2）把不等式f（x）+（3x25x2k）0对任意xr恒成立转化为对任意xr恒成立构造函数令后利用导数求其最小值得答案；（文科）（2）把f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立转化为对任意的x（0，+）恒成立，利用导数求得函数的最小值得答案解答：解：（1）f（x）=exx2+a，f（x）=ex2x，由已知，得a=1，b=1，f（x）=exx21；（理科）（2）f（x）+（3x25x2k）0对任意xr恒成立，对任意xr恒成立，对任意xr恒成立令，易知h（x）在r上单调递增，又，0，=，存在唯一的，使得h（x0）=0，且当x（，x0）时，h（x）0即h（x）在（，x0）单调递减，在（x0，+）上单调递增，又h（x0）=0，即，=，对任意xr恒成立kh（x0），又kz，kmax=1（文科）（2）f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立对任意的x（0，+）恒成立，令，=当x（0，+）时，exx10恒成立，令g（x）0，得x1；g（x）0，得0x1g（x）的增区间为（1，+），减区间为（0，1）g（x）min=g（1）=e2kg（x）min=g（1）=e2，实数k的取值范围为（，e2）点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，主要考查了数学转化思想方法和函数构造法，掌握不等式恒成立的条件是解答该题的关键，是压轴题请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做得的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）24（选修41：几何证明选讲）如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于d（）证明：db=dc；（）设圆的半径为1，bc=，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径考点：与圆有关的比例线段 专题：直线与圆分析：（i）连接de交bc于点g，由弦切角定理可得abe=bce，由已知角平分线可得abe=cbe，于是得到cbe=bce，be=ce由已知dbbe，可知de为o的直径，rtdbertdce，利用三角形全等的性质即可得到dc=db（ii）由（i）可知：dg是bc的垂直平分线，即可得到bg=设de的中点为o，连接bo，可得bog=60从而abe=bce=cbe=30得到cfbf进而得到rtbcf的外接圆的半径=解答：（i）证明：连接de交bc于点g由弦切角定理可得abe=bce，而abe=cbe，cbe=bce，be=ce又dbbe，de为o的直径，dce=90dbedce，dc=db（ii）由（i）可知：cde=bde，db=dc故dg是bc的垂直平分线，bg=设de的中点为o，连接bo，则bog=60从而abe=bce=cbe=30cfbfrtbcf的外接圆的半径=点评：本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推