2014年中考数学压轴题精编--安徽篇(试题及答案).doc

2014中考数学压轴题精编-安徽篇2014中考数学压轴题精编-安徽篇1（安徽省）如图，已知ABCA1B1C1，相似比为k（k1），且ABC的三边长分别为a、b、c（abc），A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1（1）若ca1，求证：akc；（2）若ca1，试给出符合条件的一对ABC和A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若ba1，cb1，是否存在ABC和A1B1C1，使得k2？请说明理由BCAA1aAbAcB1C1a1b1c11解（1）证：ABCA1B1C1，且相似比为k（k1），k，aka1又ca1，akc3分（2）解：取a8，b6，c4，同时取a14，b13，c128分此时2，ABCA1B1C1且ca110分注：本题也是开放型的，只要给出的ABC和A1B1C1符合要求就相应赋分（3）解：不存在这样的ABC和A1B1C1理由如下：若k2，则a2a1，b2b1，c2c1又ba1，cb1，a2a12b4b14cb2c12分bc2cc3c4ca，而bca故不存在这样的ABC和A1B1C1，使得k214分注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下k2的情况不可能即可2（安徽省B卷）如图，RtABC内接于O，ACBC，BAC的平分线AD与O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结OGACBFDEOG（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AEBF；（3）若OGDE3(2)，求O的面积2解：（1）猜想：OGCDACBFDEHOG证明：如图，连结OC、OD，则OCODG是CD的中点由等腰三角形的性质，有OGCD2分（2）证明：AB是O的直径，ACB90而CAECBF（同弧所对的圆周角相等）在RtACE和RtBCF中ACEBCF90，ACBC，CAECBFRtACERtBCF（ASA）AEBF6分（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点OHAD，即AD2OH又CADBAD，CDBD，OHOG在RtBDE和RtADB中DBEDACBAD，RtBDERtADB，即BD 2ADDEBD 2ADDE2OGDE6(2)8分又BDFD，BF2BDBF 24BD 224(2)9分设ACx，则BCx，ABxAD是BAC的平分线，FADBAD在RtABD和RtAFD中ADBADF90，ADAD，FADBADRtABDRtAFD（ASA）AFABx，BDFDCFAFACxx(1)x在RtBCF中，由勾股定理，得BF 2BC 2CF 2x 2(1)x22(2)x 210分由、，得2(2)x 224(2)x 212，x或（舍去）ABxO的半径长为11分SO()2612分3（安徽省B卷）已知：抛物线yax 2bxc（a0）的对称轴为x1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0）、C（0，2）（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标ACxyBO（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E，连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由3解：（1）由题意得2分解得a，b，c2这条抛物线的函数表达式为yx 2x24分（2）如图，连结AC、BC由于BC的长度一定，要使PBC的周长最小，必须使PBPC最小点B关于对称轴的对称点是点A，AC与对称轴x1的交点即为所求的点P设直线AC的表达式为ykxb，则ACyBOPDEx6分解得k，b2直线AC的表达式为yx27分把x1代入上式，得y(1)2点P的坐标为（1，）8分（3）S存在最大值，理由如下：DEPC，即DEAC，OEDOAC，即，OE3m，AEm方法一：连结OPSSPOESPODSOED(3m)(2m)1(3m)(2m)m 2m10分0，S存在最大值11分Sm 2m(m1)2当m1时，S最大12分方法二：SSOAC SOED SPAE SPCD32(3m)(2m)mm1m 2m10分以下同方法一4（安徽省芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是O的直径，OAOB，M是劣弧上一点，过M点作O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点（1）求证：PMPN；BACDPNOM（2）若BD4，PAAO，过B点作BCMP交O于C点，求BC的长BACDPNOME4解：（1）证明：连接OM 1分MP是O的切线，OMMPOMDDMP90OAOB，ONDODM90又MNPOND，ODMOMDDMPMNP，PMPN 4分（2）解：设BC交OM于点E，BD4，OAOBBD2PAAO3，PO5 5分BCMP，OMMP，OMBC，BEBC7分BOMMOP90，在RtOMP中，MPOMOP90BOMMPO，又BEOOMP90OMPBEO，10分得：，BE，BC12分5（安徽省芜湖市）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（，1）、C（，0）、O（0，0）将此矩形沿着过E（，1）、F（，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B、C（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B 三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由xyOBCEFA5解：（1）由于折痕所在直线EF过E（，1）、F（，0）tanEFO，直线EF的倾斜角为60直线EF的解析式为：ytan60x()化简得：yx43分（2）设矩形沿直线EF向右下方翻折后，B、C的对应点为B（x1，y1），C（x2，y2）过B 作BA AE交AE所在直线于A 点BEBE，BEFBEF60BEA60，AE，BA3A与A 重合，B 在y轴上，x10，y12，即B（0，2）【此时需说明B（x1，y1）在y轴上】6分设二次函数的解析式为：yax 2bxc抛物线经过B（，1）、E（，1）、B（0，2） 解得该二次函数解析式为：yx 2x29分（3）能，可以在直线EF上找到P点，连接BC交EF于P点，再连接BP由于BPBP，此时点P与C、B 在一条直线上，故BPPCBPPC的和最小由于为BC定长所以满足PBC周长最小10分设直线BC的解析式为：ykxbxyOBCEFAABCP则 解得直线BC的解析式为：yx212分又点P为直线BC与直线EF的交点 解得点P的坐标为（，）14分6（安徽省合肥一中自主招生）已知：甲、乙两车分别从相距300（km）的M、N两地同时出发相向而行，其中甲到达N地后立即返回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象（1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了h，求乙车的速度；（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间BOykmAxh3甲300图1COykmxh乙300图26解：（1）设线段AB所对应的函数关系式为ykxb把（3，300），（，0）代入得 解得线段AB所对应的函数关系式为y甲80x540 5分自变量x的取值范围是3x（或3x，下同）7分（2）x在3x中，把x代入y甲80x540中得y甲180乙车的速度为40（km/h）12分（3）由题意知有两次相遇方法一：当0x3时，100x40x300，解得：x16分当3x时，(54080x)40x300，解得：x6 20分综上所述，当它们行驶了小时或6小时时，两车相遇方法二：设经过x1小时两车首次相遇则40x1100x1300，解得：x116分设经过x2小时两车第二次相遇则80(x23)40x2，解得：x26 20分7（安徽省合肥一中自主招生）如图1，在ABC中，ABBC，且BCAC，在ABC上画一条直线，若这条直线既平分ABC的面积，又平分ABC的周长，我们称这条线为ABC的“等分积周线”（1）请你在图1中用尺规作图作出一条ABC的“等分积周线”；（2）在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；ABC图2（3）如图2，若ABBC5cm，AC6cm，请你找出ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法ABC图17解：（1）图略，作线段AC的中垂线BD即可2分（2）不能ABC图1DE如图1，若直线CD平分ABC的面积那么SADC SDBCADCEBDCEADBD 5分ACBC，ADACBDBC过点C不能画出一条“等分积周线”7分（3）若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求线段8分ABC图2EFGH若直线不过顶点，可分以下三种情况：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，如图2所示过点E作EHAC于点H，过点B作BGAC于点G易求得BG4，AGCG3设CFx，则CE8x由CEHCBG，可得EH(8x)根据面积相等，可得x(8x)6 10分x3（舍去，即为）或x5CF5，CE3，直线EF即为所求直线 12分ABC图3MN（b）直线与AB、AC分别交于M、N，如图3所示由（a）可得AM3，AN5，直线MN即为所求直线（仿照上面给分）15分（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，如图4所示过点A作AYBC于点Y，过点P作PXBC于点X由面积法可得AY设BPx，则BQ8xABC图4PQXY由相似，可得PXx据面积相等，可得x(8x)6 17分x5（舍去）或x而当BP时，BQ5，舍去此种情况不存在 19分综上所述，符合条件的直线共有三条 20分（注：若直接按与两边相交的情况分类，也相应给分）8（安徽省合肥一中自主招生）如图，在RtABC中，C90，AC3cm，BC4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）（1）若点P以cm/s的速度运动当PQAB时，求t的值；在的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由ACBPQACB备用图ACBPQ图18解：（1）如图1，当PQAB时，有2分即，解得：t2当t2秒时，PQAB 5分解法1：如图2，当t2秒时，PQAB，此时PQ为ACB的中位线，PQ6分ACBPQ图2MHN取PQ的中点M，则以PQ为直径的圆的圆心为M，半径为PQ 8分过点M、C向AB作垂线，垂足分别为N、H则CH，MNCH10分MNPQ，直线AB与以PQ为直径的圆相交ACBPQ图3MHN12分解法2：如图3，当t2秒时，PQAB，此时PQ为ACB的中位线，取PQ的中点M，分别过点M、C向AB作垂线，垂足分别为N、H，CH交PQ于点G，连接CMMNCH，即MNGHCGACBPQ图4MN在RtCGM中，GCMC，MNMC直线AB与以PQ为直径的圆相交 12分解法3：如图4，当t2秒时，PQAB，此时PQ为ACB的中位线，过点Q向AB作垂线，垂足为N，则RtBNQRtBCA，即，NQ由平行线间的距离处处相等可知，点M到AB的距离为，小于PQ直线AB与以PQ为直径的圆相交 12分（2）解法1：如图5，取PQ的中点M，作MNAB、PGAB、QHAB，垂足分别为N、G、HACBPQ图5MNHG则由RtAPGRtABC，得PGt 14分由RtBHQRtBCA，得HQ( 4t )16分此时MN是梯形PGHQ的中位线，MN20分当PQ 24MN 2时，以PQ为直径的圆与直线AB相切即( 3t )2t 24( )226分解得：t13，t230分解法2：如图6，取PQ的中点M，作MHAB、MGAC、MNBC，垂足分别为H、G、NACBPQ图6MNHG连接AM、BM、CM由SABC SACM SBCM SABM 可得：34( 3t )5MH34解得：MH当PQ 24MN 2时，以PQ为直径的圆与直线AB相切即( 3t )2t 24( )226分解得：t13，t230分解法3：如图7，取PQ的中点M，作MHAB、MNBC，垂足分别为H、N，延长NM交AB于点G，则MNPC( 3t )，NQCQ，NB4由RtBGNRtBAC，得GN3t，GM3t( 3t )t又RtGMHRtABC，即ACBPQ图7MNHG解得：MH当PQ 24MN 2时，以PQ为直径的圆与直线AB相切即( 3t )2t 24( )226分解得：t13，t230分9（安徽省蚌埠二中自主招生）青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0 a 3）小时再前往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4a）千米/时（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？9解：（1）若二分队应在营地不休息，则a0，速度为4千米/时，行至塌方处需2.5（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要1（小时）3分所以要使二分队在最短时间内赶到A镇，则有：12.5，b（千米/时）5分故一分队的行进速度至少为千米/时3分6分（2）若b4千米/时，则一分队到塌方处并打通道路需要13.5（小时）一分队赶到A镇共需18.5（小时）8分（）若二分队在营地不休息，且在塌方处需停留，则后20千米与一分队同行，二分队和一分队可同时赶到A镇；10分（）若二分队在营地休息，则a0，二分队的行进速度为4a4千米/时若二分队在塌方处需停留，则当一分队打通道路后，二分队将先赶到A镇，不符合题意，舍去；11分若二分队在塌方处不停留，要使二分队和一分队同时赶到A镇，则有：a8.5，即a 24.5a40解得a10（舍去），a23（舍去）13分综上所述，要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地不休息14分10（安徽省蚌埠二中自主招生）如图1、2是两个相似比为1 :的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4求证：AE 2BF 2EF 2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE 2BF 2EF 2是否仍然成立？若成立，请给出