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群的共轭性质与可分性质 摘要 摘要 1 9 1 1 年 m d e h n 提出了组合群论的三个基本问题 即 字问题 共轭问题 同构问题 我们知道 对于有限呈示并且是剩余有限 共轭可分 的群 它的字 问题 共轭问题 是可解的 对于有限呈示并且子群可分的群 广义字问题是可 解的 在这些问题的解决中 群的剩余性质和可分性质是必不可少的 剩余可分性也是抽象群论关注的性质 对它们的深入研究对于无限群本身 的研究和发展也是有意义的 而且如果在群上定义一个射有限 p r o f i n i t e 拓扑 就得到一个拓扑群 对剩余可分性的研究就和对拓扑的性质的研究结合起来 在第一章中 我们介绍了剩余性质和可分性质的定义和一些已有的结果 我 们还给出了后面要用到的一些定义与结论 在第二章中 我们首先对广义自由积的性质作了一些说明 这些性质将会在 后面的讨论中用到 然后我们讨论了一些特殊的可分性质 这些性质在我们后 面的讨论中是需要的 第三章我们讨论了剩余有限群和剩余有限p 群 我们给出了广义自由积为 剩余有限性的判定条件 并且得到了顶点子群是有限p 群的多边形积 p d y g o n m p r o d u c t s 是剩余有限群的一个条件 在这一章中 我们还讨论了广义自由积成 为剩余有限矿群的条件 第四章讨论群的循环可分性 c y c l i cs u b g r o u ps e p a r a b l i t y 在给出循环可分群 的一些基本性质后 我们首先讨论了广义自由积成为循环可分群的判定条件 然 后再考虑h n n 一扩张的循环可分性 第五章研究了群的共轭可分性 而且我们还得到了循环共轭可分性 c y c l i c c o n j u g a c ys e p a r a b i l i t y 的一个判定定理 最后在第六章中 我们讨论了非幂子群个数对群的影响 证明了如果非循环 群的非幂子群个数有限 那么它就是有限群 并且由此给出了群的一个分类 关键词 剩余性质 可分性质 广义自由积 多边形积 h n n 扩张 作者 周伟 指导教师 施武杰 群的共轭性质与研分性质 a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 11 m d e h ng a v et h r e ef u n d a m e n t a jp r o b l e m si nc o m b i n a t o r i a lg r o u pt h e o r y w o r dp r o b l e m c o n j u g a c yp r o b l e ma n di s o m o r p h i s mp r o b l e m s i n c ef i n i t e l yp r e s e n t e d r e s i d u a l l yf i n i t e c o n j u g a e ys e p a r a b l e s u b g r o u ps e p a r a b l e g r o u p sh a v es o l v a b l ew o r d p r o b t e m c o n j u g a c yp r o b l e m g e n e r a u z ew o r dp r o b l e m r e s p e c t i v e l y t h er e s i d u mp r o p e r t i e sa n ds e p a r a b i l i t yp r o p e r t i e sa r ei m p o r t a n tf o rc o m b i n a t o r i a lg r o u pt h e o r y t h er e s i d u a lp r o p e r t i e sa n ds e p a r a b i l i t yp r o p e r t i e sa r ea l s oi n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s i na b s t r a c tg r o u pt h e o r y m o r e o v e rw ec a r td e f i n eap r o f i n i t et o p o l o g yi nt h eg r o u p t h e n s o m er e s i d u a lp r o p e r t i e sa n d s e p a r a b i l i t yp r o p e r t i e sb e c o m et h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e s w ec a n s t u d yt h e s ep r o p e r t i e si nt h i sd i r e c t i o n i nc h a p t e r1 w eg i v et h ed e f i n i t i o n sa n de x a m p l e so fg r o u p sw i t hr e s i d u a lp r o p e r t i e sa n ds e p a r a b i l i t yp r o p e r t i e s i nc h a p t e r2 w ec o n s i d e rs o m es p e c i a ls e p a r a b i l i t yp r o p e r t i e s t h e s ep r o p e r t i e s w i l lb en e e d e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r i nc h a p t e r3 w es t u d yt h ep r o p e r t i e so fr e s i d u a lf i n i t eg r o u p sa n dr e s i d u a lf i n i t e p g r o u p s w eg e tc r i t e r i o nf o rg e n e r a l i z e df r e ep r o d u c t st ob er e s i d u a lf i n i t eg r o u p s a n dr e s i d u a lf i n i t ep g r o u p s a n dw g e tac o n d i t i o nf o rap o l y g o n a lp r o d u c t st ob e r e s i d u a u yf i n i t e i nc h a p t e r4 w es t u d yt h ec y c l i cs u b g r o u ps e p a r a b i l i t y w eg e tc r i t e r i o n sf o r g e n e r a l i z ef r e ep r o d u c t sa n dh n n e x t e n s i o nt ob ec y c l i cs u b g r o u ps e p a r a b l e i nc h a p t e r5 t h ec o n j u g a c ys e p a r a b i l i t yi sc o n s i d e r e d a n dw e g e t 巍c r i t e r i o nf o r t h ec y c l i cc o n j u g a c ys e p a r a b i l i t yo fg e n e r a l i z e df r e ep r o d u c t s i nt h el a s tc h a p t e r w ed i s c u s st h ea f f e c t i o no ft h en u m b e ro fn o n p o w e rs u b g r o u p s w ep r o v e i n8 n o n c y c l i cg r o u p i ft h en u m b e ro fn o n p o w e rs u b g r o n p si sf i n i t e t h e n t h eg r o u pi sf i n i t e a n df o l l o w i n gt h i st h e o r e m w eg e tac l a s s i f i c a t i o no fg r o u p s k e y w o r d s r e s i d u a lp r o p e r t y s e p a r a b i l i t yp r o p e r t y g e n e r a l i z e df r e ep r o d u c t s p o l y g o n a lp r o d u c t s h n n e x t e n s i o n w r i t t e nb yz h o uw e i s u p e r v i s e db ys h iw u j i e i 群的共轭性质与可分性质 符号说明 符号说明 为了以后叙述方便 我们先介绍一些常用的符号 其余的将会在厢刘时介绍 设a b 是两个集合 a b 裘示所有在a 申但是不在县中的元索的集合 x l 表示集合x 所含元索懿个数 h g 表示 是g 的予群 n 司g 表泳h 是g 的暇规子群 8 一gb 表承元a b 在群g 中是共耗懿 鄹存在g g 满足8 垆 口 g 表示8 在群g 中的菸轭类 邓g 中所有与8 黎轭的元集合 x f 由x l z x f 所生成的元素 一般的我们都繇求f 是一个 群 菇 f 此时我船称x f 魁x 在f 的正规翅包 n o r r a a lc l o s u r e 这个记号糖 使用辩都有英俸鲍说嚣 不会秘元素酶共瓣类的符号灞淆 i g h l 表示乎群日在群g 中的指数 i n d e x 设g6 g 1 9 l 表示目的阶 设g 是一个嚣 督是g 的乎群 n g h 表示置在g 中螅正规化予 c c h 表零 嚣农g 中酶中心诧予 z g 裘示g 酌审 设日是群g 的子群 h g f l g g h g n 司 g 表黎 是群g 的燕规子群 弗韪在g 孛指数有限 n q g 表承 是群g 的疆规子释 弗艇c n 是露隈p 群 设g 是群 m 是非负整数 g m 表示由所有的9 m 生成的子群 即g g n t h 液示g 静芷簸子群 借壤乎子释嚣静霹装扩张 设n 日g scg 一般用尊 g n 表示g 关于 的商群 吾表泳s 在g 到商 群搿的自然同态下的像 那季 s n n 特别地 当s 一如 对 面 m n d r a e 磁表承群点k 酶赢积 d i r e c tp r o d u c t s 西 z 酝表示群斑的笛卡尔辍 c a r t e s i a np r o d u c t s 当指标黎a 有限时 二者是相同的 如果设a 1 2 n 则d r a h 1 h 2 x 珥 v 群的典轭性质与w 分性质第1 辫定义与背繁 第一章定义与背景 王 1 简介 组合群论魑一个与同调代数 拓扑学和数理逻辑有密切关系的群论研究领域 像 起源予1 9 世纪中叶 许多微分方程 自守蛹数 以及几何研究都有与群论相联系的 阕熬 1 8 9 5 年 p o i n c a r e 零 入了基本释f f u n d a m e n t a lg r o u p 夔概念 邃裁将缝粹鹣 群论研究与其他学科的研究联系起来 1 9 1 1 年 m a xd e h n 提出了一些基本问题 这也是组合群论诞生的标志 其中的 三令整最重要奄麓簸毒意义豹麓蘧 鸯了叙述这蔻令基零阗题 我弱蔫先绘爨嚣酶 璧泳 t h ep r e s e n t a t i o no fg r o u p 的定义 定义1 1 1 设g 是一个群 x 赶一些符号 s y m b 0 1 的非窘熊合 令f x 是由爿皮 畿鲢枣由群 r 楚f x 鲢任意子集 n i t 一r f x 为戴嶷f x 中妁正规麓包 如 果群g 与商群f x n i t 鞠构 列称 为群g 的一个呈示 p r e s e n t a t i o n 并脯记 g 我稻称x 为g 畿生蒇元集 g e n e r a t o r 露为g 酌定爻荧系集 d e f i n i n gr e l a t o r 蠢 x 和r 都是有限的集合时 我们称g 是有限呈示的 f i n i t e l yp r e s e n t e d 当j x i n 时 我们称群g 为n 一生成群 当l r m 时 称群g 为m 一关系群 设群g 鑫宅鹃一令星示 p r e s e n t a t i o n 绘氆 舔g 一 箕牵x 秀g 瓣 生成元集 冗是g 的定义关系榘 因此g 中的元就可以内生成元构成的字 w o r d 米 代裘 f l 字麓题 瓣予饪嚣一拿鑫生或元给爨豹字形 裁舔经遘毒羧梦 或者说我鬟 一个算法 确定w 是否为单彼元1 2 共轭问题 对于任何两个由生成党输出的字m w i 能否经过有限步 或嚣 说找鬟一个算法 穗定h 嚣妫在0 是黉秀共糍 3 同构问蹶 对于任意一个由另外的一个星示给出一个群g 能否经过有限步 或者说找到一个算法 确定g 和g 是否为同构的 上嚣三令阉题称秀d e h n 豹三夭群论麓疆 缀合辩论瓣主要嚣懿就是基于嚣戆 莹永 系统地发麟代数技术去解决这些相关闷题 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背景 对于这三大群论问题 现在已经有了一些很好的结果 例如 1 9 3 2 年m a g n u s 证 明了 有限呈示的1 一关系群的字问题是可解的 即可找到一种算法 经过有限步后 可给出该问题肯定或否定的答案 n o v i k o v 于1 9 5 4 年给出了一个一般性的结果 存在有限呈示群 其元素的共轭 问题和字问题都是不可解的 因此对于何种群 或者说具有何种性质的群其三大问题可解的研究就变得很有 意义 而我们所讨论的剩余性质和可分性质 其定义见1 2 2 1 2 3 对于群的这几个 基本问题都有非常重要的作用 例如 a m o s t o w s k i 在 1 中证明了 对于有限呈示 并且是剩余有限 共轭可分 的群 它的字问题 共轭问题 是可解的 a i m a l c e v 在f 2 1 中证明 对于有限呈示并且子群可分的群 广义字问题是可解的 所谓广义字 问题 是指对于群g 的一个呈示g 其中x 是生成元集 r 是定义关系 集 我们令叭 w 2 是x 上的字 日是由w 1 w 2 生成的g 的子群 下面的问题就称为g 对于日的广义字问题 能否经过有限步 或者说找到一个算 法 决定一个x 上的字y 是否为 中的元素 在这些问题的解决中 我们发现研 究群的剩余性质和可分性质均是必要的 剩余性质以及可分性质不光直接与组合群论的中心问题 如 字问题 共轭问 题 广义字问题 同构问题 等 相关联 而且它们本身就是抽象群论关注的性 质 从后面的定义中可以发现我们通常感兴趣的 也是研究的比较多的剩余性质 比 如剩余有限等 和可分性质都是群中的一些有限性条件 即在有限群中 它们都是 满足的 而有限性条件又是我们在无限群研究中非常关心的 因此对这些性质的深 入研究对于无限群本身的研究和发展也是非常有意思 不仅如此 考虑群的左乘和 右乘作用 我们可在群上定义一个单位元1 的邻域的基b b a s ef o rn e i g h b o r h o o d so f t h ei d e n t i t ye l e m e n t 从而定义一个拓扑 此时就把群变为一个拓扑群 t o p o l o g i c a l g r o u p 一些剩余性质和可分性质就变为了拓扑群的性质 这样就可以把群论性质 和拓扑性质结合在一起讨论 最后 我们还讨论了非幂子群对群的影响 我们证明了 一个非循环群的非幂子 群的个数是有限的充要条件是群是有限的 利用这个定理 我们按照非幂子群的个 数给出了群的一个分类 2 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背景 1 2 一些基本的定义 为了方便后面的叙述及讨论 我们先给出一些基本的定义 定义1 2 1 有限性条件 f i n i t e n e s sc o n d i t i o n 所谓有限性条件是指所有有限群都具 有的群论条件 对于无限群的研究一般都是从一些有限性条件进行研究 也就是说 如果对一 些有限群的性质研究的比较清楚地话 我们自然地就希望把它们推广到无限的情形 上去 比如对局部有限群 1 0 c a lf i n i t eg r o u p 的研究 为了叙述方便 我们引入下面的记号 设p 表示一种群的性质 或者是具有性 质p 的群类 记号n q p g 表示n 司g 并且g n 具有性质p 特别地 n 司 g 表 示g n 是有限群 n q g 表示g n 是有限p 群 定义1 2 2 设p 是任意的一种群的性质 一个群g 被称为具有剩余p 性质 如果 对于任意1 z g 存在 乙司g 满足g 具有性质p 并且zgn 我们用冗p 来记剩余p 群类 g 冗p 表示g 是一个剩余p 群 和剩余性质相联系的是群的可分性 定义1 2 3 设g 是群 s 是g 的一个子集 如果对于任意茹岳s 存在 q g 满足 在g g i n 中有虿gs 则称g 是s 可分的 对应于不同的性质p 我们就可以研究群相应所具有的剩余p 性质 例如 当 我们令p 是有限时 相对应的性质就为剩余有限性 这是我们最感兴趣 也是讨论 的最多的一种剩余性质 显然它是一种有限性条件 同样当我们的集合s 的选择不 同 我们也有不同的可分性质 例如我们主要研究的是以下的一些性质 丌c 循环可 分性 子群可分性 共轭可分性 这些性质的定义将会在后面陆续给出 而当我们 取s f 1 时 我们发现g 是 1 可分的和g 是剩余有限的是一样的 因此剩余性 质和可分性质是存在着联系的 前面提到 当我们选择适当的群g 的单位元1 的邻域的基召时 我们就会得到 一个拓扑群 如果我们令舀 nj nq g 我们得到的拓扑称为g 上的射有限拓扑 f p r o f i n i t et o p o l o g y 我们容易发现所说的g 是s 可分的等价于s 在g 的射有限拓 扑下是一个闭集 于是剩余有限就是指单位元集合1 是闭集 也就是说此时拓扑群 g 是h a u s d o r f f 的 要想讨论群的剩余性质和可分性质 我们需要用到子群 商群的一些性质和条 3 群的共轭性质与可分性质第l 章定义与背景 件 我们先给出一些一般的定义 在讨论具体的群性质的时候再给出具体的定义 定义1 2 4 群g 称为外p 群 如果对于任意1 n 司g 都有g n 是p 群 在这个定义中 我们并不考虑g 本身是否是满足p 当我们取一些不同的性质 p 就会得到一些特殊的群类 在后面的讨论中 我们就会遇到不同的情形 例如当 p 是循环群时 我们就得到了外循环群的定义 当我们取p 是阿贝尔群时 我们就 得到外阿贝尔群的定义 定义1 2 5 群g 满足关于性质p 的交条件 如果 m q p g n q p g 辛 m n n 司p g 例如 当我们取p 为有限时 我们知道此时的交条件是自然成立的 对于不同 的性质p 我们会得出不同的交条件 然后利用这些条件去给出剩余性质和可分性 质的判定定理 定义1 2 6 设h g q 也是群的一种性质 我们称g 满足子群口的关于性质p 的q 性质 如果n hq qh 则存在n 司pg 满足 nh 仃 我们注意到如果g 满足子群日的关于性质p 的q 性质 驯 皇h n m h h n h q 从而对日的同态像有一种约束 我们后面将会对几种特殊的性质p q 进行讨论 定义1 2 7 如果我们设性质q 就是有限 那么这就是g 关于性质p 的有限扩充条 件 定义3 兽 占是一种特殊情况 当我们在后面对广义自由积的剩余性质和可分性质进行讨论时 我们发现这个 性质在我们的判定定理中是非常重要的 我们知道自由群 阿贝尔群都具有很好的剩余性质和可分性质 但是一般来说 群具有哪些剩余性质和可分性质是很难确定的 而我们所知道的群中 具有某种剩 余性质和可分性质的群是很少的 我们希望这些具有好的剩余性质和可分性质的群 去构造出一些新的具有好的剩余性质和可分性质的群 对于剩余性质 g r u e n b e r g 在 3 列出一些基本的结果 令p 是一种群论性质 1 如果g 具有性质p 则g 一定是冗p 也就是说由性质p 可以推出冗p 2 如果由性质p 可以得到性质q 则7 扩可以推出冗q 比如 一个群如果是 4 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背景 剩余幂零的 则它一定是剩余可解的 3 对于剩余有限群来说 如果a b 都是剩余有限的群 则a b 也是剩余有限 的 对于一般的性质p 来说却未必成立 g r u e n b e r g 得到了 如果g 都具有性质p 则c r g 和d r a g 都是冗p 对于可分性质 我们将在下一节对具体的可分性质作一些一般的说明 在本文的讨论中 我们首先讨论带有融合子群的广义自由积 g e n e r a l i z e df r e e p r o d u c t sw i t ha m a l g a m a t i o n 对于剩余可分性的影响 我们首先给出广义自由积的 定义 定义1 2 8 设g i 为 i 1 2 为g l g 2 的呈示 凰 g i 并且存在日1 到玛的一个同构映射7 则融合子群是风 凰的g l g 2 的广义自由积向e n e r a l i z e d 加 p r o d u c to g 1 g 2w i t ha m a l g a m a t i n gs u b g o u p sh 1 巩j 所得到的群由如下的呈示 给出 我们记所得到的群为g l 奶 凰 g 2 或简单的记为g 1 灯g 2 此时h l h 当h i 现一1 时 g l g 2 的广义自由积简化为 我们称为g l g 2 的自由积 雠p r o d u t s g 1 g 2 大致上可以看成是交为日的群g l g 2 所能生成的最大的群 群g l g 2 关于子群日的广义自由积的性质与g l g 2 日都有很大的关系 我们将在后面详细 讨论它们之间的联系 我们也会对多边形积 p o l y g o n a lp r o d u c t s 以及h n n 一扩张进行讨论 其定义及 基本性质会在后面给出 1 3 剩余可分性以及相应的例子 在这一节 我们给出剩余有限 记为冗 剩余有限p 群 记为7 己耳 循环可分 记为 共轭可分 子群可分等的定义以及一些后面会用到的相关结论 定义1 3 1 群g 称为剩余有限群限 是指 对于任意1 z g 都存在 lq g 满足zg 飓 5 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背景 定义1 3 2 群g 称为剩余有限p 群限五j 是指 对于任意l g 都存在 q g 满足z 皇 注意到在剩余性质的定义中 如果我们取p 表示有限群 这就得到了剩余有限 的定义 而在关于可分性质的定义中 我们如果取集合s 为 1 则关于这个集合的 可分性质也是剩余有限性质 由此我们可以看到 剩余性质和可分性质是紧密联系 的 有时甚至是重合的 定义1 3 3 群g 称为循环可分陌 j 是指 对于每一个g 中的循环子群 以及 任意的g g 存在 q g 满足g n 定义1 3 4 设h 是g 的一个子群 如果对于任意x a h 存在n 日 g 满足 og 日 则称g 是日 可分的 定义1 3 5 群g 称为子群可分仁c r y 的是指 对于任意有限生成的子群h g 都 是日一可分的 定义1 3 6 群g 称为扩展子群可分陋7 己 j 的是稽 对于任意子群h g 都是日一可 分的 对于群类来说 我们有行fd 丌c c 冗 7 移 而且这些都是严格的真包 含关系 见 4 并且我们容易知道这些性质对于子群来说都是成立的 即是子群闭 的 对于一般的剩余性质 我们已经知道了在f 3 中g r u e n b e r g 对于直积下的情况的 一些初步结果 对应地 对于可分性质在直积下的情况 a l l e n b y 和 r e g o r a c 在 4 中列举了下面的结果t 如果群a 8 都是丌c e n r 则a b 也是7 r c t c r 而对于a b 都是 c 7 z 厂 axb 则不一定是c 冗芦的 下面给出了这些群类的一些例子 以及一冀是我们将要用到的结果 定理1 3 7 m h a l l 3 刚自由群是子群可分的 由这个定理以及群类之间的相互关系 自然就得到了剩余有限群 循环可分群 子群可分群的具体实例 定义1 3 8 多重循环群 p o l y c y c l i cg r o u p s 如果群g 具有一个有限长的子群链l g oqg lq tq g g 并且g i g 一1 都是循环群一 l 2 凡j 则称g 是多重 循环群 6 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背荣 定壤l 3 9 m a t 毪 嬲 r o b i r l s o n 嬲 多重绦 莓l 群是子群孽分的 定h i 3 1 0 r p h a l t 8 有限生成的a b e i i a n b y n i l p o t e n t 群是冗 但是 下面的例子说明有限生成的亚阿贝尔群 m e t a b e l i a n 不一定都是 遮 藏瀵臻t i e d 燕严揍熬龟念关系 例予1 口i l e n b ya n dg r e g o r a c 删群 楚缈 但它不是丌c 定1 1 1 3 1 1 偈 b a u m s l a g 9 宥i l i t t k 成的自由群的循环扩张是冗 在爵究广义蠡基获静裁余经凑纛毒分熬凄辩 下嚣豹一条捷爱会菠复矮爨 襄 实际上是几个工作综合所得的结果 j 祭瓤 3 1 2 g b a u m s l a gf lo j a l l e n b ya n dg r e g o r a c 如果a b 匙 护h c 于辩 可分 共豆u 惩蠢疆群 爰 糖应辑互 b 也是霆 子群可分 注意到有限群显然是佗 趣 子群可分 于是两个有限群的广义自由积也怒 1 4 3 吼 子群可分 邕我爨戆觳会手嚣为1 辩 f 义妻盘稷就是塞蠢禚 出这个定臻 我靛皴遂巍 a b 有很好的可分性时 其蠢国积也有摄好的可分性 健是对于一般盼酶昆 却来 必如此 因此 我们在对剩余性质和可分性质进行讨论时 往往还要加上一些附加的 条 牛 我们将会擞对这些条件分别进行讨论 宠臻1 3 1 3 b r u n n e r b u r n s s o l i t a r 衢移融合手群是撩帑群酶薛两个鑫鸯群广义舞 由积是予群可分的 然两 融合予群是循环群的薅个子群可分群盼广义囊出积却未必怒乎群可分的 在f 娃l 孛 磁举魏绘篷7 一令镶子 前面的可分性质 如循环可分 子群可分 都是对一贱特殊子群的可分性来说的 而菸轭可分却是对子集合 共轭类的集合 的可分性来讨论的 下面我们给出共轭 町 分懿定义及一鎏缀莱 定义1 3 1 4 设a b g 我们称a b 是共辊可分的 如果存在 司 g 满总在g 中 瓦b 是幂共轭的 群g 称为共轭可分的是指g 中每一对不抟轭的元都在g 中是共轭可 分薛 换句话说 如果 gy 嬲每在 g 满足n x 彰甜n y 显然我们有 如果g 是菸辍可分的 则g 一定是缈 在 1 中 a m o s t o w s k i 诞 明了在有限呈示的共轭可分群中 共轭问题魁可解的 因此我们希望找到一些共轭可 分熬群魏锲子 下嚣熬定理就飨蹬了一些熬程可分群豹捌子 7 群的共轭性质与可分性质第1 章定义与背景 定理1 3 1 5 佃l a c k b u r n 肛圳有限生成的幂零群是共轭可分的 定理1 3 1 6 s t e b e 1 圳共轭可分群的自由积是共轭可分的 因此自由群是共轭可分 的 定理1 3 1 7 f o r m a n e k 1 4 多重循环群借助于有限群的扩张是共轭可分的 虽然亚阿贝尔群是剩余有限的 定理1 3 1 0 但是在 1 5 1 6 中 w e h r f r i t z 给 出了不是共轭可分群的有限生成的亚阿贝尔群的例子 定理1 3 1 8 口刀设g 是自由群借助于循环群的扩张脚e b y c y c l i c 如果g 有非平 凡的中心 则g 是共轭可分的 定理1 3 1 9 8 自由群借助于有限群的扩张佛e b y 币h i r e 是共轭可分的 定理1 3 2 0 r 口驯两个有限群的广义自由积是自由群借助于有限群的扩张 因此是 共轭可分的 自然地 它也是剩余有限的 例子2 膨纠对于s 1 是共轭可分的 下面这个引理给出了不是共轭可分群的一种构造方式 引理1 3 2 1 p y e r 扣训设 g h g 并且 z gnh 0 如果它们在g 的任 意有限的同态像下的交非空 则g 胃g 不是共轭可分的 8 登盟基轭性腹皇要分性嫒 第2 章二 些特殊可分性质 第二章一些特殊可分性质 2 1 广义自由积的性质 为了方便后面对广义自由积的讨论 我们先给出广义自由积的一些基本搿实 它 们都是我们将要用到的 设g 一硅s 抒嚣莛秘a 露霹手融会予群露豹广义者鑫积 辩予g 来说 1 如粜k a l 曼b 满足k n h l n 日 1 则k l 所生成的子群 是k 和l 的蛊由积 即 k l k l 2 我髓稼五 置是g 豹因子 霹予缳一个g 孛鹣元g 舔有一个篱稼形式f r e d u c e d f o r m g 就1 2 牡 其中u t a u 嚣 并且如果角笼1 则在表达式中相邻的冗来自 不同的因子 即对于每一个i 1 2 一1 或则蛳 a h 则钍州 b h 或者 钺 b h 剩链洱1 a h 我稠也张潢足上蟊条传戆牡l u 2 锚 舞麓诧字 r e d u c e d w o r d 对予简化字u l u 2 托女 如果惫 l 或者鬻 1 劳且髓l 锚 在g 的不弼因子 里 则称 i u 2 u k 是循环简化字 c y c l i c a l l yr e d u c e dw o r d 巍然g 中每 个元都 与一个循环简化字共轭 翔栗嚣l 嚣2 强女释v 1 4 j 2 毪是辩个麓纯字 多争强越l 钍2 挂 v l 砚 奶 辩育 j 并且存在 1 2 k 一1 h 满足 t 正l v l h f l 让2 篇 l t 咤 i 1 札膏一i h k 一2 t 慷一l 危芒l 钍奄焉矗女一l t 嚏 在我们对广义自由积进行研究时 我们一般都是按照简化字的长度来分类讨论的 3 考纛一a8 耳一b 霜答涣翦番 a 一 a 多 b 一面瀵足h e h ev h h 其 中耳一h e h 妒 予魁稃在同态映射丌 a f rb 一一a 万露 对予任意z a 葚 b 有z 7 r z 曲 掣7 r 妒 特别地 设m 嘲a nqb 满足mnh nnh 则此时由 a a i m b b n 鲍爨然露态可以褥到赡下的一个潢同态浃霆孪 7 r m a hb a m g b n g 群的共轭性质与可分性质篇2 章一憋特殊可分性滕 其中 f i 曼i 了m m 竺h n n 这一条性质会在我们的诞嘲中反复使用 2 2 冒分性豹 些初步结票 我们发现 税对剩余性质和可分性质进行讨论时 特别是在对广义自由积进行 讨论时 如果知道了群对于融合予群是可分的话 则广义自由积往往具有很好的剩 余锻茨释霹努缝黢 交魏 我嬲走藏群对荼麓子群豹露分经送行 萼论 性麟2 2 1 设g 怒群 如果g 包含一个予群为磊一 则g 不能为7 已 证明假设g 是冗 并熙h g h 磐毛 由予g 是剩余有眼的 因此存 在a n t n 1 5g 灌是a n a 1 予楚必然存在n a 灌怒h 茎n 显然 nh 司rh 滋崽到日的真予群都是有限的 日本身又是无限的 于是我们得到 n h h 即h n 矛盾于 的选取 下嚣酶一些豫瓣给塞了满蹩有限扩充佼璜 觅定义3 2 8 懿群静镄子 性成2 2 2 设群g k h 惹干群 借助千子群h 的分裂扩张 予群 日q ph 则存在n 司p g 并且 n h 一强 谥萌我翻毒奄逢一个g 到壬 a 嘻静霹态跌瓣 g a g k h k 些h h n n 显然歹是交群之耀熬妻然嚣态耩褥劐豹 令n k e r f 显然畜 强h n h 令 嚣 n n h 刚 l 逸就说明茹 n n 因此我们有n a h 一 h 显然由 同悉定理 g n 麓驯 故有 司pg 性疆2 2 3 设a 建骞錾生戒砖辫燕尔群 羁k 冬a h nk l 移q 群 矿 k 戴 寿 辍nq a 满池 j j n h u n nk v 2 n 秘q n k n 证明由于a 是阿贝尔群 所以u v 都照a 的正规子群 我们令a a u v h h u w u v 一k k u y u v 因为uq h v 3 1k 因此w r 都是有限群 由予再 i 0 群的共轭性质与可分性质第2 章一些特殊可分性质 是蠢羧生残熬嚣贸尔群 辑戳感剩余有限瓣 于是根据寇义 毒在丙q 页 满足 丙n w n 万一丙n h k 1 令 为丙在a 中的原像 下蕊我i 说盟 满是1 2 根据 n h 一1 我 瓣知道nnh u v v y 予是 nh n nh nh u v 一 nh u v n h u ynh u vnh 一u 同理我们知道 nk v 这就验诞 了1 显然n h nn k n 设x n h 疋 影 于是存褒n l 椎2 h h k k 满足x n l h n 2 k 我们得到礼i l n 2 h k 一 这说明在万中 n i l 礼2 丽 t 联 丙n 筇霄 1 也就是说一h 话 霄n k 一1 即h v 蔓 所以z n l h n 这瀵骥 劈n 烈 n 嚣魏 努n 爱一n 予是2 像是蔽立静 注 在这个性质的证明中 我们所用列的性质主要是 v 是a 的最规乎群 a u v 是剩余有限的 并没有用到阿皿尔群的其它性质 因此如米我们要求u y 司a a u v 莛爨余有聚鹁 瓣嚣数整建怒露英承嚣鹣条俸去捧 缝论瓣襻凌立 定义2 2 4 k 惹群g 的正规母拜 我们称辫g 是k 一予群可分的 如暴对于 所 有的有限生成的母群日 g 都悬h 一可分的 注意鞫当我爨羧k g 瓣 我 j 裁霉戮了子嚣胃分瓣定义 嚣藏弘子器毒势 可以看成是予群可分的推广 我们对耳一予群可分的群做一些初步的讨论 性质2 2 5 设 悬g 的正规子群 并且g 是k 一子群可分的 h g 是有限生成的 k 妁子聋 莠且它镪在g 申戚怒 黟么砖掌售意姆矽 g 寿在 q g 满足 n c 一以 日n c n h n a 谖骥令c o e 1 岛是群g 对于子嚣秽熬陪集代袋元 并豆c o 1 由予0 趋有限生成的 在s 中酶指数为有限 匿悲s 氇怒搿限生成的 国于g 是弘 子群可分 因此存在 1q g 满足 对于任意的c i 1 都有c ig l u 显然h u 也照有限生成的 因此对于任意的c jgh u 存在炳q g 满足qg 2 h u 令 n 一麓u o n 2 u 下嚣i t i 臻n 潢爱定理嚣甏零 首先证明 nc u 照然usn nc 注意到m unc 炳ng 如 果存在o nna u 则存在q l u 满足 c 4 u 由于搿 n 敞 连一x t t o n u 量效u 这冬效熬选取樱缪蓬 群的共轭性质与可分性质第2 章一些特殊可分性质 其次 我们证明 hnn c n h ng 设 e 日nn c 于是存在n 1 礼2 n h h c c 满足z 礼l h t t 2 c 由于c 0 岛为陪集代表元 于是存在u u 以及0 i 凡 有c 臼札 于是c i 礼i 1 礼1 h u 1 n h u 2 日u 根据 2 的选取 方法 我们知道对于这个岛 一定有岛 h u 令c h l u l 其中h 1 h u 1 u 于 是h 1 臼u i l c 因此h i hnc 注意到u n 于是u l u n 由于nqg 因此 u l r 1 n 现在我们有佗2 c n 2 岛u n 2 h l u l u n 2 u l u r h i n hne 这说明 h n n c n h n c 显然我们还有 n c n h n c 从而完成定 理的证明 性质2 2 6 设k 是群g 的子群 g 是k 一子群可分 对于任意有限生成的子群 日 t k 如果h 司g 则对于任意的z g 都有g 是h x t 可分的 证明设gg h x t 由于h 是g 的正规子群 则有g 彰z 日t 故x l gg 日t 注 意到h t 是一个有限生成的k 的子群 而g 又是 子群可分的 因此存在 q g 满足x l g 叠 h t 这就说明gg n h x t 在 2 1 中 g k i m 得到了如下的一个结论 定理2 2 7 佑 k i m 令g e4 hf 其中e f 是h 一可分 令s 是e 的子群并且 e 是s 可分 假设 w b vn 日 h 存在n eq e n f 司 f 满足盹nh f nh 则g 是s 可分的 注意条件 w b 和我们所定义的有限扩充条件略微不同 下面我们对于s 考虑 更广泛的情形 定理2 2 8 设g e s h f 其中e f 为日 可分 设研 e s 2 f s l n s 2 n h s s 1s h 岛 设e 是s l 一可分 f 是s 2 一可分 如果满足 nq fh 寿粒n e 乜 e 和n fq ff 满是n e n h n f nhsn 那么g 是s 可分 证明设g g 并且g 岳s 我们按照9 的长度讨论 情形1 l 不妨设g e 因为e 是s l 一可分 故存在尸q e 满足 ggp s l 由条件我们知道存在尸1 司 e q lq f 满足p 1nh q 1n h p n h 令 e p np 1 g r q 1 于是地qe 坼qf 并且 n e n h p 1 n h q 1 n h f n 日 1 2 群的共轭性质与可分性旗第2 章一些特殊霹分性质 于是我钌得到一个丽态映射 g e hf g e n e4 耳f a 瞄 其中h 何 e g h p v f 此时我们有虿碍s 否则茸 s ne s 1 与 e 的选择矛盾 由于e 和影 f 是蠢限群 根据定理1 3 1 2 祷百是子群可分 注意到琴是有 疆生液懿 瓣魏存在露 否滂跫蚕g 雨曩令掰秀露在g 申辩滚豫 予楚殛然有 m 司f g 并艇g 掣m s 情形2 怕 l 2 假设g e l f l e 厶 其中e e 日 f 片 其余的讨论 糖霆 囱 t g 雾s 因戴必然存在岛露轰或鼻菇 不薅设e gs l 由e 为s l 一 可分 故省pq e 满怒色乒s 1 p 由于e 和f 怒目一可分 敬对于所有的i 存在 p lq e 国lq f 满足峨粤p 1 h 舅q 1 h 考虑pnp inq 1 司 h 由条件 存在 p 2 q f e q 2 q f 满足 岛n h q 2 n h p n n n q l 令嵫 p np l n 岛 n f 一0 n 9 2 予是盹q f 凹 f q f 并麒 e n h n f n f 巍壤黟1 一撵 我弱专羁态映射耳 g e 器f 一露 蜀 璐8 耳f n 我们说万 s 否则设虿 百 a s h 蕊 于是存在a l s l b je 岛满足 西 万 研 瓦 它们是舀中相等的元素 而且为筒化形式 因此百 甜瓜 再 i 焉 这与嫉懿选取矛瓣 由于否为子群霹分 嚣器隽毒隈生成懿 鼓存在霜 f 西 满足虿营季粉 令掰为瓣在g 中i 斡源像 易箭m 司 g 并且g s m 这就完成了 证明 1 3 群的共轭性质与可分性质第3 串剩余有限群 剩余有限p 一拜 第三章剩余有限群 剩余有限p 一群 3 1 剩余有限群的铡子 根据定理13 1 2 我们知道 如聚a b 都是佬 u 是有限的 则a4 u8 也是 咒 结合对剩余有限群的研究 我们勰可以利用广义自由积来构造出更多的测余有 壤群 掺l 热 我鼹霹戳袋u l 建 磐酃是穰会舂 藜嚣 下嚣懿定理薅沦了癸羚戆一 些情况 定义3 1 1 群g 的子群措称为g 的加t r a c t 如果格在正规子群 满足g 一 一h 定瑾3 1 2 蠢 燕生或黪梵芦器疆转予瓮芦群薛可鬟扩张是霞 爨 定理3 1 3 佃o l e r e v a n s 2 2 设a a l h b 日l h 都是咒 则g a 十玎b 也是冗7 定义3 1 4 设i 8 知果蠢辛任意一拿盂整数牲 毒在辩司 g 满足n x 囊 g n 中的阶恰好是n 则称g 是 p o t e n t 如果对于任意1 z g g 都是 一p o t e n t 则称g 是p o t e n t 定理3 1 5 s t e b e 2 3 t a n g 绺弦鑫鸯群和有限生成舞寺无扭 t o r s i o n f r e e 幂零鼹毒是 p o t e n t 在f 2 5 中 b o w e r s 诞明了不是所有的无扭多慧循环群都是p o t e n t 对于广义自 由积 我f f l 糍以下一个非常好的结果 定瑾3 1 6 搿t l e n b y 2 6 两夸自由群灞 穗生成酚无缸幂零群 荧于循环子群的广义 自由积是p o t e n t 利用p o t e n t 这个性魇 a l l e n b y 襁t a n g 证明了如 f 的结论 定理3 1 7 p t l e n b y t a n g 廖仞设a 嚣都是冗芦 anb 如果 i 妇都是 一可分 并且存在整数1 厂使得a b 是 p o t e n t 则a b 是舻 于是我识可以得到一些l 一关系的瓣余有限群 调子3 招爿设g 其中t l 珏 6 i 轨 是关 于b i b 2 的字 则g 是冗 铡子4 廖夥靖于s l 是舻 其中钰 镪 是在生成元c 1 一 d l d 上的一些不相嶷子集上髓字 群的共轭性质与可分性质 第3 章剩余有限群 剩余有限p 一群 例子5 膨7 设g 其中s l q v d 与例4 相同 我们有g 是缈 两个剩余有限群的广义自由积并不一定就是剩余有限的 在 1 0 中 g b a u m s l a g 证明了 定理3 1 8 如果a b 都是非阿贝尔的有限生成的幂零群 则a a b g 冗 记号a a b 表示由群a b 所能得到的所有的广义自由积的集合 注意到有限生成的幂零群是剩余有限的 因此两个剩余有限群的广义自由积未 必是剩余有限的 但