（固体力学专业论文）边界元法中奇异积分问题的研究及其在固体力学中的应用.pdf

中国科学技术大学博士学位论文：边界元法中奇异积分问题啦_ 研究垦其理体塑堂趱应旦 摘要 本文综述了目前边界元法研究现状和进展，分析了边界元法长期以来存在着超奇异积分和 一 几乎超奇异积分的计算难题，该问题一直困扰着边界元法的应用范围和效率。 ，文中针对二维边界积分方程中几乎奇异积分问题，取用二节点线性单元，剖析了边界积分 方程中出现几乎奇异积分的根源。提出了接近度概念，定量地度量单元上积分发生几乎奇异性 的程度。作者寻找到一些积分公式，采用分部积分法将几乎奇异积分转化为无奇异积分和解析 积分之和，从而获得正则化算法。针对三维边界元法中几乎奇异面积分问题，取用三角形线性 单元，在三角形平面内采用极坐标( p ，目) ，建立一种半解析算法，对变量p 施用分部积分法将 几乎强奇异和超奇异面积分转化为沿单元围道的一系列线积分，然后o a u s s 数值积分能够胜任 这些线积分的计算。对于高阶单元，提出将高阶单元细分为若干线性单元的策略进行处理。对 二、三维问题的几乎奇异积分分别给出了数值实验，即使接近度非常小，本文方法计算值与精 确值非常一致。 本文将正则化算法和半解析算法运用于二、三维弹性力学问题边界元法中，直接地计算出 单元上的几乎强奇异和超奇异积分，成功地求解了近边界点的位移和应力。与已有算法比较， 本文方法简单，易于施行精度高。同样，本文方法在边界元法计算位势问题中几乎超奇异积 分也获得成功。另则，因为几乎奇异积分的障碍，一种观点认为边界元法无力求解薄壁弹性体 问题，本文的正则化算法同样成功地计算了源点在边界时的边界积分方程中几乎奇异积分，显 示了边界元法能够有效地分析薄壁结构及组合结构。 导数场边界积分方程中存在着超奇异主值积分的计算屏障。对于弹性力学平面问题，本文 提出以符号算子万，和( 排列张量) 分别作用于位移导数边界积分方程，运用一系列数学技巧 将边界位移、面力和位移导数变换为新的边界变量，从而获得一个新的导数场边界积分方程一 自然边界积分方程。自然边界积分方程仅存在c a u c h y 主值积分，文中导出了相应的主值积分列 式和奇性系数。自然边界积分方程与位移边界积分方程联合可直接获取边界应力，并且精度与 位移相当。自然边界积分方程的一个优点是可以仅在我们感兴趣的局部边界段建立求解。 文中提出联合位移边界积分方程和自然边界积分方程计算二维弹性裂纹体的位移场、应力 场和应力强度因子，结合几乎奇异积分的正则化算法，求解了含狭窄孔洞的高度应力集中问题。 若干算例显示了本文方法计算结果与分析解吻合的很好。因为位移边界积分方程在裂纹面上是 不适定的，本文建议采用位移边界积分方程、自然边界积分方程和差分关系联立求解一般的二 、 维断裂力学问题的位移场和应力场，由此求得应力强度因子。， 里型堂垫查_ 大堂堕圭堂些堡塞：望墨垂鲨鱼墨堡坌囹墅盟堑窒墨基垄壁堕查堂堕生旦一一 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dd e v e l o p m e n to f t h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d s ( b e m s ) i sb r i e f l yr e v i e w e d t h e r ee x i s t st h ed i f f i c u l t yo f t h ee v a l u a t i o no ft h eh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l sa n d n e a r l yh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l si nt h eb e m s ，w h i c hh a v eb e e nd i s t u r b i n gt h ea p p l i c a t i o n so f t h e b e m si ne n g i n e e r i n g t h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l so c c u ri nt h eb i e sw h e nas o u r c ep o i n ti s c l o s et oa ni n t e g r a t i o n e l e m e n t ( a sc o m p a r e dt oi t ss i z e ) b u tn o to nt h ee l e m e n t f o rt h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l s l nt w o d i m e n s i o n a lb e m s 1 i n e a ri s o p a r a m e t r i ce l e m e n t sw i t ht w on o d e sa r eu s e d t h e n ，t h ec o n c e p to f a p p r o a c hd e g r e e i sd e f i n e d ，w h i c hi su s e dt od e s c r i b ep o s s i b l ei n f l u e n c eo fs i n g u l a r i t yo ft h e i n t e g r a l s b ym e a n so f s o m ei n t e g r a lf o r m u l a t i o n s ，t h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l sa r el e dt ot h es u m o f a n a l y t i c a lp a r t sa n dn o n s i n g u l a ri n t e g r a l sb yu s i n gi n t e g r a t i o nb yp a r t s t h ep r o c e d u r e i st e m e d t h e r e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h m c o n s i d e rt h et r i a n g u l a re l e m e n t s w i t l lt h r e en o d e sf o rt h f e e d i m e n s i o n a lb e m s b vt h ei n t r o d u c t i o no ft h ep o l a rc 0 0 r d i n a t e s ( p ，0 ) i nt h ep l a n eo fe a c h t r i a n g u l a re l e m e n t ，as e m i a n a l y t i c a la l g o r i t h m i s d e s i g n e d f o re v a l u a t i n gt h en e a r l y s t r o n g l y s i n g u l a r a n dh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l s t h en e a r l y s i n g u l a r s u r f a c e i n t e g r a l s o nt h ee l e m e n ta r e t r a n s f o r m e dt oas e r i e so fl i n ei n t e g r a l sa l o n gt h ec o n t o u ro f t h ee l e m e n tw i t hi n t e g r a t i o nb yp a r t s t h e n s t a n d a r dg a u s s i a nq u a d r a t u r ec a np r o v i d ev e r ya c c u r a t ee v a l u a t i o no ft h er e s u l t i n g l i n e i n t e g r a l s f o rt h er i s eo fh i g h e ro r d e re l e m e n t s ，t h es u b d i v i s i o nw a y sa r ep r o p o s e d ，i e ，u t i l i z i n g s o m el i n e a r e l e m e n t s ( f o r t w o d i m e n s i o n a ib e m s ) o rs o m et r i a n g u l a re l e m e n t s ( f o rt h r e e d i m e n s i o n a lb e m s ) i n s t e a do ft h eo r i g i n a le l e m e n to n l yw h e nt h en e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l so nt h e e l e m e n tn e e dt ob ed e t e r m i n e d t h er e s u l t so ft h en u m e r i c a li n v e s t i g a t i o n si l l u s t r a t et h ea c c u r a c y a n de f f e c t i v e n e s so f t h er e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h ma n ds e m i - a n a l y t i c a la l g o r i t h m t h e r e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h ma n ds e m i - a n a l y t i c a la l g o r i t h ma r ea p p l i e dt ot w o - d i m e n s i o n a la n d t h r e e d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t yp r o b l e m s t h en e a r l y s t r o n g l y a n dh y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l so nt h e b o u n d a r ye l e m e n t sa r ed i r e c t l yc a l c u l a t e d a sar e s u l t ，t h ed i s p l a c e m e n t sa n ds t r e s s e sa tt h ep o i n t s c l o s et ot h eb o u n d a r ya r eo b t a i n e dt h ep r e s e n tm e t h o d sa r es i m p l e ，e a s yj nu s ea n da c c u r a t e m o r e o v e r ，t h er e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mi s a l s os u c c e s s f u lf o rc o m p u t i n gt h en e a r l yh y p e r s i n g u l a r i n t e g r a l si nt h eb e m so fp o t e n t i a lp r o b l e m s f o ral o n gt i m e t h e r ei sa no p i n i o nt h a tt h eb e m s a r e d i f f i c u l tf o rt h ea n a l y s i so ft h i na n dn a r r o wd o m a i n s i nf a c t i ti sb e c a u s eo ft h ep u z z l eo fn e a r l y s i n g u l a ri n t e g r a l s t h ep r e s e n tr e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mi s a l s ou s e dt oc o m p u t et h en e a r l ys i n g u l a r i n t e g r a l si nb i e so fe l a s t i c i t yp r o b l e m sw h e nt h es o u r c ep o i n ti so nt h eb o u n d a r y t h i ss h o w s t h a t b e m sa r es u i t a b l et od e a lw i t ht h et h i n w a l l e ds t r u c t u r e sa n dc o m p o s i t es t r u c t u r e s d e r i v a t i v eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n su s u a l l yc o n t a i nh a d a m a r df i n i t e p a r ti n t e g r a l sw h o s e e v a l u a t i o ni sa l s od i f f i c u l ta l t h o u g ht h eo r i g i n a lp r o b l e m sa r en o ts i n g u l a r f o rt w o d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t y ，t h e a u t h o rt a k e st h e o p e r a t o r s 毛a n d ( p e r m u t a t i o ns y m b o l s ) t o a c to nt h e d i s p l a c e m e n td e r i v a t i v eb i e s t h e n ，t h eb o u n d a r yd i s p l a c e m e n t s ，t r a c t i o n sa n dd i s p l a c e m e n t d e r i v a t i v e sa r et r a n s f o r m e di n t oas e to fn e w b o u n d a r yv a r i a b l e si nt e r m so ft e d i o u sm a n i p u l a t i o n 生里型堂苎查盔堂堕主兰垡笙皇! 望墨重鲨童墨堡坌塑望塑堑塞墨基垄回签查堂! 盟查旦 i tp r o d u c e san e wd e r i v a t i v eb 1 e s ，t e r n l e dn a t u r a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s t h en a t u r a lb i e s o n l yc o n t a i nt h es t r o n g l ys i n g u l a ri n t e g r a l s ，w h i c ha r ee a s i l ye v a l u a t e d ，i n s t e a do f t h eo r i g i n a l l y h y p e r s i n g u l a ri n t e g r a l s t h en a t u r a lb i e sc a nb em a n a g e d t oo b t a i nt h es a m ea c c u r a t eb o 叽d a r y s t r e s s e sa st h ed i s p l a c e m e n t st o g e t h e rw i t ht h ed i s p l a c e m e n tb i e s o n eo f a d v a n t a g e so f t h en a t u r a l b 厦si st h a to n eo n l yn e e d st oe s t a b l i s ht h en a t u r a ib i e sa ts o m en o d e so nt h el e t a lb o u n d a r yf o r w h i c ht h es t r e s s e sa tt h e s en o d e sa r er e q u i r e d f u r t h e r m o r e ，ac o m b i n a t i o no ft h en a s a lb i e sa n dd i s p l a c e m e n tb i e sc a na l s ob eu s e dt o c a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n t s s t r e s s e sa n ds t r e s si n t a n s i t yf a c t o r so fl i n e a re l a s t i cf r a c t u r ei nt w o d i m e n s i o n s w i mt h ea d d i t i o no ft h er e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h m ，t h eh i g i ls t r e s sc o n c e n t r a t i o no f e l a s t i c i t yp r o b l e m sw i t hs o m en a 仃o wh o l e si ss o l v e d t h en u m e r i c a ir e s u l t so fs e v e r a le x a m p l e s d e m o n s t r a t et h a tt 1 1 es o l u t i o n so f t h ep r e s e n tm e t h o da r ei ne x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t ht h ep u b l i s h e d r e s u l t s i ti sw e l ik n o w nt h a tt h ed i s p l a c e m e n tb i e sa r en o ts u f f i c i e n to nc r a c ks u r f a c e s i nt h e t h e s i s ，t h ec o u p l i n gf o r m u l a t i o n so fd i s p l a c e m e n tb i e s ，n a t u r a lb i e sa n dd i f f e r e n c er e l a t i o n sa r e s u g g e s t e di uo r d e rt oc a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n t s ，s t r e s s e sa n ds t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o rg e n e r a l l i n e a re l a s t i cf r a c t u r ep r o b l e m si nt w o - d i m e n s i o n s ， 第一章绪论 第一章绪论 1 1 对固体力学和计算力学的认识 力学的历史可追溯到人类使用工具开始，远古人类对力的原理就有直观的认识和运用。 力学的精确化理论开始于牛顿( 1 6 4 3 1 7 2 7 ) 发表的自然哲学的数学原理( 1 6 8 7 ) 。牛顿用 数学方法定量化描述了物体机械运动的规律，建立了著名的牛顿运动三大定律，使得力学成 为自然科学中精确化最早的学科之一。 力学，一般而言是研究自然界中介质( 固体、流体、流变体) 相互作用下作低速机械运动 的宏观规律。人类文明的建设自然需要使用材料，材料的物理性质决定了构件承载能力的可 靠程度。固体力学是研究材料及结构系统抵抗外部作用的机理和规律。 固体分为晶体和非晶体两种，晶体是由许多小晶体混合组成的。一般的固体是由许多小 晶体组成的，从宏观上看，某些材料( 如金属) 的力学表现效应可视为各向同性和均匀的。表 征材料抵抗外部作用能力而引入的基本物理量有位移、应变和应力等。人们基于物理定律， 用实验和实践观察的结果建立了结构物的力学量联系，建立力学模型，数学推理，形成力学 的理论体系。在十九世纪上半叶，弹性固体力学获得较系统的发展。n a v i e r ，c a u c h y ( 1 8 2 0 s ) 把弹性体视为连续的微元体( 在数学意义上无穷小，从宏观效应上比晶体大) 进行分析，将线 弹性力学理论归结为一组微分方程边值问题，从微分方程求解中获得弹性结构响应的力学参 数。此后，力学工作者在建立相应的微分方程和寻求方程的解付出了大量精力，得到一些经 典的结果，同时，也丰富了微分方程研究领域。近世纪来，力学为自然科学和工程技术的发 展和繁荣起到了巨大的作用。马克思说过，力学是“大工业的真正科学的基础”i i 】。 尽管力学工作者沉缅于巧妙的数学弹性理论，但限于时代的条件，所获得结果是极少的， 运用到工程中相当有限。对于非线性、塑性本构关系的材料的力学分析更是束手无策。固体 力学研究的困境逐渐牵制了工程技术的旺盛发展。直到上世纪5 0 年代，计算机的诞生，力 学计算获得迅速改观。 1 9 5 6 年，t u r n e r ，c l o u g h 等力学家【2 i 在结构力学矩阵法的直观离散基础上，将平面连续 体剖分为有限个三角形单元和矩形单元，用结构力学的位移法成功地求解了平面应力问题， c l o u g h ( 1 9 6 0 ) 起用了“有限元法”名称。到了6 0 年代，有限元法得到大范围推广应用，风 靡了力学界。有限元法思想把连续区域用几何离散成有限个子域，施用分片插值函数把微分 方程或泛函极值问题转化为代数方程组，由计算机运算，解决了相当范围的力学计算难题。 力学工作者吸取有限元思想后，从力学问题表述的数学方程中，叉创新了其他数值方法。诸 如从势场问题和弹性力学问题的边界积分方程中创立了著名的边界元法，由微分方程转化为 中国科学技术大学博士学位论文：边界元法中奇异积分问题的研究及其在固体力学中的应用 权函数描述的积分方程中建立了加权残值法。由此激励了古老的有限差分法的发扬光大。这 些方法相辆相成，构成了当今的计算力学，它与传统的实验和理论分析形成了力学的三大支 柱。实际上离散思想在r i t z 法( 1 9 0 8 ) ，g a l e r k i n 法( 1 9 15 ) 以及到二十世纪四十年代都曾出现 过，只是在没有高速计算机的时代，这一思想不可能得到延伸和应用。直到五十年代，力学 家及时捕捉到计算机的能力，使力学在科学界再现辉煌。计算力学的影响分为以下方诬进行 阐述【3 j o 1 计算力学催化了力学在工程技术中的应用 计算力学的分析软件与计算机设计的结合，使建筑、机械等工程结构的c a d 、c a e 系 统成为可能，也使结构的优化设计走向实用。如今的计算力学应用软件得到了一定的开发和 商品化，如有限元法软件m s c n a s t r a n 、m s c d y t r a n 、a b a q u s 、l s - d y n a 3 d 、a n s y s 和m a r c 等，极大地提高了机械、建筑、桥梁、航空、舰船、兵器等工程中复杂结构力学 问题的分析能力。计算力学应用到工程中产生了许多新生长点：计算力学和最优控制理论； ， 金属锻压和铸造工艺中的成型力学：塑料模具的注塑成型：多点异相位地震波输入下结构的 随机响应；设计机器人柔性体动力学分析等【4 】。 2 计算力学推动了基础力学研究向深度和广度进军 对于线弹性理论，数学描述相对简单，首先得到应用。实际上：( 1 ) 结构的形状是复杂 的；( 2 ) 结构的本构关系是非线性、非弹性、非均匀的，如土、岩石、复合材料；( 3 ) 结构的 外部作用的影响是多样的；( 4 ) 结构在动力的作用下，力学行为又包含了时间因素。上述现 象经常是并存的，其实验、理论体系从十九世纪就陆续发现，并建立了一些，但除了极少数 问题获得实验、理论分析解外，求解的艰难阻碍了已有理论在工程中的应用。因而制约了力 学理论的深入推进。迄今，计算力学缓解了力学计算能力的矛盾，推动人们进一步探索物质 结构更深层的力学规律。今日，力学实验和理论分析作为基础科学，再次使力学工作者倾注 了大量的精力。例：( 1 ) 根据单晶体材料( 岩石) 构造，其理论计算强度可达到2 0 0 0 n m m ：， 而宏观实验，该材料在承受5 n m m 2 的拉应力便破坏，这是材料细观缺陷所致。依赖物理 学揭示物质微观构造，力学界已热衷于细观和微观力学的研究领域：( 2 ) 探索人体构造和血 液循环等方面的生物力学；( 3 ) 地质构造力学：( 4 ) 复合材料力学，研究人造高强度、特殊性 能材料的力学性质，提供构造高强度材料的依据h 5 1 。 3 有限元思想为其他数值方法和其他学科所借鉴 在有限元法推广前，其他学科与力学同样存在寻解的困难。到了二十世纪7 0 年代力学 家、数学家证明了有限元离散插值的收敛性，完善了有限元法的数学基础，又联手将有限元 法上升为微分方程数值解的一般性方法。边界元法在将近晚十年后，也经历了同样的发展过 程。近十年来发展的有限元线法t 6 3 , 1 0 3 l 继承了有限元法思想，在多维场问题分析中，暂保持 2 第一章绪论 一个方向非离散，其余方向采用有限元离散，最后导出一组常微分方程边值问题，然后用常 微分方程边值问题求解器【1 0 8 , 1 1 0 获解。在许多情形下，有限元线法解可显示出半解析法的特 征。各种数值方法的研究和发展也丰富了应用数学研究的新素材和用武之地。以有限元法为 主的计算力学方法和原理推广到其他学科中，突破了一批场域问题难解的僵局，如热传导、 扩散、对流、声场、电磁场、化学反应等问题。同样，计算力学不断吸取计算数学、计算机 科学和其他学科的成果而向纵深发展。 1 2 边界单元法 在位势理论和弹性理论中，其微分方程问题的边界积分方程提法早在十九世纪就已出 现。直到二十世纪5 0 年代，由于计算技术的局限，人们仅能立足于寻求解析解。因此，除 了在流体和位势等问题中的一些简单情况下得到平淡的结果【6 i 。在这相当长期间内，边界积 分方程求解路径无法引起人们的兴趣。 到了二十世纪6 0 年代，计算机的应用，有限元法的离散思想被及时地应用到边界积分 方程求解路径中，创建了基于边界积分方程的数值解法。在此，开创性的贡献应归功于 j a s w o n 7 1 和s y m m t 8 1 ( 1 9 6 3 ，间接边界元法) ，他们分别求解了位势问题。r i z z o t 9 ( 1 9 6 7 ，直接 边界元法) 求解了线弹性二维问题，c r u s e ” ( 1 9 6 9 ) 推广到三维弹性力学问题。此期间有关工 作还有b a n a u g h 和g o l d s m i t hr “】等。边界积分方程法( b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d b i e m ) 的术语首先是由r i z z o ( 1 9 7 3 ) 起用的。1 3 a n e r j e e t ”j 和b r e b b i a f ”】后来又命名为边界元法 ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d - - b e m ) 。此两种名称均被人们接受，后者用的更为广泛。 边界元法求解均匀介质场的线性边值问题时，一般是在区域的边界上进行离散插值，边 界积分方程精确表征了域内的定量关系，求解的代数方程组未知量仅为边界节点未知量。相 对于同时代的有限元法( f e m ) ，边界元法的计算量大大减少，求解对象离散的维数降低了， 其奇异基本解的散射性质自动满足了无限远处的边界条件，故易于无限域问题的求解。正因 为利用了基本解的解析性质和在边界上离散，边界元法更可能得到高精度的数值解，有时被 称为半解析方法。事实证明，边界元法在求解某些应力集中和断裂力学问题时有较大的优势。 由于边界元法上述显见的优点，近二十五年来，吸引了众多的力学工作者，二十世纪七十年 代和八十年代在力学界掀起了边界元法的研究热潮。经过近三十年的发展，边界元法己成为 微分方程初、边值问题的一个重要的数值解法，被成功地应用于固体力学、流体力学、热力 学、声场、电磁场等相关工程问题中【1 4 , 15 。在固体力学方面，沿着有限元法应用的路径，边 界元法已用于下列情况的力学分析：弹性结构f 9 j 0 , 1 6 - 1 5 1 ，非弹性结构及蠕变问题1a 9 - 2 _ ，1 ，板壳 结构【2 02 4 2 6 1 ，地基基础 2 0 2 7 i ，结构动力响应 6 , 2 5 , 2 8 - 3 t 1 ，复合材料结构 3 2 , 3 3 i 。边界元法在反问题 中应用 3 4 - 3 6 ，对线弹性体，根据外部边界的较多信息，寻求弹性体内部孔洞的位置和尺寸。 边界元法在接触问题中也应用的较为成功【3 7 “i ，因为物体接触条件通常由边界位移和面力描 3 旦型堂垫查盔兰堕主堂篁丝塞! 望量垂鎏主鱼墨堡坌间壁盟竺塑墨苎垄璺签垄堂主堕鏖旦一一 述，这正是边界元法的基本未知量。边界元法在断裂力学计算中获得显著成就，这一直是边 界元法应用研究的重点，成果层出不穷( 4 1 - 5 0 】。 边界元的方法研究成果是非常丰富的。从最初的间接边界元法【7 8 】到直接边界元法限”】。 在弹性力学问题中奠定了所谓的常规边界元法0 1 ( c r u s e ，1 9 6 9 ) ，即以位移和面力为基本变量。 、 此后，许多研究者发展了边界元法的优点或针对应用范围或避开和解决某些技术障碍，陆续 提出和建立了边界元法的新形式。n a r d i n i 和b r e b b i a ( 1 9 8 2 ) 提出了对偶互易边界元法( d u a l r e c i p r o c i t yb e m ) 【5 0 1 ，使用互易定理( 分部积分) 将一般的体力项域积分化为边界积分，显著减 少了计算量。由于常规的位移边界积分方程在裂纹面是不适定的1 ，h o n g 和c h e n 5 1 1 ( 1 9 8 8 ) 提出了面力边界积分方程与位移边界积分方程联立，直接解闭合裂纹问题，其应用见文 4 2 ，4 4 1 。g h o s h 等m 】对二维弹性问题推导出以位移沿边界切向导数和面力为变量的边界积分 方程，把基本解中强奇异积分核降低为弱奇异积分。雷小燕对二维弹性问题和r e i s s e r n 板问 题建立了一组新变量的边界积分方程 5 3 - 5 5 j ，可以直接求出边界应力。随机边界元法印删，有 些问题的材料参数、荷载参数的不确定性，被视作为随机变量，采用边界元法对结构作灵敏 ， 度分析，计算结构响应的均值和标准差，供结构可靠度分析。g a l e r k i n 边界元法 6 1 , 6 2 】的研究 在欧洲非常盛行，采用双层内积构造出对称的系统方程。杂交边界元法的研究是非常活跃的， 最早为s c h n a c k “j ，d u m o n t l 6 5 1 ，d e f i g u e r d o t “j 分别提出的，此后得到持续发展和应用f 6 6 w ， 形成位移杂交边界元 6 7 , 6 8 1 ，应力杂交边界元【7 2 】等，杂交边界元的一个主要目标是构造对称的 系统方程和有限元法相协调的交接变量。人们很自然想到边界元法和有限元法联合求解问 题，发挥两大方法的优势。在固体力学中，有限元法适合于有限域中复杂多样的几何形状、 非均匀物理介质和非线性变形，边界元法适合于无限域和应力集中区域。此方面最早的工作 是z i e n k i e w i c z 等m 1 ( 1 9 7 7 ) ，t s a i 和l e e t 7 4 】用有限元、边界元耦合方法分析了坝体一水耦合 的自由振动问题。由于常规边界元法的代数方程是非对称的，后来研究者致力于杂交边界元 法与有限元法耦台，两种方法耦台应用见文 7 5 7 8 】。自适应边界元( a d a p t i v eb e m ) 求解技术 根据边界元误差分析结果构造自适应网格和插值函数，近年来，此方面文献逐渐增多i m s 3 1 ， 基本上是针对二维问题。在边界元法实施的过程中，一些关键技术问题一直牵制着边界元法 研究者的大量精力，如边界积分方程中的主值积分和几乎奇异积分难题 s 4 - s 6 】、基本解寻找、 误差估计 8 7 - $ 9 1 等等。 众所周知，尽管边界元法具有降维和高精度的优点，但相对有限元法来说，目前存在着 不足之处：( 1 ) 边界元法的最后代数方程组是稠密的且非对称的，在非线性控制区域，需要 进行域积分，这削弱了其优势：( 2 ) 边界元法要求应用对象的边界积分方程存在，因而要求 域内物理介质的性质是充分均匀的，这限制了边界元法的灵活性：( 3 ) 边界元法要求的数学 一 工具繁杂且难度大，如奇异积分问题、基本解的寻找、数学分析的多样化，这使得边界元法 通用程序的制作难度较大。不利于在工程中普及应用。 有限元法通常要求问题的变分原理存在，基于积分方程在全区域内完全离散，对求解问 题的特征不加以利用，挟持着庞大的代数方程组而获得普适性和通用性，有限元法被认为是 - 4 - 第一章绪论 计算力学中最主要方法。由于边界元法显著的求解能力和优势以及所获得的成就，使它成为 计算力学中主要方法之一，也是有限元法的重要补充。在边界元法适用的范围内，边界元法 的计算效率较商，在应力集中区域的成功，不仅仅是计算量节省的效益。边界元法持续研究 的成果在逐渐完善其不足之处。每个方法的生命力不仅在于一定的长处，还应具有与其他方 法的联合应用，边界元法与有限元法的耦台也获得了成功。 正因为边界元法对研究问题的特征预先加以解析和利用而获得数值处理的高效率，造成 了边界元法形式的多样性，同时给人们留下了发展和游刃有余的研究空间，其研究的成果均 孕育着直接和潜在的效能，因此边界元法的研究工作一直在蓬勃发展中。 1 3 本文工作的背景 目前。边界元法的研究工作一方面向工程应用发展，另一方面在不断完善已有的算法和 建立边界元法的新算法。实际上，在整个边界元法研究的进程中，还存在着若干未能充分解 决的难题，如边界积分方程中的奇异积分和几乎奇异积分计算问题，导数场边界积分方程的 主值积分及实用性问题。这些基本问题牵制了边界元法的深入研究，限制了边界元法的应用 能力。本文着手解决边界元法中奇异积分难题，以此应用于固体力学的分析中。下面简述本 文研究工作的要点及当前的现状。 1 边界积分方程中几乎奇异积分的计算 在用边界元法求解任何问题时，当边界上的末知量求出后，域中内点参量可由内点积 分方程直接积分求出。但是当内点逐渐靠近边界而又不在边界上时，内点参量的计算误差逐 渐增大，直至失真。特别是积分方程中基本场变量的导数值失真更快。产生这一现象的原因 是几乎奇异积分问题。边界元法存在着边界点和近边界点奇异积分难以计算的麻烦。目前处 理几乎奇异积分问题的主要方法有c r u s e 等的坐标变换法 9 4 , 9 7 1 ，在单元的局部坐标系做半解 析积分；s l a d e k 等t 9 2 29 ，】使用与源点最近的边界点上的参量来计算近边界上的物理量；壬有 成和陈海波等提出的特解场法 1 0 0 , l o l l ，用简单的应力场模拟待求的应力场，反推出近边界点 奇异积分的数值。这些方法取得了许多成效，但总体来说，还存在不足，还有局限性。在边 界元法研究的三十余年中，几乎奇异积分问题一直困扰着边界元法研究者，至今仍未获得满 意的解决。 针对这一难题，本文提出一个新的半解析解法，直接计算出边界元法中几乎强奇异和超 奇异积分，并用于二维、三维弹性结构和位势问题的物理场分析。 2 导数场边界积分方程及其主值积分问题 边界元法中，主值积分是基本的和不可避免的计算任务。弹性力学中常规的边界元法是 5 主旦型兰蕉查查堂堂主堂垡丝塞! 望墨垂鲨主鱼曼塑坌囹望丝堕塞垦基垄回堡查堂! 堕查旦一 基于位移边界积分方程的离散【：- 1 ，求得边界位移“。和面力f ，。当求边界应力时，最直接的 方法是对位移形函数沿边界切向求导获取锄，o s ，这产生了二次近似。如果采用所谓的应 力边界积分方程，则遇到超奇异主值积分的障碍。基于应力边界积分方程的特解场法 【i o m 9 1 m 1 可以间接地获得近似的边界应力，这适合于源点处应力变化平缓的场合。为避 开导数场积分方程中超奇异积分问题，较多采用的路径是通过g a u s s 或s t o k e s 定理将超奇 异积分核降低为强奇性e 1 2 s s m ，这里减轻的负担被转嫁到基本变量的导数值上，如在弹 性力学中增加了位移导数未知量。实际上，此中产生的强奇异主值积分也未能完善地解出。 g u i g g i a n i 等f 】0 4 t o ，v 1 9 9 0 ，1 9 9 2 ) 在源点处采用极限分析方法直接求出基本场变量边界积分方程 中的c a u c h y 主值积分。如果超奇异主值积分单独存在，g u i g g i a n i 等4 ，”的解法应能够胜 任。本文作者沿用文【1 0 4 ，1 0 5 ，4 2 】的极限分析方法分别解析了面力边界积分方程中超奇性和 强奇性主值积分，两者积分的奇异部分在角点或面力f ，不连续的边界点处难以自行消除，两 者积分之和的存在性是大家的共识，但目前未能找到求和的路径。 本文基于二维问题的位移导数积分方程建立一个新的导数场边界积分方程，仅含有容易 求解的c a u c h y 主值积分。 3 断裂力学中的边界元法 裂纹附近的力学场梯度变化非常大，裂尖处的应力是奇异的，相对于有限元法，边界元 法计算断裂力学问题有突出的优势。边界元法仅在边界离散，工作量小，精度高，易于处理 裂尖的奇异场。c r u s e t 4 7 1 ( 1 9 7 5 ) 首先采用边界元法解断裂问题。目前用边界元法分析断裂问 题的主要算法有如下几种；( 1 ) 子域法i ”4 1 ，位移边界积分方程应用于裂纹面离散时将是不 适定的1 4 7 i ，因为理想裂纹的上、下表面在几何上是重合的，独立的边界积分方程仅有一个。 为此，b l a n d f o r d 等4 1 采用了子域法，人为引入内边界将裂纹剖分为单面情形，再用位移边 界积分方程，此时增添了内边界的节点量。这里成功应用了四分之一奇异单元模拟裂尖奇异 性【1 “l 。( 2 ) 裂纹面张开位移法( c o d ) 5 - 1 1 7 , 1 1 2 , 1 13 , 1 ”1 ，在裂纹面以裂纹张开位移为未知量， 采用位移和面力边界积分方程，此时必须处理超奇异积分问题。s l a d e k 等【”s 】用分部积分将 超奇异积分转化为强奇异积分。z h a n g 等【1 1 6 , 1 1 7 1 使用一个弹性守恒积分导出了不含超奇异积 分的面力边界积分方程。这些处理增加了c o d 导数的新未知量。( 3 ) 对偶边界元法 4 1 , 4 4 , 5 1 1 ， h o n g 和c h e n 提出在裂纹面采用位移和面力边界积分方程1 ”1 ，以位移和面力作为基本未知 量。文 4 4 ，4 1 】作了详细分析，其中的奇异主值积分用 1 0 5 ，1 0 4 的极限分析方法和非连续单元。 后两种方法可直接解一般的闭合裂纹问题，但因用到导数场边界积分方程而遭遇超奇异积分 的困难。本文对二维弹性裂纹问题引用一个新的导数场边界积分方程，与位移边界积分方程 联合可以求解二维断裂力学问题。 - 6 第一章绪论 1 4 本文工作的目的和内容 本文作者依据上述的调研，刻意分析了奇异积分计算难题在边界元法发展进程中一直存 在的负面影响和阻障。本文主要目的是寻求通用的正则化积分方法，充分地解决边界元法中 的几乎强奇异和超奇异积分问题；针对二维弹性问题，提出一个新的导数场边界积分方程， 将超奇异主值积分转化为容易计算的c a u c h y 主值积分；将两者研究结果应用于固体力学的 数值分析中。主要内容如下： 第二章，列出弹性力学问题的常规边界积分方程，剖析由于求解近边界点参量所引起的 几乎奇异积分难以计算的根源，提出度量几乎奇异积分的接近度概念。使用一些积分的解析 表达式，用分部积分手段将奇异因子移出单元的积分式之外，所有的几乎强奇异和超奇异积 分被转化为无奇异的正则积分和解析积分之和，由通常的g a u s s 数值积分解出。这一正则化 过程是基于一般的线积分建立的，故直接适用于二维问题的边界元法。 第三章，将第二章提出的几乎奇异积分计算的正则化方法应用于弹性力学边界元法： ( 1 ) 求解一股的二维线弹性问题的近边界点位移和应力；( 2 ) 应用于狭长弹性体的边界积 分方程中；( 3 ) 应用于相邻单元尺寸相差