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1 第九章第九章级数级数 级数分为数值级数与函数级数 函数级数表示函数 特别是用它表示非初等 函数 函数级数又是研究函数性质的一个重要手段 因此函数级数在自然科学 工程技术和数学本身都有广泛的应用 而数值级数是函数级数的特殊情况 又是 函数级数的基础 因此我们首先讨论数值级数的基本理论 9 19 19 19 1 数值级数数值级数 一一 收敛与发散的概念收敛与发散的概念 定义定义定义定义给定一个数列 对它的各项依次用 号连接起来的表达式 n u 1 n uuuu 321 称为数项级数数项级数或无穷级数无穷级数 也常简称级数级数 其中称为数项级数 1 的通项通项 n u 数项级数 1 也常写作 或简单写作 1n n u n u 数项级数 1 的前项之和 记为n 2 n n k kn uuuuS 21 1 称它为数项级数 1 的第第项部分和项部分和 简称部分和部分和 n 定义定义若数项级数 1 的部分和数列收敛于S 即 则称数项级数 1 n SSSn n lim 收敛收敛 称 S 为数项级数 1 的和和 记作 S 1n n u n uuuu 321 若是发散数列 则称数项级数 1 发散发散 n S 例讨论几何级数几何级数 也称为等比级数等比级数 3 12 1 1n n n aqaqaqaaq 的收敛性 是公比 0 aq 解时 级数 3 的第个部分和 1 qn q q aaqaqaS n n n 1 1 1 2 因此 当时 此时级数 3 收敛 其和为1q n n Slim 当时 级数发散 1 qnaSn 当时 级数发散 1 q0 2 k SaS k 12 2 1 0 k 总之 时 级数 3 收敛 时 级数 3 发散 1p 6 0 p 7 021 0000 pmmm uuu 由定理 1 立即可得如下推论 它是级数收敛的一个必要条件 推论推论若级数 1 收敛 则 0lim n n u 例讨论调和级数调和级数 n 1 3 1 2 1 1 的敛散性 解 这里调和级数显然满足推论的结论 即 0 1 limlim n u n n n 但令时 有mp mmmm uuuu 2321 mmm2 1 2 1 1 1 mmm2 1 2 1 2 1 2 1 因此 取 对任何正整数 N 只要和就有 7 式成立 所以调和级 2 1 0 Nm mp 数是发散的 例应用级数收敛的柯西准则证明级数收敛 2 1 n 证 由于 pmmm uuu 21 222 1 2 1 1 1 pmmm 1 1 2 1 1 1 1 pmpmmmmm mpmm 111 p 4 pmmm uuu 21 p 取值无关 从而我们可得到以下定理 定理定理 3 3去掉 增加或改变级数的有限项 则不改变级数的敛散性 由此定理知道 若级数收敛 其和为 S 则级数 1n n u 8 21nn uu 也收敛 且其和 8 式称为级数的第第个余项个余项 或简称余项余项 它表示 nn SSR n un 以部分和代替 S 时所产生的误差 n S 定理定理 4 4在收敛级数的项中任意加括号 既不改变级数的收敛性 也不改变它的和 证设为收敛级数 其和为 记 n uS 1 11n uuv 21 12nn uuv 现在证明加括号后的级数 1 1kk nnk uuv n u 11 1 1 k k k nn vuu kk 也收敛 且其和也是 事实上 设为收敛级数的部分和数列 则级数的部分S n S n u k v 和数列是的一个子列 由于收敛 且 即级数收敛 且它的和 k n S n S n SSS k n k lim k v 也等于 S 注 从级数加括号后的收敛 不能推断它在未加括号前也收敛 例 11 11 11 0000 收敛 而级数 5 1111 是发散的 定理 5若级数与都收敛 其和分别是 则级数也收敛 n u n vBA与 nn vu 其和是 BA 三三同号级数同号级数 同号级数是指数值级数各项的符号都相同 对于同号级数 只须研究各项都是由正数组 成的级数 称为正项级数正项级数 如果级数的各项都是负数 则它乘以 1 后就得到一个正项级 数 它们具有相同的敛散性 若级数是正项级数 则此级数的部分和数列单调增加 即 n u n S n SSSS 321 由此有 定理定理 5 5正项级数收敛的充要条件是 部分和数列有上界 即存在某正数 n u n S 对一切正整数有 MnMSn n u n S 收敛收敛有界 1n n u n S n S 定理定理6 6 比较判别法 比较判别法 设和均为正项级数 如果存在某个正数 N 使得对 1n n u 1n n v 都有Nn 1 nn vu 则 1 若级数收敛 则级数也收敛 1n n v 1n n u 2 若级数发散 则级数也发散 1n n u 1n n v 证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性 因此不妨设不等式 1 对一 切正整数都成立 现分别以和记级数和的部分和 由 1 式推得 对一切正整数 n S n S 1n n u 1n n vn 6 都有 2 nn SS 若收敛 即存在 则由 2 式对一切有 即正项级数 1n n v n n S limn n S n n S lim 的部分和数列有界 由定理 5 级数收敛 这就证明了 1 2 为 1 1n n u n S 1n n u 的逆否命题 自然成立 例 1考察的收敛性 1 2 1 1 n nn 解 由于当时 有2 n 222 1 1 1 11 1 1 nnnnnnn 因正项级数收敛 有级数也收敛 2 2 1 1 n n 1 2 1 1 n nn 在实际使用上 比较判别法的下述极限形式通常更为方便 推论设 3 n uuu 21 4 n vvv 21 是两个正项级数 若 5 l v u n n n lim 则 当时 级数 3 4 同时收敛或同时发散 l v u n n 或 6 nnn vluvl 由定理 6 及 6 式推得 当 这里设 级数 3 与 4 同时收敛或同 l0l 或M v u n n nn Mvu 于是由比较原则知道 若级数 4 发散 则级数 3 也发散 例级数 n n 2 1 是收敛的 因为 1 n n n n 2 1 2 1 lim n n n n 2 2 lim n nn 2 1 1 lim 以及等比级数收敛 所以根据推论 级数也收敛 n 2 1 n n 2 1 例级数 n 1 sin n 1 sin 2 1 sin1sin 是发散的 因为 根据推论以及调和级数发散 所以级数也发1 1 1 sin lim n n n n 1 n 1 sin 散 二比式判别法和根式判别法 根据比较原则 可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性 本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的 定理定理 7 7 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法 设为正项级数 且存在某个正整数及常数 n u 0 N 1 0 q i 若对 成立不等式 0 Nn 7 q u u n n 1 则级数收敛 n u ii 若对 成立不等式 0 Nn 8 1 1 n n u u 8 则级数发散 n u 证证证证 不妨设不等式 7 对一切成立 于是有1 n q u u 1 2 2 3 q u u 1 q u u n n 把前个不等式按项相乘后 得到或者 1 n 1 12 3 1 2 n n n q u u u u u u 1 1 n n quu 由于当时 等比级数收敛 根据比较原则及上述不等式可推得级数 1 0 q 1 1 n n q n u 收敛 由于时成立不等式 8 即有 0 Nn 0 1Nnn uuu 于是当时 的极限不可能为零 由定理 1 推论知级数是发散的 n n u n u 推论推论 1 1 达朗贝尔的极限形式 达朗贝尔的极限形式 设为正项级数 且 n u 9 q u u n n n 1 lim 则 当时 级数收敛 1q q n u 注 当时 级数可能收敛 也可能发散 如 1 q n u n 1 2 1 n 证由 9 式 对任意取定的正数 存在正数 当时 都有 1 q q u u q n n1 若 取使 由上述不等式的右半部分及定理 7 的 推得级数是1 q 1q 1 q n u 是发散的 若 则存在 当时有 所以这时级数是发散的 qNNn 1 1 n n u u n u 例级数 1 41 951 1 32 852 951 852 51 52 1 2 n n 9 由于 xnx n 解因为 n n u u 1 1 1 n n nx xn n n x 1 nx 根据推论 1 当时级数收敛 当时级数发散 而当时 所考察的级数10 x1 x 是 它显然也是发散的 n 若 9 中 这时用比式判别法不能对级数的敛散性作出判断 因为它可能是收敛1 q 的 也 可 能 是 发 散 的 例 如 级 数和 它 们 的 比 式 极 限 都 是 2 1 n n 1 但是收敛的 而却是发散的 n n u u 1 1 n 2 1 n n 1 若某级数的 9 式的极限不存在 则可应用上 下极限来判别 推论 2 设为正项级数 n u 若 则级数收敛 n n n u u 1 lim 1q 对本推论读者可仿照推论 1 的方法证明 例研究级数 10 nnnn cbcbcbcbbcb 1222 1 的敛散性 其中 cb 0 解由于 n n u u 1 为偶数 为奇数 nc nb 故有 n n n u u 1 lim c n n nu u 1 lim b 于是 当时 级数 10 收敛 当时 级数 10 发散 但当时 比1bcb 11 1 12 1 n n u 则级数发散 n u 证 由 11 式有 n n lu 因为等比级数当时收敛 故由比较原则 这时级数也收敛 对于情形 n l10 l n u 由 12 式可推得 11 n n u 当时 显然不可能以零为极限 因而由级数收敛的必要条件可知 级数是 n n u n u 发散的 推论 1 柯西判别法的极限形式 设为正项级数 且 n u 13 lu n n n lim 则 当时 级数收敛 1l n u 注 当时 级数可能收敛 也可能发散 如 1 q n u n 1 2 1 n 证 由 13 式 当取时 存在某正数 对一切 有l lul n n 于是由定理 8 就能得到这个推论所要证明的结论 例研究级数的敛散性 n n 2 1 2 11 解 由于 n n n ulim 2 1 2 lim n n n 2 1 所以级数是收敛的 若在 13 式中 则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断 例如 对和1 l 2 1 n 都有 n 1 1 nu n n 但是收敛的 而却是发散的 2 1 n n 1 若 13 式的极限不存在 则可根据根式的上极限来判断 n n u 推论 2 设为正项级数 且 n u lu n n n lim 则当 时 级数收敛 1l 本推论的证明可仿照推论 1 的证法进行 例考察级数 nn cbcbcb 22 其中 10 cb 解 由于 n n u bb cc m m m m 12 1 1 2 1 m 及 1lim cu n n n 因此级数是收敛的 但若应用比式判别法 则由于 n n n u u 1 lim n n n b c lim n n nu u 1 lim n n n c b 1 lim 10 nun 则称 1 为交错级数 定理定理 9 9 莱布尼茨判别法 莱布尼茨判别法 若交错级数 1 满足下述两个条件 i 数列单调递减 ii n u0lim n n u 则级数 1 收敛 证考察交错级数 1 的部分和数列 它的级数项和偶数项分别为 n S 1122232112 uuuuuuS mmm 而是递增的 21243212mmm uuuuuuS 由条件 i 上述两式中各个括号内的数都是非负的 从而数列是递减的 而数列 12 m S 13 是递增的 又由条件 ii 知 2m S 从而是一个闭区间套 故由闭区间00 2212 r 21 rmmm uuu 14 由于 2121 一正整数 都有p 又由于数列有界 所以存在使应用 19 式结果可得 M Man 到 这就说明级数 20 收敛 3 Mba pn nk kk p n u p n 1n un 都收敛 定理定理 1212 狄利克雷判别法 狄利克雷判别法 若为单调递减数列 且 又级数的部 n a0lim n n a n b 分和数列有界 则级数 收敛 nnnn babababa 2211 证同定理 11 例若数列为单调递减 且 则级数 n a0lim n n a nxansin nxancos 对任何都收敛 2 0 x 解 因为 n k kx x 1 cos 2 1 2 sin2 2 sin 2 3 sin 2 sin x x x xnxn 2 1 sin 2 1 sin 16 xn 2 1 sin 当时 故得到 2 0 x0 2 sin x n k kx 1 cos 2 1 2 sin2 2 1 sin x xn 所以级数的部分和数列当时有界 由狄利克雷判别法推得级数 nxcos 2 0 x 收敛 同理可证级数也是收敛的 nxancos nxansin 作为此例的特殊情形 我们知道级数和对一切都收敛 n nxsin n nxcos 2 0 x 绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质 问题 已知有限和的运算满足交换律 结合律和分配律 收敛级数是无限和 那么收敛 级数的运算是否也满足结合律 交换律与分配律呢 定理 4 已回答收敛级数满足结合律 一 般来说 收敛级数不满足交换律与分配律 定理定理 13131313若级数绝对收敛 其和是 则任意交换级数的项 得到的新级数 1n n uS 1n n u 也绝对收敛 其和也是 1n nk uS 级数的乘积 若为收敛级数 为常数 则 n ua nn auua 由此立刻可以推广到收敛级数与有限项和的乘积 即 n u 111 21n n m k k n nm uauaaa 现在讨论在什么条件下能把它推广到无穷级数之间的乘积上去 设有收敛级数 11 Auuuu nn 21 12 Bvvvv nn 21 它们每一项所有可能的乘积为 11v u 21v u 31v u n vu1 17 12v u 22v u 32v u n vu2 13 13v u 23v u 33v u n vu3 1 vun 2 vun 3 vun nnv u 这些乘积可以按各种方法排成不同的级数 常用的有按正方形顺序或按对角线 jiv u 顺序依次相加 于是分别有 14 132333323112222111 vuvuvuvuvuvuvuvuvu 15 132231122111 vuvuvuvuvuvu 定理定理 1414 柯西定理 柯西定理 若级数 11 12 都绝对收敛 则对 13 中所有乘积按任 jiv u 意顺序排列所得到的级数也绝对收敛 且和等于 AB n w 9 29 2 函函数级数数级数 一一 函数级数的收敛域函数级数的收敛域 设是定义在数集 E 上的一个函数列 表达式 n ux 1 12 n u xuxux xE 称为定义在 E 上的函数项级数 简记为或 称 1 n n ux xun 2 n k kn xuxS 1 Ex 2 1 n 为函数项级数 1 的部分和函数部分和函数 简称部分和部分和 若 数项级数Ex 0 3 00201 xuxuxu n 收敛 既部分和当时极限存在 则称级数 1 在点收敛 n k kn xuxS 1 00 n 0 x 称为级数 1 的收敛点收敛点 若级数 3 发散 则称级数 3 在点发散 若级数 0 x 0 x 在 E 某个子集 D 上每个点都收敛 则称级数 在点 D 上收敛 若 D 为级数 全体收敛点的集合 这时则称 D 为级数 的收敛域收敛域 若收敛域是一个区间 18 则称此区间是级数 的收敛区间收敛区间 级数 在 D 上每一点与其所对应的数项x 级数 的和构成一个定义在 D 上的函数 称为级数 的和函数和函数 并写作 xS 21 xSxuxuxu n xD 即 limxSxSn n xD 也就是说 函数项级数 的收敛性就是指它的部分和函数列 的收敛性 例定义在上的函数项级数 几何级数 4 n xxx 2 1 的部分和函数为 故当时 x x xS n n 1 1 1 N Nn Dx p 即 xSxS npn 21 xuxuxu pnnn 特别地 当时 得到函数项级数收敛的一个必要条件 1 p 19 推论函数项级数在 D 上一致收敛的必要条件是函数列在 D 上一致 1 n n u x xun 收敛 于 0 设 称为函数项级数的余余项项 1 n n u x xS Dx xSxSxR nn 1 n n ux 定理 定理 函数项级数在 D 上一致收敛于 1 n n u x xS 0 suplim suplim xSxSxR n Dx n n Dx n 我们在来看例中的级数 若仅在上讨论 则由 0n n x 10 aaa 0 11 sup sup n a a x x xSxS nn aax n aax 可得级数在上一致收敛 若在上讨论 则由 0n n x 10 p 11 pnnpnn MMMM 又由 13 式对一切有Dx 111 NNn p 有Ix NNn Ix xvn 所以 6 2 2 11 MMxvxuxvxu pnpnnn 于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则 级数 14 在区间上一致收敛 I 例函数项级数 1 1 n nn n nx 在上一致收敛 因为记时 由阿贝耳判别法就能得 1 0 n n n n n x xv n xu 1 1 22 到结果 例若数列单调且收敛于零 则级数 n a nxancos 在上一致收敛 0 2 0 N 般说来 N 值的确定与和的值都有关 使得当时 总有 xNn xfxfn 使函数列收敛的全体收敛点的集合 称为函数列的收敛域 n f n f 例设 为定义在上的函数列 证明它的收敛域是 n n xxf 2 1 n 且有极限函数 1 1 10 1 10 xfxfn 而 当和时 则 对 任 何 正 整 数 都 有 0 x1 xn 0 0 0 ffn x nx n 1 x 1 1 1 1 显然是发散的 所以函数列在区间外都是发散的 n x 1 1 例定义在上的函数列 由于对任何实数 n nx xfn sin 2 1 nx 都有 故对任给的 只要 就有 nn nx1sin 0 1 Nn Dx 都有 x 与的取值与有关 使得n N 0 xfxfn 从前面例中知道 函数列在上收敛于 我们证明它在上不一 n x 1 0 0 xf 1 0 致 收 敛 事 实 上 令 对 任 何 正 数 取 正 整 数及 2 1 0 N1 Nn 则有 1 0 1 1 1 n n x 2 11 10 n x n 函数列 8 一致收敛于 从几何意义上讲 对任何正数 存在正整数 对于一f N 25 切序号大于的曲线 都落在以曲线与为边 即以N xfy n xfy xfy 曲线为 中心线 宽度为 的带形区域内 xfy 2 函数列在区间内不一致收敛 从几何意义上讲 存在某个事先给定的 n x 1 0 无论多么大 总有曲线不能全部地落在以与为 1 y y 边的带形区域内 若函数列只限于在区间内讨论 容易看到 只要 n x 1 0 10 xD 11 使得当时 对一切 都有NNn Dx 12 2 对一切都有Dx xfxfn 由定义 xfn xf nDx 定理定理 7 7函数列在区间上一致收敛于的充要条件是 n fDf 13 0 suplim xfxfn Dx n 证 必要性 若 则对任给的正数 存在不依 xfn xf nDx 26 赖与的正整数 当时 有 xNNn NNn 14 supxfxfn Dx 因为对一切 总有 Dx sup xfxfxfxf n Dx n 故由 14 式得 于是在上一致收敛于 xfxfn n fDf 在判断函数列是否一致收敛上定理 7 更为方便一些 其缺点是必须事先知道它的极 限函数 如上例 由于 所以在上 0 1 lim0 sin suplim nn nx n x n 0 sin n n nx 例定义在上的函数列 1 0 15 1 1 0 1 2 1 22 2 1 0 2 2 2 x n n x n xnn n xxn xfn 2 1 n 由于 故 当时 只 要 就 有0 0 n f0 0 lim 0 n n ff10 故在上有 于是函数列 15 在上的极限0 xfn 1 0 0 lim xfxf n n 1 0 函数 又由于0 xf n n fxfxf nn x 2 1 sup 1 0 n 所以函数列 15 在 0 1 上不一致收敛 五五 和函数的分析性质和函数的分析性质 现在讨论定义在区间上函数项级数 ba 16 21 xuxuxu n 的连续性 逐项求积与逐项求导的性质 它们都可由函数列的相应性质推出 27 定理定理8 8 连续性 若函数项级数在区间上一致收敛 且每一项都连续 1 n n xu ba xun 则其和函数也在区间上连续 ba 注 在一致收敛的条件下 求和运算与求极限运算可以交换顺序 即 11 lim lim 00 n n xx n n xx xuxu 定理定理 9 9 逐项求积 若函数项级数在区间上一致收敛 且每一项都连 1 n n xu ba xun 续 则 dxxu n n b a 1 1 n b a n dxxu 注 即在一致收敛的条件下 求 无限项 和运算与积分运算可以交换顺序 定理定理 1010 逐项求导 若函数项级数在区间上每一项都有连续导函数 1 n n xu ba xun 为函数项级数的收敛点 且在区间上一致收敛 则 0 bax 1 n n xu 1 n n xu ba 11 n nn n xu dx d xu dx d 注 即在一致收敛的条件下 求 无限项 和运算与求导运算可以交换顺序 例设 1ln 1 22 3 xn n xun 2 1 n 证明函数项级数在上一致收敛 并讨论其和函数在的连续性 可积 1 n n xu 1 0 1 0 性与可微性 证对每一个 易见为上增函数 故有n xun 1 0 1ln 1 1 2 3 n n uxu nn 2 1 n 又当时 有不等式所以1 t 1ln 2 tt 1 1ln 1 2 2 3 n n n xun 2 1 n 以收敛级数为的优级数 推得在上一致收敛 2 1 n 1 n n xu 1 n n xu 1 0 28 由于每一个在上连续 根据定理 8 与定理 9 的和函数在 xun 1 0 1 n n xu xS 1 0 上 连续且可积 又由 1 2 2 1 2 222 nnxn x xnn x xun 2 1 n 即收敛级数也是的优级数 推得也在上一致收敛 由定理 2 1 n 1 n n xu 1 n n xu 1 0 10 得在上可微 xS 1 0 9 9 3 3 幂幂级数级数 在函数级数中有一类结构简单 应用广泛的特殊的函数级数 1 n n n n n xxaxxaxxaaxxa 0 2 02010 0 0 它称为幂级数幂级数 其中是常数 称为幂级数的系数幂级数的系数 21n aaa 下面将着重讨论 即0 0 x 2 n n n n n xaxaxaaxa 2 210 0 的情形 因为只要把 2 中的换成 就得到 1 x 0 xx 一一幂级数的收敛域幂级数的收敛域 首先讨论幂级数 2 的收敛问题 显然任意一个幂级数 2 在处是收敛的 0 0 x 除此之外 它还在哪些点收敛 我们有下面的重要定理 定理定理 1 1 阿贝尔第一定理 阿贝尔第一定理 1 幂级数 2 在收敛 则对满足不等式0 xxxxx 证设级数收敛 从而数列收敛于零且有界 即存在某正数 使得 0n n nx a n nx aM Mxa n n 2 1 0 n 29 另一方面对任意一个满足不等式的 设xx x 1 x x r n n n n n n n n n n Mr x x xa x x xaxa 由于级数收敛 故幂级数 2 当时绝对收敛 0n n Mrxx 0 0 0 n n nx a 时绝对收敛 这与假设相矛盾 所以对一切满足不等式的 幂级数 2 都xx xx x 发散 由此定理知道 幂级数 2 的收敛域是以原点为中心的区间 若以表示区间的长R2 度 则称为幂级数的收敛半径收敛半径 实际上 它就是使得幂级数 2 收敛的那些收敛点的绝R 对值的上确界 所以 当时 幂级数 2 仅在处收敛 0 R0 x 当时 幂级数 2 在上收敛 R 当时 幂级数 2 在内收敛 对一切满足不等式的 x 幂级数 2 都发散 至于 2 可能收敛也可能发散 Rx 我们称为幂级数 2 的收敛区间收敛区间 RR 怎样求得幂级数 2 的收敛半径 有如下定理 定理定理 2 2对于幂级数 2 若 3 n n n alim 则当 i 时 幂级数 2 的收敛半径 0 1 R ii 时 幂级数 2 的收敛半径 0 R 30 iii 时 幂级数 2 的收敛半径 0 R 证对于幂级数 由于 0n n nx a xxaxa n n n n n n limlim 根据级数的根式判别法 当时 级数收敛 当时级数发散 1x 于是时 由于得幂级数 2 的收敛半径 当时 对任何 01 x 1 R0 皆有 所以 当时 则对除外的任何皆有 所x1x 以 0 R 例级数 由于 2 n x n n n n a a n n 1 1 2 2 1 所以它的收敛半径 即收敛区间为 1 1 1 R 当时 有 由于级数收敛 所以级数在时也收敛 1 x 22 11 nn n 2 1 n 2 n x n 1 x 于是这个级数的收敛域为 1 1 例 级数 4 n xx x 22 2 由于 1 1 limlim 1 n n a a R n n n n 所以幂级数 4 的收敛区间是 1 1 但级数 4 当时发散 时收敛 从1 x1 x 而推得级数 4 的收敛域是半开区间 1 1 照此方法 不难验证级数 与 0 n n n x 0 n n xn 的收敛半径分别为与 R0 R 31 二二幂级数和函数的分析性质幂级数和函数的分析性质 定理定理 3 3 阿贝尔第二定理 阿贝尔第二定理 若幂级数 2 的收敛半径为 0 则在它的收敛区R 间内任一闭区间上级数 2 都一致收敛 RR ba 证 设 那么对于上任一点 都有 RRbax max ba x n n n n xaxa 由于级数 2 在点绝对收敛 应用优级数判别法推得级数 2 在上一致收敛 x ba 例级数 5 n xxx n x n n n n 2 1 22 1 2 1 2 1 2 2 由于 2 1 12 2 1 12 1 1 n n n n n n n 所以级数 5 的收敛半径 因而级数 5 的收敛区间为即 当2 R21 R xf RR 推论推论 1 幂级数 2 的和函数是内的连续函数 2 若幂级数 2 在收敛区间的 RR 左 右 端点上收敛 则其和函数也在这一端点上右 左 连续 在讨论幂级数的逐项求导与逐项求积之前 先要确定幂级数 2 在收敛区间 RR 内逐项求导与逐项求积后所得到的幂级数 6 12 321 32 n nx naxaxaa 与 32 7 13221 0 132 nn x n a x a x a xa 的收敛区间 定理定理 5 5设幂级数 2 在收敛区间上的和函数为 若为内任意 RR fx RR 一点 则 i 在可导 且fx 1 1 n n nx naxf 定理定理 6 6 6 6设幂级数 2 在收敛区间上的和函数为 则在 0 与这个区间 RR ffx 上可积 且 0 1 0 1 n n n x x n a dttf 定理 5 6 指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积 推论推论 记为幂级数 2 在收敛区间内的和函数 则在内具有任何阶导f RR RR f 数 且可逐项求导任何次 即 12 321 32 n nx naxaxaaxf 2 32 1232 n nx annxaaxf xannnanxf nn n 1 211 推论推论记为幂级数 2 在某邻域内的和函数 则级数 2 的系数与在f0 xf0 x 处的各阶导数有如下关系 0 0 0 n f afa n n 2 1 n 这个推论还表明若级数 2 在上有和函数 则级数 2 由在处的 RR ff0 x 各阶导数所唯一确定 例几何级数在收敛域 1 1 内有 33 8 n xxx x xf 2 1 1 1 对级数 10 在 1 1 内逐项求导得 9 12 2 321 1 1 n nxxx x xf 10 2 3 1232 1 2 n xnnx x xf 级数 8 在上逐项求积可得 1 0 xx 0 001 n x n x dtt t dt 所以 11 1321 1 ln 12 n xxx x x n 1 x 上式对也成立 1 x 从这个例子可以看到 由已知级数 8 的和函数 通过逐项求导或逐项求积可间接地 求得级数 9 10 和 11 的和函数 一一泰勒级数泰勒级数 泰勒定理中曾指出 若函数在点的某邻域内存在直至阶的连续导数 则f 0 x1 n 2 0 0 000 2 xx xf xxxfxfxf 12 xRxx n xf n n n 0 0 这里为拉格朗日型余项 xRn 13 1 0 1 1 n n n xx n f xR 其中在与之间 称 1 为在的泰勒公式 x 0 xf 0 x 如果在 12 中抹去余项 那么在附近可用 12 式右边的多项式来近似 xRn 0 xf 34 代替 如果函数在处存在任意阶的导数 这时称形式为f 0 xx 2 0 0 000 2 xx xf xxxfxf 14 n n xx n xf 0 0 的级数为函数在的泰勒级数 对于级数 14 是否能在附近确切的表达 或说f 0 x 0 xf 在的泰勒级数在附近的和函数是否就是 这就是本节所要讨论的问题 f 0 x 0 xf 先看一个例子 例由于函数 0 0 0 2 1 x xe xf x 在处任何阶导数都等于 0 即0 x 00 n f 2 1 n 所以在的泰勒级数为f0 x n x n xx 0 2 0 00 2 显然它在上收敛 且其和函数 由此看到 对一切都有 0 xS0 x xSxf 这个例子说明 具有任意阶导数的函数 其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身 下 面定理指出 具备什么条件的函数 它的泰勒级数才能收敛于本身 ff 定理定理 7 7设在点具有任意阶导数 那么在区间内等于它的泰勒f 0 xf rxrx 00 级数的和函数的充分条件是 对一切满足不等式的 有rxx 0 0 kn kncn f n n 总有 因而 0lim xRn n k k x k f x f xffxf 0 2 0 00 2 36 k kx cxcxcc 2 210 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身 例求函数的展开式 x exf 解 由于 所以的拉格朗日余项为 xn exf 10 n f 2 1 nf 显见 1 1 n x n x n e xR 10 1 1 n x n x n e xR 它对任何实数 都有x 0 1 lim 1 n x n x n e 因而 由定理 14 11 得到 0lim xRn n nx x n xxe 1 2 1 1 1 1 2 x 例函数 由于 xxfsin 2 sin n xxf n 2 1 n 现在考察正弦函数的拉格朗日余项 由于 xRn 1 1 2 1sin n n x n n xR 0 1 1 n x n n 所以在内能展开为麦克劳林级数 xxfsin 12 1 5 3 sin 12 1 53 n xxx xx n n 同样可证 或逐项求导 在内有 37 2 1 4 2 1cos 242 n xxx x n n 例 函数的各阶导数是 xxf 1ln n n n x n xf 1 1 1 1 从而 110 1 nf n n 所以的麦克劳林级数是f 16 n xxxx x n n1 432 1 432 用比式判别法容易求得级数 16 的收敛半径 且当时收敛 时发散 1 R1 x1 x 故级数 16 的收敛域是 现在讨论在这收敛区间上它的余项的极限情形 1 1 当时的情形 拉格朗日余项 有10 x 1 1 1 1 1 1 n n n n x n n xR 1 11 1 n n x n 0 1 1 n n 对于的情形 拉格朗日余项不易估计 改用柯西余项进行考察 有01 x 1 1 1 1 1 1 n n n n n x x n n xR 1 1 1 1 1 n n x xx 10 因为 故有 即 所以01 xx 111 1 1 0 x 0 1 1 x x xR n n n 这就证得在上等于其麦克劳林级数 16 1 1 x 1ln 将 16 式中换成后就得到函数在处的泰勒展开式 x1 x xxfln 1 x 38 n xxx xx n n 1 1 3 1 2 1 1ln 1 32 它的收敛域为 2 0 例讨论二项式函数的展开式 xxf 1 当为正整数时 由二次项定理直接展开 就得到的展开式 这已在前面例中讨论 f 过 下面讨论不等于正整数时的情形 这时 n n xnxf 111 2 1 n 110 nf n 2 1 n 于是的麦克劳林级数是 xf 17 n x n n xx 11 2 1 1 2 运用比式判别法 可得 17 的收敛半径 现在 1 1 内考察它的柯西余项1 R 1 1 1 1 1 1 x x x n n xR n n n 10 由比式判别法 级数当时收敛 故有 1 0 1 n n x n n 1x 11x1 1 1 0 x 1 1 1 n x 再当时 有 于是当时是与1 x 1 11 2110 1 1 xn 无关的有界量 当时 也有同样结论 综上所述 当时 1 1 x 0lim xRn n 所以在 1 1 上 18 n x n n xxx 11 2 1 11 2 对于收敛区间端点的情形 它与的取值有关 其结果如下 当时 收敛域为 1 1 1 39 当时 收敛域为 01 1 1 当 7 式中时就得到1 1 1 19 n n xxx x 11 1 1 2 当时得到 2 1 20 32 642 531 42 31 2 1 1 1 1 xxx x 1 1 一般地说 只有少数比较简单的函数 其幂级数展开式能直接从定义出发 并根据定 理求得 更多的情况是从已知的展开式出发 通过变量代换 四则运算或逐项求导 逐项求 积等方法 间接地求得函数的幂级数展开式 例以与分别代入 19 与 20 式 可得 2 x 2 x 1 1 21 n n xxx x 242 2 11 1 1 1 1 22 642 2 642 531 42 31 2 1 1 1 1 xxx x 对于 21 22 分别逐项求积可得函数与的展开式 xarctanxarcsin x t dt x 0 1 arctan 1 1 12 1 53 1253 n xxx x n n x t dt x 02 1 arcsin 1 1 7642 531 542 31 32 1 753 xxx x 由此可见 熟悉某些初等函数的展开式 对于一些函数的幂级数展开是极为方便的 作为本 节的结束 最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函数 在本章开头就已经提到幂级 数的这种特有的功能 例用间接的方法求非初等函数 x t dtexF 0 2 的幂级数展开式 解 以代替例 3 中展开式的 得 2 x x ex 40 1 3 2 1 1 2642 2 n xxxx e n n x x 再逐项求积就得到在上的展开式 xF x t dtexF 0 2 12 1 7 3 1 5 2 1 3 1 1 1 12753 n x n xxx n n 9 29 2 傅立叶傅立叶级数级数 自然界中单摆的摆动 音叉的振动等都可以看成简单的周期现象 而周期现象用数学描述就 是周期函数 对简单的周期现象可用正弦或余弦函数表示 但对复杂的周期现象 如热传导 电磁波以及机械运动等就不能仅用一个正弦或余弦函数来表示 需要用很多个甚至无限个正弦 函数或余弦函数的叠加表示 傅立叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦或余弦函数之和 它在数学与工程技术中都有广泛的应用 一一 傅立叶级数傅立叶级数 函数列 1 1 xcosxsinx2cosx2sinnxcosnxsin 所产生的一般形式的三角函数称为三角函数系三角函数系 其次 在三角函数系 1 中 任何两个不相同的函数的乘积在上的积分都等 于零 即 2 0sincos nxdxnxdx 3 0sincos 0sinsin 0coscos nxdxmx nmnxdxmx nmnxdxmx 而 1 中任何一个函数的平方在上的积分都不等于零 即 4 21 sincos 2 22 dx nxdxnxdx 通常把两个函数可积 且 41 0 b a dxxx 的函数与称为在上是正交的正交的 由此 我们说三角函数系 1 在上具有正正 ba 交性交性 或说 1 是正交函数系正交函数系 级数 5 称为三角级数三角级数 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 容易验证 若三角级数 5 收敛 则它的和一定是一个以为周期的函数 f 2 应用三角函数系 1 的正交性 讨论三角函数 5 的和函数与级数 1 的系数 f 0 a 之间的关系 n a n b 应用三角函数系 1 的正交性 讨论三角函数 5 的和函数与级数 5 的系数 f 0 a 之间的关系 n a n b 定义若函数在区间可积 则称f nxdxxfancos 1 2 1 n nxdxxfbnsin 1 2 1 n 是函数的傅立叶系数傅立叶系数 f 以函数的傅立叶系数为系数的三角级数称为函数函数的傅的傅f 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a f 立叶级数立叶级数 表为 f 1 0 sincos 2 n nn nxbnxa a 例设 0 0 0 x xx xf 求的傅里叶级数展开式 f 42 解 函数及其周期延拓后的图像如图 15 3 所示 它可以展开成傅里叶级数 由于f 2 11 0 0 xdxdxxfa 当时 1 n 0 cos 1 cos 1 nxdxxnxdxxfan 0 2 1cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 2 2 02 0 0 nn n nx n nxdx n nxx n 0 sin 1 sin 1 nxdxxnxdxxfbn n nxdx nn nxdx n nxx n n n 1 0 2 1 0 0 1 cos 11 cos 1 cos 1 所以在开区间上 xxxxxxf3sin 3 1 3cos 9 2 2sin 2 1 sincos 2 4 在时 上式右边收敛于 x 22 0 2 00 ff 于是 在上的傅里叶级数的图像如图 15 4 所示 注意它与图 15 3的差别 f 当 n 为奇数时 当 n 为偶数时 43 例把下列函数展开成傅里叶级数 2 0 0 2 2 xx x xx xf 解 及其周围延拓的图形如图 15 5 所示 显然f 是按段光滑的 因此它可以展开成傅里叶级数 f 在中令来计算傅里叶系数如下 0 c 2 0 0 1 dxxfa 2 3 7 3 11 2 22 2 2 0 2 dxxdxx 2 0 cos 1 nxdxxfan 11 4 cos 2 sin 21 cos 2 sin 21 cos 1 cos 1 2 2 23 2 23 2 2 2 0 2 n o n nx n x nx nn x nx n x nx nn x nxdxxnxdxx 2 0 sin 1 nxdxxfbn 11 22 sin 2 cos 21 sin 2 cos 21 sin 1 sin 1 3 22 2 23 2 23 2 2 2 0 2 n o nnn nx n x nx nn x nx n x nx nn x nxdxxnxdxx 所以当时 2 0 x 1 3 22 2 2 sin11 22 cos11 4 n nn nx nnn nx n xf 44 xxx5cos 5 1 3cos 3 1 cos8 22 2 xxxx4sin 4 3sin 3 4 3 3 2sin 2 sin43 2 2 3 22 2 当时 由于 x 0 2 00 ff 所以 6 222 2 5 1 3 1 1 1 80 当或时 由于0 x 2 22 204 2 1 0000 2 1 ff 因此 7 222 22 5 1 3 1 1 1 82 由 6 或 7 都可推得 85 1 3 1 1 1 2 222 二二 两个引理两个引理 引理引理 1 1若是以为周期的函数 且在上可积 则它的傅里叶级数部分 xf 2 和可写成 xSn dt t tn txfxSn 2 sin2 2 1 sin 1 当时 被积函数中的不定式由极限0 t 2 1 2 sin2 2 1 sin lim 0 n t tn t 45 来确定 证在傅里叶级数部分和 n k kkn kxbkxa a xS 1 0 sincos 2 中 用傅里叶系数公式代入 可得 n k n kxkuduufkxkuduufduufxS 1 sinsincoscos 1 2 1 dukxkukxkuuf n k1 sinsincoscos 2 11 duxukuf n k1 cos 2 11 令产 得txu x x n k n dtkttxfxS 1 cos 2 11 由正面这个积分看到 被积函数是周期为的函数 因此在上和积分等于 2 xx 上的积分 再由第十二章 3 21 式 即 2 sin2 2 1 sin cos 2 1 1 t tn kt n k 就得到 dt t tn txfxSn 2 sin2 2 1 sin 1 引理引理 2 2 2 2 黎曼引理 黎曼引理 若为在可积函数 则f 0sinlim 0coslim nxdxxf nxdxxf n n 因为 1 的左边级数收敛 所以当时 通项 变即有与 n0 22 nn ba0 2 n a 这就是引理 2 的结论 这个推论也称为黎曼 勒贝格定理 0 2 n b 46 三三 收敛定理收敛定理 定义定义若的导函数在上连续 则称在上光滑光滑 但若定义在上除了至f ba f ba ba 多有有限个第一间断点的函数的导函数在上除了至多有限个点外都存在且连续 在f ba 这有限个点上导函数的左 右极限存在 则称在上按段光滑按段光滑 f f ba 定理 收敛定理 定理 收敛定理 若以为周期的函数在上按段光滑 则在每一点 2f 的傅里叶级数收敛于在点的左 右极限的算术平均值 即 xffx 1 0 sincos 22 00 n nn nxbnxa axfxf 其中 为的傅里叶系数 定理 1 贝塞耳 Bessel 不等式 若函数在 n a n bff 上可积 则 1 dxxfba a n nn 2 1 22 2 0 1 2 其中 为的傅里叶系数 1 式称为贝塞耳不等式 n a n bf 证 令 m n nnm nxbnxa a xS 1 0 sincos 2 考察积分 dxxSxf m 2 2 dxxSdxxSxfdxxf mm 2 2 2 由于 dxxSxf m m n nn nxdxxfbnxdxxfadxxf a 1 0 sincos 2 根据傅里叶