例谈高考中的转化与化归思想.doc

Email:hb_ 个人简介：岳儒芳 毕业于河北师范大学 中学一级教师 教育硕士例谈高考中的转化与化归思想石家庄市第十九中学 岳儒芳转化与化归的思想，是指在解答问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略转化与化归思想的核心是把生题转化为熟题其实，解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此解每一道题无论是难题还是易题，都离不开化归诸如：化无理为有理，化分式为整式，化高次为低次，化复杂为简单，化异为同等在高考中，对化归思想的考查，总是结合演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，可以说高考每道题，都在考查化归意识与转化能力，可见该数学思想的重要性转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程转化与化归的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程转化有等价转化和非等价转化等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证应用转化化归思想解题的原则应是：化难为易、化生为熟、化繁为简等 常见的转化有：抽象与具体的转化、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数不等式及方程的转化、一般与特殊的转化、数学语言的转化一、抽象与具体之间的相互转化把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归.例1、（2004年浙江卷，理12）若和都是定义在实数集上的函数，且方程有实数解，则不可能是（）A. B C. D. 分析：和都是定义在实数集上的抽象函数.本题直接解不容易，可化抽象为具体，令代入即可求出.解：令，则，有实数解，即有实数解.这样很明显得出结论，B使没有实数解，选B.评注：这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型，对数函数型，幂函数型.二、正难则反转化问题一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一解题时，如果从正面入手思维受阻，那么，不妨从它的反面出发，逆向思维，寻找解题的思路例2、（2005全国卷，理15）在由数字所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个.分析：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.解：所有四位数有个，末位为0时有个，末位为5时有个，满足题意的数共有个.评注：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”.“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活使用，能使一些问题获得巧解.三、数与形的转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化例3、(2007年天津，理9)设均为正数，且，则（）AB.C.D. 图1分析：这里要比较三个正数的大小，而由已知条件很难求出三个数的准确值由已知条件可知分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标，因此可利用化归转化数学思想的“数与形的相互转化”来进行解题解：在同一直角坐标系下画出函数与与及的图象（如图1所示），则表示的是函数与交点的横坐标的值，同理有，表示的是函数与交点的横坐标的值，表示的是函数与交点的横坐标的值，则有故选A点评：通过发掘函数式的几何意义，将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何，然后利用函数图象或几何图形来解决，这也是近年来高考中常用的解题方法四、不等与相等的转化等与不等是数学中两个重要的关系，也是常见的两种关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口例4、（1997年全国，理14）不等式组 的解集是( )A B. C. D. 分析：若直接解这个分式不等式，运算量很大通过观察可看出，在所给的四个选项中，不等式左端的值相同，而右端的值不同根据“不等式解的边界值就是相应方程的根”，可判断正确选项必定是方程的根，然后把四个选项分别代入即可求出解：由以上推测，可知不等式解集的右边肯定不会是2，也不会是3，这样便排除A、D正确答案只能在B和C中选取下面把或代入方程 进行验根可知是方程的根故选C.评注：根据不等式的解与方程根之间存在的对应关系，可把不等式解的问题可以转化为方程根的问题即把不等问题转化为相等的问题五、整体与局部的转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始例5、（2007年福建，理22）已知函数（）若，试确定函数的单调区间；（）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（）设函数，求证：分析：（）求出的导函数，易得的单调区间；（）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围解：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数，于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增，故，符合题意当时，当变化时，的变化情况如下表：0单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又，综合，得，实数的取值范围是（），, 由此得，故 评注：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（）的关键高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间上问题来讨论六、空间与平面的转化事物的空间形式总是表现为不同维数，并且遵循由低维到高维的发展规律，通过降维转化，可以把问题由一个领域转化到另一个领域得到解决，这种问题在复数和立体几何中非常多例6、（2009年陕西，理15）如图2，球的半径为2，圆是一小圆，是圆上两图2点，两点间的球面距离为，则_分析：首先利用两点间的球面距离求出球心角，然后再求出弦长，在中，利用余弦定理即可求出解：，则，故有，所以评注：在立体几何中充满了化归与转化思想，最常用的有两类：一是通过平移或投影，把空间问题转化为平面的问题来处理；二是立体几何内部知识之间的相互转化，如线、面间的位置关系的判定七、函数、不等式及方程的转化函数、不等式及方程之间有着密切的联系在解决某些问题（如解不等式）时，可以利用这种联系，巧妙实现对问题的化归求解例7、（2006年江西，理3）若，则不等式等价于（ ）A或 B C或 D或 分析：把不等式转化为函数，分别作出它们的图象，然后利用方程求出图象交点的横坐标，并看图写出结果图3解：可令，在同一坐标系中分别作出这三个函数的图象（如图3所示）通过观察可得的取值范围是故选D评注：利用函数、不等式及方程三者之间的等价关系，先把不等式转化为函数，并画出它们的图象，然后根据不等式解集的意义，由不等式两端对应的函数的图象的高低及交点情况，确定未知数的取值范围八、一般与特殊的转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举例8、（2007年江苏卷15）在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_分析：这里顶点是椭圆上的动点，所以不易确定但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为点在特殊位置（椭圆短轴端点）来处理较易当然：注意到是两焦点，利用正弦定理，进行数形转化也能取得很好的效果解：顶点取椭圆短轴端点，即，则, ,评注：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用九、数学语言的相互转化数学语言是表达数学思想的专门语言，是进行数学思维和数学交流的工具它具有抽象性，精确性，简约性，一义性，形式化等特点数学语言分为符号语言、文字语言和图形语言，三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地