（应用数学专业论文）非线性算子不动点的迭代算法(2).pdf

摘要 非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分 尤其是非线性算 子方程解的迭代逼近问题已成为非线性泛函分析领域近年来研究的活跃课题 目 前众多有影响的学者在从事该问题的研究 另外近些年来 分裂可行性问题在研 究信号处理和图像重组方面起了很大的作用 因此越来越受研究学者的关注 本 文是在有限族的平均映射 可数族的l i p s c h i t i z 映射和有限族的广义渐近拟非扩 张映射的公共不动点迭代逼近领域及分裂可行性问题等方面开展工作的 推广 和改进了目前的研究成果 具有重要的理论价值和实用价值 首先在h i l b e r t 空间 中 借助于最近点投影方法 研究了有限族的平均映射迭代序列的收敛问题 接 着在一致凸的b a n a c h 空间中 研究了可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的收敛 问题 该结果将原定理从h i l b e r t 空间推广到了更一般的一致凸b a n a c h 空间中 接 着在h i l b e r t 空间中 假设分裂可行性问题是有解的前提下 提出了一种新的松弛 的c q 算法 并证明了该迭代算法生成的序列收敛到分裂可行性问题的一个解 最后在一致凸的b a n a c h 空间中 研究了有限族的广义的渐近拟非扩张映射三步 迭代序列的收敛问题 关键词 平均映射 l i p s c h i t z i a n 映射 c q 迭代算法 分裂可行性问题 广义渐 近拟非扩张映射 a b s t r a c t t h ef i x e dp o i n tt h e o r yo fn o n l i n e a ro p e r a t o r si sa ni m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s e s p e c i a l l y t h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t i n gt os o l u t i o n so f n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sh a sb e c o m et h ea c t i v et o p i ct h a tp e o p l es t u d i e di n r e c e n ty e a r s a tp r e s e n t m a n yi n f l u e n t i a ls c h o l a r sa r ee n g a g e di nt h er e s e a r c h i na d d i t i o n i nr e c e n ty e a r s s p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e mh a sp l a y e d8 1 1i m p o r t a n t r o l e i ns i g n a lp r o c e s s i n ga n di m a g er e s t r u c t u r i n g s oi th a sb e c o m em o r ea n d m o r ep o p u l a ra m o n gs c h o l a r s i nt h i sp a p e r w eh a v ed o n er e s e a r c ho nf i n i t e f a m i l yo fa v e r a g e dm a p p i n g s c o u n t a b l ef a m i l yo fl i p s c h i t z i a nm a p p i n g s f i n i t e f a m i l yo fg e n e r a l i z e da s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g s i t e r a t i v ea p p r o a c ht os o l v es p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m a n dt h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r w i l li m p r o v e e x t e n da n du n i f ym a n ya u t h o r s p r e s e n tr e s u l t s s ot h ep a p e rh a s ag r e a tv a l u eo ft h e o r ya n dp r a c t i c e f i r s t l y b yn e a r e s tp o i n tp r o j e c t i o n w e m a i n l yd i s c u s sa b o u ti t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m sf o raf i n i t ef a m i l yo fa v e r a g e dm a p p i n g si nh i l b e r ts p a c e s e c o n d l y f o ru n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e w e m a i n l yd i s c u s sa b o u ti t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m sf o rac o u n t a b l ef a m i l yo f l i p s c h i t z i a nm a p p i n g s a n dt h i sr e s u l te x t e n d e da n di m p r o v e dt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e mf r o mh i l b e r ts p a c et om o r eg e n e r a lu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e t h i r d l y b ya s s u m i n gt h a tt h es p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e mi sc o n s i s t e n t w ep r o p o s e dan e wr e l a x e dc qa l g o r i t h m a n dp r o v e dt h a tt h es e q u e n c e sg e n e r a t e db y t h i sa l g o r i t h mw e a k l yc o n v e r g e st oas o l u t i o no ft h es p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e mi n ah i l b e r ts p a c e f i n a l l y f o ru n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e w em a i n l yd i s c u s s a b o u ti t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o np r o b l e m so ft h r e e s t e pm e t h o df o raf i n i t ef a m i l y o fg e n e r a l i z e da s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p i n g s k e y w o r d s e d g s l i p s e h i t z i a ng s c qiterativeaveragedm a p p i n g sl i p s e h i t z i a nm a p p i n g sc qt e r a t i v em e t h o d s p l i tf e a s i b i l i t yp r o b l e m g e n e r a l i z e da s y m p t o t i c a l l yq u a s i n o n e x p a n s i v em a p p a n g s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文足本人在导师的指导下进行的研究工作和取得 的研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文不包含任何其他个人已 经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得丞叠王些丕堂或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 孙弩 签字日期 滞 月 f t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保留 使用学位论文的规定 特 授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后应适用本授权说明 论文作者签名 k 茜备 j 签字日期 砷年 月 7 日 导师签名 7k 专莹 签字日期 川年 月夕日 学位论文的主要创新点 一 受到k n a k a j o w t a k a h a s h i 姚永红 周海云及陈汝栋老师思想的启 发 提出了一种新的迭代算法 研究了有限族的平均映射迭代序列的收敛问题 并且在假设这有限族的平均映射的公共不动点集是非空的前提下 借助于最近 点投影方法 证明了该迭代序列强收敛到这有限族平均映射的某一公共不动点 二 受至l j w e e r a y u t hn i l s r a k o o 和s a t i ts a e j u n g 思想的启发 研究了在一致凸 的b a n a c h 空间中 可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的收敛问题 并且在假设 这可数族的l i p s c h i t z i a n 映射公共不动点集是非空的前提下 证明了该迭代序 列收敛到这可数族的l i p s c h i t z i a n 映射的某一公共不动点 本文的结果将原定理 从h i l b e r t 空间推广到了更一般的一致凸b a n a c h 空间中 三 受到徐洪坤老师思想的启发 提出了一种新的松弛的c q 算法 并在假 设分裂可行性问题是有解的前提下 证明了该迭代算法生成的序列收敛到分裂可 行性问题的一个解 四 受蛩j n a s e e rs h a h z a d h a b t uz e g e y e 思想的启发 将广义的渐近拟非扩 张映射应用到三步迭代算法中 研究了有限族的广义的渐近拟非扩张映射三步迭 代序列的收敛问题 本章的结果在一定程度上推广和改进了以前的结果 第一章绪论 1 1非线性算子不动点理论的背景 泛函分析是一个内容丰富 应用广泛的现代数学分支 近几十年来 随着科 学技术迅速发展 泛函分析不但已经渗透剑数学领域中众多的其他分支中 而且 它的概念和方法在自然科学 工程理论与经济管理中日益广泛地被采用 成为许 多从事这些学科领域研究工作者所渴望了解的一fj 数学学科 泛函分析有高度的 综合性和抽象性 线性代数中的线性方程组 以及微分方程理论中的常微分方程 与偏微分方程等等 在泛函分析中 所有这些方程被熔于一炉了 抽象成了算子 方程 在微积分学 最优化与变分学中 关于在各种条件下求极值的问题 到了 泛函分析中 他们全被概括成了 泛函极值 这就使实际问题彻底的简化 从而 为便捷地求解开辟了道路 非线性问题是一个更广阔且更具挑战的领域 非线性泛函分析中的非线性算 子理论作为菲线性科学的基础理论之一 已经成为现代数学的一个重要分支 由 于大量的非线性问题都与非线性算子方程有着密切的联系 所以研究b a n a c h 空 间中非线性算子方程具有重要的理论意义和实际意义 不动点理论是目前正在迅 速发展的非线性泛函分析理论的重要组成部分 它与近代数学的许多分支有着 密切的联系 特别足在建立各类方程 其中包括各类线性或非线性的 确定或非 确定型的微分方程 积分方程以及各类算子方程 斛的存在唯一性问题中起着重 要的作用 自上世纪初b r o u w e r 和b a n a c h 提出两个以他们姓氏命名的b r o u w e r 定理 和b a n a c h 压缩映射原理之后 半个多世纪以来 特别是最近三十年来 由于 实际需要的推动和数学工作者的努力 这f j 学科已经出现了多样化的局面 b a n a c h 压缩映射原理足经典的p i c a r d 迭代法的抽象表述 根据这一定理 不仅可 以判定不动点的存在性和唯一性 而且还可以构造一个迭代程序 逼近压缩映射 的不动点到任意精确程度 因此b a n a c h 压缩映射原理在近代数学的许多分支 特 别是在应用数学的几乎各个分支都有广泛的应用 它的概念和压缩映射原理已 经从各个方面和各个不同的角度有了重要的发展 其中的某些结果已被成功地 应用于研究b a n a c h 空间中非线性v o l t e r r a 积分方程 非线性微分方程解的存在唯 一性 有些还被应用到了随机算子理论和随机逼近理论 一个算子方程解的问题 常可以转化为算子不动点的问题 对非线性算子不动点的迭代逼近研究 密切 相关于b a n a c h 空刚的几何结构与性质 如要求b a n a c h 空f h j 的凸性 光滑性 满 足o p i a l 条件 具有f r e c h e t 可微范数等等 另一方面是对不同类型的算子进行讨 论 在这方面 从早期的压缩算子 一致压缩算子 全连续算子到如今各种各样 的算子 如 强增生算子 渐近非扩张算子 非扩张算子 l i p s c h i t z i a n 算子 平 l 天津 l 业大学硕十学位论文 均算子等等 现在可以说 非线性算子不动点理论是一门理论相当丰富且应用十 分广泛的学科 1 2本文研究的主要内容 自从2 0 0 7 年6 月进入课题之后 在我的导师陈汝栋教授的帮助与指导下 我 通过图书馆 网络以及国内外一些专家学者那罩查阅了大量槲关的参考文献确定 该论文的选题 同年1 2 月我撰写了一篇论文题目为有限族的平均映射公共不动点 的迭代逼近问题 目前该文章已被接收 发表在 i n t j o u r n a lo fm a t h a n a l y s i s v 0 1 2 2 0 0 8 n o 2 1 1 0 4 5 1 0 4 9 i s s n1 3 1 2 s 8 7 6 在此期问我聆听了许多数学 专家的精彩报告 使我受益匪浅 同时也受到了许多专家学者的指点 对完成我 的论文起到了很大的帮助 本文主要讨论了一些目前大家普遍关注的非线性算 子迭代逼近问题 全文共分为六章 第一章绪论介绍了非线性算子不动点理论 的背景及本文的主要工作 第二章预备知彭 回顾了本文要用刽的一些概念和结 论 第三章讨论了有限族的平均映射的迭代序列逼近问题 第网章讨论了可数族 的l i p s c h i t z i a n 映射序列迭代逼近问题 第五章讨论了一种解决分裂可行性l 口j 题 的松弛的c q 算法 第六章讨论了有限族的广义的渐近拟非扩张映射三步迭代序 列的收敛问题 2 第二章预备知识 2 1基本概念及结论 在本文中用 e 1 1 i i 表示赋范线性空问 日表示内积空间 定义2 1 1 设e 是一个赋范线性空间 k 是e 的一个非空闭凸子集 自映 射t k k 则 1 称丁为非扩张的 如果i i t x t 洲 忙一训 妇 y k 2 称t 为l l i p s c h i t z i a n 的 如果存在一个实数l o 不失一般性假设l 1 满足下列不等式 i i t x 一丁可0 l i i x 一秒l l v x y k 3 称t 为一致l l i p s c h i t z i a n 的 如果存在一个实数 0 不失一般性假 设l 1 对任意n 1 有 i t x t y l l 三0 z 一引i vx y k 4 称丁为平均映射 如果存在一个非扩张映射s k k 和一个实 数k 0 1 使得下式成立 t 1 一k i k s 如果f s 0 则立即可以得蛰j f s f 砷 这里f t 表示映射丁的不动点 集 臣p f t z k z t x 显然平均映射是非扩张映射 但是反之不一定 成立 5 称t 为拟非扩张的 如果l l t x p i i 她一训 坛 k p f 丁 6 称t 为渐近非扩张的 如果存在一个实数序列 n c l o o 且l i i h l 使得 l i p z p y 0 h 0 z y l 比 y k n 1 7 称丁为渐近拟非扩张的 如果存在一个实数序歹t j h n k cl l 和l i i 啪h n l 使得 i i t x p l l k o z p i i 坛 k p f 丁 n l 8 称丁为广义渐近拟非扩张的 如果存在实数序列 k 和 厶 且 k c 1 o o d n cf 0 o o l i m h n l l i m n 一 如 0 使得 l i t x p i n o z p i l 厶 比 k p f 丁 n 1 3 天津 i 业人学硕士学位论文 9 称t 为半紧的 如果对于k 中的序列 z n 满足l i r a l i z 竹一乳n 0 0 则 存在 z n 的一个子序列 使得 一p k 定义2 1 2 设日是一个h i l b e r t 空间 k 是日的一个非空闭凸子集 映射t k k 叫做肛逆强单调的 p i s m 如果满足下列不等式 x y t x t y v l l t x t y i i 2 坛 y k 命题2 1 3 1 1 1 假设珂是一h i l b e r t 空间 k 是日的一非空闭凸子集 对于任 意的z h 存在唯一点z k 使得 忙一z l l i n f i l x y l i y k 靠为从日到k 最近点投影 且2 p u z k 引理2 1 4 1 1 1 假设日是 h i l b e r t 空间 k 是h 的一非空闭凸子集 玖为从日 到k 最近点投影 j f l l j 岛f 和j b f 足l 一逆强单调的 引理2 1 5 i l l 假设日是一h i l b e r t 空间 k 是h 的一非空闭凸子集 氏为从日 到k 最近点投影 设a h 日是一有界线性算子 岔是a 的伴随算子 则算 子 一p k a 足赤一逆强单调的 引理2 1 6 上 设日是 h i l b e r t 空间 没s t h h 是两个映射 且 设v i t 则 1 r 是非扩张映射当且仪当y 是 1 一逆强单调的 2 如果s 是泸逆强单调的 则对于7 0 7 s 足等一逆强单调的 3 s 是平均映射当且仪当j s 是p 一逆强单调的 其中 引理2 1 7 l 设s t v h h 足三个映射 1 设s 1 一n r a v q 0 1 如果丁是平均映射 y 是非扩张映射 则s 足甲均映射 2 如果 s 和丁是两个平均映射 则复合映射s t 也是平均映射 定义2 1 8 设e 足一自反的b a n a c h 空间 c 和 g 茫 足e 的一个子集和一 子集序列 则序列 仉 篷 叫做m o s c 伊收敛n c i d 为c k 三c 如果满足下列条 件 1 vz c j 孤 且孤 g 使得x k z 2 v 序列 z b 器 且z b 使得z b z 考x c 定义2 1 9 设g 和岛足h i l b e r t 空f n j 日的两个非空闭凸子集 a 和q 两个 集合的p 一距离 记为以 g g 定义为 d p c l g s u p 1 1 p c z 一户如z i 忙 s p 设c 和g 是h i l b e r t 空间日的一非空闭凸子集和一非空闭凸子集序列 则g 二c 当且仪当d p a c 0 k o o vp 0 参考文献 4 4 第二章预备知识 2 2h i l b e r t 空间几何性质 设日为一个实h i l b e r t 空间 定义内积为 和范数为0 1 1 性质2 2 1 s c h w a r d z 不等式 y 日 l z 秒 l l z l i l i 可i i 性质2 2 2 v 0 y 日 i i x 掣1 1 2 l i x l l 2 2 x 功 i l y l l 2 性质2 2 3 平行四边形法则 妇 日 l i x y l l 2 i i x 一 0 2 2 1 l x l l 2 i i y i l 2 性质2 2 4 协 y 日 a p f 0 1 l a p 1 0 入z 芦可1 1 2 a l l x l l 2 p l l y l l 2 一入p l l z s 1 1 2 2 3b a n a c h 空间几何性质 设e 是一个具有范数 i 1 约b a n a c h 空f i j j 映射j e 2 f 是被下式定义的 正规对偶映射 a x e z i i z i f l l i i x l l l i f l l vz e 其中e 是e 的对偶空间 表示广义对偶对 通常我们用j 表示单值的对偶映 射 设 是b a n a c h 空间e 中的一个序列 称 1 序列 z n 强收敛 或范数收敛 剑z 简记为 z n z 足指曼怂i i 一z l i o 2 序列 弱收敛剑z 简记为 z n z 足指v e 熙 z n z 定义2 3 1 称函数6 0 2 0 1 j 为b a n a c h 空问e 的凸性模 6 e i n f l j 兰弓i 盟 i l x l l 1 i l y l i l i i z 一秒o e 显然可以知道 6 足一个非降的函数 即指若e 1 q 则6 1 6 e 2 其中 l 2 0 2 性质2 3 2 国设e 为b a n a c h 空间 下面的说法等价 1 e 为一致凸的 2 垤 0 6 e 0 5 天津一i 业人学硕士学位论文 3 任意序列 z 竹 蜘 ce l i i o oi l z 8 l i n k i l 蜘l l l l i m n o ol i z n 鲰0 2 贝q l i m i l 一蜘i l 0 定义2 3 3 称b a n a c h 空问e 具有k a d e c k l e e 性质 足指对于每一序列 z n c e 若有z n zni i x n i i 忙 l 成立 则有 一z 成立 参考文献f 2 1 说明若b a n a c h 空闷e 是一致凸的 则e 具有k a d e c k l e e 性质 引理2 3 4 阎 徐洪坤不等式 设p 1 和r l 为固定实数 则e 为一致 凸b a n a c h 空问的充要条件为存在连续的 严格增的 凸函数g 0 o 0 o o 9 o 0 使得 l i 入z 1 一入 y l l p x l l x l l p 1 l l y l l p 一 a 9 1 i z 一可l i 其中 a a p 1 一a 入 1 一a v v a 0 1 1 z y 研 o z e i i x l l 7 性质2 3 5 陶下而的说法等价 1 e 为严格凸的b a n a c h 空间 2 v x y e i i x l l i l y l l 1 z 可都有地萼里 1 3 v z y e z 与磐是线性无关的 则有忙 训 l i x l i i l y l l 几何意义为 e 中单位球面上的弦 除两个端点外 都在单位球的内部 引理2 3 6 翰 次微分不等式 设e 为b a n a c h 空蝴 v ty e v j x y p 可 歹 z g x 有 l i z l l 2 2 y 歹 z l i x 秒1 1 2 l i x l l 2 2 1 的b a n a c h 空间 若存在常数c 0 使 得p t c t q 其中p f 为e 的光滑模 6 第二章预备知识 定义2 3 1 1 称b a n a c h 空间e 满足o p i a l 条件 若对任意序列 z 竹 ce x n z 蕴涵 l i ms u pi l 而 一z 0 l i m s u pi l z i 一可0 v y e y z n o on o o 7 第三章有限族的平均映射迭代序列的公共不动点 3 1引言 本章研究的是平均映射迭代序列的收敛问题 平均映射一个典型的例子是 从h i l b e r t 空间到其闭凸子集的最近点投影 近几年中 平均映射的一些性质被应 用于许多方面 如逆问题和同像恢复问题等等 可参看文献f 5 6 1 因此对于甲均 映射的研究越来越受关注 可参看文献1 7 8 1 最近 姚永红 周海云和陈汝栋三 位老师在文献f 8 中介绍了在h i l b e r t 空间中的平均映射的迭代算法 证明了如下 定理 定理3 1 1 设日是一个实的h i l b e r t 空间 t 日 日是一个平均映射且 满足f 砷 d q n 是一实数序列且满足 q c 0 1 序列 z n 由如下迭代格 式生成 x o h x n 1 1 一 n 0 假设序列 n 满足下而两个条件 1 l i i i l t i n n 0 2 o 口 o o 则序列 z 强收敛到映射丁的一个不动点 2 0 0 3 年 k n a k a j o 和w t a k a h a s h i 在文献 9 中对非扩张自映射r 介绍了下 面一种迭代算法 其中扎 0 q n c 0 1 并证明了如下的收敛定理 定理3 1 2 设日足一个实的h i l b e r t 空问 k 足日的一个非空闭凸子集 t k k 是一个非扩张映射 且满足f t o 序列 z n m 3 1 1 迭代格式生 成 则序列 z n 强收敛到斥 r 跏 本章受到t k n a k a j o w t a k a h a s h i 9 1 姚永红 周海云和陈汝栋老师i 均文 章思想的启发 研究了有限族的平均映射迭代序列的收敛问题 并且得到了强收 敛的结果 9 z l 恢 k 一 怄加 一 加 l 篁 跏卜 胁 玉 d e ma 一似机吨 印一叫 一 芰g 骗 天津j i 业大学硕士学位论文 3 2 概念与引理 在证明本章主要结论时需要用到以下的概念和引理 引理3 2 1 1 1 0 l 设日是 h i l b e r t 空f f i j 则有下列结果成立 1 l i t z 1 一t y 1 2 t l l z l l 2 1 一t l l y l l 2 比 耖 h v t f 0 1 1 2 l i z 一可1 1 2 i i x l l 2 一i 协1 1 2 2 x y 可 比 y h 引理3 2 2 l l 设日是一h i l b e r t 空间 k 是日的一非空闭凸子集 设t k k 是一非扩张映射 则丁在0 点是次闭的 即如果z 竹j 虿 虿 k 和z n t x n 0 则虿 府 引理3 2 3 1 1 0 1 设日是一h i l b e r t 空问 k 是日的一闭凸子集 点z y z h 实数q r 则集合 d 口 k i l 一钌1 1 2 l i z t 1 1 2 2 o 是闭凸的 网忆 设k 是h i l b e r t 空间日的一闭凸子集 vz h 从z 到k 的最近点投 影记为r z 且有下面的性质成立 l z 一尸k z i i i i z 一引i v y k 引理3 2 4 1 0 1 设k 是h i l b e r t 空间日的一非空闭凸子集 设段为从日到k 的最近点投影 给定z k 和z k 则2 p k x 当且仪当下面不等式成立 z z y 一2 0 v y k r j l t 里3 2 5 1 10 设k 是h i l b e r t 空间日的一非空闭凸子集 z n 是日中一序 列 且任意点趾 h 设q p k u 如果序列 z 满足 z ck 和如下条件 l i z n t l l i 札一g i v n 0 3 2 1 则z n q 扎 3 3有限族的平均映射迭代序列的公共不动点 定理3 3 1 发表在i n t j o u r n a lo fm a t h a n a l y s i s v 0 1 2 2 0 0 8 n o 2 1 1 0 4 5 1 0 4 9 i s s n1 3 1 2 8 8 7 6 设k 是实h i l b e r t 空间h 的一非空有界闭凸子集 五 墨l k k 是一有限族的平均映射 且满2 f n 篓1 f 正 毋 假设实数序 列 a 竹 c 0 1 满足 l i m 竹 q 竹 0 序列 z 凳lck 由下列算法生成 2 1 k 蜘 1 一q n t x n 礼 1 g z k l l 蜘一2 1 1 2 i i z n 一2 1 1 2 0 n i l z l l 2 3 3 1 q z k 如一z z 1 一z n o z n l p c r l q z 1 0 第三章有限族的平均映射迭代序列的公共不动点 这里 t m o d n 则序列 z n 强收敛到p r x l 证明通过观察 显然可以得到集合q 是闭凸的 由条件知k 是有界的 假 设m d i a m k 这里m 是一个正的常数 应用迭代算法 3 3 1 可以得到 l i 一z l l 2 l i x n z l l 2 q i i z 0 2 i i x n 一2 1 1 2 m 2 由引理3 2 3 可以得到集合g 是闭凸的 所以g n q 是闭凸的 因此序列 z n 是有定义的 下面我们证明fcg v n 1 事实上 对于任意的p f 由平均映射的定义可知t x n 1 一 z n k 其中 墨1 k k 足一有限族的非扩张映射 觑 墨1c 0 1 m o 讲 k k 伽d 有 i l 一p 0 2 l i 1 一n r x n p i l 2 l i 1 一a n 1 一 k z n 一训2 蓁2 1葛针 x kns x n一 p h口 pll21 11 i s x v i ii l v l l 2 3 3 2 一q 一k z n 一2 q 竹 2 1 一q 1 1 1 一 z n p k s k z 馆一p 1 1 2 q n i l p l l 2 1 一q 1 一 0 一p i l 2 k i i z 一v i i 2 q i l p l l 2 l i x n p 0 2 o l n i l v l l 2 因此对于任意的n l 可得p g 下面我们利用数学归纳法证明 fcq n v n 1 3 3 3 对于n 1 有fck q 1 假设n 的情况成立 即fc 骗 下面证明佗 l 的情况是成立的 由条件 1 n q z 1 和引理3 2 4 可得下式成立 z 1 2 z l 一 1 o v 2 gnq n 前面已证fcg 再由假设fc 仉 可以得到fcq n g 结合上面的式子 对 于任意z f 结合q 1 的定义 可得fc 骗 1 综上所述 因此对于任意的n 1 fcq 成立 因此对于任意的n 1 fcq nng 也成立 由q n 的定义 可以得到z n p q z 1 且由于fcq 可得 0 z n z 10 l i p z li i v p f 1 1 天津i 业人学硕士学位论文 特殊情况 0 z 竹一z 10 i l 口一x li i q p f z l 3 3 4 因为z n 1 q n 所以有 l z 红 z n z 1 o 成立 结合引理3 2 1 可得 l i z n l z 竹1 1 2 i l z n l z 1 一 z 竹一x 1 1 1 2 l i x n l z 1 1 2 一i i 一z 11 1 2 2 x n 1 z n z n z 1 l i x n l z l l l 2 4 z n z l 1 2 3 3 5 这表明序列 i l z n z l 盼足单调增的 因为k 足有界的 所以极限l i i n f l i i z n z 10 是存在的 可以得到序列 z 和 瓦z 竹 也是有界的 i l l 3 3 5 可得 i l z n 1 一 i 0 n o o 3 3 6 又由于z n 1 g 所以有 蜘一x n 1 1 1 2 i i z n x n l i l 2 q 0 z n l l l 2 因为极限l i m 竹 q n o 和序列 z 是有界的 所以有 也可得 由 i 蜘一 1 l i 一0 n o o 一z l l l 蜘一x n ll l i l z n 1 一z n0 0 7 1 o 1 一q 竹 瓦 可得瓦z n 蜘 o n 死x n 由k 是有界的可得 l 瓦z 一 l i l f 蜘一x 竹 o 霸z 以i l 0 一 0 a n l l 霸z i i 0 n o o 3 3 7 3 3 8 3 3 9 又由瓦z 竹 1 k x z n 设i m a x k 1 k 2 e n 盘 m i n k l k 2 h 知如下成立 i i 一z n o 石1l l l z n z 4 丢 i l x n x n l l o n o o i i 一z no 2 石l l l z n z n 4 主 i l l l o n o o 我们知道l i 1 一z 8 0 所以对于任意的歹 1 2 有 z n x n j 1 0 扎 o 因此对于任意的i 1 2 也可得到 0 z n 一 i 0 l f z 一x n i i l i f 一 i x n fi i i f z t 一 i z ni l l l z 竹一x n i l i l z l f 一 i x n i l l ix n i z n l i 2 1 1 z n x n i i i i z n i 一 f z 竹 i i 1 2 3 3 1 0 3 3 1 1 3 3 1 2 第二章有限族的甲均映射迭代序列的公共不动点 由 3 3 1 1 和 3 3 1 0 容易得到 则 l i m 1 一 i 0 0 i 1 2 n 3 3 1 3 n 因为 m 甜 所以 对于任意z 1 2 有下式成立 l i mi i z n 一昂 l l 0 n o o 3 3 1 4 一 1 一t z n l l 训 一 z n 0 训z n s z n 0 0 n 0 0 3 3 1 5 m 3 3 1 4 和引理3 2 2 我们可以得到 z 竹 cf 再结合 3 3 4 和引理3 2 5 可 以得到序列 z n 强收敛蛰 p f x l 证毕 第四章可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的公共不动点 4 1引言 本章研究的是可数族的l l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的逼近问题 在过去的 几年中 可数族映射的研究越来越受关注 许多作者研究了可数族的非扩张映射 和l i p s c h i t z i a n 映射的不动点迭代序列的逼近问题 参考文献 1 2 1 3 1 5 1 6 2 0 0 7 年 w e e r a y u t hn i l s r a k o o 和s a t i ts a e j u n g1 12 1 研究了在h i l b e r t 空间中 可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的收敛问题及其应用 并且证明了如下定 理 定理4 1 1 设k 是h i l b e r t 空间日的一个非空闭凸子集 瓦 k k 是 一厶 l i p s c h i t z i a n 映射序列 且满足 器l k 1 和n 墨1f 瓦 o z 竹 足k 中的序列 由如下迭代格式生成 z 1 k z 1 q n z 1 一q 瓦l 这里礼 1 序列 a c o 1 且满足 o o lq 1 0 o o 假设满足下面两个 条件 1 对于k 的任意一个有界子集b 有 嘉1s u p 瓦 1 2 一瓦2 1 z b o 2 t k k 一个映射 由如下迭代格式生成 t z l i l l l t i 瓦2 v z k n f t n 墨1f 瓦 则序列 弱收敛到o f 丁 本章受到w 曲r a y u t hn i l s r a k o o 和s a t i ts a e j u n g l 刁的启发 将定理4 1 1 中 的h i l b e r t 空问推广到了更一般的一致凸b a n a c h 空问 证明了在一致凸的b a n a c h 空 问中 可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的收敛定理 4 2 概念与引理 在证明本章主要结论时需要用到以下引理 引理4 2 1 1 4 1 没 a 晶 和 岛 为三个非负实数序列使得 a n l 1 晶 口 c n n 1 如果 甚1 晶 0 和 c l o 则 l i m n a n 存在 特别 如果l i mi n f n 一 0 贝j j l i m 一 oa n 0 引理4 2 2 1 15 设k 是b a n a c h 空间中的一非空闭子集 瓦 是k 上的一自映 射序列 假设 墨1s u p l i t 1 2 一瓦 0 2 k 则对于任意的y k 序 1 5 天津j r 业人学硕士学位论文 列 l 可 强收敛到k 中的某一点 此外 设t 是k 上的一自映射 定义为 t y l i r at y v y k n 则l i i i l n 一 s u p l i 已2 一t z l i 2 k 0 引理4 2 3 i l l 设e 是一致凸的b a n a c h 空间 k 是e 中一非空闭凸子集 且 设t k k 是一非扩张映射 不动点集f 丁 0 则 一t 存0 点次闭 即对 于k 中任意的序列 z 竹 如果 z n 弱收敛到g q k 并且 一乳铂 0 则 q t q 引理4 2 4 1 7 假设 口们 和 6 n 足两个非负实数序列 使得e 甚la n o o 和 是1o n 6 n o o 则l i m i n f n 一 k 0 4 3 可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的公共不动点 引理4 3 1 提交至l j n o n l i n e a rf u n c t i o na n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n 设e 足一 实b a n a c h 空间 k 是e 中一非空闭凸子集 设 瓦 是k 上一l l i p s c h i t z i a n 自 映射序列 且 墨1 三n 1 n 甚 f 瓦 非空 设 z 凡 是k 中一序列定义 为 z 1 k 和 1 a n x n 4 1 一口竹 墨 4 3 1 对于任意的n 1 其中实数序列 q n c 0 1 且满足 墨1a n 1 一n n 则 1 对于任意的p n 器lf l 极限l i m n o oi i x 一p l i 存在 2 z n 和 瓦z n 两个序列都是有界的 证明设p n 甚1f 乃 根据迭代算法 4 3 1 有下式成立 l l z n 1 一p l i l l q z n 一曲 1 一口 瓦x n p l l 口n i i z n p l l t 1 一a 竹 l l 瓦z n p 0 口竹慨一p i l 1 a n 训z n p l l 4 3 2 l i x 一p l i i q 竹一1 l l x 锕一p l i i 1 一q n l n i i 一p 0 7 0 z 竹一p 0 1 一n n l n 1 l i z n p l l 1 i 1 一q n 三订一1 l l x n p 0 1 l n 一1 1 1 一p f i 由条件 1 厶一1 o o 和引理4 2 1 可以得到极限l i m n i i x 竹一p l l 是存存 的 因此序列 z 是有界的 因为映射 瓦 是一三钉一l i p s c h i t z i a n 映射序列 因 此序列 瓦z n 也是有界的 定理4 3 2 f 提交蛩j n o n l i n e a rf u n c t i o na n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n 设e 是 一敛凸i 搀b a n a c h 空间且满足o p i a l s 条件 k 是空间e 的一非空闭凸子集 1 6 第四章可数族的l i p s c h i t z i a n 映射迭代序列的公共不动点 孔 是k 上一 n l i p s c h i t z i a n 自映射序列 且满足 墨1 三n 一1 o 和 n 墨1f 瓦 是非空的 假设 足k 上一序列定义为 x l k 和 x n l q z n 1 一q t z n 对于任意的礼 1 其中实数序列 o n c 0 1 且满足 墨ln n 1 一a n 假 设对于k 的任意有界子集b 都有 o c 1s u p l i t 1 名一瓦z i l z b 0 使得这些序列都属于一个闭 球辟 则有下式成立 i i z n 1 一p i l 2 i l q z n p 1 一 瓦z 一p 1 1 2 a l l z n p 0 2 1 一q 竹 1 1 t x n p i l 2 一口n 1 一q n g 1 l t n x n z l o t 竹i i x 一p i l 2 1 一o t n l l l x n p i l 2 一o r 1 一a n g 1 l t x n z 0 l i x n p l l 2 o n 一1 l l x n p l l 2 i 1 一n l l l x n p i l 2 一q n 1 一口n 9 1 1 t x 一 1 1 l l 一p l l 2 1 一o t n 一1 1 1 z 一p i l 2 一q n 1 一q a 1 l t x n z n l i 1 1 一 l i 一1 l l x 一p i l 2 一q 1 一口 g 1 l t x 竹一z n0 1 三 一1 l l x n p l l 2 一 1 一q g 1 l t x 一x 1 1 也可以得到 o n 1 一 g i i 已z n x n l l i i x 竹一p 0 2 一i i x 1 一p l l 2 l n 2 1 l l