（应用数学专业论文）空间齐次的fokkerplanckboltzmann方程.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 气体动力学是统计力学的重要组成部分，而统计力学的基本出发点就是对气体的 微观状态以及人们对其微观状态的观测进行统计平均，并用统计的方法处理问题它 认为在任意给定的时刻- 个气体分子的运动状态是不确定的，人们只能给出该分子在 某一状态附近出现的概率而b o l t z m a n n 方程就是概率密度所满足的一类非线性微分 积分方程，它刻画了相对稀疏气体的统计演化规律 早在1 9 7 2 年，l a r k e r y d 就利甩紧性和单调性方法在一定条件下证明了空间齐 次b o l t z m a n n 方程整体解的存在性和唯一性 1 】随后，有许多人对该方程做了大量的 研究】，然而比较完善的结果是由s m i s c h e r 和b w e n n b e r g 近期给出的【4 而对 空间非齐次的b o l t z m a n n 方程，1 9 8 8 年，r j ，d i p e r n a 和p l l i o n s 考虑了具 有f o k k e r - p l a n c k 型算子扰动时的空间非齐次b o i t z m a n n 方程，证明了该方程的一种 弱解( r e n o r m a l i z e ds o l u t i o n ) 的整体存在性阻2 0 0 1 年c c e r c i g n a n i ，r i l l n e r 和c s t o i c a 对定态的空间齐次f o k k e r - p l a n c k b o t t z m a n n 型方程进行了研究| 6 】，他们证明 了在能量或熵有限时非零平衡态是不存在的 而本文研究的是非定态的空间齐次f o k k e r p l a n c k b o l t z m a n n 方程( f p b ) ，我们 在角截断的硬位势情形下，利用算子半群理论和由l a r k e r y d 发展的紧性方法证明了 当初始值属于聪( 硝) 时该方程古典解的整体存在性，质量和动量守恒，并且建立了 能量线性关系等式，我们思路是这榉的：先利用算予半群理论证明核有界时方程解的 存在唯一性，紧接着对碰撞核进行截断，证明截断方程解的存在性，再利用紧性方法 证明原方程温和解的存在性，最后利用算子半群理论证明温和解即是古典解 2 0 0 2 年，x l u 和b w e n n b e r g 在文章【7 】中指出，在没有角截断的硬位势情形下，其弱解 的能量是不减的，并且他们构造出了能量随时间连续增长的解，而且在他们两人分别 写的文章 s l 和i g 中也涉及到了解的能量不减性( 都是在角截断的情形下) 受到他们 的启发，我们通过构造合适的函数，利用广义函数的知识证明了能量关系等式 关键词：f p b 方程b e s s e l 位势空间弱紧性髓 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ek i n e t i ct h e o r yo fg a s e si sa n i m p o r t a n tp a r to f s t a t i s t i c a ld y n a m i c s h o w e v e r t h eb a s i cs p r i n g b o a r do fs t a t i s t i c a ld y n a m i c si st h es t a t i s t i c a la v e r a g eo fm i c r o s c o p i c s t a t eo fg a s e sa n do b s e r v a t i o no fm i c r o s c o p i cs t a t ea n dt os e t t l ep r o b l e m sw i t hs t a - t i s t i e a lm e t h o d s i tc o n s i d e r st h a tt h el o c o m o t i o ns t a t eo fg a s e so fa r b i t r a r ym o m e n t i s u n c e r t a i n p e o p l ec a no n l yg i v ep r o b a b i l i t yt h a tt h em o l e c u l eo c c u r sa r o u n dc e r r a i ns t a t e 。w h i l et h eb o l t z m a n ne q u a t i o ni sa ni n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a t i s f y i n g p r o b a b i l i t yd e n s i t y i tp r o v i d e sam a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h es t a t i s t i c a le v o l u t i o no f t h em o d e r a t e l yr a r e f i e dg a s a se a r l ya s1 9 7 2 ，l a r k e r y dp r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eg l o b a l s o l u t i o nf o rt h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o nu n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s w i t hc o m p a c t n e s sa n dm o n o t o n em e t h o d s “t h e nm a n y p e o p l ed i dm u c hw o r ko nt h e e q u a t i o n 2 , 3 h o w e v e rt h ep e r f e c tr e s u l tw a sg i v e nb ys m i s c h e ra n db w e n n b e r g r e c e n t l y “i n1 9 8 8 r j d i p e r n aa n dp l l i o n sc o n s i d e r e dt h es p a t i a l l yn o n h o m o g e n e o u sb o l t z m a n ne q u a t i o np e r t u r b e db yt h ef o k k e r p l a n c ko p e r a t o ra n dp r o v e d t h e g l o b a le x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n ( r e n o r m n i z e ds o l u t i o n ) 5 | i n2 0 0 1 ，c ，c e r c i g n a n i ， r i l l n ea n dc s t o i c as t u d i e dt h es t a t i o n a r ys t a t es p a c eh o m o g e n e o u sf o k k e r - p l a n c k - b o l t z m a n n e q u a t i o n “t h e yp r o v e dt h a tn o n z e r oe q u i l i b r i u ms t a t ed i d n te x i s tw h e n t h ee n e r g yo re n t r o p yw a sf i n i t e w ew i l l s t u d yt h en o n s t a t i o n a r ys t a t eh o m o g e n e o u sf o k k e r p l a n c k b o l t z m a n n e q u a t i o ni nt h i sa r t i c l e i nt h ec a s eo fh a r dp o t e n t i a l sw i t ha n g u l a rc u t o f f , w ep r o v e ， b ym e a n s o fs e m i g r o u pt h e o r ya n d c o m p a c t n e s sa r g u m e n t ，t h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h e c l a s s i c a ls o l u t i o n sw i t hi n i t i a ld a t ai n 琏( r 3 ) f u r t h e r m o r e ，w eh a v e m a s s ，m o m e n t u m c o n s e r v a t i o na n de n e r g yl i n e a rr e l a t i o ni d e n t i t y o u ra r r a n g e m e n ti s t h ef o l l o w i n g ： f i r s t l yw ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nb ym e a n so fs e m i g r o u pt h e o r yw h e n c o l l i s i o nk e r n e li s b o u n d e d ；s e c o n d l yw et r e a tt h ec u to 圩c o l l i s i o nk e r n e l s a n dp r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h ec u t o f f e q u a t i o n ；t h i r d l yw ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t h em i l ds o l u t i o nb yc o m p a c t n e s sa r g u m e n t ；f i n a l l yw ep r o v et h a tt h em i l ds o l u t i o n i sa l s ot h ec l a s s i c a ls o l u t i o nb ym e a n so fs e m i g r o u pt h e o r y i n2 0 0 2 x l ua n db i i 华中科技大学硕士学位论文 w e n n b e r gp o i n t e do u tt h a tt h ee n e r g yo ft h ew e a ks o l u t i o n si sn o td e c r e a s i n gi nt h e c a s eo fh a r dn o n - c u t o f f p o t e n t i a l s “，a n dt h e yc o n s t r u c t e dt h es o l u t i o n sw h o s ee n e r g y i s c o n t i n u o u s l yi n c r e a s i n gi nt i m e a l s oi nb o t h ( 8 ja n dc 9 j t h e ya l lr e f e r r e dt ot h e s o l u t i o n sw h o s ee n e r g yi 8n o td e c r e a s e ( b o t hi nt h ec a s eo fh a r dc u t o f fp o t e n t i a l s ) e n l i g h t e n e db yt h e s ea r t i c l e s ，w ep r o v ee n e r g yi i n e a rr e l a t i o ni d e n t i t yb yc o n s t r u c t i n g a p p r o p r i a t ef u n e t i o n sw i t ht h ek n o w l e d g eo fg e n e r a l i z e df u n c t i o n s k e yw o r d s ：f p be q u a t i o r b e s s e lp o t e n t i a lw e a k c o m p a c t n e s se n t r o p y k = 一 i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：尹 日期：工d o l 户f 妒月孑口日 学位论文版权使用授权书 逊式 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 一 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于不保密囱。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：矿 日期鲫噼舻月j o 日 逊式指导教师签名：披效 日期：o 争年月扣日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 b o l t z m a n n 方程简介 气体动力学诞生于1 8 世纪，然而它进入成熟阶段的一个标志性人物是r c l a u s i u s ( 1 8 2 2 1 8 8 8 ) ，他于1 8 5 8 年引入了“平均自由程”的概念同一年，在这一概念的基础 上，j c m a x w e l l ( 1 8 3 1 1 8 7 9 ) 详细叙述了迁移过程的初步理论，并且直观推导出了 后人以他的名字命名的速度分布函数：m a x w e l l 分布尽管m a x w e l l 的迁移方程已 经很接近于稀疏气体分布的发展方程，然而真正意义上研究稀疏气体性质比较实用的 发展方程是由l b o l t z m a n n ( 1 8 4 4 1 9 0 6 ) 在1 8 7 2 年直观推导出的b o l t z m a n n 方程1 1 0 ， 有时也叫m a x w e l l b o l t z m a n n 方程( 为了纪念m a x w e l l 所作出的重要发现) 1 2 b o l t z m a n n 方程的研究进展 1 9 1 2 年，大数学家d h i l b e r t 提出：对与气体密度成反比的参数如何进行级数展开 以获得b o l t z m a n n 方程的近似解s c h a p m a n n ( 1 8 8 8 1 9 7 0 1i f , 】和d e n s k o g ( 1 8 8 4 1 9 4 7 ) “j 大约在同一年( 1 9 1 6 - 1 9 1 7 ) 分别独立的获得了适用于足够稠气体的b o l t z m a n n 方程的近似解他们的结果对于实际应用来说是一样的，但所采用的方法无论在思想 上还是细节上都截然不同然后有许多年有关b o l t z m a n n 方程的数值近似求解没有实 质性进展然而，几乎不为人所注意的，b o l t z m a n n 方程解的严密理论分析随着g t c a r l e m a n 在1 9 3 3 年发表的一篇论文【1 3 】而开始了：他在该论文中对空间齐次情形 下的硬球模型证得了整体解的存在性和唯一性迄今为止，有关b o l t z m a n n 方程的柯 西问题的研究进展情况我们可以总结如下： ( i ) 一般的b o l t z m a n n 方程： 差二巢门 华中科技大学硕士学位论文 = = = = ! = = ! = = = = 。= = ；= ；= = ；= = = = = = = = = = = ；= $ 其中时间变量( 0 ，+ ) ，空间位置变量z 舻，速度变量f 钟，( ，g ，t ) 是 一个非负函数：描述了在位置x 处以速度运动的粒子分布随时间t 的演化规律q 是如下定义的碰撞算子： q ( ，) ( f ) 2 厶。五 ( ，一j f 厶) b ( 口，f f 一 ， ) d d t 这里，= ，幢，z ，t ) ， = ，( 。，z ，t ) 和，7 = ，嬉，。，】，只= ，心，z ，t ) ，f 和：是碰撞 前分别具有速度和的粒子碰撞后的相应速度它们之间关系的一种表述如下： f = 一【u ( 一。) u ， 【= 矗+ 一( 一已) b 这里u 是单位球面毋上的单位向量，0 是向量f 一已和向量u 之间的夹角碰撞 核b 的精确形式依赖于所研究气体的物理性质 标志性的进展是r j d i p e r n a 和pl l i o n s 的工作 1 4 , 1 5 】等他们研究的是大 初值问题，在碰撞核满足弱角截断假设 1 6 , 1 r a s 和温和增长的条件下证得了重正规化 解( r e n o r m a l i z e ds o l u t i o n ) 的整体存在性 其实早在1 9 8 4 年，r i l l n e r 和m s h i n b r o t 在文章【19 j 中对小初值问题进行了探 讨，他们研究的是有限气体在无限真空中的扩散过程在满足气体分子的平均自由程 非常大或者初值很小的情况下，运用s k a n i e l 和ms h i n b r o t 在文章中的迭代方 法，证明了b o l t z m a n n 方程解的整体存在性和唯一性 ( i i ) 特殊的b o l t z m a n n 方程： 在这之前，许多人致力于研究情况比较特殊的b o l t z m a n n 方程，例如空间齐次的 b o l t z m a n n 方程： f 警( f ，t ) = 口( ，川f ，t ) ， ( 1 2 ) 【，( f ，0 ) = f o ( f ) 这类方程的理论发展比较完善了，已经建立了方程古典解的存在性，唯一性和渐近性 等等进展过程可以见f 2 l “。8 1 在具有角截断的硬位势的情形下： 8 ( 0 ，k 一j ) = 6 ( 口) j f 一矗j 。，b ( o ) l 1 f o ，”2 )( 1 ，3 ) 2 华中科技大学硕士学位论文 其中q = ( s 一5 ) ( 8 一1 ) ，这里我们只讨论s 5 的情形早在1 9 7 2 年，l a r k e r y d 在( 1 j 中就利用紧性和单调性方法在一定条件下证明了整体解的存在性和唯一性，建 立了嫡定理等结果根据问题的背景，一般假设初始分布具有有限的质量，动量，能 量和熵( 日( ，( t ) ) = 届f ( f ，t ) l o g ，( f ，) 必) ，即 ，o ( f ) l ：( r 3 ) + ，o 嬉) l o g ，0 恁) el i ( r 3 ) ( 1 4 ) 以下是l a r k e r y d 的主要结果： 命题1 1 设8 ( 0 ，| 一矗1 ) 满足( 1 3 ) ，0 ( f ) 满足( 1 4 ) ，则柯西问题( 1 2 ) 存在一 个满足质量，动量和能薰守恒的整体解，( f ，幻c 1 ( f o ，。o ) ；l i ( r 3 ) + ) ，该解满足以下熵 不等式： 日( ，( t ) ) 日( y o ) ，t 0 随后，有许多人对该方程作了大量的研究，然而比较完善的结果是由s m i s c h l e r 和bw e n n b e r g 近期给出的【4 】他们在硬位势的情形下： s ( o ，i f 一i ) = 6 ( 目) 培一+ 1 4 这里参数芦( o ，2 ，b ( 日) a ( 一，) 是偶函数，并且b ( 8 ) 满足g r a d 的角切除条件 即6 ( 国l 1 ( 一吾，9 2 ) ，给出了这样的结果： 命题1 2 如果 ，o ( ) 琏( 印) 则柯西问题( 1 1 ) 存在唯一一个满足质量，动量和能量守恒的解； ，c ( 【o ，+ o 。) ；己；( 矗3 ) ) 这个解也满足： i ) 懈，圳h z + 口茎学0 i r e s ( 牡0 ) ) 懈，驯h j 。十口l l ( o ，+ 酬 i i ) v s ，v f 0 ，| ，( ，) jj 1 ，。，l ”( f 五+ 。) ) ， 3 华中科技大学硕士学位论文 i i i ) 如果 如( f ) 工：( 五3 ) ( s 2 ) 那么 j i ，( ，t ) 4 l l 。( 【o ，+ o 。) ) ， 和 l l ，( ，t ) j l l 计口l 1 d 。( 【o ，+ 。) ) 这里l ：( r 3 ) 指满足： u ( f ) j j 1 ，s 。厶。f ，( f ) j ( 14 - 矧5 ) 如 + 。 的所有函数，( f ) 构成的函数空间 再例如解初始时充分接近m a x w e l l 分布和小初值问题，这时不但有整体解的存在 性结果，而且还得到唯一性和渐近行为研究进展可见1 2 “t ” ( i i i ) 一般的f p b 方程： 在摘要中，我们提到了1 9 8 8 年r ，j d i p e r n a 和p l l i o n s 证明了一般f p b 方 程的柯西问题： f 譬+ v 。，一p & ，= q ( ，n ( 1 5 ) 【，i t ：o = 1 0 ( z ，) 解的整体存在性和稳定性，主要命题如下： 命题1 , 3 如果 f o20 ， 厶啪。，o ( 1 + 旰+ 盱+ i i o g f 0 1 ) d x d 0 定义2 1 设a 为c o 半群t ( t ) 的无穷小生成元 若e ( 【o ，t 】：x ) ，且满足积分方程： ( 2 1 ) x x 且f l 1 ( 0 ，t ：x ) ，t u ( 。) = t ( 啦+ 上t ( t s ) ，( s ) d s ostst 6 华中科- 才支大学硕士学位论文 ：一 一= = = = = = = = = = = = ；= = = 2 = = = = = = = = 目一 则称钍( f ) 为初值问题( 2 1 ) 在【0 ，t 上的温和解 我们知道，当f l 1 ( 0 ，t ：x ) 时初值问题( 2 1 ) 有唯一的温和解，但温和解不一 定是古典解即使当，连续时也不能保证( 2 1 ) 有解因此，为了证明( 2 1 ) 有解， 的连续性是不够的，我们这里给出一个一般的解存在性命题 引理2 2 设a 为函半群t ( t ) 的无穷小生成元若f l 1 ( 0 ，t ：x ) n c ( o ，t ： x ) ，u ( f ) = 厝t ( t s ) f ( s ) d s ( ost 丁) 若下面条件满足其一，则对z d ( a ) 初值 问题( 2 1 ) 在 0 ，t 】上有解 ( 1 ) u ( t ) 在( 0 ，t ) 上连续可微， ( 2 ) v ( t ) d ) ( o t 0 和个连续实值函数弼( r ) ：【0 ，。) - 【0 ，o o ) ，使得 和 ，“v v ( t ) d r 0 使得当可测集ecr 满足p ( e ) 0 ，必存在r 0 使得当f r 时，1 0 9 ， 2 警取5 = 矗，则对任何 和任何可测集e ，当“( e ) 0 ，必存在r 0 使得当 r 时， ( 1 + 2 ) 1 2 冗 ( z ) ( 1 + j z 2 ) 77 2 d 。+ g 。f r ，( z ) ( 1 + j 。j 2 ) 7 7 2 d z 将上述结果结合起来那得所证证毕 2 4 碰撞算子的基本性质 众所周知，b o l t z m a n n 方程的非线性性来源于其右端的碰撞算子，即 q ( f ，) ( f ) 2 厶。上；( ，7 一，工) b ( k o ) d d w ( 2 8 ) 相应于上式引入一个对称二次型： q ( f ，g ) ( f ) = ；厶。z ； ，g ：+ g 一f g 。一9 】b ( v 日) d 矗咖 我们先来看下碰撞算子的基本性质，碰撞不变量的基本概念 命题2 1 0 设，9 ，妒为辟上的可测函数，对几乎所有的f 帮，我们有 ，( f ) 9 ( ：) + 9 ( f ) ，( ) 一，( f ) 9 ( 矗) 一9 ( f ) ，( ) b ( v 日) l 1 ( 磺冀) ) 以及q ( f ，9 ) 妒( f ) ( f ) l 1 ( 舻) ，则 f n 3q ( f ，萝) ( ) 砂廷) 2 ；五，。础。s 。f ，菇+ 萝7 z 一，瓠一g f 4 ( 妒+ 廿+ 一曲一妒：) b ( v 目) d 亭d 6 d w( 2 9 ) 1 0 华中科技大学硕士学位论文 特别地，= 9 时得， 厶q ( ，) ( 。币( ) 必= ；厶。厶正；( ，一， ) ( 妒+ 妒+ 一妒一妒：) 日( k 目) d f d & 幽( 2 1 0 ) 注：在角截断的情形下，由于碰撞算子可以写成q ( ，f ) = q + ( ，f ) 一q ( f ，f ) 的形式，则 厶q ( ，) ( ) 移( ) 必= ；厶厶上；， + 妒一矽一妒：) b ( k p ) 必d & 幽( 2 1 1 ) 由上述命题知：若妒满足妒- t - 以一妒一讥= 0 ，即 妒( f ) + 妒( ) = 1 】 1 ( f ) + 毋( 6 ) ，( 毛矗，u ) r 3 r 3 s 2 ，口e ( 2 1 2 ) 则 厶。q ( ，) ( ) 币( f ) 蟛= 0 ，v f ( 2 1 3 ) 即砂关于碰撞算子的平均恒为0 因此，我们给出如下定义： 定义2 1 1 我们把满足( 2 1 2 ) 式的几乎处处有限的可测函数妒( f ) 称为碰撞不变 量 易于验证函数1 ，1 ，已，矗，2 以及它们的线性组合口+ b - t - c 2 均为碰撞不变量 ( v a ，c r 1 ，6 r 3 ) 因此我们把1 ，l ，已，6 ，2 称为基本碰撞不变量关于碰撞不变量 的讨论，历史可以追溯到b o l t z m a n n 的开创性工作 4 9 , 5 0 】，他证明了在二次连续可微的 西数中线性无关的碰撞不变量只有五个( 即基本碰撞不变量) 在连续函数中这一结果 是由 5 1 , 5 2 , 1 3 】等人给出的， 定义2 1 2 ( h 6 1 d e r 连续) 设，是一区间，x 是b a n a c h 空间，函数f ：i x 如果存在常数l 和指标口：0 移 1 使得对v s ，t i 都有： j i f ( t ) 一，( s ) i x l t s f 。， 则函数，关于指标口h s l d e r 连续在区间，上关于指标口h s l d e r 连续的所有函数组 成的空间记作；( ：x ) 由于d ( f ) 为b e s s e l 位势空间2 1 ( 冗3 ) = f 一1 ( 1 + f ，j 2 ) 一1 f “j ，让厶1 ( 冗3 ) 其 中只f 。分别指傅立叶变换及其逆变换在【5 3 l 中，我们可以知道，b e s s e l 位势空间 1 l 华中科技大学硕士学位论文 - 一：= 2 ；= = = = 目= = = = ；= = ；= = = ；= = # = = = = = = = = = l s , 9 ( 形) 直接通过适度广义函数的f o u r i e r 变换定义对整数s ( 若1 p o 。) 和所有 s ( 当p = 2 ) 它同s o b o l e v 空闯w 即( q ) 重合用妒( 彤) 表示适度广义函数，即逮降函 数空间的对偶空间给定一个f 上的适度广义函数u 妒( r “) 和一个复数z ，u 的z 次b e s s e t 位势用j 。珏表示并定义为乜= f 。f ( 1 + l 1 2 ) l f u ，下面我们给出b e s s e l 位势空间的定义： 定义2 1 3 对实数s 和1sp o o 令p ，9 ( 肜) 表示口( 舒) 在线性映射之下 户的值域这样对每一s ，l ”( 印) 一妒( 彤) 且对s 0 ，l 卯( 舻) _ 口( 册) 成 立若u l 哪( 册) ，则存在唯一的证驴( 口) ，u = j 5 矗，我们定义0 u ；口t 9 ( 印) l = 悔；p ( 舻) 1 l 赋以这个范数，口，9 ( 即) 是一个b a n a c h 空间，称此为b e s s e l 位势空间 注：b e s s e l 位势空间中有许多重要的性质，我们只需用其嵌入定理中的条： p = 1 ，1 q 忆一s + z ) ，l 9 ( 兄“) l t , q ( 冗“) ( 2 1 4 ) 1 2 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = ；= = = = = = = = = 一 3 主要定理及其证明 3 1记号 考虑如下非定态的空间齐次f o k k e r p l a n c k b o l t z m a n n 方程( f p b ) ： p 蚶划圳( 3 1 ) 【，( f ，0 ) = ，0 ( ) 其中为正常数，( f ，t ) 给出了t 时刻气体分子的速度分布，其它量的表示均见第 一部分在本文中我们令v = l 一+ i ，p ( t ) = 厶s ，( f ， ) ，m ( t ) = 厶s ，( ，t ) 蝣和 e ( t ) = 厶s 2 ，( ，t ) 鹰分别表示气体的质量，动量和能量当0 时，用1 l 川m = 知( 1 十蚓2 ) m 【，( 毛t ) l d 表示b a n a c h 空间l i ( r 3 ) = ，：i i f l 0 ，使得c a u c h y 问题( 3 1 ) 存 在唯一解 ，信，t ) g ( ( o ，t o ；l 1 ( r 3 ) ) n c l ( ( o ，t o ；l 1 ( r 3 ) ) 这里t o 仅与i f ，o i f 和m 有关 证明：我们知道p f 在工1 ( r 3 ) 中生成解析正半群( g a u s s 半群) 【4 3 ： g ( t ) ，= ( 4 丌以) 毫厶。e x p 卜l 兰云笋j ，( f + ) 嫩+ ( 3 3 ) 不难证明它是随机半群，即是正压缩半群并且满足j 蠢g ( t ) ，( ) d = 厶s ，( ) 武，( f ) l 1 ( 肼) + 另一方面，对初始值 ( ) l 1 ( 只3 ) + ，存在邻域u = f ( f ) ：l f f f 4 js 华中科技大学硕士学位论文 = 自= ；= ；= = 2 # ；。2 # = 4 1 t oll ，使得对任意， u ( i = 1 ，2 ) 有： 1 q f l q ，2 1 1 s2 m i i ：1 _ + ，2 1 l 1 1 ，1 一，2 0 s2 m ( 1 l f ，一如；i + i l 厶一凡 。l i 一止 1 s1 _ 6 m i i o l i 1 i f l 一f 2 1 1 故由 4 4 j 得此结论成立 最后又由【4 4 】中定理的证明过程得知，方程的解其实就是非线性算子 ( f ，) 嬉，z ) = g ( t ) f o + 上a ( t s ) q ( ，) ( 3 ) d 8 在g ( ( 0 ，t 0 1 ；三1 ( 印) ) n g l ( ( o ，t 0 1 ；l 1 ( r 3 ) ) 中的不动点，则对任意 0 = 1 ，2 ) 有： i i f f l f ，2 l i = i i 上a ( t 一8 ) 【q 一q ，2 出l l l f g 0 一s ) 妇a q f 2 i i & i q ，t q h l l d s 1 6 m t i i f o f i i l l 一，2 j 因此我们只需要取q t o 丽酉1 两i 就能满足题意，且它仅与i i f o l l 和m 有关 证 毕 命题3 2 假定碰撞核满足( 3 ，2 ) ，则对任意，0 ( ) l 1 ( 砰) + c a u c h y 问题( 3 1 ) 存在唯一解 ， ，t ) e ( o ，。) ；l 1 ( 兄3 ) + ) n c l ( ( o ，o o ) ；l 1 ( 兄3 ) 十) 证明：我们用延拓的方法证明古典解的整体存在性，只要证得 ，( ，t ) l i = l i f o ( f ) 0 曼t s t o 员i j 由命题3 1 及( 3 1 ) 为定常系统知取，鲁) 作为朝始值便可得到鲁 4 ：r m 由质量守恒得， ( 3 1 ) 的唯一解必为( 3 5 ) 的解，反之亦然因此我们只需证明( 3 5 ) 的解必为正即可为此我们先来分析算子国( ，) 的性质首先容易看出：0 ( ，f ) 是 单调正算子，即 0 q ( f ，f ) q ( g ，9 ) ，0 f g 其次对f ，譬l 1 ( 兄3 ) 十，由预备知识中引入的对称二次型的定义得： q ( f ，f ) 一q ( g ，g ) lj = f i q ( f + g ，f g ) l 2 m 五嘏冗。s ；j ( ，+ 9 ) + i i 一9 i 埏必+ 扎 8 7 c m ) l f + 圳1 i f 一圳 因此国( ，) 是局部l i p s c h i t z 的相应于( 3 5 ) 我们有如下定义逐次逼近序列： ，1 = 0 ，“+ 1 = e x p ( 一h t ) g ( t ) f o + f e x p ( 一九( t s ) ) g o s ) 国( ，“，l ，“) ( s ) d s ( 3 6 ) j 0 利用0 的单调正性和数学归纳法知，广是非负单增序列相应于( 3 6 ) 有： 等椰一峨) ，n = 国( 严1 ，1 ( 礼2 ( 3 7 ) 1 5 华中科技大学硕士学位论文 既然迭代非负，关于t ，积分有 i l z o ( , ；) l l + 上厶q ( 严1 ) ( 如) 捌s + v z f r 3 a e 删油 + 毫| 簪l 簪c u ”一 ：一一f 嘛f 弋越d 。d s l i ：o ( 乓) i i + z 厶。厶c ，“一1 只南。，“ 蟛d 矗幽 i i f o ( f ) l l + 上厶 r 3 v i i “口一一f o , ，“磷d + d s( 3 8 ) 这里用到了”蠡a d ”( f ，s ) 建= 0 ，这是因为”e 在1 ( r 3 ) 中生成随机半群酬由 上式利用数学归纳法可得j i f “( f ，t ) f | si | ，0 ( f ) j | ( n 1 ) 因此由l e v i 定理知，“( f ，s ) 在 三1 ( 冗3 ) 中递增的收敛于9 ( ，s ) l 1 ( r 3 ) + ( o sst o ) ，对( 3 6 ) 取极限n - o o 得： g ( ，t ) = e x p ( 一h t ) g ( t ) ：o + l ( e x p ( 一h ( t s ) ) g ( t s ) 西幻，9 ) ( ，s ) d s 显然g 满足( 3 5 ) ，即它也是( 3 1 ) 的解由唯一性得f = g ，故，非负最后由定理的 开始论述便可得到解的整体存在性，而唯一性是l i p c h i t z 性质的直接推论证毕 命题3 3 若，0 ( ) ( 1 + 2 ) l 1 ( 殿) + ，则，( ，t ) ( 1 + 矧2 ) 上1 ( r 3 ) + ( o t o ) 证明：首先由命题3 2 的证明得知质量守恒，现在证明，t ) ( 1 + l g l 2 ) l 1 ( r 3 ) + ( o t o o ) 由命题3 2 的证明知迭代( 3 6 ) ( 3 7 ) 满足： 歹“心s ) ) f 非负单增且j i f “( ，s ) f i f o ( ) l l 21 ) 及 厶，1 ( 已t ) 蚓刍d f 冬厶。f o i s t 2 必+ 6 以厶，o ( f ) 蟛 这里x 寸i e 数m ，记蚓。= m i n l f l ，m ) 假设 厶。，“( 亭，) 蚓轰蝣s 厶f o l f l 2 西+ 6 w 厶，0 ( ) 则由迭代( 3 , 6 ) 及g ( t ) 为g a u s s 半群得： 厶。蚓刍，“+ 1 ( f ，t ) 嘶= e x p ( 一胁) 厶。毛g ( f ) ，0 ( f ) 喏 + 上厶k 慝e x p ( 矗g s ) ) g ( t s ) 国( ，“，“) ( 专，s ) d d s = ，l + 毛 1 6 华中科技大学硕士学位论文 我们分别计算，1 ，厶首先由概率知识知，若f 一( 卢，盯2 ) ，则它的数学期望： 耻仁g 丽1 e 一呼出= p 方差 眈= 仁( z 刊2 志i t ) - e 一譬如甜 j 一lz 丌l2 则 厶( 删咱卯e x p 一警 畦= 小删一一托1 2e x p ( 一警】武 = 肚一+ 1 2 + 2 ( 一”+ 阱 ( 4 ，r u t ) 氐x p 【一簪】蜒 = 6 v t 4 - 蚓2( 3 9 ) 因此代入上式得： 五= e x p ( 一 t ) 厶。r 。蚓象( 4 ”叫一e x p _ 监云笋】，o ( 峦d 如= z 厶。舻l 既e x p ( 一 。一s ) ) ( 4 ”( s 丘e x p ( 一h ( t s ) ) d s 厶h f “( 釉( 6 ”o e ( 0 ) + 6 u t p ( o ) ( 1 一e x p ( 一h t )