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函数热点题型复习安徽明师1、开放型问题例1（1）已知直角坐标系内，点P的纵坐标是横坐标的3倍，请写出过点P的一次函数的解析式（至少三个）_（2）某函数具有下列两条性质：图象关于原点O成中心对称；当x0时，函数值y随自变量x的增大而减小，请举一例（用解析式表示）：_（3）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c，0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是_（只要求写出一个可能的解析式）解（1）设点P的坐标为(a， 3a)，过点P的一次函数的解析式为y=kx+b(k0)取a=1，把P(1，3)代入y=kx+b，得k=3-b令b=1，则k=2，y=2x+1；令b=2，则k=1，y=x+2；令b=4， 则k=-1，y=-x+4；可见仅取a=1，满足条件的一次函数的解析式就有无数个（2）根据所学的几个函数的图象特征，可知在一、三象限的反比例函数具有所述的性质如y=1/x，y=2/x等（3）依题意，得解得：；y=x24x+3，或y=x24x点评三个小题都是确定函数的解析式，且有一个共同特点，所确定的解析式都是开放型的解答这类题，一定要抓住所求函数解析式具有的条件或性质来思考2、综合性问题例2如图，已知直线PA是一次函数y=x+n(n0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(mn)的图象（1）用m、n表示出A、B、P点的坐标；（2）若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是，AB=2，试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式分析由（1）易得P点坐标的表达式，要确定P点坐标，需求出m、n的值，关键是将四边形PQOB的面积、AB的长用m、n的代数式表示，得到关于m、n的方程四边形PQOB是一般四边形，其面积可通过三角形面积的和差表示，这是解这类问题的基本策略解（1）A(-n，0)，（2）连接PO，则依题意：m0，n0， S四边形PQOB=SPOB+ SPOQ=5/6，AB=2，解得：m=2，n=1故P点坐标为（1/3，4/3），直线PA的解析式是y=x+1，直线PB的解析式是y=-2x+2点评在求三角形的面积时，如果利用底与高的积的一半这个公式，尽可能使底边处在与x轴或y轴平行的位置上，如有底边在x轴或y轴上则更好，如若不能满足以上条件，则可设法利用图形面积的和差去完成转化例3已知：如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，它与抛物线y=ax2在第一象限内交于点P，又知AOP的面积为9/2，求a的值分析欲求a的值，需求出二次函数的图象与直线l的交点P的坐标，为此，先求直线l的解析式由AOP的面积是9/2，且OA=4，故可求出P点的纵坐标，代入到直线的解析式中，则横坐标也可求出由于点P在y=ax2的图象上，代入到y=ax2可求a值解设直线的解析式为y=kx+b，则解得：k=1，b=4直线l的解析式是y=-x+4设P点的坐标为（m，n），SAOP=9/2，OA=4，1/24n=9/2，n=9/4 点P在直线l上，9/4m+4，得m=7/4，故P点的坐标为（7/4，9/4），P点在抛物线上，将m=7/4，n=9/4代入到y=ax2，得9/4=a(7/4)2，a=36/49点评如果题目中有三角形的面积，要注意结合图形观察顶点的横坐标与纵坐标，对于此题来说，由于AOP的底边OA的长已知，因此P点的纵坐标即为AOP中OA边上的高在直角坐标系中的几何图形，往往可以和函数图象结合起来，通过函数解析式，利用函数性质寻找解题的途径，它即可以解决一些数值计算问题，又能推理论证，把平面几何图形的问题放在坐标系中，与函数知识相结合，需要用数形结合的方法来解3、文字信息题问题例4由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点(1，0)，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（）过点(3，0)顶点是(2，-2)在x轴上截得的线段长是2与y轴的交点是(0，3)解本题的迷惑性在于部分题设条件被墨水污染，既已污染不能复原，说明并不影响问题的解答，应果断弃之，另辟蹊径其实，可将结论中“二次函数的图象关于x=2对称”也作为已知条件，所以：从而易求得二次函数的解析式：y=x2-4x+3由此，逐一验证选择题项，只有(B)不成立点评 文字信息题问题要根据题中的信息，综合把握，全面分析，寻找解题思路4、理解与判断问题例5已知二次函数y=4x2+mx+1/16m2+1/16m，当m取任一实数值时，它的图象都是一条抛物线（1）甲同学说:当m取任何不同的实数值时，所对应的这些抛物线都是完全相同的形状；乙同学说：m取不同的实数值时，所对应的抛物线的形状也不相同，你认为谁的说法正确，为什么？（2）若m=1，m=2时，所对应的抛物线的顶点分别为A、B，请你求出直线AB的解析式；并说明，无论m取任何实数值所对应的抛物线的顶点总在直线AB上（3）当y值恒大于零时，试求m的取值范围解第（1）问是一道评述题，可以把所给的二次函数解析式化为y=4x2+mx+1/16m2+1/16m=4(x+m/8)2+1/16m因为抛物线的形状，只与二次项的系数有关，所以当m取任何不同的实数值时，对应的这些抛物线都与抛物线y=4x2有完全相同的形状因此，可断定甲同学的说法是正确的对于第（2）问，将m=-1，m=2代入顶点坐标(-8/m，m/16)，得到两个顶点A、B，易求得直线AB的解析式为y=1/2x，抛物线的顶点为(-8/m，m/16)，将顶点坐标直接代入即可验证第（3）问，利用抛物线的图象分布规律，知其抛物线的开口向上，故要使y的值恒大于零，抛物线与x轴必无交点，这说明必须有0，也就是：=m2-44(1/16m2+1/16m)=-m0当m0时，y的值恒大于零点评通过阅读理解题意，综合运用函数的概念、性质进行全面分析与解答5、函数应用问题例6聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民的生活环境，并吸引更多的人来聊城观光旅游，决定古运河城区段实施二期开发工程现需要A、B两种花砖共50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务?若能，按A、B两种花砖的生产块数，有哪几种生产方案?请你设计出来(以万块为1个单位且取整数)；(2)试分析你设计的几种生产方案哪种的总造价最低?最低造价是多少？解本考题，首先让考生明确在现有原料数量的范围内安排A、B两种花砖的生产块数，这样安排就不允许超过甲、乙两种原料所需数量，故可设安排生产A砖x万块，则生产B砖为(50-x)万块依题意，便得不等式组：解得30x32因为题中隐含着x为整数，所以x只能取30、31、32；相应地(50-x)的值为20、19、18故相对应形成三种生产方案，这是第(1)问的解题思路 对于第(2)问需建立造价与砖块数的函数关系式，设总造价为y万元 依题意，得y=1.2x+1.8(50-x)-0.6x+90此一次函数y随x的增大而减小要使总造价最低，x只能取32，所以最低造价为：-0.632+9070.8(万元)点评如何利用现有原料，按规定要求完成生产任务，使造价控制在最底限度内，是生产经营者追求的主要的经济效益指标命题者出于考查学生的社会活动能力，有意设计这样的考题，其目的是让学生进行科学决策例7某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告根据经验，每年投人的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x(十万元) 012y 11.51.8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由关系表，得解得：因此，所求函数的解析式是y=1/10x2+3/5x+1（2）根据题意，得S=10y(3-2)-x=-x2+5x+10（注意：单位统一成十万元）（3）S=-x2+5x+10=-(x-5/2)2+65/4，因为图象开口向下，对称轴为x=5/2又由于1x3，所以当1x2.5时，S随x的增大而增大故当广告费在1025万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大点评近年来，取材于利润问题的应用题比较普遍解答此类应用题，重在构建函数模型6、方案设计问题例8A校和B校各有旧电脑12台和6台，现决定送给C校10台、D校8台，已知从A校调一台电脑到C校、D校的费用分别是40元和80元，从B校调运一台电脑到C校、D校的运费分别是30元和50元，试求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少?解由题意可知，一种调配方案，对应一个费用不同的调配方案对应不同的费用，在这个变化过程中，调配方案决定了总费用它们之间存在着一定的关系究竟是什么样的关系呢？需要我们建立数学模型，将之形式化、数学化方法1：列表分析：设从A校调到C校x台，则调到D校（12x）台，B校调到C校是（10x）台B校调到D校是6-(10-x)即（x-4）台，总运费为y根据题意：y=40x+80（12-x）+30（10-x）+50（x-4）y=40x+960-80x+300-30x+50x-200=-20x+1060（4x10，且x是正整数）y=-20x+1060是减函数，当x=10时，y有最小值ymin=860调配方案为A校调到C校10台，调到D校2台，B校调到D校2台方法2：列表分析设从A校调到D校有x台，则调到C校（12x）台B校调到C校是10-(12-x)即（x-2）台B校调到D校是（8x）台，总运费为yy=40（12x）+80x+30（x2）+