matlab自行车Bike 仿真系统.doc

线性系统理论大作业自行车系统建模与分析 学 院： 自动化学院 姓名 学号：陈晨（2014201416） 周铉（2014261584） 联系方式：15991740440 时 间： 2015年6月 目 录一、研究内容11、问题描述22、系统建模3二、系统分析61、状态空间方程62、系统稳定性判断63、使用不同的采样周期将系统离散化求得其零极点分布图64、 系统一、二正弦响应曲线7三、系统能控能观性判别81、根据能控性秩判据82、对系统一进行能观性分解9四、极点配置9五、 状态观测器设计131、全维状态观测器设计132、降维状态观测器17一、研究内容本文对题目给定的自行车-人模型，建立状态空间模型进行系统分析，并通过MATLAB仿真对系统进行稳定性、可控可观测性分析，对得的结果进行分析，得出系统的综合性能。在此基础上，设计全维和降维状态观测器以及状态反馈控制律。1、问题描述由于题目涉及的自行车-骑手系统结构参数已知，故采用分析途径建立其状态空间描述。假设，（或，），动态方程描述如下：其中， 图1题目中已给人车模型人车系统的参数如下：自行车重量136.0N车手重量9.11N自行车重心高度 0.334m车手重心高度0.465m自行车转动惯量2.25车手转动惯量0.201车轮基底L0.665m径向距离0.313m车手重心至车座距离h0.08m前进速度V1长度l0.7 m2、系统建模系统的状态空间方程：其中，状态变量和输出分别为：或由图知：将进行泰勒展开并取第一项，近似化为，则有从中反解出代入上式，得到或者根据上述表达式，可以写出 或者,利用matlab，代入各参数，得A = 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -11.8235 11.8235 0B = 1.5038 0 -0.4707 0 0 0 0 0.6746C1 = 1 0 0 0 0 1 0 0D1 = 0 0 0 0C2 = -0.6650 1.0000 0 0 0 -1.2065 1.2065 0D2 = 0 0 0 -0.0165二、系统分析1、状态空间方程通过sys1=ss(A,B,C1,D1);sys2=ss(A,B,C2,D2);分别求得两系统的状态空间方程。并通过G10=tf(sys1);G20=tf(sys2);分别求得两系统的传递函数。2、系统稳定性判断系统是渐进稳定的充要条件是，矩阵A的特征值均具有负实部。通过b=eig(A)算出矩阵A的特征值分别为分别求得两系统的极点分布，见下图2图2综上可知，系统一和系统二都不稳定。3、使用不同的采样周期将系统离散化求得其零极点分布图，见图3图3由图3分析可知，同一系统离散化之后其稳定性不变。4、 系统一、二正弦响应曲线输入为u1=u2=sint,用lsimplot（）函数得到系统的正弦响应曲线，如下图4、图5：图4图5由图4、5可知，系统一、二都不稳定。三、系统能控能观性判别1、根据能控性秩判据利用Matlab函数ctrb(),求得，经过计算可以得到，故系统完全可控。根据能观性秩判据利用Matlab函数obsv(),求得，经过计算可以得到系统一的，故系统一是不可观测的，系统二的是可观测的。基于以上讨论，由于系统是可控的，则存在适当的状态反馈控制律可以将系统的极点配置到任意位置，从而使系统达到稳定并且提高系统性能。由于系统不可观测，则不能通过系统输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点。由于系统1和系统2是可控的，则存在适当的状态反馈控制律可以将系统的极点配置到任意位置，从而使系统达到稳定并且提高系统性能。由于系统1不可检测，则不能通过系统输出和输入重构系统状态，即不存在相应的状态观测器，则不能为状态反馈提供状态量，这样，研究系统的极点配置也没有实际意义，所以本文不再考虑系统1的极点配置和状态观测问题。由于系统2是完全可观的，正如前面所讨论的，必然可以通过系统的输出和输入重构系统的状态，即可以搭建相应的状态观测器为状态反馈控制律提供状态量。2、对系统一进行能观性分解 通过obsvf()对系统一进行能控性分解，提取能观测部分矩阵，求其传函与原系统进行比较，可知系统的传函便是系统的最小实现。四、极点配置系统在引入状态反馈后，图6 加入状态反馈后的结构图其状态空间方程发生变为：稳定判据中的秩判据可知当系统的A矩阵的特征值全部具有负实部时系统稳定，因此引入状态反馈后解决系统的镇定问题就是寻找反馈矩阵K，使得(A-BK)矩阵的实部全部小于零。由于系统是完全能控的，所以两个系统都是可以通过状态反馈任意配置极点实现系统的稳定。在实际应用中，多数控制系统都采用基于反馈控制的闭环系统，反馈系统的特点是对内部参数变动和环境影响具有良好的抑制作用。反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈，其中前者是系统结构信息的完全反馈，对应地，输出反馈则是系统结构信息的不完全反馈，前者在功能上要远远优于后者。本节只讨论自行车骑手系统的状态反馈控制，即寻找适当的反馈控制律K，使闭环系统的极点到达满足稳定性和性能要求的位置。从控制理论角度讲，以期望闭环极点组为性能指标，可以严格和简洁地建立相应综合理论和算法，于是在用极点配置方法改善系统性能之前，首先需要在直观性能指标和期望闭环极点组之间建立起对应的联系。闭环极点常用的确定方法为把所有的闭环极点区分为2个主导极点和n-2个非主导极点，因为二阶系统各项性能指标与极点有简单的对应关系，如果系统非主导极点足够远离主导极点对，那么整个系统的性能就可以用这两个主导极点来表征。在二阶系统中，系统极点，实部，虚部，其中为系统的阻尼比，为系统的固有频率，极点实部越大，系统调节时间越短，系统反应越快速；极点虚部越大系统响应的震荡越剧烈。惯常做法是将取0.707，此时各项性能指标综合最优，并通过不断试验确定适当的.确定主导极点对后，剩余n-2个极点可在左半s平面远离主导极点对区域内任取，区域右端离虚轴距离至少等于主导极点对离虚轴距离的4至6倍。直接使用Matlab的place（）命令求解K。期望极点，则K = 4.7969 -20.5484 9.8577 2.9661 14.2272 7.6430 53.4255 25.3707 系统框图如下：图7 系统一的状态反馈系统一仿真时，输入，为了更直观地观察到系统一状态在闭环控制下随时间衰减，初始状态取.期望极点，通过观察系统一的阶跃响应图得到设计完状态反馈控制器后，阶跃响应下系统是收敛的，这就完成了系统一的镇定问题，系统一达到了渐进稳定状态。（a）（b）图8 系统一期望极点处的响应曲线五、 状态观测器设计1、全维状态观测器设计前面为了解决系统的镇定问题，引入了状态反馈对系统进行极点配置，从而使其达到稳定。但引入状态反馈的前提条件是所有状态都是可以得到的，但是在系统当中只有状态X1，X2为实际的物理量，可以通过传感器测量，状态X3，X4都不是实际的物理量而是理论计算值，无法通过测量得到。因此，需要对系统的状态进行重构，并用这个重构的状态代替系统的真实状态，来实现所要求的状态反馈。 状态重构的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量，如输出变量和输入变量作为它的输入信号并使其输出信号在一定条件下等价与原系统的状态x。通常称这个用于实现状态重构的系统为状态观测器。如果状态观测器能够观测所有的状态量，而不管其是否能够直接测量，这种观测器称为全维状态观测器。由于全维状态观测器要求系统能观，现在选择系统变量如下：称此系统为系统二，通过验证，系统二能控能观，可进行全维观测器的设计。全维状态观测器的结构框图如下图9：图9 全维状态观测器结构框图全维状态观测器仿真框图如下图 10图 10 全维状态观测器仿真框图由上图可以推导出它的全维状态观测器动态方程如下：，化简为：。全维状态观测器是以系统的输入u和输出y为输入，以估计状态为输出的系统，为全维状态观测器所估计出的系统状态。状态观测器的估计误差为：。观察上图，发现被观测系统的前馈矩阵D并没有出现。原因很简单，在系统运行过程中，前馈矩阵仅仅影响到系统的输出，而对系统的状态变化没有影响，系统的状态主要由输入，矩阵B和A确定。所以在搭建全维状态观测器时引入的被观测系统的输出并不是完整的系统输出，而是不包含前馈的部分输出。所以简明起见，图10中略去了前馈矩阵D，这并不影响系统运行，也不影响重构状态生成。由上式可知，误差动态特性由矩阵的特征值决定。因此只要该矩阵特征值位于负半平面，则对于任意的初始状态误差e(0)，系统的状态误差e(t)就能够趋近于零。对于可观测系统，矩阵的特征值可以通过观测器增益矩阵实现任意配置。则系统全维状态观测器的设计问题就转化为确定观测器增益矩阵L，使系统的特征值位于期望位置，以实现误差动态方程以足够快的速度渐进稳定，这其实也是一个极点配置的问题。全维观测器在构造思路上由“复制”和“反馈”合成，复制就是，基于被观测系统的的系数矩阵A、B、C，按照相同结构建立一个复制系统。反馈指取被观测系统输出和复制系统的输出的差作为修正变量，经过增益矩阵L反馈到复制系统的输入端构成闭环系统。之所以引入矩阵L，是因为可以用矩阵L来调节重构系统收敛于实际状态的速度，除此之外矩阵L还可以在观测器初始状态与实际系统初始状态不重合时迫使重构状态在一定时间内收敛于实际状态。下面就要对状态观测器进行极点配置使其很好的跟随原系统的状态，理论上只要A-L*C矩阵的特征值（也是状态观测器的极点）的负实部全部都比原系统的特征值的负实部小，就可以使得重构状态很好的跟随原系统的状态x。对于本次的设计的系统来说，原系统的特征值分别为3.4529， -3.4529，0，0。设计观测器的目的是对系统的状态进行重构,使得其很好的跟随原状态，用这些重构的状态进行状态反馈，设置状态反馈器。图11 重构状态反馈控制在仿真时，期望系统极点为-2+i -2-i -10 -20，观测器极点为-10+5i -10-5i -50 -100，系统输入为常量1 1T，系统初始状态为1 1 1 1T，全维状态观测器初始状态为0 0 0 0T.图12 使用重构状态进行反馈控制时系统实际状态 图13 使用重构状态进行反馈控制时观测器重构的状态由图得出采用重构状态进行反馈控制依然能够使系统镇定，显然也可以改善系统的性能。状态观测器在与实际系统构成闭环时依然能够在一定时间内实现重构状态对实际状态的跟踪，采用重构状态进行反馈控制与采用实际状态进行反馈控制只在仿真初期存在较小差异，随着时间推移，差异最终收敛于0，这说明，只要使用足够快速的状态观测器，使用重构状态进行反馈控制完全可以完成对系统性能的改善。2、降维状态观测器考虑到系统的输出已经包含了系统状态的部分信息，因此直接利用这部分信息可以构造出维数低于被估计系统的状态观测器，即降维状态观测器，降维观测器需要较少的积分器就可以构成，简化了观测器的结构，因此在工程应用中更具有意义。类似于全维状态观测器的讨论，本节研究观测器与被估计系统构成闭环时的状态。降维状态观测器的求解过程如下。 C2 = -0.7 1.0000 0 0 0 -1.2065 1.2065 0D2 = 0 0 0 -0.0165 1) 选取阶常数矩阵使得矩阵满足2) 计算其中3) 计算其中4) 选取使得矩阵具有期望特征值或者，经过计算可以得到观测器增益矩阵或者5) 根据以下公式搭建降维状态观测器为搭建仿真框图方便起见，取以下代换图14 降维状态观测器框图若不特殊说