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第四章交通流理论 2 授课要求 掌握泊松分布理论 二项分布理论在交通流分析中的应用 熟悉M M 1 M M n系统理论及其应用 了解跟驰理论及流体力学模拟理论 3 目录 4 1概述 1 4 2交通流的统计分布特性 2 4 3排队论的应用 3 4 4跟驰理论简介 4 4 5流体动力学模拟理论 5 1 4 4 1概述 一 概念 什么是交通流 认识交通流 交通工程中把在道路上行驶的人流和车流统称交通流 TrafficFlow 一般指车流 5 什么是交通流理论 交通流理论 数学物理学力学 规划设计营运管理 各种交通现象交通规律形成机理 6 4 1概述 二 发展 在20世纪30年代才开始发展 概率论方法 1933年 金蔡论述了泊松分布用于交通分析的可能性 1936年 Adams W F发表数值例题 1947年 Greenshields泊松分布用于交叉口分析 20世纪50年代 跟驰理论 交通波理论 流体动力学模拟 和车辆排队理论 1975年丹尼尔 DanieLlG 和马休 Marthow J H 出版了 交通流理论 一书 1983年 蒋璜翻译为中文 人交出版社出版 7 4 1概述 三 交通流理论内容 交通流的概率统计分布排队论跟驰理论交通流的流体力学模拟理论 8 目录 4 1概述 1 4 2交通流的统计分布特性 2 4 3排队论的应用 3 4 4跟驰理论简介 4 4 5流体动力学模拟理论 5 1 9 4 2交通流的统计分布特性 交通流统计分布的作用体现在哪里 在建设或改善交通设施 确定新的交通管理方案时 均需要预测交通流的某些具体特性 并且常希望能用现有的或假设的有限数据作出预报 如在信号灯配时设计时 需要预测一个信号周期到达的车辆数 车辆的到达在某种程度上具有随机性 描述这种随机性的统计规律有两种方法 10 4 2交通流的统计分布特性 一 交通流统计分布的含义与作用 离散型分布 又称计数分布在某固定时段内车辆到达某场所的波动性 也可描述某一路段上所拥有车辆数的分布特性 泊松分布 二项分布 负二项分布连续型分布 研究上述事件发生的间隔时间的统计特性 如车头时距的概率分布 负指数分布 移位负指数分布 爱尔朗分布 11 在一定的时间间隔内到达的车辆数 或在一定的路段上分布的车辆数 是所谓的随机变数 描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布 4 2交通流的统计分布特性 二 离散型分布 泊松分布 二项分布 12 4 2交通流的统计分布特性 1 泊松分布 车流密度不大 车辆之间相互影响较小 其他外界干扰因素基本上不存在 即车流是随机的 1 适用条件 2 基本公式 k 0 1 2 Pk 在计数间隔t内到达k辆车的概率 单位时间间隔的平均到达率 辆 st 每个计数间隔持续的时间 s e 自然对数的底 取值2 71828 13 4 2交通流的统计分布特性 1 泊松分布 3 递推公式 计数间隔t内平均到达的车辆数 14 4 累计分布 5 特征 分布的均值M和方差D都等于 15 泊松分布应用 例4 1 设60辆车随机分布在4km长的道路上 服从泊松分布 求任意400米路段上有4辆及4辆车以上的概率 16 解 400m路段上平均到达车辆数为 x 4 即有4辆车的概率 x 4辆车的概率 泊松分布应用 17 泊松分布应用 例4 2 某交叉口信号周期长为90S 某相位的有效绿灯时间为45S 在有效绿灯时间内排队车辆以1200辆 h的流量通过交叉口 假设信号交叉口上游车辆到达率为400辆 h 服从泊松分布 求 1 一个周期内到达车辆不超过10辆的概率 2 求到达车辆不致两次排队的周期最大百分率 18 泊松分布应用 解 由于车辆到达率为400pcu h 所以一个周期内平均到达车辆数 所以 一个周期内到达车辆数X不超过10辆车的概率为 19 由于到达车辆只能在有效绿灯时间内离开 所以一个周期能离开最大车辆数为 如果某周期内到达车辆数x大于15辆 则最后到达的X 15辆车就不能在本周期通过 而要在下个周期通过 以致二次排队 所以 不发生二次排队的概率为 由本例可见 当车辆按均匀到达时 则不会出现车辆二次排队的现象 而实际上车辆到达是随机的 导致部分绿灯时间不能完全充分利用 部分周期有可能出现二次排队现象 泊松分布应用 20 4 2交通流的统计分布特性 2 二项分布 车辆比较拥挤 自由行驶机会不多的车流 1 适用条件 2 基本公式 k 0 1 2 n Pk一在计数间隔t内到达k辆车的概率 一平均到车率 辆 s t一每个计数间隔持续的时间 s n一正整数 观测间隔t内可能到达的最大车辆数 p t n 一辆车到达的概率 21 4 2交通流的统计分布特性 2 二项分布 3 递推公式 22 4 累积二项分布 5 特征 均值方差 D M 23 4 2交通流的统计分布特性 2 二项分布 6 参数估计 24 4 2交通流的统计分布特性 例4 1 以15s间隔观测到达车辆数 得到结果 解 25 例4 3 一交叉口设置了专供左转的信号相 经研究指出 来车符合二项分布 每一周期内平均到达20辆车 有25 的车辆左转但无右转 求 到达三辆车中有一辆左转的概率 某一周期不使用左转信号相的概率 二项分布应用 26 解 已知 n 3 x 1 P 0 25 代入式中可求出到达三辆车中有一辆左转的概率 已知 n 20 x 0 p 0 25 27 例4 4某交叉口最新的改善措施中 欲在引道入口设置一条左转弯候车道 为此需要预测一个周期内到达的左转车辆数 经研究发现 来车符合二项分布 并且每个周期内平均到达25辆车 有25 的车辆左转 求 1 求左转车的95 置信度的来车数 2 到达5辆数中有1辆左转车的概率 28 解 由于每个周期平均来车数为25辆 而左转车只占25 所以左转车X的分布为二项分布 因此 置信度为95 的来车数应满足 计算可得 因此 可令 即左转车的95 置信度的来车数为9 29 由题意可知 到达左转车服从二项分布 因此 到达5辆数中有1辆左转车的概率为0 3955 30 负二项分布公式 均值与方差 累积负二项分布 31 递推公式 当x 0时 当x 1时 适用条件 32 车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外 还可用车头时距分布来描述 这种分布属于连续型分布 4 2交通流的统计分布特性 三 连续型分布 负指数分布 移位负指数分布 33 4 2交通流的统计分布特性 1 负指数分布 用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布 它常与计数的泊松分布相对应 若车辆到达符合泊松分布 则车头时距就是负指数分布 1 适用条件 34 4 2交通流的统计分布特性 1 负指数分布 2 基本公式 式中 P h t 到达的车头时距h大于t秒的概率 车流的平均到达率 辆 s 35 4 2交通流的统计分布特性 例题 对于单向平均流量为360辆 h的车流 求车头时距大于10s的概率 解 车头时距大于10s的概率也就是10s以内无车的概率 由 360 3600 0 1同样 车头时距小于或等于10s的概率为 36 4 2交通流的统计分布特性 1 负指数分布 由上例可见 设车流的单向流量为Q 辆 h 则 Q 3600 于是负指数公式可改写成 负指数分布的均值M和方差D分别为 37 4 2交通流的统计分布特性 1 负指数分布 车头时距服从负指数分布的车流特性见图 曲线是单调下降的 说明车头时距愈短 出现的概率愈大 图中与纵坐标相交这种情形在不能超车的单列车流中是不可能出现的 因为车辆的车头与车头之间至少存在一个车长 所以车头时距必有一个大于零的最小值 38 4 2交通流的统计分布特性 2 移位负指数分布 适用条件 用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布 移位负指数分布公式 分布的均值M和方差D分别为 39 4 2交通流的统计分布特性 2 移位负指数分布 移位负指数分布的局限性 服从移位负指数分布的车头时距愈接近 出现的可能性愈大 这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降 40 4 2交通流的统计分布特性 例题 在一条有隔离带的双向四车道道路上 单向流量为360辆 h 该方向路宽7 5m 设行人步行速度为1m s 求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数 如果单向流量增加到900辆 h 1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少 41 4 2交通流的统计分布特性 解 行人横过单向行车道所需要的时间 t 7 5 1 7 5s因此 只有当h 7 5s时 行人才能安全穿越 由于双车道道路可以充分超车 车头时距符合负指数分布 对于任意前后两辆车而言 车头时距大于7 5s的概率为 对于Q 360辆 h的车流 1h车头时距次数为360 其中h 7 5s的车头时距为可以安全横穿的次数 4 2交通流的统计分布特性 当Q 900辆 h时 车头时距大于7 5s的概率为 1h内车头时距次数为900 其中h 7 5s的车头时距为可以安全横穿的次数 43 3 车头时距服从负指数分布的车流特性由式 4 9 不难推出负指数分布的概率密度函数 4 在次要车流通行能力研究中的应用设 为次要道路车辆横穿主干道的所要求的最小间隙 为次要路上横穿车辆连续通过时的车头时距 s 为主干道上车辆平均到达率 辆 s Q次为次干道横穿主干道的交通量 辆 s 利用负指数分布可求得下式 44 Q次 辆 sQ次 次要车流能横穿主干道的最大流量 这是次要车道能容纳无穷多辆车排队时的饱和流量 45 例有一个无信号交叉口 主要道路上的车流量为Q辆 h 次要道路上车辆横穿主路车流所需要的时间为as 假设主要道路上车头时距服从负指数分布 求次要道路上车辆的平均等待时间 46 解 主要道路上车头时距为负指数分布 即分布密度为 分布函数为 其中由于只有当主路上车头时距时 次要道路上车辆才可以穿越 所以 主路上任意一个间隔可被接受的概率为 拒绝的概率为 47 可求任意一个被拒绝的间隔其分布为G t 即 由概率论的条件概率部分知识 可求得 48 目录 4 1概述 1 4 2交通流的统计分布特性 2 4 3排队论的应用 3 4 4跟驰理论简介 4 4 5流体动力学模拟理论 5 1 49 4 3排队论的应用 一 引言 1 定义 排队论是研究 服务 系统因 需求 拥挤而产生等待行列 即排队 的现象 以及合理协调 需求 与 服务 关系的一种数学理论 是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支 亦称 随机服务系统理论 食堂 医院 超市 银行 买火车票等等 50 4 3排队论的应用 一 引言 2 发展 1905年 丹麦爱尔朗提出并应用于电话自动交换机设计 1936年 亚当斯用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题1951年 唐纳予以推广应用1954年 伊迪应用排队模型估计收费亭的延误摩斯柯维茨的报告中 将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告 51 4 3排队论的应用 一 引言 3 研究目的研究排队论实质上是解决最优化问题 在交通设计和管理方面有动态优化和静态优化 动态优化 是指排队系统的运营 也就是按什么方式接收服务 常见的例子有 行人管理 交通信号控制 对车行道上延滞的处理静态优化 是指合理的设计方案 比如 高速公路收费通道的设计 寻找顾客与服务机构的平衡 地上地下停车场的设计 加油站的设计等 52 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 1 顾客 要求服务的人或物 车 2 服务台 为顾客服务的人或物 交叉口 收费站 3 排队 等待服务的顾客 不包括正在被服务的顾客 4 排队系统 既包括了等待服务的顾客 又包括了正在被服务的顾客 1 基本概念 53 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 5 队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分 平均顾客数 期望值 7 等待时间 顾客到达时起至开始接受服务时止的这段时间 8 逗留时间 一个顾客在系统中停留的时间 9 忙期 服务台连续繁忙的时期 1 基本概念 54 服务窗 服务规则 顾客源 排队系统 排队模型 55 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 1 输入过程 就是指各种类型的 顾客 车辆或行人 按怎样的规律到达 有各式各样的输入过程 例如 D 定长输入M 泊松输入Ek 爱尔朗输入 2 排队系统的基本要素 56 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 2 排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务 服务次序 先到先服务 FCFS 交叉口 收费站 后到先服务 LCFS 仓库 优先服务 PR 急救车 消防车 主干路 支路 随机服务 RSS 电话总机 2 排队系统的基本要素 57 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 2 排队规则 损失制 旅馆等待制 收费站混合制 银行 2 排队系统的基本要素 58 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 3 服务方式 指同一时刻多少服务台可接纳顾客 每一顾客服务了多少时间 D 定长分布M 负指数分布Ek 爱尔朗分布 2 排队系统的基本要素 59 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 3 服务台的排列方式 60 4 3排队论的应用 二 排队论的基本原理 4 排队模型的表示方法 肯道尔 D G Kendall 1971年国际排队符号标准会议到达过程 服务过程 服务台数目 在系统中最大顾客数 在顾客源中顾客数 排队规则M M 1 K FCFS 61 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 M M 1系统 单通道服务系统 的基本概念 由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条 因此也叫做 单通道服务 系统 服务 收费站 输出 输入 M M 1系统 62 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 主要参数 设平均到达率为 则两次到达的平均间隔时间 时距 为1 设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率 输出率 为 则平均服务时间为1 比率 称为交通强度或利用系数 由比率 即可确定各种状态的性质 63 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 当 1 即 且时间充分 每个状态都会以非0的概率反复出现 当 1 即 任何状态都是不稳定的 且排队会越来越长 要保持稳定状态 确保单通道排队消散的条件是 1 64 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 例如 某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达 收费站发放通行卡的时间平均需要8s 即 1 10s 1 8s如果时间充分 这个收费站不会出现大量阻塞 65 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 在系统中没有顾客的概率为 即没有接受服务 也没有排队 在系统中有n个顾客的概率为 包括接受服务的顾客与排队的顾客之和 在系统中的平均顾客数为 平均接受服务的顾客与排队的顾客之和 66 4 3排队论的应用 系统中顾客数的方差 当 0 8以后 平均排队长度迅速增加 排队系统变得不稳定 造成系统的服务能力迅速下降 排队系统中平均消耗时间 是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和 三 M M 1系统及其应用 67 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 排队中的平均等待时间 这里在排队时平均需要等待的时间 不包括接受服务的时间 等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差 68 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 平均排队长度 这里是指排队顾客 车辆 的平均排队长度 不包括接受服务的顾客 车辆 69 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 平均非零排队长度 即排队不计算没有顾客的时间 仅计算有顾客时的平均排队长度 即非零排队 70 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 系统中顾客数超过k的概率 71 4 3排队论的应用 三 M M 1系统及其应用 系统中排队等候的顾客数超过k的概率 即系统中顾客数超过k 1的概率 72 4 3排队论的应用 例题 某条道路上设一观测统计点 车辆到达改点是随机的 单向车流量是800辆 h 所有车辆到达该点要求停车领取OD调查卡片 假设工作人员平均能在4s内处理一辆汽车 符合复指数分布 试估计在该点上排队系统中的 平均车辆数 平均排队长度 非零平均排队长度 平均消耗时间 平均等待时间 73 4 3排队论的应用 解 这是一个M M 1系统 800 辆 h 1 4 辆 s 900 辆 h 0 89 1 排队系统是稳定的 系统中的平均车辆数平均排队长度非零平均排队长度系统中的平均消耗时间排队中的平均等待时间 74 4 3排队论的应用 例题 某收费公路入口处设有一收费亭 汽车进入公路必须向收费亭交费 收费亭的收费时间服从负指数分布 平均每辆车的交费时间为7 2秒 汽车到达率为400辆 h 并服从泊松分布 求 收费人员空闲的概率 收费亭前没有车辆排队的概率 收费亭前排队长度超过12辆的概率 平均排队长度 车辆通过收费亭所花费时间的平均值 车辆的平均排队时间 75 4 3排队论的应用 解 M M 1系统 400 辆 h 3600 7 2 500 辆 h 0 8 1 排队系统是稳定的 即系统中没有车辆的概率 P0 1 1 0 8 0 2当系统中没有车辆或只有1辆车时 便没有排队 排队超过12辆 76 4 3排队论的应用 例题 修建一个服务能力为100辆 h的停车场 布置一条进入停车场的引道 车辆到达率为60辆 h 进入停车场的引道长度能够容纳6辆车 是否合适 解 60 辆 h 100 辆 h 0 6 1 排队系统是稳定的 进入停车场的引道长度能够容纳6辆车 如果系统中的平均车辆数小于6辆车则是合适的 否则 准备停放的车辆必然影响交通 77 4 3排队论的应用 验证系统中平均车辆数超过6辆车的概率P n 6 如果P n 6 很小 则得到 合适 的结论正确 由 验证结果表明 系统中平均车辆数超过6辆车的概率P n 6 不足5 概率很小 进入停车场的引道长度是合适的 78 4 3排队论的应用 例题 有一超市的收款员平均每小时服务30人 顾客平均每小时25人的速率到达 问 1 有一名顾客或更多顾客排队的平均队长 2 欲使平均队长减少一人 服务时间要如何改进才能适应需求 解 25 人 h 30 人 h 0 83 1 排队系统是稳定的 则得到p 0 8 得到 31 人 h 2 1 79 在这种排队系统中 服务通道有N条 所以叫 多通道服务 系统 单路排队多通道服务 指排成一个队等待数条通道服务的情况 如图所示 4 3排队论的应用 四 M M N系统及其应用 80 多路排队多通道服务 指每个通道各排一个队 每个通道只为其相对应的一队车辆服务 车辆不能随意换队 如图所示 这种情况相当于N个单通道服务系统 81 对于多通道服务系统 保持稳定状态的条件 不是 1 而是 N 1 其中 为各通道平均值 若令 为进入系统中的平均到车率 则对于单路排队多通道服务系统 存在下列关系式系统中没有车辆的概率 82 系统中有n辆车的概率 排队系统中的平均车辆数 平均排队长度 排队系统中的平均消耗时间 排队中的平均等待时间 84 例题 有一收费公路 高峰小时以2400辆 h的车流量通过四个排队车道引向四个收费口 平均每辆车办理收费的时间为5s 服从负指数分布 试分别按单路排队和多路排队的两种服务方式计算各相应的指标并比较之 解 按多路排队计算根据题意 有四路排队 即每个收费口有它各自的排队车道 而将到达的车流四等分 于是 即相当于四个单通道排队情况 由M M l系统的计算公式 得到 按单路排队计算 这时 89 90 两种服务方式相应指标对比 91 一 相关概念补充 1 行车时间 行车时间指汽车沿一定路线在实际交通条件下从一处到达另一处行车所需的总时间 包括停车和延误 2 延误 延误指车辆在行驶中 由于受到驾驶员无法控制的或意外的其他车辆的干扰或交通控制设施等的阻碍所损失的时间 四 简化排队论的延误分析 92 二 行车时间与延误的含义及延误产生的原因 基本延误 固定延误 由交通控制装置所引起的延误 与道路交通量多少及其他车辆干扰无关的延误 运行延误 由于各种交通组成间相互干扰而产生的延误 一般它含纵向 横向与外部和内部的干扰 如停车等待横穿 交通拥挤 连续停车以及由于行人和转弯车辆影响而损失的时间 行车时间延误 指车辆在实际交通流条件下由于该车本身的加速 减速或停车而引起时间延误 即与外部干扰无关的延误 停车延误 由于某些原因使车辆实际停止不动而引起的时间延误 四 简化排队论的延误分析 93 二 行车时间与延误的含义及延误产生的原因 3 延误产生的原因 基本延误主要产生在车辆通过交叉口时 这种延误与交通流动特性无关 是由信号 停车标志 让路标志及平交道口等原因造成的 运行延误是因受其他车辆或行人干扰而产生的 车辆干扰 如车辆停止 启动 转弯 故障以及行人过街等的干扰 交通内部干扰 如交通量增大产生拥挤 道路通行能力不足 合流及交织交通等的影响 四 简化排队论的延误分析 94 4 3排队论的应用 四 简化排队论的延误分析 95 4 3排队论的应用 96 4 3排队论的应用 例题 已知信号控制交叉口 其进口道的红灯时间为40S 绿灯时间为45S 黄灯时间为5S 假设该进口道上游的交通流均匀到达 其到达率为600辆 小时 绿灯亮启后的饱和流率为1200辆 小时 每周期绿灯信号结束时进口道无残留排队车辆 试求该进口的排队延误 最大排队车辆 绿灯亮启后排队的消散时间 受阻车辆总数 97 4 3排队论的应用 98 目录 4 1概述 1 4 2交通流的统计分布特性 2 4 3排队论的应用 3 4 4跟驰理论简介 4 4 5流体动力学模拟理论 5 1 99 4 4跟驰理论简介 一 引言 原理 跟驰理论是运用动力学方法 探究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时 用数学理论描述后车跟随前车的行驶状态 发展 1950年鲁契尔与1953年派普斯奠定基础 1960年赫尔曼与罗瑟瑞进一步扩充 1961年伽塞斯提出了最一般跟驰模型 适用范围 非自由行驶状态下车队的特性 密度高 车间距离不大 车队中任一辆车的车速都受前车速度的制约 司机只能按照前车所提供的信息采用相应的车速 100 4 4跟驰理论简介 二 研究目的 试图通过观察各个车辆逐一跟驰的方式来了解单车道交通流的特性 描述交通流的稳定性 加速干扰以及干扰的传播 检验在高速公路专用车道上运行的公共汽车车队的特性 检验管理技术和通信技术 以便预测短途车辆对市区交通流的影响 使尾撞事故减到最低限度 101 4 4跟驰理论简介 三 车辆跟驰特性分析 紧随要求 司机不愿落后很多 而是紧跟前车前进车速条件 后车速度不能长时间大于前车的速度 否则会追尾间距条件 前后车之间必须保持一个安全距离 1 制约性 102 4 4跟驰理论简介 三 车辆跟驰特性分析 前车运行状态改变之后 后车也要相应作出改变 但是这种改变不是同步的 有一个反应过程的延迟 2 延迟性 第1辆车的状态改变 第2辆车状态改变 第3辆车改变由于延迟性的存在 这种传递不是平滑连续的 而是脉冲一样间断连续的 3 传递性 感觉阶段认识阶段判断阶段执行阶段 103 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 跟驰模型是一种刺激 反应的表达式 一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化 该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车地加速或减速动作及其实际效果 104 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 105 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 106 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 107 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 108 4 4跟驰理论简介 四 线性跟驰模型 缺陷 后车反应只依赖于它与前导车的速度差 而与两车间距及后随车本身的速度无关事实上 两车间距愈小 尾撞危险越大 后车速度越高 一旦尾撞事故越严重 要求反应越迅速有效 因此将模型推广为 109 目录 4 1概述 1 4 2交通流的统计分布特性 2 4 3排队论的应用 3 4 4跟驰理论简介 4 4 5流体动力学模拟理论 5 1 110 一 流体动力学理论建立 一 引言 1955年 英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流体 对一条很长的公路隧道 研究了高密度车流情况下的交通流规律 提出流体动力学模拟理论 该理论把车流密度的变化 比拟成水波的起伏而抽象为车流波 当车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时 在车流中产生车流波的传播 通过分析车流波的传播速度 以寻求车流流量和密度 速度之间的关系 并描述车流的拥挤 消散过程 111 一 流体动力学理论建立 设车流顺次通过断面 和 的时间间隔为 t 两断面的间距为 x 车流在断面 的流入量为Q 密度为K 同时 车流在断面 的流出量为 Q q K K 其中 K的前面加一负号 表示在拥挤状态 车流密度随车流量增加而减小 二 车流连续性方程建立 112 一 流体动力学理论建立 根据物质守恒定律 在 t时间内 流入量 流出量 x内车辆数的变化 即 Q Q Q t K K K x或 取极限可得 含义为 当车流量随距离而降低时 车辆密度随时间而增大 二 车流连续性方程建立 113 一 流体动力学理论建立 列队行驶的车辆在信号交叉口遇到红灯后 即陆续停车排队而集结成密度高的队列 当绿灯开启后 排队的车辆又陆续起动疏散成一列具有适当密度的队列 波动 车流中两种不同密度部分的分界面掠过一辆辆车向车队后部传播的现象 波速 此车流波动沿道路移动的速度 三 波动与波速 114 二 车流波动理论 四 波速公式的推导 波阵面 绝对速度 115 二 车流波动理论 假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域 K1和K2 用垂线S分割这两种密度 称S为波阵面 设S的速度为w w为垂线S相对于路面的绝对速度 并规定垂线S的速度w沿车流运行方向为正 由流量守恒可知 在t时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数 即 式中 V1 w V2 w 分别为车辆进出S面前后相对于S面的速度 四 波速公式的推导 116 二 车流波动理论 由 规定 当K2K1 密度增加 产生的w为集结波 117 三 车流波动状态讨论 当Q2 Q1 K2 K1时 产生一个集结波 w为正值 集结波在波动产生的那一点 沿着与车流相同的方向 以相对路面为w的速度移动 118 三 车流波动状态讨论 当Q2K1时 产生一个集结波 w为负值 集结波在波动产生的那一点 沿着与车流相反的方向 以相对路面为w的速度移动 119 三 车流波动状态讨论 当Q2 Q1 K2 K1时 产生一个消散波 w为负值 集结波在波动产生的那一点 沿着与车流相反的方向 以相对路面为w的速度移动 120 三 车流波动状态讨