厦门市2018-2019学年度第一学期高三质检理科数学(含参考答案解析).pdf

高三理科数学 第 1 页 共 4 页 厦门市 2018 2019 学年度第一学期高三年级质量检测 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮 擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将答题卡交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知集合 2 60 0 Mx xxNx x 则MN A 0 2 B 3 2 C 0 3 D 3 2 设a R 则 1 a 是 直线01 yax与直线05 ayx平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 实数 x y满足xy 则下列不等式成立的是 A 1 y x B 2 2 xy C lg 0 xy D 22 xy 4 设 x y满足约束条件 0 290 x yx xy 则 3zxy 的最大值为 A 0 B 9 2 C 12 D 27 5 已知角 的顶点为坐标原点 始边与x轴的非负半轴重合 终边上有一点 sin47 cos47 P 则sin 13 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 6 已知函数 3 0 1 0 2 x xx f x x 则 2 log 3ff A 9 B 1 C 1 3 D 1 27 7 长江某地南北两岸平行 一艘游船从南岸码头 A 出发航行到北岸 假设游船在静水中的航行速度 v1的 大小为 v1 10 km h 水流的速度 v2的大小为 v2 4 km h 设 v1和 v2的夹角为 0180 北岸 的点 A 在 A 的正北方向 游船正好到达 A 处时 cos A 5 21 B 5 21 C 5 2 D 5 2 8 已知函数 2 1 sin 2 f xx 若将其图象沿x轴向右平移 0 个单位 所得图象关于原点对称 则实数 的最小值为 A B 4 3 C 2 D 4 高三理科数学 第 2 页 共 4 页 9 函数 cosln12 2 yxxx 的图象大致为 A B C D 10 直线l与双曲线 22 22 1 0 0 xy Eab ab 的一条渐近线平行 l过抛物线 2 4C yx 的焦点 交C 于 A B两点 若5AB 则E的离心率为 A 2 B 3 C 5 D 5 2 11 已知圆锥的顶点为P 母线长为2 底面半径为r 点 A B C D在底面圆周上 当四棱锥PABCD 体积最大时 r A 2 B 8 3 C 2 6 3 D 32 3 27 12 在平面四边形ABCD中 ACD 面积是ABC 面积的 2 倍 数列 n a满足 1 3a 且 1 32 nn CAaCBaCD 则 5 a A 31 B 33 C 63 D 65 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知复数z满足 1 2iiz 其中i为虚数单位 则z 14 张丘建算经 卷上第 22 题有如下内容 今有女善织 日益功疾 初日织五尺 今一月日织九匹三 丈 其意思为 现有一善于织布的女子 从第 2 天开始 每天比前一天多织相同量的布 第 1 天织 布 5 尺 现在一个月 按 30 天计算 共织布 390 尺 那么 该女子本月中旬 第 11 天到第 20 天 共织布 尺 15 某三棱柱的三视图如图所示 则该三棱柱外接球的表面积为 16 已知偶函数 fx满足 当x 0时 log111 x a fxaxa 若 fx恰有三个零点 则a的取值范围是 俯视图 侧视图 正视图 1 1 2 3 第 15 题图 高三理科数学 第 3 页 共 4 页 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 17 12 分 在ABC 中 内角 A B C的对边分别为 a b c ABC 的面积为S 已知 222 4 3abcS 1 求角C 2 若2c 求3ba 的取值范围 18 12 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 且22 nn San 1 求证 1 n a是等比数列 2 数列 n b满足 2 21 log 1 log 1 n n n a b a 数列 n c满足 n nn b bc 1 求数列 n c的前n项和 n T 19 12 分 如 图 在 四 棱 锥PABCD 中 PB 平 面PAC 四 边 形ABCD为 平 行 四 边 形 且 24 1 3 5A DA BB A D 1 证明 AC 平面PAB 2 当直线PC与平面PAB所成角的正切值为2时 求二面角APCD 的余弦值 第 19 题图 A B C D P 高三理科数学 第 4 页 共 4 页 20 12 分 已知圆 22 3 16Exy 点 3 0 F 动点 P 在 E 上 线段 PF 的垂直平分线与直线 PE 相 交于点 Q Q 的轨迹是曲线 C 1 求 C 的方程 2 已知过点 2 1 的直线l与C交于 A B两点 M是C与y轴正半轴的交点 设直线 MA MB的 斜率分别为 12 k k 证明 12 kk 为定值 21 12 分 已知函数 ee11 xx f xaaxa 若 fx存在极大值点 1 x和极小值点 2 x 1 求实数a的取值范围 2 若 12 f xkf x 求实数k的取值范围 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在同一直角坐标系中 经过伸缩变换 1 2 xx yy 后 曲线C变为曲线 22 1xy 以坐标原点为极 点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线l的极坐标方程为sin 3 3 1 求C和l的直角坐标方程 2 过点 1 0P 作l的垂线交C于A B两点 点A在x轴上方 求 11 PAPB 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 函数 2f xax 不等式 f xa 的解集为 20 xx 1 求a的值 2 求证 对任意xR 存在1m 使得不等式 1 2 2 1 f xfxm m 成立 高三数学 理科 参考答案 第1页 共 8 页 厦门市 2018 2019 学年度第一学期高三年级质量检测 数学数学 理科 参考答案 参考答案 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 5 AABCA 6 10 BDDAC 11 12 CB 11 解析 设圆锥的高为h AC BD相交于点M AMB 则 0 2h 22 4rh 2 2 111 sin22 222 ABCD SAC BDAC BDrr 当且仅当 2 2 ACBDr时 ABCD S取到最大值 则 223 1222 44 3333 P ABCDABCD VShrhhhhh 令 3 4f hhh 则 2 34fhh 令0fh 解得 2 3 3 h 所以f h在 2 3 0 3 上单调递减 在 2 3 2 3 上单调递增 所以 min 2 316 3 39 hh 则四棱锥PABCD的体积的最大值为 32 3 27 所以当四棱锥PABCD 体积最大时 2 2 6 4 3 rh 12 解析 设 AC 和 BD 交于点 E ACD和ABC的高分别为 1 h 2 h ACD的面积是ABC面积的 2 倍 21 2hh2DEEB 2DEEB 即2CECDCBCE 21 33 CECBCD 又 1 32 nn CAaCBaCD 由 A C E 三点共线 设CACE 21 33 CBCD 由平面向量基本定理得 1 2 3 3 1 2 3 n n a a 1 322 nn aa 即 1 121 nn aa 数列1 n a是以 1 12a为首项 以 2 为公比的等比数列 1 12 22 nn n a 即21 n n a 所以 5 32 133a 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 5 5 14 130 15 28 3 16 1ea 16 因为当x 0时 1 log11 x a fxaxa 所以00f 又因为fx 为偶函 数 所以fx恰有三个零点等价于fx在0 恰有一个零点 令0fx 得1 log1 x a ax 所以1 x g xa与函数log1 a h xx的图象恰有 一个交点 因为函数yg x与函数yh x的图象关于yx对称 解法一 由于1a 当1 x g xa的图象与直线yx相切时 设切点为 00 xy 则 A C D B E 2 h 1 h 高三数学 理科 参考答案 第2页 共 8 页 0 ln1 x aa且 0 0 1 x ax 所以 0 ln lnxa 0 1 1ln ln1 ln xa a 设lnta 则 ln1ttt 设lnxxxx 则 lnxx 所以x在0 1单调递增 在1 单调递减 又因为11 所以ln1ta ea 由图可知 a的取值范围为1ea 解法二 如图 由于1a 函数1 x g xa的图象与直线yx有一个公共点为0 0 当函数1 x g xa的图象与直线yx切于原点时 ln1a ea 由图可知 a的取 值范围为1ea 三 解答题 本题共 6 小题 共 70 分 17 本题考查正弦定理 余弦定理 三角恒等变换等基础知识 考查推理论证能力 运算求解 能力等 考查函数与方程思想 化归与转化思想等 满分 12 分 解 1 1 sin 2 SabC 222 4 3abcS 222 2 3sinabcabC 1 分 在ABC中 由余弦定理 得 222 2cosabcabC cos3sinCC 4 分 3 tan 3 C 0 C 6 C 6 分 2 由正弦定理 得4 sinsinsin abc ABC 7 分 所以3ba4 3sin4sinBA 5 4 3sin 4sin 6 AA 2 3cos2sinAA 4sin 3 A 10 分 因为 5 0 6 A 所以 7 336 A 11 分 所以3 2 4 ba 即3ba的取值范围为 2 4 12 分 18 本题考查等比数列的定义 递推数列 数列求和等基础知识 考查推理论证能力 运算求解 能力 创新意识等 考查分类与整合思想 化归与转化思想等 满分 12 分 高三数学 理科 参考答案 第3页 共 8 页 解 1 1n当时 111 21 2Saa 1 3a 1 分 当2n时 22 nn San 11 2 1 2 nn San 2 分 由 得 1 22 1 nnn aaann 1 21 nn aa 4 分 1 12 1 nn aa 2n 1 140a 1 1 2 1 n n a a 1 n a是首项为 4 公比为 2 的等比数列 6 分 2 由 1 得 11 14 22 nn n a 7 分 1 22 2 212 log 1 log 21 log 1 log 22 n n n n n an b an 8 分 112 21 nn n nn cb bnn 1111 112 2112nnnn 10 分 111111 222 233412 n T nn 111111 2 233412 n nn 2 1149 22 222224 nnn nn nnn 12 分 19 本题考查线面垂直 直线与平面所成角 二面角等基础知识 考查空间想象能力 运算求解能 力 推理论证能力 考查数形结合思想 化归与转化思想等 满分 12 分 1 证明 由已知 得454ABCBC 在 ABC中 22 2cos2 2ACBABCBA BCABC 2 分 222 BCABAC 即ACAB 3 分 PB平面PAC AC平面PAC PBAC 4 分 又 PBABB AB平面PAB PB平面PAB AC平面PAB 5 分 2 解 AC平面PAB CPA为直线PC与平面PAB所成角 6 分 tan2 AC CPA AP 2PA 高三数学 理科 参考答案 第4页 共 8 页 在RtPAB 中 22 2PBABPA 取AB的中点H 连结PH 则PHAB AC平面PAB PH平面PAB ACPH 又 ACABA AC平面ABCD AB平面ABCD PH平面ABCD 8 分 以A点为坐标原点 建立如图空间直角坐标系Axyz 则2 2 0 2 2 0 0 4 0 1 1 2BCDP 1 3 2 1 5 2PCPD 设平面PCD的法向量为 nx y z 则 320 520 n PCxyz n PDxyz 取1x 解得1 1 2 2n 9 分 又平面PAC的法向量为1 1 2PB 10 分 10 cos 5 PB n PB n PB n 11 分 二面角APCD的余弦值为 10 5 12 分 20 本题考查椭圆的定义 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 推理论证 能力等 考查数形结合 化归与转化等数学思想 满分 12 分 解 1 依题意 QFQP 则4QEQFQEQPEPEF 3 分 所以Q的轨迹为以 E F为焦点 4为长轴长的椭圆 所以2 3 1acb 所以点Q的轨迹方程为 2 2 1 4 x y 5 分 2 依题意得直线AB的斜率存在 设直线 1 2 AB yk x 即21ykxk 设 1122 A x yB x y 联立 2 2 21 1 4 ykxk x y 消去y并整理得 222 1 4 8 21 4 21 40kxkkxk 6 分 所以0 12 2 8 21 1 4 kk xx k 2 12 2 4 21 4 1 4 k x x k 8 分 因为M是C与y轴正半轴的交点 所以 0 1 M 所以 12 12 12 11yy kk xx z y x H A B C D P 高三数学 理科 参考答案 第5页 共 8 页 1221 12 11yxyx x x 1221 12 2222kxkxkxkx x x 1212 12 221kx xkxx x x 10 分 16121 2 16 1 k kk k k k 221kk1 所以 12 kk为定值 且定值为1 12 分 21 本题考查函数的极值 导数及其应用 不等式等基础知识 考查推理论证能力 运算求解 能力 创新意识等 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想等 满分 12 分 解法一 1 由ee1 xx fxaax得 ee1 xx fxaa 1 分 即 ee1e1 xxx fxa 当0a时 当 0 x时 0fx 当0 x时 0fx 所以fx在 0单调递增 在0 单调递减 fx不存在极小值点 不合题意 3 分 当01a时 令 0fx得 12 0 lnxxa 因为01a 所以 12 xx 当 0 x时 0fx 当0 lnxa时 0fx 当ln xa时 0fx 所以fx在 0单调递增 在0 lna单调递减 在ln a单调递增 所以fx存在极大值点 1 0 x和极小值点 2 lnxa 符合题意 综上 实数a的取值范围为01a 5 分 2 由 1 知01a 且fx的极大值点为 1 0 x 极小值点为 2 lnxa 此时 1 1fxa 2 11 lnfxaaa 6 分 依题意 得111 lnakaaa对任意01a恒成立 由于此时 21 0fxfx 所以0k 7 分 所以 1 1 ln11aaa k 即 11 ln1 1 a a ka 设 11 ln1 1 x g xx kx 则 2 22 1 2 2 1 1 1 11 xx k k gx x xx 8 分 令 2 2 10 xx k 当1k时 2 4 40 k 所以 0gx g x在0 1单调递增 所以10g ag 即 11 ln1 1 a a ka 符合题意 10 分 高三数学 理科 参考答案 第6页 共 8 页 当01k时 2 4 40 k 设 的两根为 34 x x 且 34 xx 则 3434 2 0 1xxx x k 因此 34 01xx 11 分 则当 3 1xx时 0gx g x在 3 1 x单调递增 所以当 3 1xa时 10g ag 即 11 ln1 1 a a ka 所以 12 fxkfx 矛盾 不合题意 综上 k的取值范围是1k 12 分 解法二 1 同解法一 2 由 1 知01a 且fx的极大值点为 1 0 x 极小值点为 2 lnxa 此时 1 1fxa 2 11 lnfxaaa 6 分 依题意 得111 lnakaaa对任意01a恒成立 设1 ln11g xk xxkx 则 1 ln1ln1 xk gxkxkkx xx 22 111 k x gxk xxx 7 分 当0k时 当0 1x时 0gx 所以 gx在0 1单调递增 所以 110gxgk 所以 gx在0 1单调递减 所以10g ag 即111 lnakaaa 不符合题意 8 分 当1k时 当0 1x时 0gx 所以 gx在0 1单调递减 所以 110gxgk 所以 gx在0 1单调递增 所以10g ag 即111 lnakaaa 符合题意 10 分 当01k时 0gx 所以 gx在0 1单调递减 又因为 110gk 11 ee2 kk gk 设 e 2 x h x x 则当1x时 2 1 e 0 x x hx x 所以h x在1 单调递增 所以 1 1e20hh k 即 1 e0 k g 所以 1 e 10 k gg 即 gx在0 1恰有一个零点 0 x 11 分 且当 0 1 xx时 0gx gx在 0 1 x单调递减 所以当 0 1xa时 10g ag 即111 lnakaaa 不合题意 综上 k的取值范围是1k 12 分 解法三 1 同解法一 2 由 1 知01a 且fx的极大值点为 1 0 x 极小值点为 2 lnxa 此时 1 1fxa 2 11 lnfxaaa 6 分 依题意 得111 lnakaaa对任意01a恒成立 由于此时 21 0fxfx 所以0k 7 分 当1k时 122 fxfxkfx 不等式成立 符合题意 9 分 当01k时 1 1 ln11aaa k 即 11 ln1 1 a a ka 高三数学 理科 参考答案 第7页 共 8 页 设 11 ln1 1 x g xx kx 则 2 22 1 2 2 1 1 1 11 xx k k gx x xx 10 分 令 2 2 10 xx k 则 2 4 40 k 设 的两根为 34 x x 且 34 xx 则 3434 2 0 1xxx x k 因此 34 01xx 11 分 则当 3 1xx时 0gx g x在 3 1 x单调递增 所以当 3 1xa时 10g ag 即 11 ln