第七章73知能演练轻松闯关.doc

1.(2011高考浙江卷)若直线l不平行于平面, 且l , 则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交解析: 选B.由题意知直线l与平面相交, 不妨设直线lM.对A, 过M点的内的直线与l不异面, A错误；对B, 假设存在与l平行的直线m, 则由ml得l, 这与lM矛盾, 故B正确；C显然错误；对D, 内也存在与l异面的直线, 故D错误.综上知选B.2.直三棱柱ABCA1B1C1中, 若BAC90, ABACAA1, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30 B.45C.60 D.90解析: 选C.如图, 可补成一个正方体, AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形, A1BD160.BA1与AC1成60的角.3.如图, 正方体ABCDA1B1C1D1中, M、N分别为棱C1D1、C1C的中点, 有以下四个结论: 直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_(注: 把你认为正确的结论的序号都填上).解析: 直线AM与CC1是异面直线, 直线AM与BN也是异面直线, 故错误.答案: 4.(2011高考大纲全国卷)已知正方体ABCDA1B1C1D1中, E为C1D1的中点, 则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_.解析: 如图, 连接DE.ADBC, AE与BC所成的角, 即为AE与AD所成的角, 即EAD.设正方体棱长为a, DE a, AE a, cosEAD.答案: 一、选择题1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中, 既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A.3 B.4C.5 D.6解析: 选C.正确解答本题, 必需清楚确定平面的方法, 正确地理解平行六面体的概念, 结合图形, 可找到满足条件的棱是BC、CD、AA1、BB1、C1D1共5条, 故应选择C.2.给出下列命题: 若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线, 直线c是与的交线, 那么c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b异面, 直线b与c异面, 则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a、b都平行.其中正确的命题为()A. B.C. D.解析: 选C.错, c可与a、b都相交；错, 因为a、c可能相交也可能平行；正确, 例如过异面直线a、b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件.故选C.3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥(如图), 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面()A.不存在 B.只有1个C.恰有4个 D.有无数多个解析: 选D.设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m、n, 直线m、n确定了一个平面.作与平行的平面, 与四棱锥的各个侧面相截, 则截得的四边形必为平行四边形.而这样的平面有无数多个.故选D.4.在空间内, 可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线B.三条直线, 其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线, 它们两两相交, 但不交于同一点解析: 选D.A中的两两相交的三条直线, 它们可能相交于同一点, 也可能不交于同一点, 若交于同一点, 则三条直线不一定在同一个平面内, 应排除A.B中的另外两条直线可能共面, 也可能不共面, 当另外两条直线不共面时, 三条直线是不能确定一个平面的, 应排除B.对于C来说, 三个点的位置可能不在同一直线上, 也可能在同一直线上, 只有前者才能确定一个平面, 后者是不能的, 应排除C.只有条件D中的三条直线, 它们两两相交且不交于同一点, 可确定一个平面.应选D.5.在正方体ABCDA1B1C1D1中, P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点, 那么, 正方体的过P、Q、R的截面图形是()A.三角形 B.四边形C.五边形 D.六边形解析: 选D.如图所示, 连接QP并延长与CB的延长线交于M, 连接MR交BB1于E, 连接PE, PE、RE为截面的部分外形.作RGPQ交C1D1于G.同理连接PQ并延长交CD延长线于N, 连接NG交DD1于F, 连接QF.截面为六边形PQFGRE.二、填空题6.如图所示, 表示一个正方体表面的一种展开图, 图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对.解析: 将展开图恢复成正方体后, 得到AB和CD、EF和GH、AB和GH三对异面直线.答案: 37.如图所示, 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等, M是侧棱CC1的中点, 则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_.解析: 取BC的中点D, 连接AD, B1D(图略).因为ABCA1B1C1是正三棱柱, 所以易得B1D是B1A在平面BCC1B1内的射影, 又易得B1DBM, 所以根据三垂线定理得B1ABM.所以异面直线B1A和BM所成的角是90.答案: 908.(2012合肥质检)设平面, , 直线a, b, 集合A与垂直的平面, B与垂直的平面, M与a垂直的直线, N与b垂直的直线, 给出下列命题: 若AB, 则；若, 则AB；若a, b为异面直线, 则MN；若a, b相交, 则MN.其中不正确命题的序号是_.解析: AB说明存在平面同时与、都垂直, 如底面是直角三角形的直三棱柱, 故不成立；若, 则, 故成立；因为存在无数条同时垂直于两条异面直线的直线, 故不成立；若a, b相交显然存在无数条只与a垂直但不垂直于b的直线, 故不成立, 故应填.答案: 三、解答题9.(2012焦作调研)如图所示, 直线a、b是异面直线, A、B两点在直线a上, C、D两点在直线b上, 求证: BD与AC是异面直线.证明: 假设BD和AC不是异面直线, 则BD和AC共面, 设它们共面于.A、B、C、D, AB、CD , 即a、b.这与a、b是异面直线矛盾, 假设不成立.故BD和AC是异面直线.10.正方体ABCDABCD的棱长为8 cm, M, N, P分别是棱AB, AD, BB的中点.(1)画出过M, N, P三点的平面与平面ABCD及平面BBCC的交线, 并说明画法的依据；(2)设过M, N, P三点的平面与BC交于点Q, 求PQ的长.解: (1)如图, 延长MP、AB相交于点E, 连接NE, 交BC于点Q, 则NE为平面MNP与平面ABCD的交线, PQ为平面MNP与平面BBCC的交线.理由: E直线MP, 且E直线AB, E平面MNP, 且E平面ABCD, 易知, N平面MNP, 且N平面ABCD, 所以, NE为平面MNP与平面ABCD的交线, 显然, PQ为平面MNP与平面BBCC的交线.(2)由已知和(1)得MBBE4 cm, 又EBQEAN, 所以BQ cm, 又BP4 cm, 所以PQ cm.11.已知空间四边形ABCD(如图所示), E、F分别是AB、AD的中点, G、H分别是BC、CD上的点.且CGBC, CHDC.求证: (1)E、F、G、H四点共面；(2)三直线FH、EG、AC共点.证明: (1)连接EF, GH.E、F分别为AB、AD的中点, EF綊BD.又CGBC, CHDC, HG綊BD, EFHG且EFHG, E、F