（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第55课 两条直线的平行与垂直要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十章 第55课 两条直线的平行与垂直要点导学要点导学各个击破两直线的平行与垂直关系(2014广东六校联考)如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,那么a=.答案2或-2解析由于直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则有(2a+5)(2-a)+(a-2)(a+3)=0,解得a=2.(2014佳木斯模拟)若直线l1:(3+a)x+4y=5-3a和直线l2:2x+(5+a)y=8平行,则a=.答案-7解析根据题意有=,解得a=-7.利用直线之间的关系求直线方程已知两点m(0,2),n(-2,0),直线l:kx-y-2k+2=0(k为常数).若点m,n到直线l的距离相等,求直线l的方程.解答因为点m,n到直线l的距离相等,所以lmn或l过mn的中点.因为m(0,2),n(-2,0),所以kmn=1,mn的中点坐标为c(-1,1).又直线l:kx-y-2k+2=0过点d(2,2),当lmn时,k=kmn=1,经检验符合题意;当l过mn的中点时,-k-1-2k+2=0,解得k=.综上,直线l的方程为x-y=0或x-3y+4=0.【题组强化重点突破】1. 与直线3x+4y-6=0平行且距离为4的直线的方程是.答案3x+4y+14=0或3x+4y-26=0解析根据平行直线系,可设直线的方程为3x+4y+m=0,由平行距离公式=4,解得m=14或-26.故所求直线的方程为3x+4y+14=0或3x+4y-26=0.2. 已知点p(3,2)与点q(1,4)关于直线l对称,那么直线l的方程为.答案x-y+1=0解析因为kpq=-1,所以kl=1,pq的中点为,即(2,3),直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.3. 从点(2,3)射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上,经y轴反射的光线所在的直线方程为.答案x+2y-4=0解析由题意得,射出的光线方程为y-3=(x-2),即x-2y+4=0,与y轴交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线所在直线过点(0,2),(-2,3),故所求直线方程为y-2=x,即x+2y-4=0.4. (2014南安模拟)过点(-1,2)且与原点的距离最大的直线方程是.答案x-2y+5=0解析设a(-1,2),则oa的斜率等于-2,故所求直线的斜率等于,由点斜式求得直线的方程为y-2=(x+1),化简得x-2y+5=0.5. (1) 已知直线l1:ax+by=0,l2:(a-1)x+y+2b=0.若直线l1,l2同时平行于直线x+2y+3=0,那么a=,b=.(2) 若直线(m-1)x+(2m+3)y+2=0与(m+2)x+(1-m)y-3=0互相垂直,则实数m=.答案(1) 3(2) 1解析(1) 由两直线平行的充要条件,得解得a=,b=3,经检验符合题意.(2) 由两直线垂直的充要条件,得(m-1)(m+2)+(2m+3)(1-m)=0,所以m=1.关于直线(或点)的对称问题已知点a的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2=0.(1) 求点a关于直线l的对称点a的坐标;(2) 求直线l关于点a的对称直线l的方程.思维引导(1) 点a与a关于直线l对称,主要运用两点,一个是aal,另一个是aa的中点坐标满足直线l的方程3x+y-2=0;(2) 关于点a对称的两直线l与l互相平行,由此可以求出直线l关于点a的对称直线l的方程.解答(1) 设点a的坐标为(x,y).因为点a与a关于直线l对称,所以aal,且aa的中点在l上,而直线l的斜率是-3,所以kaa=,即=.因为直线l的方程为3x+y-2=0,aa的中点坐标是,所以3+-2=0.由和,解得x=2,y=6,所以点a的坐标为(2,6).(2) 因为关于点a对称的两直线l与l互相平行,于是可设l的方程为3x+y+c=0.在直线l上任取一点m(0,2),其关于点a对称的点为m(x,y),于是m点在l上,且mm的中点为点a,由此得=-4,=4,即x=-8,y=6,故有m(-8,6).因为点m在l上,所以3(-8)+6+c=0,所以c=18.故直线l的方程为3x+y+18=0.(2014江苏模拟)已知直线a:3x+4y+1=0关于直线l对称的直线b的方程为12x-5y=0,求直线l的方程.解答设点p(x,y)为直线l上的任意一点,点p到直线a,b的距离相等,即=,整理得21x-77y-13=0或99x+27y+13=0,即为直线l的方程.在直线l:3x-y-1=0上求一点p,使得:(1) 点p到点a(4,1)和b(3,4)的距离之和最小;(2) 点p到点a(4,1)和b(0,4)的距离之差最大.思维引导(1) a,b两点在直线l的同侧,直线l上点p到a,b两点的距离之和等价于点p到a,b两点的距离之和(点b与点b关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点p,使得点p到点a(4,1)和点b的距离之和最小”了,所求点即为直线l与ab的交点.(2) a,b两点在直线l的异侧,直线l上点p到a,b两点的距离之差等价于点p到a,b两点的距离之差(点b与点b关于直线l对称);这样就将原来的问题转化为简单问题“在直线l:3x-y-1=0上求一点p,使得点p到点a(4,1)和点b的距离之差最大”了,所求点即为直线l与ab的交点.规范答题(1) 如图(1),设点b关于直线l的对称点为b,则pa+pb=pa+pbab,即pa+pb的最小值等于ab.此时直线ab与直线l的交点即为点p.(2分)设点b(m,n),则解得即点b的坐标为. (6分)由两点式可求得直线ab的方程为19x+17y-93=0.则易得直线ab与l的交点坐标为,即为所求的点p的坐标. (7分) 图(1) 图(2)(范题赏析)(2) 如图(2),设点b关于直线l的对称点为b,则pa-pb=pa-pbab,即pa-pb的最大值等于ab.此时直线ab与直线l的交点即为点p.(9分)设点b(m,n),则解得即点b的坐标为(3,3).所以直线ab 的方程为2x+y-9=0.(12分)所以直线ab与直线l的交点为(2,5),即点p的坐标为(2,5).(14分)精要点评本题无法直接去做,需通过求点b的对称点b,将pb转化为pb,从而实现问题的解决.这里运用了重要的数学思想方法化归思想!1. 若点a(1,3)在直线l上的射影为(-5,1),则直线l的方程是.答案3x+y+14=0解析因为点a(1,3)在直线l上的射影为p(-5,1),所以kpa=,所以kl=-3,所以直线l的方程是3x+y+14=0.2. 设ar,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2 :x+(a+1)y+4=0平行”的条件.答案充分不必要解析由=,解得a=1或a=-2.所以当a=1时,两直线平行成立,因此是充分条件;当两直线平行时,a=1或a=-2,不是必要条件.3. 若过点p(1,2)作一直线l,使点m(2,3)和点n(4,-1)到直线l的距离相等,则直线l的方程是.答案2x+y-4=0或x+2y-5=0解析当直线l经过mn的中点时,其方程是x+2y-5=0;当直线平行于直线l时,直线l的方程是2x+y-4=0.4. 若直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点a(1,0)对称,则b=.答案25. 在等腰直角三角形abc中,ab=ac=4,点p是边ab上异于a,b的一点,光线从点p出发,经bc,ca反射后又回到点p(如图所示),若光线qr经过abc的重心,则ap=.(第5题)答案解析不妨设ap=m(0m4),建立坐标系,设ab所在的直线为x轴,ac所在的直线为y轴,则a(0,0),b(4,0),c(0,4),q(xq,yq),r(0,yr