计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案.pdf

计算方法 1 第一章 计算方法与误差习题及解答 1 1 设 3 14 3 1415 3 1416 分别作为 的近似值时所具有的有效数字位数 解 近似值 x 3 14 0 314 10 1 即 m 1 它的绝对误差是 0 001 592 6 有 31 105 06592001 0 Lxx 即 n 3 故 x 3 14 有 3 位有效数字 x 3 14 准确到小数点后第 2 位 又近似值 x 3 1416 它的绝对误差是 0 0000074 有 5 1 10 50 00000740 Lxx 即 m 1 n 5 x 3 1416 有 5 位有效数字 而近似值 x 3 1415 它的绝对误差是 0 0000926 有 4 1 10 50 00009260 Lxx 即 m 1 n 4 x 3 1415 有 4 位有效数字 这就是说某数有 s 位数 若末位数字是四舍五入得到的 那么该数有 s 位有效数字 1 2 指出下列各数具有几位有效数字 及其绝对误差限和相对误差限 2 0004 0 00200 9000 9000 00 解 1 2 0004 0 20004 10 1 m 1 4 105 0000049 020004 0 xxx m n 4 m 1 则 n 5 故 x 2 0004 有 5 位有效数字 1 x 2 相对误差限000025 010 22 1 10 2 1 51 1 1 n r x 2 0 00200 0 2 10 2 m 2 5 105 00000049 0 00200 0 xxx m n 5 m 2 则 n 3 故 x 0 00200 有 3 位有效数字 1 x 2 相对误差限 31 10 22 1 r 0 0025 3 9000 0 9000 10 4 m 4 0 105 049 09000 xxx m n 0 m 4 则 n 4 故 x 9000 有 4 位有效数字 计算方法 2 41 10 92 1 r 0 000056 4 9000 00 0 900000 10 4 m 4 2 105 00049 000 9000 xxx m n 2 m 4 则 n 6 故 x 9000 00 有 6 位有效数字 相对误差限为 61 10 92 1 r 0 000 00056 由 3 与 4 可以看到小数点之后的 0 不是可有可无的 它是有实际意义的 1 3 ln2 0 69314718 精确到 3 10 的近似值是多少 解 精确到 3 10 0 001 即绝对误差限是 0 0005 故至少要保留小数点后三位才可以 ln2 0 693 1 4 已知近似值 x有两位有效数字 试求其相对误差限 解 已知 n 2 代入公式 1 1 1 10 2 1 10 2 1 n r x e得 x 的第一位有效数字 x1 没有给出 可按最不利的情况统计 56 010 18 1 10 2 1 9 510 2 1 10 2 1 1 11 1 1 11 1 1 x ex x ex r r 取 x1 1 时相对误差为最大 1 5 要使17的近似值的相对误差限不超过 0 1 应取几位有效数字 解 17的首位数字 1 x 4 设 x有 n 位有效数字 则其相对误差限 1 010 14 2 1 10 1 2 1 1 1 1 nn r x 31 101010 n 3 1010 n n 3 n 3 计算方法 3 17应取 3 位有效数字 1 6 正方形的边长约为 100cm 怎样测量才能使其面积误差不超过 1 2 cm 解 设正方形边长为 x cm 测量值为 y cm 面积 y f x x2 由于xxf2 记自变量和函数的绝对误差分别是 yee 则 xxe 2002 eexxxxfye 现要求1200 eye 于是 cmcme005 0 200 1 要使正方型面积误差不超过 1cm 2 测量边长时绝对误差应不超过 0 005cm 1 7 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 V 220 2V I 10 0 1A 求这个电阻的 阻值 R 并故算其绝对误差和相对误差 解 由欧姆定律 I V R 可求出 R 的近似值 20 10 220 I V R 则 R 的绝对误差为 I I R V V R R 1 2 I I V V I 已知 V 220V VV2 I 10A AI1 0 把它们代入上式 即可估算出 R 的绝对 误差 1 2 I I V Ve I R 42 01 0 10 220 2 10 1 2 同理 R 的相对误差为 计算方法 4 0 0 91 10191 0 22 42 0 R R R r 1 8 计算球的体积 要使相对误差限为 1 求度量半径 R 时允许的相对误差限是多少 解 球的体积公式为 3 3 4 RV 则由公式 x xx r 得 3 3 3 3 4 3 4 3 4 R RR V r 3 2 2 3 3 3 R RRRRRR R RR 2 2 2 2 2 R RRRRR R RR R RRRR R RR 1 03 3 2 2 R RR R R R RR 故 300 1 R RR 即度量半径 R 时允许的相对误差限是 1 300 1 9 设 x 的相对误差为 求 n x的相对误差 解 1 xxnxxe nn 1 nxen x xx n x xxnx x xe xe r n n n n n r n x的相对误差为 an 1 10 设 x 0 x 的相对误差为 求xln的误差 解 1 ln xexx x xe r xln的误差为 1 11 当 N 充分大时 如何计算 dx x I N N 1 2 1 1 计算方法 5 解 NNdx x N N arctan 1arctan 1 1 1 2 当 N 充分大时 arctan N 1 与 arctanN 是两个相 近的数 应避免直接相减 故选取算法如下 1 1 1 arctan arctan 1arctan 1 1 1 2 NN NNdx x N N 1 12 设 2 2 1 gts 假定 g 是准确的 而对 t 的测量有 0 1s 的误差 证明当 t 增加时 s 的绝对误差 增加 而相对误差减少 解 由题意知 gttegtttgtssse1 0 tt te gt ttgt s ss ser 2 0 2 2 1 2 可见 当 t 增加时 e s 增 而 ser减少 1 13 设dxexI xn 1 0 1 10 2 1 0L n 验证递推公式 1 1 0 1 1 nn nIIeI若用其计算定积 分 试给出此递推公式误差的传播规律 计算 10 I时误差被放大了多少倍 这个算法是数值稳定的 吗 解 dxexI xn 1 0 1 10 2 1 0L n 由分部积分法有 dxexnexdxexI xnxnxn n 1 0 111 0 1 1 0 1 可以得到计算积分的递推公式 L 2 11 1 nnII nn 11 0 1 1 0 1 0 1 eedxeI xx 则准确的理论递推式 1 1 nn nII 实际运算的递推式 1 1 nn nII 两式相减有 1 11 nnnnn IneIInII 若 0 I与 0 I的误差为 0 Ie 0 I 0 I 则误差的递推规律为 1 1 1 00 22 2 11 IInIInnIInIIIe n nnnnnnn L 计算方法