（新课程）高中数学 讲末质量评估4 新人教A版选修45.doc

讲末质量评估(四)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a2 b3 c5 d6解析代入验证易知选c.答案c2某个命题与正整数有关，如果当nk时，该命题不成立，那么可推得nk1时命题也不成立，现在当n5时，该命题成立，那么可推得()a当n6时该命题不成立 b当n6时该命题成立c当n4时该命题不成立 d当n4时该命题成立解析依题意当n4时该命题不成立，则当n5时，该命题也不成立而当n5时，该命题成立却无法判断n6时该命题成立不成立，故选d.答案d3设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f(n1)为()af(n)n1 bf(n)ncf(n)n1 df(n)n2解析凸n1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f(n)n1条对角线，故选c.答案c4等式122232n2中的n满足()an为任何自然数时都成立b仅当n1,2,3时成立cn4时成立，n5时不成立d仅当n4时不成立解析代入验证易知选b.答案b5欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n，总有2nn3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()a1 b9c10 dn10，且nn解析由2101 024103知，故应选c.答案c6用数学归纳法证明34n152n1(nn)能被8整除时，若nk时命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()a5634k125(34k152k1)b3434k15252kc34k152k1d25(34k152k1)解析由34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)，故选a.答案a7用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n12(2n1)(nn)，从“k到k1”，左端需乘的代数式为()a2k1 b2(2k1) c. d4n3解析当nk时，左端的代数式是(k1)(k2)(kk)，当nk1时，左端的代数式是(k2)(k3)(2k2)，故应乘的代数式为2(2k1)故选b.答案b8数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()a3n2 bn2 c3n1 d4n3解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2，故应选b.答案b9用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()ak2b(k1)2c.d(k21)(k22)(k1)2解析当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2，故应选d.答案d10若k棱柱有f(k)个对角面，则k1棱柱的对角面的个数为()a2f(k) bf(k)k1cf(k)k df(k)2解析如图所示是k1棱柱的一个横截面，显然从k棱柱到k1棱柱，增加了从ak1发出的对角线k2条，即相应对角面k2个，以及a1ak棱变为对角线(变为相应的对角面)故f(k1)f(k)(k2)1f(k)k1. 答案b二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将正确答案填在题中横线上)11用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_答案512观察下式：112；23432；3456752；4567891072；，则可得出第n个式子为_解析各式的左边是第n个自然数到第3n2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故可得出第n个式子是：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)213设f(n)，用数学归纳法证明f(n)3.在“假设nk时成立”后，f(k1)与f(k)的关系是f(k1)f(k)_.解析当nk时，f(k)；当nk1时，f(k1)，所以应乘.答案14如图所示，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2个图形中共有_个顶点解析第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三个顶点共6个；第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个顶点，因此共有12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3个，故增加15个顶点，因此共有20个顶点；第n2个图形是由正n边形扩展得到，n边扩展得n个顶点，每个顶点变为n2个，故增加(n2)n个顶点，因此共有nn(n2)n2n个顶点答案n2n三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)用数学归纳法证明：(nn)证明(1)当n1时，左边，右边左边右边，所以等式成立(2)假设nk(kn)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对于一切nn等式都成立16(10分)求证：1 (nn*)证明(1)当n1时，左边1，不等式成立(2)假设nk (k1)时，1成立，当nk1时，()11.由0，11，对nk1时，不等式成立由(1)，(2)知，对一切自然数(nn*)，不等式都成立17(10分)数列an满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解(1)当n1时，a1s12a1，a11.当n2时，a1a2s222a2，a2.当n3时，a1a2a3s323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4s424a4，a4.由此猜想an(nn*)(2)当n1时，a11，结论成立假设nk(k1且kn*)时，结论成立，即ak，那么nk1(k1且kn*)时，ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1.2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立，所以an(nn*)18(10分)已知正项数列an满足sn.(1)求a1、a2、a3并推测an；(2)用数学归纳法证明你的结论(1)解由sn知当n2时，sn1an整理得：an由s1，即a1，又a10，a11.a22，即a2a212.a21，a32，即a2a323a3，可推测an(2)证明由(1)知a11，满足a11，故当n1时，an成立假设nk时，ak当nk1时，ak12即a2ak1kk1，ak1即当nk1时，an.由知数列an的通项公式为an，nn*.19(10分)设x10，x11，且xn1，nn*.用数学归纳法证明：如果0x11，则xnxn1.证明用数学归纳法证明：如