计算机图形学坐标变换算法具体程序实现.doc

数学与软件科学学院 实验报告学期：_2009 至_2010_ 第 _二 学期 2010年12月2日课程名称:_计算机图形学 _ 专业:_信息与计算科学_ 2007级_5_班实验编号： 06 实验项目_坐标变换_ 指导教师_庞朝阳_ 姓名： 学号： 20070605 _ _实验成绩：实验目的：(1) 熟悉基本的坐标变换方法。(2)利用坐标变换求解绕任意坐标轴的旋转。实验内容：(1)了解坐标变换的概念。 (2) 学习基本坐标变换的方法。(3) 学习其次坐标下的坐标变换方法。(4) 学习利用坐标变换求解绕任意坐标轴旋转角度的求解方法。实验步骤： 坐标变换是指根据图形在一个坐标系下的坐标求该图形在另一个坐标系下的坐标。 坐标变换是在两个坐标系之间进行的，这时图形是静止的，而坐标系是变动的。（1） 基本坐标变换方法在三维空间中给定一点p0和三个线性无关的矢量V1，V2，V3，则空间中任意一点P可以标识为：P=P0+a1V2+a2V2+a3V3,则点p的坐标为：（a1,a2,a3）T，其中a1,a2,a3为实数，写成矩阵形式为：P=P0+(V1,V2,V3)*(a1,a2,a3)T. 假设在三维空间中，已知坐标I：原点Q0，坐标轴为u1，u2，u3；坐标系II：原 点：p0，坐标轴为：v1,v2,v3.两坐标系之间有如下关系： U1=a11v1+a12v2+a13v3 U2=a21v1+a22v2+a23v3 U3=a31v1+a32v2+a33v3 即： （u1,u2,u3）=(v1,v2,v3) 则由坐标系II到坐标系u1,u2,u3的变换矩阵为： M= a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 若坐标系I的原点Q0在坐标系II下的坐标为：（x0,y0,z0）T 则有： Q0=P0+(V1,V2,V3)*(X0,Y0,Z0)T =p0+（u1,u2,u3）M_1(x0,y0,z0)T 对空间中任意一点D，设它在坐标系II中的坐标为：（x,y,z）T,则： D=p0+（v1，v2,v3）*（x,y,z）T =Q0-(u1,u2,u3)M_1*(x0,y0,z0)T+(u1,u2,u3) M_1*(x,y,z)T =Q0+(u1,u2,u3)M_1(x,y,z)T-(x0,y0,z0)T 即D点在坐标系I中的坐标为：M_1(x,y,z)T-(x0,y0,z0)T（2） 齐次坐标系下的坐标变换方法： 在三维空间中给定一个点p0和3个线性无关的矢量v1,v2.,v3，则空间中任何一点 P的坐标可以表示为： P=（v1,v2,v3,p0）*(a1,a2,a3,1)T 则p的齐次坐标为：(a1,a2,a3,1)T 设在三维空间中，已知坐标系I，原点为Q0，坐标轴为u1,u2,u3；坐标系II：原 点：p0，坐标轴为：v1,v2,v3.。则有： U1=a11v1+a12v2+a13v3 U2=a21v1+a22v2+a23v3 U3=a31v1+a32v2+a33v3即：（u1,u2,u3，Q0）=(v1,v2,v3，p0)* a11 a21 a31 0 a12 a22 a32 0 a13 a23 a33 0 0 0 0 1齐次坐标下的两坐标系的变换矩阵为：M齐= a11 a21 a31 0 a12 a22 a32 0 a13 a23 a33 0 0 0 0 1同理，对空间中任意一点D，假设在坐标系II下坐标为：（x,y,z,1）T 则他在坐标系I下的齐次坐标为：M齐-1*（x,y,z,1）T（3） 利用坐标变换求解绕任意坐标轴旋转角度如下图所示：假设以p1点作为坐标原点，直线p1p2为Z轴建立直角坐标系，则绕任意坐标轴（p1p2）的旋转问题就变成了在新坐标系下绕Z坐标轴的旋转问题：V2V1U2V3U1U3新坐标系的建立：假设p1p2坐标分别为：（x1,y1,z1）(x2,y2,z2),则p1p2为：（x2-x1,y2-y1,z2-z1）1*令u为沿旋转轴的单位矢量，即u=p1p2/p1p2 不妨设u=（a,b,c）=(u1,u2,u3,p0)(a,b,c,1)T 其中有a2+b2+c2=1. 取新坐标系的Z轴v3=u=（a,b,c）2*过P1点做v2，由v2*v3=0得bx+cy=0， 令x=c，则y=-b，即v2=（0，c,-b） 单位化得v2=（0,c/d,-b/d）(其中d=(b2+c2)1/2) 即新坐标系的Y轴为：v2=（0,c/d,-b/d）=(u1,u2,u3,p0)*( 0,c/d,-b/d,1)T 3*过p1作V1，使V1=v2*v3 则有：v1=（d,-ab/d,-ac/d,1）=(u1,u2,u3,p0)(d,-ab/d,-ac/d) 综上，可得两坐标系间的变换矩阵为： （v1,v2,v3，p1）=(u1,u2,u3,p0)*M 其中M= d 0 a x1 -ab/d c/d b y1 -ac/d -b/d c z1 0 0 0 1d =(b2+c2)1/2新坐标系下的旋转设在坐标系I中有一点I（u1,u2,u3,p0）中有一点p的齐次坐标为：（x,y,z,1）T,则有： P=（u1,u2,u3,p0）*(x,y,z,1)T =(v1,v2,v3,p1)*M_1*(x,y,z,1)T即p点在新坐标系下的齐次坐标为：M_1*(x,y,z,1)T该点绕z轴旋转角度之后，坐标为Rz（）*M_1*(x,y,z,1)T其中Rz（）= cos -sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1将坐标变换达到原坐标系I（u1,u2,u3,p0）由于上述所求坐标Rz（）*M_1*(x,y,z,1)T为新坐标系下的坐标，所以在原坐标系下的坐标为：p=（v1,v2,v3,p1）Rz（）*M_1*(x,y,z,1)T=（u1,u2,u3,p0）*M *Rz（）*M_1*(x,y,z,1)T综上，绕任意轴旋转的变换矩阵为：T=M*Rz（）* M_1即T= d 0