高考数学新一轮总复习 7.5 直线、平面垂直的判定与性质考点突破课件 理 .ppt

第5课时直线 平面垂直的判定与性质 一 考纲点击以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质 二 命题趋势1 理科 从考查内容看 高考对本考点重点考查线线垂直 线面垂直和面面垂直的判定和性质以及线面角 二面角的求法 2 理科 从考查形式看 主要以解答题为主 且常将位置关系的证明与角的求法结合在一起命题 综合考查学生的逻辑推理能力和运算能力 1 文科 从考查内容看 高考对本考点重点考查垂直关系的命题的判定 考查线线 线面 面面垂直关系的判定和性质 2 文科 从考查形式来看 主 客观题均有 常以解答题形式考查平行和垂直的综合应用 1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 如果直线l与平面 内的任一直线都垂直 则称直线l与平面 垂直 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则该直线和此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条直线也于这个平面 相交 垂直 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一条直线的两平面 任意 平行 平行 对点演练 1 2014 厦门模拟 如图 o为正方体abcd a1b1c1d1的底面abcd的中心 则下列直线中与b1o垂直的是 a a1db aa1c a1d1d a1c1 解析 易知a1c1 平面bb1d1d 又b1o 平面bb1d1d a1c1 b1o 答案 d 2 如图 已知pa 平面abc bc ac 则图中直角三角形的个数为 解析 由线面垂直知 题图中直角三角形为4个 答案 4 2 理科 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 对点演练 理科 教材习题改编 如图 已知六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列命题正确的有 pa ad 平面abc 平面pbc 直线bc 平面pae 直线pd与平面abc所成角为30 解析 由pa 平面abc pa ad 故 正确 中两平面不垂直 中ad与平面pae相交 bc ad 故不正确 中pd与平面abc所成角为45 答案 2 平面与平面垂直 文科 3 平面与平面垂直 理科 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 对点演练 1 教材习题改编 已知平面 直线l 若 l 则 a 垂直于平面 的平面一定平行于平面 b 垂直于直线l的直线一定垂直于平面 c 垂直于平面 的平面一定平行于直线ld 垂直于直线l的平面一定与平面 都垂直 解析 a中平面可与 平行或相交 不正确 b中直线可与 垂直或斜交 不正确 c中平面可与直线l平行或相交 不正确 答案 d 2 已知 是两个不同的平面 m n是两条不重合的直线 则下列命题中正确的是 a 若m n 则m nb 若m m n 则n c 若m n 则m nd 若 n m n 则m 解析 对于选项a 若m n 则m n 或m n是异面直线 所以a错误 对于选项b n可能在平面 内 所以b错误 对于选项d m与 的位置关系还可以是m m 或m与 斜交 所以d错误 由面面垂直的性质可知c正确 答案 c 4 理科 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 二面角棱上的一点 在两个半平面内分别作与棱的射线 则两射线所成的角叫做二面角的平面角 两个半平面 垂直 2 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a 4 转化思想 垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 5 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 题型一直线与平面垂直的判定与性质 2014 启东模拟 如图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 归纳提升 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质 注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用 这是证明空间垂直关系的基础 由于 线线垂直 线面垂直 面面垂直 之间可以相互转化 因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开 这是化解空间垂直关系难点的技巧所在 解 1 如图 在平面abc内 过点p作直线l bc 因为l在平面a1bc外 bc在平面a1bc内 由直线与平面平行的判定定理可知 l 平面a1bc 由已知 ab ac 点d是bc的中点 所以bc ad 则直线l ad 因为aa1 平面abc 所以aa1 直线l 又因为ad aa1在平面add1a1内 且ad与aa1相交 所以直线l 平面add1a1 2 过点d作de ac于e 因为aa1 平面abc 所以aa1 de 又因为ac aa1在平面aa1c1c内 且ac与aa1相交 所以de 平面aa1c1c 由ab ac 2 bac 120 有ad 1 dac 60 题型二平面与平面垂直的判定与性质 2013 山东 如图 四棱锥p abcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分别为pb ab bc pd pc的中点 1 求证 ce 平面pad 2 求证 平面efg 平面emn 法二 连结cf 因为f为ab的中点 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ef 平面pad 所以ef 平面pad 因为cf ef f 故平面cef 平面pad 又ce 平面cef 所以ce 平面pad 2 因为e f分别为pb ab的中点 所以ef pa 又ab pa 所以ab ef 同理可证ab fg 又ef fg f ef 平面efg fg 平面efg 因此ab 平面efg 又m n分别为pd pc的中点 所以mn cd 又ab cd 所以mn ab 因此mn 平面efg 又mn 平面emn 所以平面efg 平面emn 归纳提升 1 判定面面垂直的方法 1 面面垂直的定义 2 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 转化为线面垂直或线线垂直 转化方法 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 解 1 证明 由题设知bc cc1 bc ac cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 又dc1 平面acc1a1 所以dc1 bc 由题设知 a1dc1 adc 45 所以 cdc1 90 即dc1 dc 又dc bc c 所以dc1 平面bdc 又dc1 平面bdc1 故平面bdc1 平面bdc 题型三线面 面面垂直的综合应用 2014 昆明调研 如图1所示 在边长为4的菱形abcd中 dab 60 点e f分别在边cd cb上 点e与点c d不重合 ef ac ef ac o 沿ef将 cef翻折到 pef的位置 使平面pef 平面abfed 如图2所示 1 求证 bd 平面poa 2 当pb取得最小值时 求四棱锥p bdef的体积 解 1 证明 因为菱形abcd的对角线互相垂直 所以bd ac 所以bd ao 因为ef ac 所以po ef 因为平面pef 平面abefd 平面pef 平面abefd ef 且po 平面pef 所以po 平面abefd 因为bd 平面abefd 所以po bd 因为ao po o 所以bd 平面poa 归纳提升 垂直关系综合题的类型及解法 1 三种垂直的综合问题 一般通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 2 垂直与平行结合问题 求解时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 垂直与体积结合问题 在求体积时 可根据线面垂直得到表示高的线段 进而求得体积 归纳提升 1 求直线与平面所成的角的一般步骤 找直线与平面所成的角 即通过找直线在平面上的射影来完成 计算 要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解 2 作二面角的平面角可以通过垂线法进行 在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线 再过垂足作二面角的棱的垂线 两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直 由此可得二面角的平面角 满分指导 垂直转化解答题的答题技巧 典例 满分12分 2013 北京 如图 在四棱锥p abcd中 ab cd ab ad cd 2ab 平面pad 底面abcd pa ad e和f分别是cd和pc的中点 求证 1 pa 底面abcd 2 be 平面pad 3 平面bef 平面pcd 规范解答 证明 1 因为平面pad 底面abcd 且pa垂直于这两个平面的交线ad 所以pa 底面abcd 2分 2 因为ab cd cd 2ab e为cd的中点 所以ab de 且ab de 所以四边形abed为平行四边形 4分所以be ad 又因为be 平面pad ad 平面pad 所以be 平面pad 7分 3 因为ab ad 而且四边形abed为平行四边形 所以be cd ad cd 由 1 知pa 底面abcd 所以pa cd 所以cd 平面pad 所以cd pd 9分 因为e和f分别是cd和pc的中点 所以pd ef 所以cd