河北省唐山市高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1函数y=+的定义域为（）a0，3b1，3c1，+）d3，+）2某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）a13b14c15d163“k9“是“方程+=1表示双曲线”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4设变量x、y满足，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）a7b8c22d235设sn是等比数列an的前n项和，若=3，则=（）a2bcdl或26己知f（x）=的值域为r，那么a的取值范围是（）a（一，一1b（一l，）c1，）d（0，）7执行如图所示的算法，则输出的结果是（）a1bcd28如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）abc1d9己知函数f（x）=sinx+cosx（0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则=（）a3b2c6d5104名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）a24种b36种c48种d60种11椭圆c：+=1（ab0）的左焦点为f，若f关于直线x+y=0的对称点a是椭圆c上的点，则椭圆c的离心率为（）abcd一l12设函数f（x）=ax3x+1（xr），若对于任意x1，1都有f（x）0，则实数a的取值范围为（）a（，2b0+）c0，2d1，2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13若复数z满足z=i（2+z）（i为虚数单位），则z=14过点a（3，1）的直线l与圆c：x2+y24y1=0相切于点b，则=15在三棱锥pabc中，pb=6，ac=3，g为pac的重心，过点g作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线pb和ac，则截面的周长为16数列an的前n项和为sn，2snnan=n（nn*），若s20=360，则a2=三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且csinb=bcos c=3（i）求b；（）若abc的面积为，求c18如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，pa底面abcd，pcd=90，pa=ab=ac（i）求证：accd；（）点e在棱pc上，满足dae=60，求二面角baed的余弦值19某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率（i）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；（）设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列及数学期望20已知抛物线y2=2px（p0），过点c（一2，0）的直线l交抛物线于a，b两点，坐标原点为o，=12（i）求抛物线的方程；（）当以ab为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程21己知函数f（x）=aex+x2，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1）（i）求a，b的值和直线l的方程（）证明：f（x）g（x）一、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时【选修4-1：几何证明选讲】22如图，四边形么bdc内接于圆，bd=cd，过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点（i）求证：eac=2dce；（）若bdab，bc=be，ae=2，求ab的长一、【选修4-4；坐标系与参数方程】23极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线c的极坐标方程为=2（cos+sin），斜率为的直线l交y轴于点e（0，1）（i）求c的直角坐标方程，l的参数方程；（）直线l与曲线c交于a、b两点，求|ea|+|eb|一、【选修4-5：不等式选讲】24设函数f（x）=|x+1|+|x|（xr）的最小值为a（i）求a；（）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值2014-2015学年河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1函数y=+的定义域为（）a0，3b1，3c1，+）d3，+）考点： 函数的定义域及其求法专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数y的解析式中，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式组，求出解集即可解答： 解：函数y=+，解得，即1x3；函数y的定义域为1，3故选：b点评： 本题考查了求函数定义域的问题，也考查了不等式的解法问题，是基础题目2某品牌空调在元旦期间举行促销活动，所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况（单位：台），则销售量的中位数是（）a13b14c15d16考点： 茎叶图专题： 概率与统计分析： 把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可解答： 解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按照从小到大的顺序排列为5，8，10，14，16，16，20，23；这组数据的中位数是=15故选：c点评： 本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数的应用问题，是基础题目3“k9“是“方程+=1表示双曲线”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的性质进行判断即可解答： 解：若方程+=1表示双曲线，则（k9）（25k）0，（k9）（k25）0即解得k25或k9，则“k9“是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：a点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据双曲线的定义是解决本题的关键4设变量x、y满足，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）a7b8c22d23考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+3y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点c时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即c（2，1），此时zmin=22+31=7，故选：a点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键5设sn是等比数列an的前n项和，若=3，则=（）a2bcdl或2考点： 等比数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等比数列的前n项和公式求解解答： 解：sn是等比数列an的前n项和，=3，=1+q2=3，q2=2，=故选：b点评： 本题考查等比数列的前6项和与前4项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的前n项和公式的合理运用6己知f（x）=的值域为r，那么a的取值范围是（）a（一，一1b（一l，）c1，）d（0，）考点： 分段函数的应用；函数的值域专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： 由于x1，lnx0，由于f（x）的值域为r，则当x1时，（12a）x+3a的值域包含一切负数，对a讨论，分a=时，当a时，当a时，结合二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围解答： 解：由于x1，lnx0，由于f（x）的值域为r，则当x1时，（12a）x+3a的值域包含一切负数，则当a=时，（12a）x+3a=不成立；当a时，（12a）x+3a1+a，不成立；当a时，（12a）x+3a1+a，由1+a0，可得a1则有1a故选c点评： 本题考查分段函数的值域，考查一次函数和对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题7执行如图所示的算法，则输出的结果是（）a1bcd2考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，m，s的值，当s=1时，满足条件sq，退出循环，输出s的值为1解答： 解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2n=3，m=，s=不满足条件sq，n=4，m=，s=+不满足条件sq，n=5，m=，s=+=1满足条件sq，退出循环，输出s的值为1故选：a点评： 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题8如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）abc1d考点： 由三视图求面积、体积专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，根据三视图判断相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算解答： 解：由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，几何体的体积v=112112=故选：a点评： 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键9己知函数f（x）=sinx+cosx（0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则=（）a3b2c6d5考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析： 首先通过三角恒等变换把函数变形成正弦型函数，进一步利用整体思想利用区间与区间的子集关系求出的范围，进一步利用代入法进行验证求出结果解答： 解：f（x）=sinx+cosx=2sin（）所以：当k=0时，由于：f（x）在区间（，）单调递减，所以：解不等式组得到：当=2时，f（）+f（）=0，故选：b点评： 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，带入验证法的应用，属于基础题型104名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）a24种b36种c48种d60种考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案解答： 解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选d点评： 本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题11椭圆c：+=1（ab0）的左焦点为f，若f关于直线x+y=0的对称点a是椭圆c上的点，则椭圆c的离心率为（）abcd一l考点： 椭圆的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出f（c，0）关于直线x+y=0的对称点a的坐标，代入椭圆方程可得离心率解答： 解：设f（c，0）关于直线x+y=0的对称点a（m，n），则，m=，n=c，代入椭圆方程可得，化简可得e48e2+4=0，e=1，故选：d点评： 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力12设函数f（x）=ax3x+1（xr），若对于任意x1，1都有f（x）0，则实数a的取值范围为（）a（，2b0+）c0，2d1，2考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用；不等式的解法及应用分析： 对x讨论，当x=0，当x（0，1时，f（x）=ax33x+10可化为：aa，设g（x）=，由导数判断单调性，即可求出a0；x1，0）时，求出a2，由此可得a的取值范围解答： 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）0都成立；当x0即x（0，1时，f（x）=ax3x+10可化为：a，设g（x）=，则g（x）=，所以g（x）在区间（0，1上单调递增，因此g（x）max=g（1）=0，从而a0；当x0即x1，0）时，f（x）=ax3x+10可化为：a，设g（x）=，则g（x）=，g（x）在区间1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（1）=2，从而a2，则0a2即有实数a的取值范围为0，2故选：c点评： 本题考查不等式恒成立问题的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13若复数z满足z=i（2+z）（i为虚数单位），则z=1+i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 根据复数的基本运算进行求解即可解答： 解：由z=i（2+z）=zi+2i得（1i）z=2i，则z=1+i，故答案为：1+i点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础14过点a（3，1）的直线l与圆c：x2+y24y1=0相切于点b，则=5考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 过点a（3，1）的直线l与圆c：x2+y24y1=0相切于点b，可得=0因此=，即可得出解答： 解：由圆c：x2+y24y1=0配方为x2+（y2）2=5c（0，2），半径r=过点a（3，1）的直线l与圆c：x2+y24y1=0相切于点b，=0=+=5故答案为：5点评： 本题考查了直线与圆相切性质、向量的三角形法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15在三棱锥pabc中，pb=6，ac=3，g为pac的重心，过点g作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线pb和ac，则截面的周长为8考点： 棱锥的结构特征专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 如图所示，过g作efac，分别交pa，pc于点e，f过点f作fmpb交bc于点m，过点e作enpb交ab于点n由作图可知：四点efmn共面可得=，ef=mn=2同理可得：en=fm=2解答： 解：如图所示，过点g作efac，分别交pa，pc于点e，f过点f作fmpb交bc于点m，过点e作enpb交ab于点n由作图可知：enfm，四点efmn共面可得mnacef，enpbfm=，可得ef=mn=2同理可得：en=fm=2截面的周长为8故答案为：8点评： 本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力用途计算能力，属于中档题16数列an的前n项和为sn，2snnan=n（nn*），若s20=360，则a2=1考点： 数列递推式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知得sn=，从而，解得a1=1，进而，由此得到an是等差数列，从而由已知条件利用等差数列的性质能求出a2解答： 解：2snnan=n（nn*），sn=，解得a1=1，an是等差数列，s20=360，s20=360，解得a20+1=36，即a20=37，19d=a20a1=38，解得d=2，a2=a1+d=12=1故答案为：1点评： 本题考查数列的第二项的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且csinb=bcos c=3（i）求b；（）若abc的面积为，求c考点： 正弦定理；余弦定理专题： 计算题；解三角形分析： （）由正弦定理得sinc=cosc，可得c=45，由bcosc=3，即可求得b的值（）由s=acsinb=，csinb=3，可求得a，据余弦定理可得c2=a2+b22abcosc=25，即可求得c的值解答： 解：（）由正弦定理得sincsinb=sinbcosc，又sinb0，所以sinc=cosc，c=45因为bcosc=3，所以b=3（6分）（）因为s=acsinb=，csinb=3，所以a=7据余弦定理可得c2=a2+b22abcosc=25，所以c=5（12分）点评： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理 面积公式的应用，属于基础题18如图，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，pa底面abcd，pcd=90，pa=ab=ac（i）求证：accd；（）点e在棱pc上，满足dae=60，求二面角baed的余弦值考点： 用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （）通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论；（）以点a为原点，以为x轴正方向、以|为单位长度，建立空间直角坐标系利用dae=60即cos，=可得=（0，），通过cos，=即得二面角baed的余弦值为解答： （）证明：因为pa底面abcd，所以pacd，因为pcd=90，所以pccd，所以cd平面pac，所以cdac；（）解：底面abcd是平行四边形，cdac，abac又pa底面abcd，ab，ac，ap两两垂直如图所示，以点a为原点，以为x轴正方向、以|为单位长度，建立空间直角坐标系则b（1，0，0），c（0，1，0），p（0，0，1），d（1，1，0）设=（0，1，1），则=+=（0，1），又dae=60，则cos，=，即=，解得=则=（0，），=（1，），所以cos，=因为=0，所以又，故二面角baed的余弦值为点评： 本题考查空间中线线垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题19某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵现象，交警部门统计11月份30天内的拥堵天数东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天，15天，9天，15天假设每个入口发生拥堵现象互相独立，视频率为概率（i）求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率；（）设翻乏示一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数，求的分布列及数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件a，b，c，d，设一天恰有三个入口发生拥堵为事件m，则m=bcd+acd+abd+abc由此能求出该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率（）的可能取值为0，1，2，3，4分别求出相应的概率，由此能求出的分布列及数学期望解答： 解：（）设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件a，b，c，d则p（a）=，p（b）=，p（c）=，p（d）=设一天恰有三个入口发生拥堵为事件m，则m=bcd+acd+abd+abc则p（m）=+=（5分）（）的可能取值为0，1，2，3，4p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，p（=4）=的分布列为： 0 1 2 3 4p e（）=0+3+4=（12分）点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用，是中档题20已知抛物线y2=2px（p0），过点c（一2，0）的直线l交抛物线于a，b两点，坐标原点为o，=12（i）求抛物线的方程；（）当以ab为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设l：x=my2，代入y2=2px，可得根与系数的关系，再利用=12，可得x1x2+y1y2=12，代入即可得出（）由（）（）化为y24my+8=0设ab的中点为m，可得|ab|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）4=4m24，又|ab|=|y1y2|=，联立解出m即可得出解答： 解：（）设l：x=my2，代入y2=2px，可得y22pmy+4p=0（）设a（x1，y1），b（x2，y2），则y1+y2=2pm，y1y2=4p，则x1x2=4=12，x1x2+y1y2=12，即4+4p=12，得p=2，抛物线的方程为y2=4x（）由（）（）化为y24my+8=0y1+y2=4m，y1y2=8设ab的中点为m，则|ab|=2xm=x1+x2=m（y1+y2）4=4m24，又|ab|=|y1y2|=，由得（1+m2）（16m232）=（4m24）2，解得m2=3，m=直线l的方程为x+y+2=0，或xy+2=0点评： 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、弦长公式、直线与圆相切的性质、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21己知函数f（x）=aex+x2，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0）且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1）（i）求a，b的值和直线l的方程（）证明：f（x）g（x）考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析： （）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程；（）设f（x）=f（x）（x+1）=ex+x2x1，运用导数，求得最小值大于0，再设g（x）=x+1g（x），由正弦函数的值域可得g（x）0，即可得到f（x）g（x），即可得证解答： 解：（）f（x）=aex+2x，g（x）=cos+b，即有f（0）=a，f（0）=a，g（1）=1+b，g（1）=b，曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线为y=ax+a，曲线y=g（x）在点（1，g（1）处的切线为y=b（x1）+1+b，即y=bx+1依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1（）证明：由（）知f（x）=ex+x2，g（x）=sin+x设f（x）=f（x）（x+1）=ex+x2x1，则f（x）=ex+2x1，当x（，0）时，f（x）f（0）=0；当x（0，+）时，f（x）f（0）=0f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，故f（x）f（0）=0设g（x）=x+1g（x）=1sin，则g（x）0，当且仅当x=4k+1（kz）时等号成立由上可知，f（x）x+1g（x），且两个等号不同时成立，因此f（x）g（x）点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用，三角函数的图象和性质，属于中档题和易错题一、请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时【选修4-1：几何证明选讲】22如图，四边形么bdc内接于圆，bd=cd，过c点的圆的切线与ab的延长线交于e点（i）求证：eac=2dce；（）若bdab，bc=be，ae=2，求ab的长考点： 与圆有关的比例线段；弦切角专题： 推理和证明分析： （）由等腰三角形性质得bcd=cbd，由弦切角定理得ecd=cbd，从而bce=2ecd，由此能证明eac=2ecd（）由已知得accd，ac=ab，由bc=be，得ac=ec由切割线定理得ec2=aebe，由此能求出ab的长解答： （）证明：因为bd=cd，所以bcd=cbd因为ce是圆的切线，所以ecd=cbd所以ecd=bcd，所以bce=2ecd因为eac=bce，所以e