福建省泉州五校高三数学1月联考试题 理（含解析）新人教A版.doc

福建省泉州五校2015届高三数学1月联考试题 理（含解析）新人教a版【试卷综述】试卷考查的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况.整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查.【题文】第i卷（选择题 共50分）【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。【题文】1. 已知集合则为（ ）a b c d 【知识点】交集及其运算a1【答案】【解析】c 解析：=,故选c.【思路点拨】由a与b，求出两集合的交集即可【题文】2如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）a2b1c2d1或 2 【知识点】复数的基本概念l4【答案】【解析】a 解析： 即 ，故选a【思路点拨】纯虚数的表现形式是a+bi中a=0且b0，根据这个条件，列出关于a的方程组，解出结果，做完以后一定要把结果代入原复数检验是否正确【题文】3. 在中，若,则的面积( )a 、 b、 c、 d、【知识点】三角形的解法和面积公式c8【答案】【解析】b 解析：由正弦定理可得: ,因为,即,所以,则的面积为,故选b.【思路点拨】先利用正弦定理求出b,再结合三角形内角和得到a,最后利用三角形面积公式即可.【题文】4下列命题中，真命题是（ ）a bc d【知识点】命题真假的判断.a2【答案】【解析】d 解析：对于a,不存在使得,故a错误;对于b,当时,故b错误;对于c,当时, 不成立;故c错误;对于d,不等式恒成立,d正确;故选d.【思路点拨】对每个选项依次做出判断即可.【题文】5. 函数的大致图像是（ ）【知识点】函数的奇偶性;对数函数的性质.b4【答案】【解析】b 解析：因为函数,易知函数为偶函数,且在递增的幅度较缓,同时满足时,由此判断正确选项为b,故选b.【思路点拨】根据函数的奇偶性以及函数值,结合函数值的变化情况可得结果.【题文】6在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）1 b. c. d. 【知识点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异b6 b7【答案】【解析】b 解析：由该表提供的信息知，该模拟函数在应为增函数，故排除d,将、4代入选项a、b、c易得b最接近，故答案应选b.【思路点拨】由表中的数据分析得出，自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的图象与性质，利用排除法即可得出正确的答案【题文】7若、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）a b c d【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系g4 g5【答案】【解析】d 解析：对于a，或 异面，所以错误；对于b， 与 可能相交可能平行，所以错误；对于c， 与 还可能异面或相交，所以错误.故答案应选d【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【题文】8. 如图过拋物线y22px(p0)的焦点f的直线依次交拋物线及准线于点a，b，c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则拋物线的方程为()ab c d【知识点】抛物线的标准方程h7【答案】【解析】b 解析：如图分别过点a，b作准线的垂线，分别交准线于点e，d，设|bf|=a，则由已知得：|bc|=2a，由定义得：|bd|=a，故bcd=30，在直角三角形ace中，|af|=3，|ac|=3+3a，2|ae|=|ac|3+3a=6，从而得a=1，bdfg，,求得p=，因此抛物线方程为y2=3x【思路点拨】分别过点a，b作准线的垂线，分别交准线于点e，d，设|bf|=a，根据抛物线定义可知|bd|=a，进而推断出bcd的值，在直角三角形中求得a，进而根据bdfg，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得【题文】9. 设为实系数三次多项式函数已知五个方程式的相异实根个数如下表所述方程式相异实根的个数13311关于的极小值试问下列哪一个选项是正确的（ ）a. b. c. d.【知识点】归纳推理m1【答案】【解析】b 解析：方程式的相异实根数等于函数与水平线两图形的交点数依题意可得两图形的略图有以下两种情形(1)当的最高次项系数为正时 (2) 当的最高次项系数为负时 因极小值点位于水平线与之间所以其坐标（即极小值）的范围为 故选(b)【思路点拨】利用数形结合的思想，直接观察得到答案【题文】10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星如图所示的正六角星是以原点为中心其中分别为原点到两个顶点的向量若将原点到正六角星12个顶点的向量都写成为的形式则的最大值为（ ） a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 【知识点】平面向量的基本定理及其意义f2【答案】【解析】d 解析：因为想求的最大值所以考虑图中的6个顶点之向量即可讨论如下(1)因为所以(2)因为所以(3)因为所以(4)因为所以(5)因为所以(6)因为所以因此的最大值为故选d【思路点拨】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论【题文】第卷（非选择题共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。【题文】11.某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是 . 【知识点】由三视图求面积、体积g2【答案】【解析】4 解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为，【思路点拨】根据三视图画出几何体的直观图，代入数据求解即可【题文】12.已知两个单位向量，的夹角为30，.若，则正实数=_【知识点】数量积表示两个向量的夹角f3【答案】【解析】1 解析：因为两个单位向量，的夹角为30，所以, ,又因为,即,解得,而为正实数,所以,故答案为1.【思路点拨】先求出两个向量的模以及数量积,借助于已知条件即可解得正实数.【题文】13. 若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是_【知识点】简单线性规划e5【答案】【解析】24 解析：约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x4，y4时，azmax54416；当x8，y0时，bzmin5088，ab24.【思路点拨】先根据条件画出可行域，设z=5yx，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点b（8，0）时的最小值，过点a（4，4）时，5yx最大，从而得到ab的值【题文】14、函数的图象恒过定点，若点在直线mx+ny+2=0上，其中，则的最小值为 【知识点】基本不等式；平均值不等式e6【答案】【解析】4 解析：x=2时，y=loga11=1，函数的图象恒过定点（2，1）,即a（2，1），点a在直线mx+ny+2=0上，2mn+2=0，即2m+n=2，m0，n0，【思路点拨】根据对数函数的性质先求出a的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可【题文】15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：a（1，3）；b（1，3；c（3，+）；d3，+）”其正确选项是b。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是 【知识点】双曲线的应用；进行简单的合情推理h6 m1【答案】【解析】 解析：，则双曲线离心率的取值范围为：a（1，3）； b（1，3； c（3，+）； d3，+）”其正确选项是b，区间前端点为1，后端点为，若将其中的条件“”更换为“，且”，经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是开区间，前端点为1，后端点为，双曲线离心率的取值范围是；故答案为【思路点拨】开区间前端点是1，关键看后端点的值与|pf2|前边的系数的关系，由，联想系数为k时，后端点是，从而得出答案【题文】三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）【题文】16.（本小题满分13分）已知向量， ，设函数（1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的三个内角分别为若，边，求边【知识点】向量的数量积公式；三角函数的性质；正弦定理.c3 c8 f3【答案】【解析】（1）;（2） 解析：（1） 4分 r，由 得 6分函数的单调增区间为 7分 （2），即，角为锐角，得， 9分又， ，由正弦定理得 13分【思路点拨】（1）先利用向量的数量积公式把函数化简，在结合三角函数的单调性求出单调增区间；（2）先求出角a,再利用正弦定理可求得bc.【题文】17.（本小题满分13分）已知等差数列的各项均为正数，其前项和为，为等比数列, ，且（1）求与；（2）证明.【知识点】数列的求和d4【答案】【解析】（1）；（2）见解析. 解析：（1）设的公差为，且的公比为7分（2） ，9分 13分【思路点拨】（1）直接由已知求得等差数列的公差，代入等差数列的通项公式求解，再由求得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求；（2）求出等差数列的前n项和，然后结合裂项相消法可证。【题文】18（本小题满分13分）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。 【知识点】线面垂直的判定定理；空间向量求二面角；面面垂直的性质定理.g4 g5 g11【答案】【解析】（1）见解析；（2）；（3） 解析：（1）因为aa1c1c为正方形，所以aa1 ac.因为平面abc平面aa1c1c,且aa1垂直于这两个平面的交线ac,所以aa1平面abc. 3分（2）由（i）知aa1 ac，aa1 ab. 由题知ab=3，bc=5，ac=4，所以abac. 如图，以a为原点建立空间直角坐标系a,则b(0，3，0),a1(0，0，4),b1(0，3，4),c1(4，0，4)，设平面a1bc1的法向量为，则,即，令，则，所以. 6分同理可得，平面bb1c1的法向量为,所以. 由题知二面角a1bc1b1为锐角，所以二面角a1bc1b1的余弦值为. 8分(3)设d是直线bc1上一点，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得. 11分因为，所以在线段bc1上存在点d，使得ada1b.此时，. 13分【思路点拨】（1）先由aa1c1c为正方形，证出aa1 ac.再结合面面垂直的性质定理即可；.（2）先结合已知得到abac.然后以a为原点建立空间直角坐标系a,求出平面a1bc1的法向量为，以及平面bb1c1的法向量为,最后利用公式即可； (3)由得到向量坐标间的关系，再利用解得.【题文】19.（本小题满分13分）设椭圆e: （a,b0），短轴长为4，离心率为，o为坐标原点，（1）求椭圆e的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程h5 h8【答案】【解析】（1）（2）存在，理由见解析. 解析：（1）因为椭圆e: （a,b0）,b=2, e=所以解得所以椭圆e的方程为 5分（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 7分则=,即a. ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为, 11分此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e恒有两个交点a,b,且. 13分【思路点拨】（1）根据短轴长为4，离心率为，求出几何量，从而可求椭圆e的方程；（2）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及，可确定m的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜率不存在时，结论也成立【题文】20.（本小题满分14分）已知函数()讨论函数在定义域内的极值点的个数；()若函数在处取得极值，且对,恒成立，求实数的取值范围；()当且时，试比较的大小【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值.b11 b12【答案】【解析】() 当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 () () 解析：()，当时，在上恒成立，函数 在单调递减，在上没有极值点；当时，得，得，在上递减，在上递增，即在处有极小值当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点 4分()函数在处取得极值，令，可得在上递减，在上递增，即 9分()解：令，由()可知在上单调递减，则在上单调递减当时，即当时，当时， 14分【思路点拨】（）函数f（x）的定义域为（0，+）,然后求出其导函数,通过对a进行分类讨论判断单调区间，得出极值点情况（）a=1，然后利用利用导数求最小值（）由（）在（0，e2）上为减函数，g（x）g（y），整理得，考虑将1lnx除到右边，为此分1lnx正负分类求解【题文】21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换二阶矩阵m对应的变换t将点(2，2)与(4,2)分别变换成点(2，2)与(0，4)（1）求矩阵m；（2）设直线l在变换t作用下得到了直线m：xy6，求l的方程【知识点】几种特殊的矩阵变换n2【答案】【解析】（1）m.（2）xy30 解析：(1)设m，所以，且，解得，所以m. 4分(2)因为且m：xy6，所以(x2y)(3x4y)6，即xy30，直线l的方程是xy30 7分【思路点拨】（1）先设出所求矩阵，利