福建省漳州市高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

福建省漳州市2015届高三上 学期期末数学试卷（理科）一.选择题1（5分）设集合a=x|0x2，集合b=x|0x1，则ab=（）a（0，1）b（0，1c（1，2）dabcd5（5分）“an+1an1=a2，n2，且nn”是“数列an为等比数列”的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件6（5分）（x）6的展开式中常数项为（）abcd7（5分）某程序框图如图所示，若输出的s=41，则判断框内应填（）ak4？bk5？ck6？dk7？8（5分）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，ab则abb若a，b且则abc若a，ab，b则d若ab，a，b则9（5分）已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f到双曲线x2=1的渐近线的距离为，过焦点f斜率为k的直线与抛物线c交于a、b两点，且=2，则|k|=（）a2bcd10（5分）已知函数定义域（1，1，满足f（x）+1=，当x时，f（x）=x，若函数g（x）=，方程g（x）mx2m=0有三个实根，则实数m的取值范围是（）ambm1cmd二.填空题11（4分）已知|=1，|=2，与的夹角为，则=12（4分）复数z为纯虚数，若（1+i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为13（4分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则的值为14（4分）在平面直角坐标系xoy中，设m是由不等式组表示的区域，a是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向a中随机投一点，则所投点落在m中的概率是15（4分）已知集合x=x1，x2，xn（nn*，n3），若数列xn是等差数列，记集合p（x）=x|x=xi+xj，xi，xjx，1ijn，i，jn*的元素个数为|p（x）|，则|p（x）|关于n的表达式为三.解答题16（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（a）=1，sinb=2sin（c）abc的面积为2，求边长a的值17（13分）根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为c（1，2）d，ab=（0，1，故选：b点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）已知命题p：xr，sinx，则（）ap：xr，sinxbp：xr，sinxcp：xr，sinxdp：xr，sinx考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可解答：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，故p：xr，sinx，故选：b点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础3（5分）某几何体的三视图如图，该几何体的体积为（）abc1d2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：通过观察几何体的三视图，可得该几何体是一个四棱锥，计算即得结论解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个四棱锥，其底面为边长为1的正方形，高为2，该四棱锥的体积为v四棱锥=112=，故选：b点评：本题主要考查几何体的体积，注意解题方法的积累，属于基础题4（5分）函数f（x）=的图象大致为（）abcd考点：函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的解析式可得函数在（，0）上单调递增，且f（x）1；函数在ab；故b错误；对于c，若a，ab，b，利用线面垂直的性质以及线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，可以得到；故c正确；对于d，若ab，a，b如图，得到；故d错误；故选：c点评：本题考查了线面平行，线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练运用定理对选项逐一分析9（5分）已知抛物线c：y2=2px（p0）的焦点f到双曲线x2=1的渐近线的距离为，过焦点f斜率为k的直线与抛物线c交于a、b两点，且=2，则|k|=（）a2bcd考点：双曲线的简单性质；抛物线的应用 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据抛物线c的焦点f到双曲线的渐近线距离求出p的值，再利用直线方程与抛物线c的方程联立，消去x，求出y的值，利用=2，得出ya与yb的关系式，从而求出k的值解答：解：根据题意，得；抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f（，0），且f到双曲线x2=1的渐近线y=x的距离为，=，解得p=4；过焦点f斜率为k的直线为y=k（x2），与抛物线c：y2=8x联立，得：，消去x，得y2=8（+2），整理，得ky28y16k=0，解得y=；又=2，（4xa，ya）=2（xb4，yb），ya=2yb；当k0时，ya0，yb0，=2（），解得k=2；当k0时，ya0，yb0，=2，解得k=2；|k|=2故选：a点评：本题考查了双曲线与抛物线的综合应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，是较难的题目10（5分）已知函数定义域（1，1，满足f（x）+1=，当x时，f（x）=x，若函数g（x）=，方程g（x）mx2m=0有三个实根，则实数m的取值范围是（）ambm1cmd考点：根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：先求出g（x）的解析式，再分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，观察图象求出m的取值范围解答：解：当x，x+1，当x时，f（x）=x，f（x+1）=x+1f（x）=1=1=，f（x）=函数g（x）=，g（x）=方程g（x）mx2m=0有三个实根，g（x）=m（x+2），即函数g（x）与直线y=m（x+2）有三个交点，分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，如图所示，函数y=m（x+2）过定点（2，0），当直线过点b（1，1）时，函数图象有两个交点，即m=，故当m时，两个图象有三个交点，当直线过点c时，函数图象有4个交点，即y=m（x+2）与g（x）=（x25x+6）有且只有一个交点，m（x+2）=（x25x+6），即x2（52m）x+6+4m=0，=（52m）24（6+4m）=0，解得m=（舍去），或m=，实数m的取值范围=x，故选：d点评：本题考查了解析式的求法，以及方程根的问题，关键是利用了数形结合的思想，运算量较大，属于中档题二.填空题11（4分）已知|=1，|=2，与的夹角为，则=1考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：运用向量的数量积的定义：=|cos，代入计算即可得到所求解答：解：由|=1，|=2，与的夹角为，则=|cos=12=1故答案为：1点评：本题考查向量的数量积的定义，考查运算能力，属于基础题12（4分）复数z为纯虚数，若（1+i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为1考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出解答：解：（1+i）z=a+i，（1i）（1+i）z=（1i）（a+i），2z=a+1+（1a）i，复数z为纯虚数，a+1=0，1a0，解得a=1故答案为：1点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题13（4分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的部分图象如图所示，则的值为考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数图象可得t，由周期公式从而可求，由点（，0）在函数图象上，结合范围0，即可解得的值解答：解：由函数图象可得：t=2（）=，从而可求=2，由点（，0）在函数图象上，所以：sin（2+）=0，解得：=k，kz，由0，从而可得：=故答案为：点评：本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查14（4分）在平面直角坐标系xoy中，设m是由不等式组表示的区域，a是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向a中随机投一点，则所投点落在m中的概率是考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的落在圆内的面积区域和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可解答：解：根据题意可得，a是到原点的距离不大于1的点构成的区域，表示以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为s1=，点m（x，y）满足，其构成的区域d如图所示，落在圆内的面积为s2=，所以所求的概率为p=故答案为：点评：本题主要考查几何概型几何概型的特点是：实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性在具体问题的研究中，要善于将基本事件“几何化”，构造出随机事件对应的几何图形，抓住其直观性，把握好几何区域的“测度”，利用“测度”的比来计算几何概型的概率15（4分）已知集合x=x1，x2，xn（nn*，n3），若数列xn是等差数列，记集合p（x）=x|x=xi+xj，xi，xjx，1ijn，i，jn*的元素个数为|p（x）|，则|p（x）|关于n的表达式为2n3考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得|p（x）|=2n3解答：解：集合x=a1，a2，an（nn*，n3），定义集合p（x）=x|x=xi+xj，xi，xjx，1ijn，i，jn*，取特殊的等差数列进行计算，取x=1，2，3，n，则|p（x）|=3，4，5，2n1，（2n1）3+1=2n3，p（x）=中共2n3个元素，利用类比推理可得若a1，a2，an是公差大于零的等差数列，则|p（x）|=2n3故答案为：2n3点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题三.解答题16（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x1（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调递增区间；（2）在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若f（a）=1，sinb=2sin（c）abc的面积为2，求边长a的值考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质；解三角形分析：（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由正弦函数的周期性及单调性即可得解（2）由（1）可得f（a）=2sin（2a+）=1，由0a，可得2a+的范围，从而可求a的值又sinb=2sin（c）=2sinc，可求b=2c，根据三角形面积公式可求b，c的值，由余弦定理即可求a的值解答：解：（1）（x）=2sinxcosx+2cos2x1f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），函数f（x）的最小正周期t=3分2k2x+2k，kz可解得：kxk，kz函数f（x）的单调递增区间是：，kz6分（2）f（a）=2sin（2a+）=1，0a，2a+（，），2a+=，a=，9分又sinb=2sin（c）=2sinc，b=2c，又abc的面积为2，s=bcsina=2，bc=8，c=2，b=4，a2=b2+c2bc=16+48=12，a=2，边长a的值为213分点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的周期性与单调性，三角形面积公式以及余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题17（13分）根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在050，各类人群可正常活动某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则b（2，0.3）的可能取值为0，1，2，则p（=0）=c（0.3）0（0.7）2=，p（=1）=c（0.3）1（0.7）1=，p（=2）=c（0.3）2（0.7）0=，的分布列为： 012pfrac49100期望e=0+1+2=0.6（或者e=20.3=0.6）故答案为：（1）0.02（2）25.6（3）分布列如上表，期望0.6点评：本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题18（13分）如图1，在rtabc中，abc=90，bac=60，ab=2，d，e分别为ac，bd的中点，连接ae并延长bc于f，将abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，如图2，所示，（1）求证：ae平面bcd；（2）求平面aef与平面adc所成的锐角二面角的余弦值；（3）在线段af上是否存在点m使得em平面adc？若存在，请指出点m的位置；若存在，请指出点m的位置；若不存在，说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由已知条件推导出aebd于e，由此能证明ae平面bcd（）以e为坐标原点，分别以ef，ed，ea所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系exyz，利用向量法能求出二面角的余弦值（）根据线面平行的判定定理，利用向量法建立共线共线，设，解方程即可解答：（）证明：在rtabc中，abc=90，d为ac的中点，ad=bd=dc，又bac=60，abd为等边三角形，e是bd的中点，aebd，平面abd平面bcd，交线为bd，又在abd中，aebd于e，ae平面abdae平面bcd（）解：由（）结论ae平面bcd，aeef由题意知efbd，又aebd如图，以e为坐标原点，分别以ef，ed，ea所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系exyz，由（）知ab=bd=dc=ad=2，be=ed=1由图1条件计算得则ae=，bc=2，bf=，则e（0，0，0），d（0，1，0），a（0，0，），f（，0，0），c（，2，0）则，易知，平面aef的一个法向量为=（0，1，0）设平面adc的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得y=，x=1，即=（1，1），cos，=，即平面aef与平面adc所成的锐角二面角的余弦值为（）解：设，其中=（，0，），=（，0，），=（），由，得，解得在线段af上是否存在点m使得em平面adc且am：af=3：4点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，综合性较强，运算量较大19（13分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c过点p（0，），离心率e=（1）求椭圆c的方程（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆c有且仅有一个公共点求k，m满足的关系式如图，f1，f2为椭圆的左右焦点，作f1ml，f2nl，垂足分别为m，n，四边形f1mnf2的面积s是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）椭圆c过点p（0，），离心率e=可求得椭圆方程（2）设出直线方程代入椭圆列式得到关系式，根据面积公式，由均值不等式求得最值解答：解：（1）设椭圆得方程为，椭圆c的方程为（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆c的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由直线l与椭圆c仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，化简得m2=4k2+3，设d1=|f1m|=当k0时，设直线l的倾斜角为则|d1d2|=|mn|tan|，=，m2=4k2+3，当k0时，又当k=0时，四边形f1mnf2为矩形，四边形f1mnf2的最大值为点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的关系，利用均值不等式求得最值在2015届高考中圆锥曲线的最值经常与均值不等式合体考查，应重点注意20（14分）已知函数f（x）=lnxc（x0）（1）若x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，求c的值（2）若lnaclnb已知l1：x=a，l2：x=b，若直线l1，l2及直线y=c与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积s关于c的函数s（c）的最小值m证明：不等式：ln2考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出函数g（x）的解析式和导数，由题意可得g（1）=0，即可得到c=1；（2）运用定积分可得s（c）=|lnxc|dx+|lnxc|dx，由计算法则可得s（c）的解析式，再求导数，判断单调性可得最小值m；ln2alna+blnb（a+b）ln（ba）ln2，令f（x）=alna+xlnx（a+x）ln（xa）ln2（xa），求出导数，判断单调性，即可得证解答：解：（1）f（x）=lnxc（x0），g（x）=xf（x）=xlnxcx，导数g（x）=lnx+1c，x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，即有g（1）=0，1c=0，解得c=1，经检验可得x=1为极值点，则有c=1；（2）s（c）=|lnxc|dx+|lnxc|dx=（clnx）dx+（lnxc）dx=2ecc（a+b）（a+b）+alna+blnb，即有s（c）=2ec（a+b），由lnaclnb，当c（lna，ln），s（c）0，s（c）递减，当c（ln，lnb），s（c）0，s（c）递增，当c=ln时，s（c）取得最小值，且为m=alna+blnb（a+b）ln证明：ln2alna+blnb（a+b）ln（ba）ln2，令f（x）=alna+xlnx（a+x）ln（xa）ln2（xa），则f（x）=lnxlnln2，由xa，则f（x）0，即有f（x）在解答：解：（1）任取直线l：x+y=0上一点p（x，y），经矩阵变换后点为p（x，y），则有（x，y）=（x，y），可得，解得，代入直线l：x+y=0，化简得3xy=0直线l的方程3xy=0；（2）矩阵a=，|a|=122（1）=4，a1=点评：本题以矩阵为