（应用数学专业论文）一类基于相关性指标的非线性组合预测方法.pdf

摘要 由于社会经济系统的复杂性，采用单个预删模，掣进行预测打在预删的风险， 于是提出了组合预测方法。二十世纪九十年代以来，组合预测方法成为国内外 预测界研究的热点课题，组合预测方法己取得一系列的研究成果。但是组合预 测方法产生的历史并不长，其模型和理论研究还不完善，有必要进一步加强研 究。本文在现有文献的基础上，提出了新的组合预测模型，研究它们的一些性 质。这对进一步丰富组合预测方法，发展预测学科的理论以及加强科学管理等 方面具有重要的意义。 第一章对定性预测方法和定量预测方法进行了评价，综述了组合预测方法 研究的国内外现状。 ， 第二章介绍了基于误差指标的组合预测模型。包括常用的非最优正权组合 预测模型，加权算术平均最优组合预测模型研究和几种基于信息集结算子的组 合预测模型。介绍了组合预测的权系数计算方法。 第三章作者重点针对基于t h e i l 不等系数的加权调和平均组合预测模型和 基于t h e i l 不等系数的加权几何平均组合预测模型，分别提出了新的优性组合 预测、预测方法优超和冗余度等概念；指出了简单平均组合预测方法至少是非 劣性组合预测；研究其非劣性组合预测和优性组合预测存在的条件、组合预测 方法冗余信息的存在性及其判定。 第四章针对基于t h e i l 不等系数的加权调和平均组合预测模型和基于t h e i l 不等系数的加权几何平均组合预测模型进行实例分析，计算结果令人满意。表 明本文所提模型是有效的。 关键词：组合预测，最优组合预测模型，t h e i l 不等系数 ，l ， 移 q a b s t r a c t d u et ot h ec o m p l e x i t yo fs o c i a le c o n o m i cs y s t e m ，i ti ss u r et oe n c o u n t e r f o r e c a s t i n gr i s k sb ye m p l o y i n gt r a d i t i o n a li n d i v i d u a lf o r e c a s t i n gm o d e l s a sar e s u l t ， c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm e t h o d sw e r ep r o p o s e d ，w h i c hh a sb e c o m eat o p i co f g e n e r a li n t e r e s ti nt h ef i e l d so f f o r e c a s t i n gh o m ea n da b r o a ds i n c e1 9 9 0 s as e r i e so f r e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n eo nt h i ss u b j e c ta n dm a n yp a p e r sh a v ea l s ob e e np u b l i s h e d h o w e v e r , t h em o d e l sa n dt h e o r i e so fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n ga r ei n c o m p l e t ed u et o i t ss h o r th i s t o r y b a s e do nt h el i t e r a t u r e sa v a i l a b l e ，t h ea u t h o ro f t h i st h e s i sp r o p o s e sa n e wc e m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l ，a n dd i s c u s s e si t sp r o p e r t i e s , w h i c hc o n t r i b u t e st o e n r i c hm e t h o d so fc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g , d e v e l o pt h e o r i e so ff o r e c a s t i n gs c i e n c e a n ds t r e n g t h e ns c i e n t i f i cm a n a g e m e n t nc h a p t e ro n e ，e v a l u a t i o n so fq u a l i t a t i v ea n dq u a n t i t a t i v ef o r e c a s t i n gm e t h o d s a r eg i v e n , a n dt h ed o m e s t i ca n do v e r s e a ss t u d i e so nc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n ga r ea l s o s u m m a r i z e d i nc h a p t e rt w o ，t h ec o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l sb a s e do nt h ee l t o ri n d e xa 坞 i n t r o d u c e d ，w h i c hi n c l u d e s t h e n o n o p t i m a l c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g m o d e l s ， w e i g h t e da r i t h m e t i ca v e r a g eo p t i m a lc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l sa n ds e v e r a l c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l sg i v e no nt h eb a s i so fi n f o r m a t i o ns e t b e s i d e s , t h e a u t h o ro f f e r st h ew e i g h tc o e f f i c i e n tm e t h o d so fc a l c u l a t i o no nc o m b i n a t i o n f o r e c a s t i n gi nt h i sp a r t c h a p t e rt h r e ew i t n e s s e st h ep r o p o s a lo fs o m en e wc o n c e p t s ，n a m e l y , s u p e r i o r c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g , d o m i n a n tf o r e c a s t i n gm e t h o da n dr e d u n d a n tm e a s u r e ，w h i c h a l eg r o u n d e do nt h es y s t e m a t i ca n a l y s i so i lw e i g h t e dh a r m o n i ca v e r a g eo p t i m a l c o m b i n a t i o n f o r e c a s t i n g m o d e l sa n dw e i g h t e d g e o m e t r i ca v e r a g eo p t i m a l c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l st a k i n gt h e i lc o e f f i c i e n ti n t oc o n s i d e r a t i o n i na d d t i e n , t h ea u t h o ra r g u e st h a ts i m p l ea v e r a g ec o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm e t h o d sa r ea tl e a s t n o n - i n f e r i o ra n dh e n c es t u d i e st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fe x i s t e n c ea b o u t n o n - i n f e r i o ra n ds u p e r i o rc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n ga n dt h ed e t e r m i n i n go fr e d u n d a n t 蟹t i n f o r m a t i o n i nc h a p t e rf o u r , e x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t ew e i | g h t e dh a r m o n i ca v e r a g e o p t i m a lc o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l sa n dw e i g h t e dg e o m e t r i ca v e r a g eo p t i m a l m o d e l sb a s e do nt h e dc o e f f i c i e n t t h er e s u l ti ss a t i s f a c t o r ya n di ts h o w st h a tt h e c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n gm o d e l sp r o p o s e di nt h i st h e s i si se f f i c i e n t k e y w o r d s ：c o m b i n a t i o nf o r e c a s t i n g ，o p t i m a lm o d e l ，t h e i lc o e f f i c i e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得要i 缸大髻或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：杉谚军 签字日期汹年j 月g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解垂散六孳有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阕。本人授权圣 豁蛞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：衽诟缉 导师签名： 弦彳旋 签字日期： 沙e 年上月罗日 签字日期：6 年j 月 扩日 学位论文作者毕业去向： 工作单位：詹啊髻陶 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章组合预测方法的概论 第一章组合预测方法的概论 1 1 定性预测方法和定量预测方法的评价 预测足适应社会的发展和需要而产生、发展起来的种社会实践活动，已 有几千年的历史。可以说，自人类有文明历史以来，就存在预测活动。古代的 预测是在先兆、经验的前提下推测未来。由于当时人们对客观物质世界的认识 水平较低，古代的预测大多具有唯心主义和封建迷信的色彩。随着人类社会的 发展，社会生产力得到了较大的提高，特别是作为生产力的第一要素的科技水 平显著地提高，科学预测逐步取代了迷信预测和经验预测而发展成为一门学科。 预测学就是对预测活动的经验总结所形成的理论概括，它产生的历史并不长， 预测真正成为一门独立的学科仅仅是近几十年的事情。近几十年来，特别是二 次世界大战以后，由于科学技术和世界经济取得了前所未有的快速发展，社会 经济现象的不确定因素显著增加，人们日益意识到科学预测的重要性，这也就 成为预测学科进一步发展的推动力。随着科技和社会经济的不断发展、进步， 预测学已突破了自然科学和社会科学的界限，发展成为一门综合性的学科。目 前，预测学广泛应用于人口、环境、资源、教育、金融、交通运输、城市规划、 医药卫生、材料科学、科技管理等领域，预测学与各个学科、各个部门均有密 切联系，它在以较快的速度继续向前发展，不断地丰富和完善自己。 预测根据其目标和特点不同，可以分成不同的类别。传统的预测方法按属 性不同，预测可以分为定性预测方法和定量预测方法。 定性预测方法就是以人的经验、事理等主观判断为主的预测方法，对事物 的未来的性质作出描述。一般地说定性预测方法适用于缺少历史统计资料，而 需要更多地依赖专家的经验的情况下使用。定性预测方法通常有德尔菲法、主 观概率法、市场调查法、领先指标法、模拟推理法和相关因素分析法等。定性 预测法的优点在于预测事物未来发展性质方面。且定性预测法的灵活性较强， 能充分发挥人们的主观能动性，同时定性预测法预测简单迅速，可节省一定的 人力、物力和财力。当然定性预测方法也存在缺点。其缺点表现为它受人们的 主观因素的影响较大。这是因为定性预测方法主要依赖于人们的知识、经验和 二鲞苎三塑茎丝塑堑竺! ! 垡竺丝鱼堡型查鲨 能力的大小等，因此它缺乏成套的数学模型难以对事物发展做出数量上的精确 度量。 定肇预测力应就是利用预测对象的历史和现扶的数据，按变量之吲的函数 关系建立数学模型，从而计算出预测对象的预测值。显然定量预测方法适用于 历史统计资料较为丰富的情况。定量预测方法通常有移动平均法、指数平滑法、 线性回归法、非线性回归法、马尔科夫预测法、投入产出预测法、灰色预测法、 b o x j e n k i n s 模型层、经济计量模型庄、干预分析模型，去等等。定量颅删一去的仇 点是偏重于预测事物未来发展数量方面的准确描述。它较少依赖于人们的知识、 经验等主观因素，而是更多地依赖于预测对象客观的历史统计资料，利用电子 计算机对数学模型进行大量的计算而获得预测结果。其缺点是：对预测者的素 质要求较高，预测者必须掌握数学方法、计算机技术及相应的专门理论；另外 定量预测法的精确度较多地依赖于统计资料的质量和数量。同时若预测对象的 系统结构发生质的变化时，相应的统计数据发生较大的波动，此时定量预测法 难以获得满意的预测结果。 1 2 组合预测方法研究的国内外现状 在实际生产生活中，人们遇到的往往是较为复杂的社会经济系统，有多种错 综复杂的因素对其产生影响，其中有些是基本因素，有些是偶然因素。对同一 预测问题，在不同的假设条件下，预测者常常采用不同的单项预测方法建立多 种预测模型，然后按照统计假设检验从众多的预测方法中选择结果最好的一个， 而排除了其它单项预测方法。显然不同的定性预测模型方法和定量预测模型方 法各有其优点和缺点，它们之间并不是相互排斥的，而是相互联系、相互补充 的。由于每种预测方法利用的数据不尽相同，不同的数据都是从不同的角度提 供各方面有用的信息。在预测的过程中，如果想当然地认为某个单项预测方法 的预测误差较大，就把该种预测方法弃之不用，这可能造成部分有用的信息丢 失。一种合理的做法是，将不同的预测方法进行适当组合，以便综合利用各种 预测方法所提供的信息，尽可能地提高预测精度。为此，1 9 6 9 年，b a t e s j m 和g r a n g e r c w j “1 首次提出组合预测方法的概念。即综合考虑各单项预测方 法的特点，将不同的单项预测方法进行组合，也就是说即使一个预测误差较大 2 k ， t l j 第一帚组合预测方j 杰的概论 的预测方法，如果它包含系统独立的信息，当它与一个预测误差较小的预测方 法组合后，完全有可能增加系统的预测性能。组合预测在国外称为c o m b in a t i o n f o r c c a 【li n g 或c o m b i n e df o r e c a s t jn g 。存因内也称为综合预测、结合预测或 复合预测。所滑组合预测就足设法把不的预测模型组合起来，综合利用各种 预测方法所提供的信息，以适当的加权平均形式得出组合预测模型。组合预测 最关一心的问题就是如何求出加权平均系数，使得组合预测模型更加有效地提高 预冽精度。 预测者若只用一种预测方法进行预测，则这种预测方法的选择是否适当就显 得很重要。如果预测者选择预测方法不当，他就可能要冒一定决策失误的风险。 而在预测实践中若把多种单项预测方法正确地结合起来使用，则会使得组合预 测结果对某单个较差的预测方法不太敏感。因此组合预测一般能提高预测的精 确度和可靠度。 1 9 6 9 年，b a t e s j m 和g r a n g e r c w j “3 首次对组合预测方法进行系统地 研究。其研究成果引起预测学者的重视。进入二十世纪七十年代以来，组合预 测方法的研究进一步得到了重视。1 9 8 9 年，国际预测领域的权威学术刊物 j o u r n a lo ff o r e c a s t i n g 还出版了组合预测方法专辑“小哪! 。这充分说明 了组合预测方法在预测学中的重要地位”“。二十世纪九十年代以束，组合预测 方法成为国内外预测界研究的热点课题，在众多学者的努力下，组合预测方法 已取得一系列的研究成果”一嘲。 最近十几年以来，国内预测学界也非常重视组合预测方法的研究，取得了一 系列的研究成果。电子科技大学的唐小我教授的研究成果m 卜嗍1 啪1 刚蛳1 m 1 尤其突出。组合预测方法的研究成果主要发表在数量经济技术经济研究、 系统工程理论与实践、电子科技大学学报、预测、管理工程学 报、系统工程、系统工程理论方法应用、控制与决策等学术刊 物上。 目前国内外学者主要提出以下一些组合预测方法。最小方差方法“h m 1 “h ，无约束最小二乘方法，约束最小二乘方法伽啪，b a y e s 方法例嘲“1 6 2 19 基于不同准则和范数的组合预测方法3 6 1 m 1 ，递归组合预测方法 等。以上各种不同的组合预测方法中，实际应用和理论研究最多的是最小方差 二耋苎塑茎丝垄堡塑! ! 堡丝丝垒塑型查望 方法，且大多以绝对误差作为准则来计算出组合预测方法的权系数向量。 但是评价预测精度的指标除了绝对误差以外，还可以用相关性指标柬反映预 测精度指标。因此，日前组合预测方法的研究并不完善，需要进一步加强研究。 1 3 本文研究的主要内容及意义 本文研究的主要内容作如下安排： 第一章是绪论。首先分析了定性预测方法和定量预测方法的的特点，指出 了他们之间存在信息互补性，说明了组合预测方法产生的背景。并且综述了组 合预测方法研究的国内外现状，指出了进一步加强研究的必要性。 第二章是基于误差指标的组合预测模型。目前国内外学者提出各种不同的 组合预测方法中主要以误差指标作为准则来计算出组合预测方法的权系数向量 的。本章介绍常用的非最优正权组合预测模型，加权算术平均最优组合预测模 型和几种基于信息集结算子的组合预测模型。介绍了组合预测的权系数计算方 法。 第三章是基于t h e i l 不等系数的组合预测方法的基本理论研究。目前组合 预测模型大多研究的是关于最小方差方法的，包括模型解的求法嘲嗍巾”阍 嘲，组合结构特征阻钌 侧“”、以及预测误差平方和的取值范围嘲 呻1 等问题。因此本章进一步重点提出了加权调和平均、加权几何平均的新的组 合预测模型，并对其几个基本问题进行研究。这些基本问题包括非负权重最优 组合预测方法的t h e i l 不等系数是否一定小于各个单项预测方法t h e i l 不等系 数中的最小者；当参加组合的预测方法增多时，非负权重最优组合预测方法的 t h e i l 不等系数是否一定减少；最优组合预测方法是否存在冗余预测方法以及冗 余信息的判定等。 第四章针对基于t h e i l 不等系数的加权调和平均组合预测模型和基于t h e i l 不等系数的加权几何平均组合预测模型进行实例分析，计算结果令人满意。表 明本文所提模型是有效的。 本文研究的意义： 对基于t h e i l 不等系数的非线性组合预测方法基本理论的深入研究，进一 步完善组合预测方法，从而丰富预测学科的理论体系。同时有利于预测和决策 4 - 苎二童塑垒堡型查鲨塑壁垒 部门选用适合本部门的、操作性强的模型方法，从而能提高预测和决策精确性， 促进科学管理水平的提高和社会生产力的发展。 l “ ： ； 一类摹于相关件指标的非线性组合预测方法 第二章基于误差指标的组合预测模型 组合预测集结各单项预测方法的特点，它可以从不同的角度进行分类。按 组合预测加权系数汁算力法的不l 几】，组合坝测方法町以分为最仇组合预，则方法 和非最优组合预测方法。下面分别予以介绍。 2 1 非最优正权组合预测模型 组合预测的核心的问题就是如何求出加权平均系数，使得组合预删模型更 加有效地提高预测精度。若以预测绝对误差作为预测精度的衡量指标，则几种 常规的非最优正权组合预测模型权系数的确定方法主要有： 一简单乎均法 简单平均法的特点是m 种单项预测方法的加权系数完全相等，即把各个单 项预测模型同等看待，对每种预测方法赋予相同的权重。即令： t = 二，i = 1 , 2 ，脱 ( 2 1 1 ) 显然量= l ，o ，j = 1 ，2 ，j ，l 简单平均法一般使用在对各个单项预测模型的预测精度缺乏了解的情形。而当 各个单项预测模型的预测精度完全已知时，一般要采用加权平均的形式。 二简单加权平均法 它是先把各个单项预测模型预测的误差的方差和邑，i = 1 , 2 ，胍进行排 序，不妨设局。 e 2 2 五二，根据各个单项预测模型预测的误差的方差和其权 系数成反比的基本原理知，排序越在前面的单项预测模型，它在组合预测中的 加权系数就应越小即令： 仁考2 丽2 i ，加。m 组1 2 ， 显然至：l ，z o , i ：1 , 2 ，埘，其中e = 圭气2 ：n “一而) ： x 。为第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测值，毛为同一预测对象的某个指标 序列“，r = l ，2 ， 第t 时刻的观测值。n 表示时间长度。= ( 一x 。) 为第 6 i 种单项预测方法在第t 时刻的预测误差。 三预测误差平方和倒数法 预测误差平方和足反映预测精度的一个指标。预测误差平方和越大，表明 该项预测模型的预测精度就越低，从而它在组合预测中的重要性就降低。重要 性的降低表现为它在组合预测中的加权系数就越小。反之，对预测误差平方和 较小的单项预测模型在组合预测中的应赋予较大的加权系数。令： f l = ，i = 1 , 2 ，r n ( 2 1 3 ) b 显然兰以= l ，o ，扛1 ，2 ，所，其中既的含义同上。 四二项式系数法 二项式系数法按着统计学的中位数的概念，若单项预测模型预测的误差的 方差和过大或过小，则其对应的权系数均较小。而处于各单项预测模型预测的 误差的方差和的中位数所对应的权系数最大。即令： ，= 妄等等，f = o ，l ，小一l ( 2 1 4 ) 由二项式定理知，= ( 圭+ 莉2 ”= 2 当m - 1 。1 b ) 2 ”1 且c k 。= c 客：。1 q ，则有： m 岔- i 。i 。( 圭) 2 “= 圭，即薹c 二。b ) “。= - 所以曼；1 ，1 12 0 ，f = 1 ，2 ，m 。 五以合作对策s h a p l e y 值法确定组合预测权系数嗍 从对策论的观点出发，视各单项预测方法为组合预测方法这个合作对策的 局中人，合作的“结果”为组合预测的误差平方和，再按合作对策s h a p l e y 值法 在各单项预测模型中进行分配，从而获得组合预测权系数确定的一种方法。 六以熵值法确定组合预测权系数1 9 4 l 组合预测核心的问题就是如何求出组合预测加权平均系数，使得组合预测 模型更加有效地提高预测精度。那么组合预测加权平均系数是如何依赖于各种 7 二耋苎王塑茎丝塑堡竺! ! 堡堡丝垒堡型查堡 单项预测方法所提供的信息以及对信息依赖程度的定量描述等问题值得进一步 加强研究。可以从信息论的观点出发，根据各单项预测方法预测误差序列的变 异程度，利用信息熵的概念，计算出组合预测加权平均系数。 2 2 加权算术平均最优组合预测模型研究 最优组合预测方法的基本思想就是根据某种准则的构造目标函数，在一定 的约束条件下求得目标函数的最大值或最小值，从而求得组合预测方法加权系 数。最优组合预测方法一般可以表示成如f 数学规划问题： m a x ( m i n ) q = q ( i l ，1 2 ，) 盯擂- 1 ， h o ，扛l ，2 ，m 其中q ( 1 t ，1 2 ，) 为目标函数，1 1 , 1 2 ，为各种预测方法的加权系数，加权 系数可以考虑允许负的和非负两种情形。 一以预测误差平方和达到最小的线性组合预测模型9 7 1 设对同一预测对象的某个指标序列为似，t = l 2 ，) ，存在m 种单项无偏 预测方法对其进行预测，设第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测值为 x l t ，i = 1 , 2 ，肌，t = 1 , 2 ，n ，称e 。= ( 一工。) 为第i 种单项预测方法在第t 时 刻的预测误差，设，1 2 ，肼分别为m 种单项预测方法的加权系数，为了使组合 预测保持无偏性，加权系数应满足 + 如+ + = 1 。 设毫= i i x l ，+ 1 2 x 2 ，+ + 为的组合预测值，设巳为组合预测在第t 时 刻的预测误差，则有： e t = x t 一毫= t ( 2 2 1 ) 设 表示组合预测预测误差平方和，则有： 以：兰砰= 兰至量1 ( 2 2 2 2 ) 以= 砰= ，p 口 ( 2 ) t - if - l i - i 【- 1 由此可得以预测误差平方和为准则的线性组合预测模型为下列最优化问题，记 为模型( 2 2 1 ) ： 8 第二章基十误差指标的组合预测模型 mm m i n j l = ，e 。，e f - l = 1 ，= 1 量f ：1 ， l ：l 记三= ( f 。，：，。) 1 ，r = o ，1 ，1 ) 1 ，e 。= 0 n ，q ，8 。) 1 ， ( 2 2 3 ) 则三表示组合预测加权系数列向量，r 表示元素全为1 的m 维列向量，e ；表示 第i 种单项预测方法的预测误差列向量，再令： e 。= e 。1 e ，= 羔8 ，f = l ，2 ，脚，e = ( e 。l 。 t = l 则当i j 时，e u 表示第i 种单项预测方法和第j 种单项预测方法的预测误差的 协方差，当i = j 时，毛表示第i 种单项预测方法的预测误差的平方和，e 表示 肌m 的方阵，e 称为组合预测误差信息矩阵。 引理2 2 1 ：假定m ( m 心i ) 种单项预测方法的预测误差向量组e i ，e z ，e 是线性无关的，则组合预测误差信息矩阵e 为正定矩阵。 引理2 2 1 表明在预测误差向量组e 。，e z , - - - , e 是线性无关的条件下，组合 预测误差信息矩阵e 为可逆矩阵。 在上述记号下，有： 以= 三t l i e 一= 二互瞳，j ( f ，) 】 t = l i = l ，- l 。 i = tj = l t = l 。 = e e u j 毛】= l t e l ( 2 2 4 ) l o i j 5 i 量l = r t l ( 2 2 5 ) 所以模型( 2 2 1 ) 也可以表示成矩阵形式，记为模型( 2 2 1 ) ： 呼以钉e l ( 2 2 6 ) l 足t l = l 对于模型( 2 2 i ) ，可给出如下组合预测加权系数的计算公式： 定理2 2 1 ：假定m ( m c ，n ) 种单项预测方法的预测误差向量组e l ，e 2 co e 。 是线性无关的，则有模型( 2 2 1 ) 的最优解和目标函数最优值为： 9 一类摹干相关性指标的非线性组合预测方法 一e1 r l = 可f 百 i ，。：去 尺1 e 。月 ( 2 2 7 ) 在实际预测实践中，若利用( 2 2 7 ) 来计算组合预测加权系数，则可能出 现加权系数为负的情况。而负的组合预测加权系数的解释在学术界尚未取得一 致意见，因此有必要考虑非负权系数的组合预测模型。这就要在模型( 2 2 1 ) 中增加一个非负约束条件，即为如下模型( 2 2 2 ) ： r a i n j 2 = f i e l r 7 l = 1( 2 2 8 ) l 0 模型( 2 2 2 ) 为一个非线性规划问题。对于该问题有如下结论： 定理2 2 2 ：假定m ( n r n ) 种单项预测方法的预测误差向量组e i ，e 2 ，e 。 是线性无关的，则非负权系数的组合预测模型( 2 2 2 ) 的可行域d = 仁恤7 l = 1 ，l o 为凸集，其目标函数以= r e l 为可行域d 上的严格凸函数， 且模型( 2 2 2 ) 有唯一的最优解。 模型( 2 2 2 ) 实际上为一个二次凸规划问题。由凸规划理论可知 k u h n t u c k e r 条件是凸规划最优解的充要条件。模型( 2 2 2 ) 的k u h n - t u c k e r 条件可表示为： f 2 el - al - u ：0 0 矗7 l = l( 2 2 9 ) k 2 0 ，u o 其中u = 0 ，“：，“。) t 是与非负组合预测权系数向量l 所对应的k u h n - t u c k e r 乘子，甜。与不能同时为基变量。丑是与约束条件r l = l 所对应的l a g r a n g e 乘子。 由于z 无非负约束，可令：五= 一如，其中 ，五0 ，因此可构造如下 线性规划模型： 1 0 第二章基于误差指标的组合预测模型 m i n i = v 2 el ( 一五2 ) 三一u = 0 r 7 l + v = 1 l 0 u 0 ，a 2 0 解此线性规划模型即可获得非负组合预测权系数向量。 二以离差绝对值和达到最小的线性组合预测模型刚 众所周知，预测误差平方和是反映预测精度的一个非常重要的指标之一。 因此以预测误差平方和达到最小为准则的线性组合预测模型目前在各领域实际 预测问题中应用得最为广泛。造成这种现象的主要原因可能包括有两方面。一 是以预测误差平方和达到最小为准则的线性组合预测模型理论上研究比较深 入，二是通过前面的定理2 2 1 可知：对于组合预测权系数无非负约束的最优 组合预测模型，它的最优解有明显的数学表达式，从而可套公式计算，计算比 较简单。 然而预测误差平方和作为预测精度的指标，它存在一定的缺陷。这主要是预 测误差平方和受异常点数据影响较大。也就是说在数据中含有异常数据，这使 得预测误差在该点较大，预测误差再平方后就会使该点预测误差就更大了，即 预测误差平方和在数据异常点处产生预测误差“放大”效应。在处理异常点数 据时，若凭经验给予剔除，则可能造成一些信息的损失。因为异常点数据某些 方面确实包含一些特殊有用的信息。考虑了上述预测误差平方和的缺陷，有必 要引进更加稳健的指标来刻划预测精度。 所谓的稳健性是指统计数据发生较小的变化时，由组合预测模型计算的组合 预测权系数也发生较小的变化。于是人们给出另外一个非常重要的指标，即离 差绝对值和。它的稳健性比预测误差平方和要好得多。 对于线性组合预测毫= h + ，2 x a + + x 。，设岛为组合预测在第t 时刻 的预测误差，则有： q = x t 一毫= z f e 。 l ；l 其中略= ( 墨一矗) 为第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测误差，1 ，如，分 别为m 种单项预测方法的加权系数，且满足： 一类摹于相关性指标的非线中 组台预劂方i 击 ，l + ，2 + + ，。= 1 ，1 1 ，2 ，一，。0 设 表示组合预测离差绝对值和，则有： 如：能1 ：雏f j f - 1 ，= 1 1 l = l ( 2 2 ) 可得以预测离差绝对值和为准则的线性组合预测模型，记为模型( 2 2 3 ) ： r a i n j ：能f ：雅k：= 川= ，e 。 ，= 1f = 1h i e t , = 1 f l 1 2 ，l m 0 模型( 2 2 3 ) 可化为如下线性规划问题求得最优解，令： e = 骺鏊：罂，_ = o 巳鏊三嚣， 则有：i e t i - 0 + ，e t = 才一p i ，于是模型( 2 2 3 ) 可化为模型( 2 2 4 ) ： m i n j ：= 鼽l - 三n ( e ? + 町) l p n e ：4 - e ：= 0 = 1 ，1 2 ，2 0 这是一个线性规划问题，有现成的线性规划软件来求解。 三以最大离差绝对值达到最小的线性组合预测模型鲫 如前所述，离差与预测误差平方和相比的一个显著特点是，它有比较好的稳 健性。离差绝对值的大小可以反映预测精度的好坏。最大离差绝对值达到最小 的准则就是预测者根据决策者的要求，尽量使个时刻中组合预测离差绝对值 的最大值尽可能地小作为控制预测精度的标准。 设e t 为组合预测在第t 时刻的预测误差，则有： q = 一毫= z l , e ，t = 1 , 2 ，n l s l 其中气= ( x t 一矗) 为第i 种单项预测方法在第t 时刻的预测误差，l ，j ：，0 分 第二节晕于误差指标的组台于吼测模型 别为m 种单项预测方法的非负加权系数，且满足归一性。 设工表示组合预测离差绝对值的塌大值，则有： ，= m a x e i ( 2 2 1 4 ) j g = v 。 所以以最大离差绝对值达到最小的线性组合预测模型可表示为下列最优化问 题，记为模型( 2 2 5 ) ： m m j , = m l n m l g a s x ，e f e ，= z e i i m t = 1 i _ l 0 ，2 ，。0 模型( 2 2 5 ) 可化为如下线性规划问题求得最优解，令： ，i z = l ，t 。l a 。x q i l - v ，t = l 2 ，则有： r a i n 以= 1 ， y _ l , e 口一1 ，o ，t = l ，2 ，n ，- i m z l , e + v o ，r = l ，2 ，n i = l m t = i 忙l ，2 ，0 0 ( 2 2 1 5 ) 这是一个线性规划问题，有现成的线性规划软件来求解。 2 3 几种基于信息集结算子的组合预测模型蚋习 信息集结算子是近年来发展的在许多领域有着广泛应用的信息融合方法， 本节介绍几种基于信息集结算子的组合预测模型。 一基于1 0 w a 算子的组合预测模型 1 基本概念 定义2 3 10 w a 算子：设0 w a ：r “斗置+ ，若 o w a ，( a ，口：，口。) = 至q t ，其中也是数组( q ，口：，) 中第i 大的元素， l 一类摹于相关件指枥= 的前线性组合预测方法 = ( q ，2 ，珊。) 为加权向量，兰国，= l ，q o ，f = l ，2 ，m r + 为正实数集， f 5 l 则称函数o w a 为有序加权平均算子，也称为o w a 算子 例2 3 1 段0 9 = ( o 4 ，0 1 0 2 ，0 3 ) 为o w a 锌了的加权向量，( 7 ，18 6 - 2 ) 为组 数据，则 o w a 。( 7 ，1 8 ，6 ，2 ) = 0 4 x 1 8 + o 1 7 + o 2 6 + o 3 2 = 9 7 定义2 3 2i o w a 算子：设i o w a ：r ”_ r + ，若 i o w a 。( ， ) = 乏q 以，红= a x - m a e x ( ) ， 其中 石一胁觑( 力为乃，死，中第j 大的数的下标，国= ( q ，国2 ，晚k ) 为加权向量， 至峨= 1 ，( 0 1 0 ，f = 1 ，2 ，m r + 为正实数集，则称函数i o w a 为诱导有序加权 i 制， 平均算子，也称为i o w a 算子 例2 3 2 设国= ( o 3 ，0 4 , 0 2 ，0 1 ) 为i o w a 算子的加权向量，已知二维数对组 ( ， ， ， ) ，则 i o w a 。( ， ， ， ) = 0 3 x 5 + 0 4 x i + o 2 x 4 + o 1 2 = 2 9 2 基于i o w a 算子的组合预测模型 设某社会经济现象的指标序列的观察值 x t ，t ；1 , 2 ， ，设有m 种可行的 单项预测方法对其进行预测，