（基础数学专业论文）高阶消失矩的hermite三次样条小波.pdf

摘要 摘要 由于消失矩在小波应用中具有重要作用 本文在借鉴j i a 和l i u 工作的基础 上 构造了支集在f 2 2 内分别具有6 阶 7 阶消失矩的对称及反对称h e r m i t e 三次样条函数矽1 如 并证明它们的整平移具有l 2 r 稳定性 我们首先说明在一定意义下所有支集在 1 1 内 对称和反对称的小波均为 j i a 所求解小波的常数倍 其次 我们尝试按照j i a 的标准构造支集在 一2 2 上 的具有高阶消失矩的小波 遗憾的是它们的整平移不具有稳定性 最后 我们改 变了标准 得到了理想的结果 关键词小波 h e r m i t e 样条 消失矩 稳定性 北京工业大学理学硕士学位论文 ab s t r a c t b e c a u s ev 砌s h i n gm o m e n t sa r ei m p o r t a n ti nw a v e l e t sa n da p p l i c a t i o n s t h i s p a p e rc o n s t r u c t st w oh e r m i t es p l i n ew a v e l e t s 饥 z a n d 也 w i t hc o m p a c ts u p p o r t so n 2 2 t h e yh a v ev a n i s h i n gm o m e n t so fo r d e r6a n d7r e s p e c t i v e l y a s w e l la ss y m m e t r i ca n da n t i s y m m e n t r i cp r o p e r t i e s i na d d i t i o n i ti sp r o v e dt h a t t h ei n t e g e rt r a n s l a t i o n so fw a v e l e t sa r el 2 r s t a b l e a l lt h e s ew o r ka r em o t i v a t e d b yj i a sp a p e r f i r s t l y w es h o wt h a ta l ls y m m e t r i ca n da n t i s y m m e t r i cw a v e l e t sw i t hc o i n p a c ts u p p o r t so i l 1 1 a r ee s s e n t i a l l yt h ew a v e l e t sg i v e nb yj i ai ns o m es e n s e s e c o n d l y w et r yt of i n dw a v e l e t sw i t hv a n i s h i n gm o m e n t so fh i g h e ro r d e ra n d c o m p a c ts u p p o r t so n 2 2 a c c o r d i n gt oj i a ss t a n d a r d h o w e v e r t h es t a b i l i t y o ft h ei n t e g e rt r a n s l a t i o n si sap r o b l e m f i n a l l y w er e c e i v et h ed e s i r e dr e s u l tb y c h a n g i n gt h es t a n d a r d k e y w o r d sw a v e l e t h e r m i t es p l i n e v a n i s h i n gm o m e n t s s t a b i l i t y i i 独创幛声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方 外 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果 也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 签名 郭字华 日期 么 9s 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以公 布论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论 文 保密的论文在解密后应遵守此规定 签名 郭字乎 导师签名 多7 彩 矽日期 1 1概念与记号 第1 章绪论 第1 章绪论 我们用l 2 r 表示直线r 上平方可积实值函数空间 设u u l 2 r 内积 定义为 秒 矗u z z 如 若 牡 0 则称u 和口是正交的 l 2 r 中 元素f 的范数由l i f i i 以1 万 万给出 设毋 l 2 r 若存在两个正常数a b 使对任意平方可和序列 竹 z f 2 z a i 岛1 2 l l z n l i 乞 b i c 1 1 2 则称函数 的整平移是l 2 r 稳定的 1 5 1 如将 一n 替换为厶便得到r i e s z 序列 6 9 的概念 如果只有右边不等式成立 则称为b e s s e l 序列 1 0 1 1 1 1 一个函数妒 l 2 r 称为具有n 阶消失矩 1 2 1 4 若对0 k n 一1 厶x k 矽 x d x 0 且丘z 矽 z 如 0 所谓h e r m i t e 三次样条函数 1 是指 矽1 z 1 2 1 2 x z 1 o 一z 2 2 z 1 1 z 0 1 2 z 相应的图像如下 o t h e r w i s e z z z 1 o z 0 1 o t h e r w i s e 2 2 d d o 仉 北京工业大学理学硕士学位论文 1 f i 8 6 4 i i 2 一l o 图1 1 1 八 o 1 0 一 0 0 5 2 l o l q 乏 j v 图1 1 2 众所周知西 咖l 西2 t 满足下面的向量细分方程 1 引 c 一1 i 2 3 4 1 c il 0 2 c 1 三 故巧 巧 1 这里 对任意j z 巧 s p a n 矽 n 2 j x 一七 k z m 1 2 1 2研究现状 1 9 8 8 年 d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集的光滑正交小波f 1 6 f 1 7 1 在此之 后 小波分析迅速发展 并得到了广泛应用 1 8 2 7 1 c o h e n d a u b e c h i e s 证明了 厶 r z z e 10 纠 z e i llli 4 8 c o 1 一 一 第1 章绪论 d a u b e c h i e s 正交小波适用于构造区间 0 1 上的小波 1 9 9 0 年 崔锦泰和王 建忠构造了基于样条函数的所谓半正交小波函数 随后 c h u i 和q u a k 构 造了区间 o l 上的半正交样条小波 3 0 1 j i a 在文献 3 0 的基础上通过修改边界 小波 建立了s o b o l e v 空间中小波基的稳定性 3 1 给出了s o b o l e v 空间中具有紧 支集的小波基 其中细分函数西和 满足非常弱的条件 特别地 咖和石可以 是b 样条函数 w a n g 构造了s o b o l e v 空间中的三次样条小波基 3 2 d o n o v a n 构造了正交多小波删 在1 9 9 6 年 h e i l s t r a n g s t r e l a 考虑了在h e r m i t e 三 次样条基础上构造小波的可能性删 随后 d a h m e n h a n j i a 在h e r m i t e 三 次样条西1 和西2 的基础上构造了双正交多小波 3 5 另外 尽管这些小波适用于 区间 0 1 然而边界小波的构造十分复杂 c h a r l e sk c h u i 构造了具有高阶消 失矩的正交多小波 在j i a 1 的文章中 采取了一种新的方法构造h e r m i t e 三次样条小波 这 种小波的正交性是关于内积 u 7 u 7 吲定义的 而不是所给的 u v 0 它的优 点在于边界小波构造十分简单 小波基可以用来求解满足d i r i c h l e t 边值条件的 s t u r m l i o u v i l l e 方程f 3 8 3 9 且相应刚性矩阵的条件数 较小 下面我们介 绍j i a 的工作 设 1 也为h e r m i t e 三次样条 同1 1 定义k s p a n e r a 2 j z 一后 k z m 1 2 为寻找妒1 妒2 使得 硒丽 2 j z 一七 尼 z m 1 2 满足 ow o 其中w o s p a n e r a 一七 k z m 1 2 j i a 取矽 z 6 l 后 砂1 2 z 一尼 6 2 尼 2 2 z 一七 并要求 j 0 m 1 2 j z k e z 北京工业大学理学硕士学位论文 在引入符号 q n 2 b 1 2 j 1 z 种 q 1 2 z b 1 2 歹 j z j c z q 2 1 z b 2 2 j 1 z 巧 1 9 2 2 z b 2 2 j 及通过计算 j z j e z 妒7 一歹 嘉 一2 1 6 1 2 歹一2 j r4 2 b 1 勿 一2 1 6 1 2 歹 2 一3 b 2 2 j 一2 4 b 2 2 j 一1 一4 b 2 2 j 1 3 b 1 2 2 j 2 1 1 1 妒7 如 一歹 1 嘉0 3 3 b 1 2 歹一2 一6 0 6 1 2 歹一1 6 0 h 1 2 j 1 一3 3 6 1 2 j 2 4 b 2 2 j 一2 一1 2 b 2 2 j 一1 2 8 b 2 2 j 一1 2 6 2 2 歹 1 4 6 2 2 歹 2 1 2 之后 证明了下述结论 1 0m 1 2 铮b z 9 1 1 z 9 1 2 名 q 2 1 z 9 2 2 z t 0 这里 f 0 2 1 2 2 4 2 2 1 z 一24 z 一4 z l 3 2 2 3 z 2 b z i 6 0 z 6 0 z 1 3 3 2 2 3 3 z 一2 1 2 z 一1 2 z 一14 2 2 2 8 4 z 一2 通过求解上述方程 j i a 得到一对支集在卜1 1 且对称及反对称的小波 妒1 一2 1 2 x 一1 4 1 2 z 一2 1 2 z 一1 一2 1 2 2 z 1 2 1 2 2 z 一1 1 3 妒2 z 1 2 x 1 一 1 2 x 一1 9 2 2 x 1 1 2 2 2 x 9 咖2 2 x 一1 1 4 进一步 文 1 还证明了这对小波是l 2 r 稳定的 通过简单限制还可得到区间 0 1 上的小波基 将其应用到一类微分方程求解 得到了很好的效果 垂 第1 章绪论 1 3 本文结构及主要结论 在第2 章中 我们将说明 见2 1 节 j i a 的小波妒1 妒2 分别具有2 3 阶消失 矩 由于消失矩在小波应用中发挥着重要作用 本文尝试构造高阶消失矩的小波 首先我们证明 如果支集限制在 一l 1 内 对称及反对称小波不可能具有更高阶的 消失矩 定理2 1 2 其次 我们允许支集含于 2 2 并按照 妒 矽乞 j 0 的标准构造出了对称及反对称函数妒1 如 它们虽然具有高阶消失矩 但它 们的整平移不具有l 2 r 稳定性 见定理2 3 1 所有这些工作都将在第2 章中给 出 有鉴于此 本文第3 章按照新的标准 砂 碥 3 矽 一歹 0 给 出了一对支集在 2 2 上 具有6 7 阶消失矩的对称及反对称函数矽1 如 最后的结果 定理3 4 1 表明它们的整平移具有l 2 r 稳定性 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章初步尝试 由于在小波应用中 消失矩扮演重要角色 本章尝试按照文献 1 的标准给 出一对支集在 一2 2 上消失矩分别为6 7 的对称及反对称小波 最后的结果表 明这是不可能的 2 1 一个注记 我们首先说明由 1 3 及 1 4 给出的小波以 仍只具有2 阶 3 阶消失 矩 事实上 由于 2 z 为奇函数 故f r 西2 2 x j d x 0 设丘c x 2 x d z c 易 见f r 妒1 z d z 丘砂2 x d x 0 因为妒1 z 是偶函数 所以z 妒1 z 是奇函数 从而厶x 矽l x d x 0 进一步 上z 2 矽 z 如 一2x 2 2 x 1 d x 4 上z 2 咖 2 z d x 2 上z 2 a 2 x i 如 2 1 上螂 2 x 1 如 2 1 厂粕 2 x 1 j r 如 言 0 r 0 所以妒1 z 的消失矩为2 类似地 上z 如 z d z 上z 咖 2 x 1 d z 一上z z 2 x 1 d x 9 z 2 x 1 d z 1 2 上z 也 2 z 如 9 上z 2 x 1 如 一三一丢 9 击 1 2 丽1 9 丽1 o 由于也 z 是奇函数 故丘z 2 矽2 z d z 0 而 上z 3 如 z 出 上z 3 t 2 x 1 如一上z 3 2 x 1 如 9 上z 3 2 2 x 1 如 12 z3伸批蚪9 z3 2 2x 1 dx 一丽3jrj r o 石u 所以也 的消失矩为3 第2 章初步尝试 一个自然的问题是 是否存在支集含于 一1 1 内的对称 反对称小波 使其 具有更高阶的消失矩 下面的定理说明答案是否定的 定理2 1 2 所有支集在 1 1 内 对称和反对称的小波均为 1 3 和 1 4 给 出小波的常数倍 证明 设矽为支集在 1 1 且对称的小波 则相应的符号 q n q 1 2 q 2 1 q 2 2 满 足 q i i q i 2 q 2 1 q 2 2 t o z z q b c z z 1 o 代入b z q l l z 9 1 2 名 q 2 1 z q 2 2 z t 0 我们有 2 1 2 2 4 2 2 1 z 2 6 4 z 4 z i z z i c l 6 0 z 6 0 孑一1 z z 一1 口 3 3 2 2 3 3 z 一2 b i 2 z 一1 2 z 一1 z z 一1 c o 比较方程组两边同次项系数可得 t 6 一2 1 3 b 3 6 4 c 1 2 c o 进一步 c 警6 o 萼6 故 q n q i 2 q 2 i q 2 2 t b 一 名一 2 1 警z 一 警z o 当b 4 时 即为 1 3 给出的小波 a 7 z z i 0 6 z a c 利用b z q l l z q 1 2 z 9 2 1 z 9 2 2 名 t 0 可 4一z6 z4 z 61 名 z一 zz 一1 zb 一 a 3z 2一 123zz一 2 1d2名 一 名 z一 矿 4名 28 4名一 一 6 北京工业大学理学硕士学位论文 比较方程组两边同次项系数 我们有 4 b 一3 d 0 9 a 7 6 0 进一步 a t 寻6 d 6 故 q l l q x 2 q 2 1 q 2 2 t 6 一 z z 1 0 z z 当6 9 时 即为 1 4 给出的 仍 z 曲1 2 x 1 一 1 2 x 一1 9 2 2 x 1 1 2 咖2 2 x 9 2 2 x 一1 证毕 2 2 高阶消失矩 本节给出支集在 一2 2 内的消失矩为6 7 的对称 反对称小波的表达式 t t y ns u p p z 卜1 1 以及s u p p 2 一h 譬 鱼笋 m 1 2 那 么 为寻求支集在 一2 2 中的小波 我们假定 q l l 9 1 2 q 2 1 q 2 2 t 具有下述形式 q t t 9 1 2 q 2 1 q 2 2 从咖1 2 的对称 反对称l 生可知 矽的对称性由下述关系确定 6 1 1 6 1 一1 b a 2 6 1 一2 b 1 3 6 1 一3 b 2 1 b 2 1 b 2 2 b 2 2 b 2 3 b 2 3 b 2 o 0 抟 8 1 l 球 1 l 8 弦 弦 0 h 0 如 饥 十 如 十 矿 矿 d d 一 一 一 h 幻 上 j c 卜 c 卜 h 幻 阢 阮 第2 章初步尝试 从而 q i i z q 1 2 z q 2 1 z q 2 2 z b i 3 z 3 z 一3 6 1 1 z 名一1 b l o 6 1 2 z 2 z q 6 2 3 z 3 一名一3 b 2 1 z z 1 6 2 2 z 2 一z 2 记b i 3 a l 6 1 1 a 2 6 1 o b i b i 2 b 2 6 2 3 c 2 b 2 2 d l 则 e l 6 2 1 下面根据b 名 q 1 1 z q 1 2 z 口2 1 z 9 2 2 z t 0 来确定系数a l a 2 b i b 2 c l c 2 d l 这里 bcz 一6 z二6 z一 一213232z 2 4233 z2 1 z一2 142zz 一4122 zi一 4z 3 z228jr 324 z2 2 通过比较方程组两边同次项系数 我们有 2 1 b 2 l4 c l 3 d l 0 4 2 b 2 4 2 6 1 8 c 2 6 d i 0 4 2 b 2 2 1 b i 一4 c l 4 c 2 0 6 0 a l 6 0 a 2 3 3 b i 1 2 c i 1 2 c 2 2 8 d i 0 6 0 a i 一3 3 b 2 1 2 c i 一4 d l 0 9 l 0 0 勺 一 0 0 刁 眈 q 严 一 幻 z z 出 一 小 0 0 以 l j j l z z z z i j j 1 2 1 2 吼 吼 仇 他 j 一 北京工业大学理学硕士学位论文 解上述方程组得0 1 一互i b 2 一壶d 1 b l d 1 2 0 2 6 2 c 1 警6 2 i d l c 2 一2 i n 警d 1 一竽0 2 故 q n q i 2 q 2 i q 2 2 f 警 三曼茎 z z 当b 220 d l2o 而a 2 0 时 e 对z 22 1 节中支集在 一1 1 上的对称小波 一般地 它对应的小波是 妒 z 一互1 6 2 一l d l 1 2 z 一3 1 2 z 3 2 1 2 一1 l 2 z 1 言d 1 2 a 2 6 2 1 2 z 6 2 眵1 2 x 一2 1 2 x 2 警6 z 主d 2 一3 一 2 3 一警6 2 萼d 一竽 咖2 2 z 一1 一 2 2 z 1 d l 2 2 x 一2 一 2 2 z 2 下面 利用消失矩确定 2 5 2 d 1 由于厶 1 2 z4 j d x c v j z 其中c 为一非零常数 厶 2 2 x j d x 三o z 因此 上矽 z 如 c 2 一b 2 一壶d 2 a 2 丢d l 2 a 2 6 2 2 6 2 因为 l 为偶函数 2 为奇函数 所以矽 为偶函数 从而 对于任意正整数n 上rx 2 n 1 妒 批e 另一方面 上却 d x 0 一 1 2 a 6 b 2 d i o 3 i 1 0 z 彳 z z 第2 章初步尝试 x t 矽 x d x 0 骨1 4 7 0 b 24 1 4 9 d 1 2 5 2 a 2 0 r x s 矽 x d x 0 错一1 0 5 9 a 2 4 3 4 0 7 b 2 4 5 8 6 6 2 d l 0 l i t 3 2 3 3 可以验证 3 一1 一 3 3 的唯一解是a 2 b 2 d l 0 故矽 z 不可能具有7 阶消失矩 我们放弃 3 3 满足 3 1 及 3 2 的解为 此时 相应的小波为 q 1 1 q 1 2 q 2 1 q 2 2 妒1 z 一3 a 2 咖l 2 x 一3 一3 n 2 1 2 z 3 3 n 2 1 2 z 一1 3 0 2 1 2 z i 1 6 0 2 咖l 2 z 一8 a 2 l 2 x 一2 一8 a 2 l 2 x 4 2 4 2 1 a 2 2 2 x 一3 一2 1 a 2 2 2 x 4 3 1 8 9 a 2 2 2 x 1 一1 8 9 a 2 2 2 x 1 s 4 a 2 2 2 x 一2 一8 4 a 2 矽2 2 x 4 2 类似地 我们讨论反对称情形 设 1 1 0 屹 弘锄 一 坠3 也 0 吣 槲一 懈 h 严 一 弗 双勺严 州 附 z 比 1 l n 轧 一 勺 0 勺 r 畦 己 一 一 严 矧 1 p 1 姒 叫 托 抖 3 一 c 卜 以 0 吐 d 一 l z z z z l i f l 2 l 2 吼 吼 眈 钇 一 北京工业大学理学硕士学位论文 由b z q 1 1 z 9 1 2 z q 2 1 z 9 2 2 z t 0 可知 一2 1 2 2 4 2 2 1 z 一2 一z 2 4 z 一4 z 1 c i z 3 z 一3 岛 名 z 1 3 2 2 3 z 一2 d i 必 z 2 z 2 0 一6 0 z 6 0 z 1 f o i z 3 一z 一3 o z z 1 3 3 2 2 3 3 z 一2 z 2 一z 2 1 2 z 一1 2 z 一1 c i z 3 z 一3 4 z z 1 4 2 2 2 8 4 z 一2 c f i d i z 2 z 2 0 比较方程组两边同次项系数 我们有 从而 q l l z q 1 2 z q 2 1 z q 2 2 z 4 2 4 岛一4 西一3 盔 0 2 1 一4 c i 3 呓 0 6 0 a 3 3 6 一1 2 4 4 必 0 6 0 吐一6 0 鸥一1 2 4 1 2 岛 2 8 必 4 d l 0 1 2 0 a 一6 6 一2 4 4 8 必 2 8 d l 0 一 一击 d 夕一z 一3 一西1 3 石1 u i 一5 唣 z z 1 6 z 2 一z 一2 2 4 1 h 2 i d z 3 z 3 4 z z 一1 7 岛一磁 d z 2 名一2 当 0 必 0 而岛 0 时 它对应2 1 节中支集在 1 1 上的反对称情 形 一般地 设如反对称且支集含于 2 2 则 蚴 一互i b 一击枷 2 z 一3 一 2 外3 一拳 丢哆一言 第2 章初步尝试 眇1 2 x 一1 一 1 2 x 1 6 眇1 2 z 一2 一 1 2 x 2 警呸 兰如 2 2 z 一3 2 2 z 3 己 2 2 z 一1 2 2 z 1 7 醍 詈岛一必 坤z 畋瞰2 z 一2 坤z 2 下面 利用消失矩确定6 畋 呓 因为 1 为偶函数 2 为奇函数 所以砂 z 为奇函数 从而 对于任意正整数n 另一方面 上户砸 出 0 上z 移 z d z 一罢一鬟 1 面7 丢 一百i 丧 嘉一嘉 嘉 必 一两1 丽1 面1 丽1 妥 己 o 一两 丽 面 丽 丽 吒2 o x s s x d z 0 铮5 1 4 5 b 1 0 5 d 1 4 0 岛 0 3 4 r z 5 移 z d z 0 铮1 6 1 7 b 1 5 0 d 8 4 0 3 5 r x t b x d x 0 骨8 3 8 8 1 8 b 9 3 7 6 9 d 6 9 6 岛 0 3 6 r 可以验证 3 4 一 3 6 的唯一解是 吒 必 0 故移 z 不可能具有8 阶消失矩 我们放弃 3 6 满足 3 4 及 3 5 的解为 如 一1丢911 1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 此时 q n q 1 2 q 2 1 q 2 2 相应的反对称小波必须具有下述形式 砂2 z 1 7 b 1 2 x 一3 1 7 b 1 2 x 3 一4 5 1 2 z 一1 4 5 b 1 2 x 1 一6 4 b l 2 x 一2 6 4 b l 2 x 2 1 0 5 咖2 2 z 一3 1 0 5 醍 2 2 3 1 9 1 1 b 砂2 2 x 一1 1 9 1 1 b 庐2 2 x 1 1 5 1 2 6 2 2 z 5 8 8 酶咖2 2 z 一2 5 8 8 b 2 2 x 2 2 3 缺少稳定性 本节证明2 2 节中构造的对称 反对称函数的导数的整平移不具有稳定性 定理2 3 1 设妒1 z 妒2 z 分别为上节给出的支集在 一2 2 内具有6 阶 7 阶 消失矩的对称及反对称函数 则矽i z 和呓 z 的整平移在区间 o 2 内线性相 关 证明 由于相差一个常数不影响线性相关性 不妨设 妒1 z 3 1 2 x 一3 一3 1 2 x 3 3 1 2 x 一1 3 1 2 x 1 1 6 1 2 x 一8 1 2 z 一2 一8 1 2 z 2 2 1 2 2 x 一3 一2 1 2 2 x 3 1 垂 0 一 p q 叭 矧 一 m p 一 一 谗 2 h j r 讣芦 叩础 一 一 心 一 一 6 屹 3 l u 舶 l i 一 砟 呱 一 r o 1 丽 第2 章初步尝试 1 8 9 2 2 x 一1 一1 8 9 2 2 x 1 8 4 2 2 x 一2 一8 4 咖2 2 x 2 矽2 一1 7 1 2 x 一3 年1 7 1 2 x 3 一4 5 1 2 x 一1 4 5 1 2 x 1 一6 4 1 2 x 一2 6 4 1 2 x 2 1 0 5 矽2 2 x 一3 1 0 5 2 2 x 3 1 9 1 1 2 2 z 一1 1 9 1 1 2 2 x 1 1 5 1 2 2 2 x 5 8 8 咖2 2 x 一2 5 8 8 2 2 x 2 那么 妒 z 一6 i 2 x 一3 一6 西i 2 x 3 6 i 2 x 一1 6 i 2 x 1 3 2 钳 2 z 一1 6 妒i 2 x 一2 一1 6 咖i 2 x 2 4 2 咖 2 x 一3 一4 2 2 x 3 3 7 8 咖 2 x 一1 一3 7 8 咖 2 x 1 1 6 8 咖 2 x 一2 一1 6 8 咖i 2 z 2 妒 z 一3 4 硝 2 z 一3 3 4 移i 2 x 3 一9 0 i 2 z 一1 9 0 西i 2 x 1 一1 2 8 i 2 x 一2 1 2 8 i 2 x 2 2 1 0 i 2 z 一3 2 1 0 i 2 x 3 3 8 2 2 2 一1 3 8 2 2 i 2 z 1 3 0 2 4 i 2 x 1 1 7 6 咖i 2 z 一2 1 1 7 6 i 2 x 2 从矽1 矽2 的定义可知 一6 x 2 6 x z 1 o i3 2 2 4 x z 1 o i z 6 x 2 6 x z 0 1 也 z 3 x 2 4 x z 0 l 故当0 z 0 o t h e r w i s e i 0 o t h e r w i s e 盹 妒i z 5 1 6 0 x 2 1 8 2 4 x 砂i z 一1 一7 0 8 0 x 2 3 1 2 0 x 一1 6 8 妒i z 一2 一3 6 0 x 2 9 6 x 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 当 z 1 时 当1 z 时 妒 z 1 2 2 8 0 x 2 1 3 9 2 x 1 6 8 以 z 8 4 3 1 2 2 4 0 5 6 0 3 0 2 4 妒 z 一1 6 0 8 8 8 2 2 5 1 5 2 x 1 1 7 6 矽 z 一2 1 7 0 4 x 2 4 3 2 x 1 i z 1 1 4 3 7 6 x 2 9 1 2 0 1 1 7 6 妒i z 7 0 8 0 2 1 1 0 4 0 4 1 2 8 妒i z 一1 一5 1 6 0 2 8 4 9 6 一3 3 3 6 妒i z 一2 一2 2 8 0 x 2 3 1 6 8 一1 0 5 6 妒i z 1 3 6 0 x 2 6 2 4 2 6 4 以 z 6 0 8 8 8 2 9 6 6 2 4 3 6 9 1 2 以 一1 8 4 3 1 2 2 1 2 8 0 6 4 x 4 6 7 7 6 妒 z 一2 1 4 3 7 6 x 2 1 9 6 3 2 x 6 4 3 2 妒 z 1 1 7 0 4 2 2 9 7 6 1 2 7 2 妒i z 2 2 8 0 2 5 9 5 2 3 8 4 0 讲 一1 5 1 6 0 2 1 2 1 4 4 6 9 8 4 妒i z 一2 一7 0 8 0 2 1 7 2 8 0 一1 0 3 6 8 1 昏 第2 章初步尝试 当 z 2 时 砂i z 一3 一3 6 0 x 2 8 1 6 x 一4 5 6 以 z 1 4 3 7 6 x 2 3 7 8 7 2 x f2 4 6 7 2 妒 z 一1 8 4 3 1 2 x 2 2 0 9 1 8 4 x 1 2 7 8 9 6 饮 z 一2 6 0 8 8 8 2 1 4 6 9 2 8 x 8 7 2 1 6 蜴 z 一3 1 7 0 4 x 2 3 8 4 0 2 1 3 6 矽 z 3 6 0 x 2 1 3 4 4 x f1 2 4 8 妒i z 一1 7 0 8 0 x 2 2 5 2 0 0 x 2 2 2 4 8 矽i z 一2 一5 1 6 0 x 2 1 8 8 1 6 x 一1 6 9 9 2 矽i z 一3 一2 2 8 0 x 2 7 7 2 8 x 一6 5 0 4 妒 z 1 7 0 4 2 6 3 8 4 x 5 9 5 2 以 z 一1 6 0 8 8 8 x 2 2 1 8 4 0 0 x 1 9 4 4 2 4 妒 z 一2 8 4 3 1 2 x 2 2 9 6 6 8 8 x 2 5 9 1 5 2 矽 z 一3 1 4 3 7 6 x 2 4 8 3 8 4 4 0 4 4 0 设a l c t x a 2 砂i z 一1 a 3 妒i z 一2 a 4 妒i z 一3 a 5 妒i 1 s l 妒i x 岛钙 一1 b 3 必 z 一2 b 4 必 一3 b 5 1 0 利用前述表达式并 比较系数可得关于a 鼠的1 2 个线性方程组 由m a p l e 计算可知方程组系数矩 阵的秩为7 故原方程组有无穷多解 所以 妒i 和啦的整平移在区间 o 2 内线 性相关 证毕 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 2 4 本章小结 本章首先证明按照文献 1 的要求构造的支集在 一1 1 上对称及反对称小波 不可能具有更高阶的消失矩 其次 我们将支集扩大到 一2 2 上 并按文献 i 的标准得到了一对具有更高阶消失矩的函数妒l 妒1 最后的结论表明 它们 的导函数的整平移不具有稳定性 1 8 第3 章h e r m i t e 三次样条小波 第3 章h e r m i t e 三次样条小波 在本章中 我们按照 娠 一歹 矽 m 一歹 0 的标准 构造 一对支集在 2 2 内对称以及反对称函数饥 妒2 结果表明 它们的消失矩 分别是6 和7 且整平移是l 2 r 稳定的 3 1 一个引理 由于后面的需要 本小节证明一个引理s 引理3 1 1 设妒 且相应的符号为 q l l q 1 2 q 2 1 q 2 2 则 妒7 坛 一歹 这里 b cz 6b2111 zz 6b2122 名z 6b1233 名z 三 c3 1 6 2 4 z 1 0 8 7 2 2 1 0 8 7 z 一2 b 2 3z 一6 9 2 z 一6 9 2 z 一1 6 2 4 z 2 1 4 2 2 1 6 3 2 2 1 4 z 一2 证明 因为矽 z b l k 咖l 2 x k b 2 k 2 2 x 一尼 而 k e z z 1 2 1 2 x 一1 o lx x 1 2 z 1 o 西1 z 1 一z 2 2 z 1 z 0 1 2 z x x 一1 2 z o 1 0 o t h e r w i s e 10 o t h e r w i s e 所以 蜊 删 念6 2 j 一2 一亏2 6 9 0 b 2 j 一1 磊晌 矛1 2 j 1 面2 36 1 2 m 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 器6 2 j 2 嚣6 2 2 一兰坤歹 1 一丽1 7 2 2 妒渤 一跏 一蒜6 1 2 j 2 一盖6 1 2 j 1 2 蒜0 b t 2 j 1 丽4 16 1 2 歹 2 一丽1 6 2 2 歹一2 一去6 2 2 j 一1 1 而1b 2 2 3 一面16 2 2 歹 1 一百1 历6 2 2 歹 2 再由 1 3 和 1 4 我们有 妒7 钟 z 一歹 妒 1 z 一歹 志 1 8 0 7 6 1 2 j 一2 一3 7 2 4 b 1 2 歹一1 3 7 2 4 b 1 2 j 1 一1 8 0 7 b 1 2 j 2 2 1 4 b 2 2 j 一2 一6 9 2 6 2 2 j 一1 1 6 3 2 6 2 2 歹 一6 9 2 6 2 2 j 1 2 1 4 6 2 勿 2 妒7 如 一歹 妒 2 z j 去 3 4 5 9 b 1 2 j 一2 s 4 0 b 1 2 j 一1 s 5 9 s b l 2 j s 4 0 b l 2 j 1 一3 4 5 9 b 2 2 j f 2 一4 8 7 6 2 2 j 一1 7 4 8 6 2 2 歹一1 一7 4 8 6 2 2 歹 1 4 8 7 6 2 2 歹 2 注意到 矽 一j 妒 一歹 0 等价于 矽 乞 一j j 矽 m 一歹 o 进一步 它等价于b z q 1 1 z q 1 2 z q 2 1 z q 2 2 z t 0 其中 b z 由 3 1 给出 证毕 3 2 消失矩为6 的对称函数 本节按照 矽 坛 j 似 c m j 0 的标准 寻找支集在 一2 2 内的对称小波 2 m 第3 章h e r m i t e 三次样条小波 为寻找支集在 一2 2 且为对称小波 我们假定它的符号为 a l l z q i 2 z q 2 1 z q 2 2 z a l z 3 z 一3 a 2 z z 一1 b l b 2 z 2 z 一2 c 1z 3 一z 一3 c 2 z 一名一1 d lz 2 一z 一2 代入 3 1 并比较方程组两边同次项系数便得 8 4 0 a l 3 4 5 9 b 2 l7 4 8 c i 4 8 7 d i 0 8 4 0 a 1 8 4 0 a 2 3 4 5 9 b 1 8 5 9 8 b 2 7 4 8 c i 7 4 8 c 2 0 1 6 8 0 a 2 8 5 9 8 b i 一6 9 1 8 b 2 1 4 9 6 c 2 9 7 4 d i 0 3 7 2 4 a i 1 8 0 7 b 2 6 9 2 c i 2 1 4 d i 0 3 7 2 4 a i 3 7 2 4 a 2 1 8 0 7 b i 6 9 2 c l 6 9 2 c 2 1 6 3 2 d i 0 记a 1 t l a 2 t 2 则 2 1 1 2 6 0 1 1 3 8 2 5 5 3 1 8 6 1 1 4 9 1 1 3 1 1 0 1 3 4 0 6 3 3 3 6 12 1 夏丽0 1 1 互丽0 2 6 22 忑萌伍百0 1 忑i 匦西 2 c 12 一 1 0 0 5 8 0 8 1 十 故 a l l z q i 2 z q 2 i z 9 2 2 z 1 6 8 2 6 3 8 3 3 1 0 0 7 0 8 5 8 5 7 0 4 6 6 9 3 3 3 3 0 6 5 3 c 22 一 丽西丽0 1 一 而面丽0 2 d 12 1 互丽 1 1 互丽 2 t iz 3 z 一3 t 2 z z 一1 一勰t i 一箜1 2 幽5 7 2 6 2 器 1 糌 2 z 2 z 一2 k i 丽一 0 2 十 夏丽l1 i 丽l 2 八石 1 石 一丝06333ti 燃t2 z3一z一3 一笔器器警tii0058 丽1 1 一 1 而丽丽 一石 1 一1 顶暖两r 一巡z 咝t 1 0 0 5 8 0 82 z z 1 z 一z丝曼塑tl一墅嫂t2 z1257261 2 5 7 2 6 2 一z 一2 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 相应的小波为 帅 乱州2 瑚 柏州2 川 帕州2 帕州2 州 水焉卜 一器 州2 卅 鬻m 器啪 2 伯 2 小黼针滁 m 删h z 3 一篇筹卜器筹 脚z 1 柏 2 川 一鬻卜鬻 帅z 2 呐 2 2 下面 我们确定t l t 2 使矽1 具有6 阶消失矩 因为矽1 z 为偶函数 所以 z 妒 x d x z 3 妒 x d x z s 妒 z d x o j rj rj r 自动成立 另一方面 设f l t 1 2 x d x c t t y n 丘多2 2 x j d x 0 对j z 石 寺 那么 胁 d x c x 2 t l 2 t 2 器卜裟针裟针裟纠 0 胁 扣秘釉一器卜器 击 c 器针器妫 丽3 1 一黼 溅 击 一丝1 0 0 5 幽8 0 8 3 0 7 1 0 0 5 8 0 8 1 1 0 0 5 8 0 8 2 j7 1 0 l 1 一器 扣 一器卜燮1 2 5 7 2 6 去 o 一 面硬丽 2 八丽 十l 一1 i 丽 1 一 2 j l 两j 2 u 另一方面 由于 胁郴 飘 c 一篇卜器渤去 c 器针 器 面1 3 4 7 一黼 徽 曰1 3 一型 1一燮 2 一310058081 0 0 5 8 0 81 4 0 一坐1 2 5 塑7 2 6t 1 一 工 2 二 第3 章h e r m i t e 三次样条小波 一鬻 扣蠹 器蚣 卜8 妒1 x d x 1 0 1 0 7 3 8 7 1 t l 1 4 2 6 7 2 5 9 1 t 2 r 故当 2 一t 1 时 妒1 的消失矩为6 此时 妒的符号是 q l l q 1 2 q 2 1 q 2 2 t 麦 6 2 8 6 3 z 3 z 一3 6 2 8 6 3 z z 一1 3 6 5 0 2 4 1 8 2 5 1 2 z 2 z 一2 一4 3 6 2 9 9 z 3 一 名一3 一4 2 2 2 2 0 3 z z 一1 一1 8 5 8 0 2 0 z 2 一z 2 相应的小波为 砂1 z 忐 6 2 8 6 3 1 2 z 一3 1 2 z 3 一6 2 8 6 3 1 2 z 一1 1 2 z 1 一 一3 6 5 0 2 4 1 2 z 1 8 2 5 1 2 l 2 z 一2 1 2 z 2 一4 3 6 2 9 9 砂2 2 x 一3 一 2 2 z 3 一 一4 2 2 2 2 0 3 咖2 2 x 一1 一 2 2 x 1 一1 8 5 8 0 2 0 咖2 2 x 一2 一 2 2 z 2 t l o 见图3 3 1 这里取t l 6 2 8 6 3 j 篚 八 飞 0 0 o 如一 v 一 y 妒 一 l0 o o 也一 o 0 l o o o o o t u 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 图3 3 1 2 3 北京工业大学理学硕士学位论文 3 3 消失矩为7 的反对称函数 类似于3 2 本节寻找满足 妒 幺 一歹 似 一歹 0 的支集 在 一2 2 内的反对称小波 我们首先假定它的符号 口1 l q 1 2 q 2 1 q 2 2 满足 q l l z q 1 2 z q 2 1 z q 2 2 z 代入 3 1 并比较方程组两边同次项系数便得 8 4 0 a i 一3 4 5 9 7 4 8 c i 一4 8 7 d 0 8 4 0 a i 8 4 0 a i 8 5 9 8 b i 一7 4 8 7 4 8 4 4 8 7 d i 0 3 7 2 4 a i l s 0 7 b l 一6 9 2 c i 2 1 4 d 0 3 7 2 4 a i 一3 7 2 4 a 一6 9 2 西一6 9 2 4 2 1 4 d i 1 6 3 2 4 0 7 4 4 8 4 3 6 1 4 b 一1 3 8 4 4 1 6 3 2 4 4 2 8 d 0 记西 t i c i t 则 t 1 9 9 7 8 9 6 6 lrj2 7 0 3 1 0 9l 1 2 3 3 4 0 4j t2 5 2 7 6r 4 6 7 5 2 4 7 2 5 口i21 虿谣汀面吒 i 弱丽吃 21 丽巧 i 羁两乞 岛2 一 t 五百虱万 勰吒 西 一篙筹t i 一鬻 a l l z q l z q 2 1 z q 2 2 z 一 1 6 2 3 3 4 8 1 4 8 8 5 6 吃2 1 百丽气一面 巧 z 3 一名一3 粉巧 黼岛 z 一名一1 鬻 丽25276t1 z2一z s i t zl 可顽万l r 丽 一 如 z 3 z s 一笔碧器乎以一黼t 1 z z 1 一笔翳器乎西一勰 一黼西一鬻t 1 z 2 z z l 一1 豇丽l 1 一可溺丽丁l 2 十l 一曩丽 1 一可丽矿 一十 以 d n h 一 刁 0 勺0 畦 s 一 严 烈 1 p 1 啾 吒 托 斗 一 碥 州 矿 0 如 西 d 一 第3 章h e r m i t e 三次样条小波 相应的小波为 也 z 懒 2 z 一3 呐 2 刚 揣 鬻蛳 2 z 一1 一 一伸舛1 鬻t i 丽2 5 2 7 6 t 狮1 2 z 一2 一伸z 2 t 撕 2 一3 2 2 z 3 一器t i 一篇 2 z 一1 2 z 1 一筹 一 一鬻撕 2 卅 一筹 一筹蛳2 2 川 柏 2 z 2 下面 我们确定t 使如具有7 阶消失矩 因为仍 z 为奇函数 所以 上如 z 如 上z 2 也 z 出 上z 4 如 z 如 上 6 妒 如 自动成立 另一方面 设f r x 1 2 x d x c 注意到厶 2 2 z j d x 0 对j z 成立 那么 知 如 孙三 器 黼坳 鬻针鬻勘 击t 一需t 一器t 刍 牟 一筹t 一十l 丽6 2 十k 一 匝面而 l 一1 i 砭汀万 2 天k 丽 中 一 泛面丽 1 一 一粼t 丽1 器 一筹 丽1 0 一1 互西丽吃j 丽 一 西丽以一1 丽吃j 丽2 u 如 虹孥一焉 三一丽3 9 3 6 2 而1 1 一丽4 0 5 8 3 7 啪7 面1 9 1 等筹 盖 篙筹啪誓 面1 o 1 丽巧 面 1 丽 誓 面 o 由于 上如 扣等针 裟 鬻锄 丽1 0 7 篙 丽2 5 2 7 6 勤 9 0 55 1 7 4 6 7 5 2 4 7 2 5 5 3 1 3 7 8 3 4 6 7 4 3 0 1 5 9 5 2 4 5 1 6 0 3 5 4 8 6 7 2 十萌话 2 十l 一 西i 丽 1 1 虿语可面 2 j 丽十l 一1 泛砥丽 1 1 虿函丽 2 x 2 5 北京工业大学理学硕士学位论文 以及 上粕 如 黼卜篆揣盘 故当t 2 一粼吒时 妒2 z 的消失矩为7 此时 砂的符号是 q 1 1 q 1 2 q 2 1 q 2 2 t i 丽