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非線形非平衡物理 坂口英継 大自由度 非線形 具体的 結合系 振動子 集団 同期現象 形成 計算機 行 計算結果 中心 非線形非平衡物理学 研究分野 一端 紹介 目次 1 非線形 2 非平衡系 3 結合系 4 相転移 方程式 5 振動子集団 引 込 相転移 6 散逸構造 位相 7 時空 8 9 局在 10 成長 11 進化 形成 非線形 a 写像 物理学 観測 結果 数値化 法則 観測 量 時間変化 微分方程式 偏微分方程式 形 多 古 典力学 方程式 電磁気学 方程式 量子力学 方程式 流体力学 方程式 方程式 方程式 線形方程式 形 重 合 原理 成 立 線形方程式 解法 昔 数理的 詳 研究 非 線形方程式 一般 解 難 天体力学 体問題 流体力学 乱流問 題 非線形性 難 表 非線形方程式 一般 解 数値計算 振 舞 研究 過程 非線形 中心課題 浮 上 時間発展 法則 簡単 時間発展 不規則 長 時間先 値 予想 困難 現象 天気予報 長期予想 困難 原因 大気 的 説明 体 問題 関連 一部 知 流体 方程式 方程式 数値計算 実 体 散逸力学系 時間 十分経過 呼 軌道 吸引 定性的変化 扱 分岐理論 観点 遷移過程 研究 典型的 定常状態 不安定化 呼 時間周期解 生 何回 分岐 起 典型的 分岐過程 n 分岐 周期 倍 周期 無限 非周期 過程 知 n 分岐 起 写像 写像 X n AX n X n 表 昆虫 年 個体数 変動 表 方程式 A 個体数 増加率 表 係数 対応 最初 n 分岐 化 研究 昆虫 個体数 周期的 変動 実際 観察 害虫 流行 何年 起 対応 後 n 分岐 普遍性 則 研究 図 a A 変 時 n 分岐 表 写像 結合 系 結合 写像 計算 行 X n AX n X n D Y n X n Y n AY n Y n D X n Y n 結合項 拡散 表 系 特徴 各変数X n Y n 領域 n周 期 示 D 極限 出現 順番 X x x x x n 順 Y x m x m x m 順番 n 個 順番 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 2 62 833 23 43 6 X A 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 20 40 60 81 Y X Figure a 写像 n 分岐 b 結合 写像 重 安定解 記号 解 次元写像系 存在 D 解 等価 D 縮退 解 n 個 異 単純 機構 n 個 多重安定 解 生 n 個 異 異 分岐過程 経 化 図 b A D 記号 変 描 自由度 非線形系 複雑 示 簡単 例 b 拡散 乱流 特徴 混合性 溶 中 水 混 乱流 混合性 利用 流 粒 子 的拡散 呼 Gollub等 振動 対流 対流 粒子 拡散 様子 実験 計算機 示 粒子 慣性 無視 粒子 流 同 速度 運動 運動方程式 流 関数 x z t A sinf x Bsin t gsin z dx dt z dz dt x 方程式 系 方程式 面積要素 保存 保存力学系 保存力学系 初期条件 安定 周期軌道 粒子 慣性 近似 取 入 0 0 5 1 00 51 z x 0 49 0 495 0 5 0 505 0 51 0 490 4950 50 5050 51 40 20 0 20 40 0500010000 x t t Figure a A B k 壁 吸引 b A B 対流 隅 x z 付近 拡大図 示 c x 時間発展 的拡散 表 dv x dt z v x dv z dt z v z 計算 v x v y 粒子 速度 質量 逆比例 係数 質量 極限 元 戻 慣性 流速 粒子 速度 生 方程式 散逸方程式 系 振 舞 初期条 件 決 定常 対流条件 対流 壁 漸近 無限周期 軌道 軌道 粒子 流 体 閉 込 上下 壁 隅 方 溜 軌道 摂動 B 化 化 対流 渡 歩 粒 子 的 拡散 無限小 摂動 化 変 力学系 例 拡散 簡単 非平衡系 a 方程式 乗法雑音 熱平衡統計力学 温度T E 状態 実現 確率 分布 P E exp E kT 与 一般 非平衡 系 定常 分布 一般 分 非平衡系 一 大 研究分野 熱平衡 至 緩和過程 線形応答 研究 Green Kubo公式 揺動散逸定理 大 成果 現象論的 緩和過程 確率 方程式 一番簡単 線形 方程式 dv dt v t f t t h t t i T t t 満 白色 雑音 f t 外力 表 f 時 v 定常分布 P v expf v T g 速度v 関 分布 運動 E v 対 0 0001 0 001 0 01 0 1 1 0 0010 010 1110100 P y y 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 00 511 522 53 Figure a T D 対 定常分布 両対数 b D andF 時間相関関数 変換 線形応答係数 求 分布 正弦的力f t Fsin t 対 線形応答係数 間 揺動散逸関係 呼 比例関係 成 立 外力 敏感 系 揺 関係 定量的 表 関係 逆 擬人 的 言 頑固 人 考 揺 他人 意見 聞 揺動散逸関係 一般的 線形 方程式 成 立 線形成長率 係数 揺 線形 方程 式 計算 行 dy dt t y t t f t t h t t i T t t 満 別 白色 雑音 成長率 系 生態系 株価 変動 社会経済現象 不自然 f t 時 方程式 定常解 P y T Dy D D 図 a 定常分布 例 両対数 示 定常分布 E y D y 対 q次 q D D 分布 P E f q E Tg q 形 統計 統計 一般化 最近議論 統計 次数q 意味 分 多 今 場合 種類 雑音 強度 D 元 分布 分布 y 大 分 布 近 成長率 間成長 持続 指数関数的 y 値 大 系 正弦波外力 対 線形応答 虚数部 分 D 外力 y t 自己相関関数 変換G 間 揺 動散逸関係 G st hy i 成 立 st 定常 的 力 対 応答係数 hy i 外力 y 二乗平均 関係式 確 図 b D 従来 揺動散逸関係 熱力学 法則 一定温度 熱平衡系 熱 取 出 仕事 変換 高温源 熱 取 出 一 部 低温源 捨 残 仕事 変換 熱機関 理想的熱機関 教科書 物理学 熱 機関 例 爪車 歯 止 系 提案 仮想的 提案 近年 分子 運動 関連 考 研究 熱 中 一方向 運動 生成 機構 考 元 本 書 提案 次元 周期的 中 粒子 運動 考 荷重L 懸 熱 対応 受 方程式 x t U x x L t t h t t i T t t 満 別 白色 雑音 U x 図 a 鋸歯状 仮定 w x x 登 坂 x n w 位置 関所 置 粒子 左 右 自由 行 左 右 移動 確率P e w T 許 T T 熱源 温度 対応 方程式 定常解 定常分布 求 方程式 定常解 図 a x 時 P x f w L e w L x T f 境界条件 正規化条件 R dxP x 求 確率分布 図 b 示 確率 流 詳細釣 合 成 立 条件 w L T w T 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0123456 P x x 0 1 0 05 0 0 05 0 1 0 5 0 3 0 10 10 30 5 v L 0 T 1 5T Figure a U x b 定常分布P x c w T 温度T 時 荷重L 平均速度 状態 温度T 熱浴 w L 熱 受 取 L 持 上 仕事効率 L w L T T T 温度T T 熱浴 最大仕事効率 条件 満 場合 一般 f 粒子 平均速度 f 伴 一方向 運動 平均速度 一般的 本 v e w L T e w T 異 詳 細 形 依存 図 c x w T 温度T 時 荷重L 変 粒子 平均速度 筋肉 分子 系 上 重要 役割 果 確率 説 日本 大沢先生 提唱 柳田先生 等 分子計測 程度確 等 説 力学 説 間 論争 決着 図 c T T L 場合 考 x 強 熱 励起 後 勾配 従 自然 負 方向 進 負 方向 進 上 方 上昇 持 上 領域 含 力学的 進 確率 力学 折衷案 思 上 非平衡系 簡単 非平 衡系 対 一般的 成 立 法則 多 知 一 Gallavotti Cohen 揺動定理 時間 間 増大 確率 減少 確率 比 P P 大 P P exp 関係 非平衡系 増大 有限時間 減少 確率 見積 関係式 解釈 0 100 200 300 400 500 0 00500 005 0 0 0005 0 001 0 0015 0 002 0 0025 00 0010 002 Figure a 生成率 分布 b lnfP P g 関係 系 粒子 運動 x n 移動 温度T 熱浴 Q n w L 熱 吸収 温度T 熱浴 Q n w 熱 放出 両熱浴 増大 n w L T w T 確率分布 求 図 a lnfP P g 関係 化 図 b 確 傾 直線 揺動定理 成 立 分 結合系 磁性体 簡単 特 二次元 厳密解 求 相転移 存在 相転移点近傍 則 相転移 統計力学 重要 位置 占 法 通常 乱数 発生 確率的 反転 E J X s i s j s i i番目 格子点 上向 s i 下向 s i 和 最近接格子点 取 J 相互作用 強 表 対 分布P exp E T 平衡状態 実現 遷移確率 考 二次元正方格子 考 配位 fm i j g 確率p n fm i j g 対 方程式 p n fm i j g X m i j p n fm i j g w fm i j g fm i j g 書 式 変数 遷移確率w fm i j g fm i j g 確 率的 変化 表 遷移確率 w Y i j tanhfK m i j m i j m i j m i j m i j g 選 詳細釣 合 成立 平衡分布 p eq fm i j g expfK X i j m i j m i j m i j m i j m i j g 得 分布 次元 K J T 熱平衡 分布 等価 次元 厳密解 知 無限系 K K c ln p 相転移 格子 平均磁化 P S i j N m sinh K K K c 与 二次元 決定論的 結合 力学系 実 現 示 要素 力学 写像 X n a X n X n a X n 用 図 a 写像 示 a a 写像 示 変数s n S n sgn X n X n X n a 対 S n X n a 対 S n 定義 変数 平均 値 a 時間相関 分 写像系 裏 表 出 確率 異 投 等価 示 写像系 結合写像格子系 構成 a i j n 前 最近接格子点 変数 決 各正方格子点 上 写像 置 a 隣接格子点 変数 次 決 a i j n tanhf K S i j n S i j n S i j n S i j n g 変数 時間発展 上 方程式 分 従 結合写像系 時間発展 決定論的 変数 見 確率的 等価 振 舞 実際 正方格子 結合写像系 計算 結果 図 示 図 b 時刻 変数 空間分布 示 K 相転移点 近 長距離相関 構造 見 図 c 平均磁化 K 関係 示 有限 効果 相転移 理論 近 平均磁化 得 写像 時間反転 写像 変換 変形版 次元写像 X n a X n 1 0 5 0 0 5 1 1 0 500 51 Y X d b a Figure a 写像 b K 変 c 平均磁化 K 実線 理論値 d 結合変形 変換 X n Y n Y n Y n for X n a X n a X n Y n Y n fora X n 用 時間反転 写像 写像 使 結合写像格子系 同様 作 X i j n a i j n X i j n Y i j n Y i j n for X i j n a i j n X i j n a i j n X i j n Y i j n Y i j n fora i j n X i j n 変数 過去 Y変数 蓄積 過程 考 y Y y 内 実数 y 進数 展開 y s s s 表 y 時間発展 進数表現 s s s s s s s 過去 情報 変換 進数表現 下 方 桁 保存 時間 発展 桁 下 現在 状態 小数点第 桁 加 対 応 逆 言 時刻 Y i j n 詳細 見 過去 時系列 図 d X i j n Y i j n 表 X方向 一様 Y方向 微細 構造 構造 相転 移後 上 向 確率 下 向 確率 異 y s s s 表 s i 確率 確率分布 性 性 現 作 方 分 次元正方格子 以外 一般的 計算 使 最近 乱数発生 容易 行 通常 比 優位 分 決定論 従 系 統計力学系 構成 示 時間反転可能 時刻 状態 分 過去 未来 完全 決定 確率的 相転移 方程式 a 成長 制御 実数 秩序変数 系 相転移 記述 系 自由 磁化 秩序変数u 展開 系 対称性 x 偶数 現 F Z au bu D ru dx 相転移 非保存系 du dt F u au bu Dr u 式 時間 依存 相転移 温度以上 a u 一様 解 近 相転移温度以下 a 定常解u a b 近 a 相転移点 表 a a T c T 秩序変数 T c T 増大 乗則 平均場近似 指数 等価 系 対称性 秩序変数 正 負 安定点 持 力学 系 言葉 双安定系 一様 系 急冷 相転移以下 u 正 負 競合 起 大 空間次元 次元以上 表面張力 支配 成長 時間t 乗 多 相転移 詳 研究 系 双安定系 大域 大 示 非線形系 制御 制御 応用 視野 入 最近 研究 次 0 100 200 300 400 050100150200 t x a 1 0 5 0 0 5 1 050100150200 u x b Figure a 共存系 b 共存系 元系 大域 次 u t u u K hui c u x 右辺 第 項 項 K hui L R L udx u 平 均値 表 c 定数 u 双安定系 u u 分 hui c 大 u u 分 界面 u 大 方向 動 hui 小 逆 hui c 小 界面 u 成長 方 移動 hui 大 hui c 近 結果 u c L 落 着 逆 言 u L c 置 任意 共存系 大域 系 実現 上 系 双安定系 用 重安定系 場合 大域 項 導入 相 好 比 次 u t au u u e u x 用 重安定点 得 特 重点 a e 安定点u p 自由 F au u u eu 等 安定状態 大域 項 導入 u t u u hui c hu i c u u x 重 安定定常状態 hui c hu i c 得 u p 長 l u 長 l 50 100 010203040506070 x a 0 20 40 60 80 020406080 0 50 100 150 200 250 300 350 0100200300400 x c Figure a 共存系 b 共存系 hui p l l L c hu i l l L c 逆 c c 選 望 比 安 定共存系 得 図 a 安定共存状態 図 b 安定共存状態 表 b 階層的 合金 相分離過程 相転移転移以下 一様混合相 相 分離 際 金属元素 量 保存 相転移 保存系 方程式 Cahn Hilliard方程式 du dt r au bu Dr u 相 体積分率 大 違 液滴状 小 生成 成長 見 多 小 間 種 競合 起 次元以上 表面張力効果 小 蒸発 成分 拡散 大 付近 輸送 大 大 成長 Lifshitz Slyozov 競合成長過程 詳 解析 数 t 減少 見 表面物理 分野 似 現象 見 面 小 指 数 面 面 微斜面 面 微斜面 本来 的 損 面 界面 平均角度 保存 保存系 微斜面 面 大 角 度 界面 相分離 傾向 特 Si 面 近 微斜面 外 表面 沿 電流 流 微斜面 不安定化 微斜面 相分離 起 実験的 知 見 原子 層 段差 束 大 群 生成 大 角度 斜面 間隔 長 部分 平 界面 対応 平 面 大 角度 斜面 相 分離 見 等間隔 並 不安定化 見 実験 平 面 長 t 増大 観測 時間 則 進 階 層的 呼 簡単 階層的 次元 作 位置 y i 運動方程式 dy i dt f y i y i f y i y i f l 間 力 簡単 f l l a l l十分近 f l l 反発力 働 反発力 融合 l l 大 力 計算 簡単 l 比例 実際 必 一方向向 運動 考慮 l 大 l 比例 項 等間隔 並 解y i l i 不安定化 直接数値計算 隣 大 束 階層 的 起 分 図 a 時間発展 示 系 平 面 幅 対応 間隔 図 b t 比例 増大 分 間隔l i y i y i 関 式 連続体近似 l t x U l l D l x Cahn Hilliard 式 U l l a l 双安定 l t 時間発展 違 系 次元 双安定 間 競合 非常 進 今 系 l t 小 状態 l t 大 平 面 分 l t 大 状 見 幅 変 高 様 分布 図 c 群 競合的時間発展 示 小 小 成分 拡散 大 吸 収 競合成長過程 駆動力 表面張力 Lifshitz Slyozov 解析 次元系 起 解釈 連続 高 t 比例 増大 振動子集団 引 込 相転移 a 位相振動子 非線形 典型例 振動 定常状態 分岐 振動 力学 講義 習 単振 子 異 時間 十分 初期値 一定 振幅 周期 近 散逸系 振動 振動 電 気回路 発振 心臓 拍動 振動 振動 特徴的 性質 引 込 現象 同期現象 周期 異 結合 周期 現象 Figure a 振動数分布 b 振動数分布 Figure 接合系 最初 時計 同期現象 発見 心筋 細胞 同期 振動 拍動 作 脳波 脳 神経細胞 弱 同期現象 生 強 同期発振 制御 状態 具合 悪 脳 中 視覚野 海馬 呼 部分 同期現象 脳 情報処理 役立 説 多数 同期現象 Winfree 最初研究 後 蔵本先生 位相 提案 d i dt i K N N X j sin j i K 結合強度 各振動子 固有振動数 i 平均場結合 位相 熱平衡系 秩序無秩序相転移 相 転移 示 実際 磁性体 平均場近似 似 方法 解 求 K K c以下 各振動子 振動 K K c 何割 振動子 平 均振動数 同期 振動 秩序変数 N P exp i j 20 10 0 10 20 20 1001020 y x a 20 10 0 10 20 20 1001020 y x b Figure 結合 系 j j K K c K K c 増加 朱 交 赤 集団内 集団 巻 表 上 位相 変形版 後詳 研究 上 平均振動数 引 込 傾向 実際 同期現象 高 振動数 同期 効果 取 入 考 d i dt i K N N X j sin j i 位相 変調項 同期 結果 振動数 平均振動数 高 平均場近似 解 図 a 元 同期後 振動数分布 振動数 振動子 多数生 振動数 分布 関数状 部分 生 同期振動数 元 振動数 平均値 図 b 系 振動数分布 平均振動数 高 振動数 引 込 分 素子 外 電流 流 臨界電流以上 発振 交流 効果 呼 素子 LCR回路 中 多数直 列 発振 同期 図 一様 素子 多数直列 系 電圧 標準 決定 利用 素子 直列結合系 素子 対 RSJ 用 Wiesenfeld 近似的 解析 実効的 容量 無視 上 含 位相 近似 示 成分 入 数値計算 行 式 値 効果 正負 符号 含 大 変化 示 単独 素子 発振 定常状態 双安定 多数 素子 結合 系 同期 秩序変数 同 連続的 変 示 Figure 振動子格子 a 次元系 b 次元系 b 振動子集団 同期 位相振動子 単独 正弦波的 振動 均一 系 完全 同期 自然振動数 不均一 熱 入 同期非同期転移 起 振 動子 場合 単独 不規則運動 均一 系 結合 強 振動 状態 同期 同期 強 結合 完全 運動 現象 見 弱 結合 場合 振動 振幅 一致 位相 位相同期 系 鋭 系 見 同一 系 多数 平均場的 結合 系 数値計算 行 結合 強 秩序無秩序相 転移 見 示 図 a 結合 弱 時刻 N個 系 X i Y i 運 動 上 均一 分布 図 b 結合 強 位相同期 位相分布 狭 X i Y i 扇形領域内 分布 状態 平均値 N P X j 振動 示 c 振動媒質 同期現象 Figure 振動子媒質 非同期転移 a 相図 b 非同期時 振動 様子 位相振動子 格子上 局所的 結合 有限次元系 引 込 現象 調 方程式 d i dt i K X j sin j i 和 最近接格子点 取 次元系 次元系 同期 局所的 結合強度K 大 同期 図 成長 図 a 次元系 K 変化 時 振動数 描 同期 内 振動数 隣 間 振動数 飛 見 取 次元系 同期 隣 合 振動子 図 描 K 同期 成長 次元系 臨界現象 起 振動子系 次元系 引 込 相転移 生 熱平衡系 相転移 類推 考 系 次元 臨界次元 以上 平均場 引 込 相転移 生 考 格子上 振動子 離散的 離 同期非同期現象 無理 偏微分方程式系 連続系 同期非同期転移 起 疑問 生 非同期 振動数 不連続 空間連続性 必要 非一様 方程式 用 非同期化 調 W t i x W jWj W D W x x 領域 考 W W Re i t 複素変数 自 然振動数 x x x x 0 0001 0 01 1 110100100010000 0 50000 100000 150000 0 Figure a b 臨界時 大 分布 c 発生 時間発展 結合 D 時 x W e i t x W e i t x 完全 不連続 D D 相 図 図 a D 大 連続性 非同期性 合 W 振動停止 大 状態 D 小 W 解 分岐 振動 始 振動 W x cos t iA cos t sin t cos x x 右回 x 左回 楕円軌道 x 近 楕円 x 水平 振動 時 振動 様子 ReW x ImW x 図 b 示 x 周期的 原点 位相 定義 点 通過 W 空間連続性 振動数 非同期性 両立 解 d 振動 自己組織化臨界現象 振動 分岐近傍 正弦波振動 近 形 一般 変動 小 急 変動 大 繰 返 弛緩振動 型 振動 多 寺 振動 典型的 弛緩振動 閾値 動 閾値 越 急 変化 元 状態 神経細胞 発火振動 一様 滑 不安定化 発振 滑 状態 静止状態 繰 返 振動 生 黒板 音 出 振動 地震 断層 滑 起 振動 起 地震 周期的 起 傾向 地震 規模 関 発生頻度 乗則 従 則 知 分布 分布 標準偏差 特 決 特徴 熱平衡統計力学 空間相関 長 発散 次相転移点 臨界点 分布 観測 駆動 非平衡系 特 臨界条件 外 与 自然 臨界状態 向 傾向 Bak等 予測 現象 自己組織臨界現象 呼 Bak等 砂山 砂山 崩 起 大 分布 従 地震 則 自己組織臨界現象 見 議論 Langer等 次元的 数値計算 一度 数 分布 調 数 比較的小 分布 従 大 比較的大 示 変形 系 計算 行 図 a 模式図 示 摩擦面 状態 流動体的 固体 的 関 導入 速 度 変化 用 具体的 d x i dt K x i x i x i F i v i d i dt i i i v i D i i i i N i 摩擦面 流動状態 表 N 系 規則的 振動 N 大 系 一様 状態 状態 相転移的 変化 分 相転移点 大 分布 分布 相転移点 Langer等 見 小 的 大 周期的 同程度 大 起 分 自己組織臨界現象 起 通常 相転移系 近 振 舞 見 系 力学系 散逸力学系 起因 考 図 b 臨界点 大 分布 示 図 c 発生 時間経過 示 Bak等 自己組織臨界現 象 見 仮定 粒子数 保存則 大 思 散逸構造 位相 a 振幅方程式 空間的 持 系 熱平衡 離 熱平衡状態 質的 異 状態 転移 非平衡系 散逸構造 呼 上下 温度差 付 生 対流 例 温度差 小 熱伝導 熱 伝 対流状態 流体 流 生 流 熱 伝 化 学反応 BZ反応 呼 酸 酸化反応 化学反応 時 間的 振動 波動 伝搬 一様定常状態 温度差 外 部 変化 最初 起 不安定性 不安定化 波数 有限 振動数 有限 組 合 大 分 Figure 向 異 進行波 周期 a 次元系 点線 実線 jW r j W l j b 次元杉綾模様 目 波数k 振動数 場合 異 一様定常状態 転 移 方程式 表 熱的相転移 範疇 入 目 波数 有限 振動数 場合 対流 定常 空間 生 目 波数 振動数 有限 場合 一様振動状態 生 空間的 広 分岐 目 波 数 振動数 有限 場合 波動 形成 転移点近傍 新 状態 特徴 変数 小 様 近似法 秩序変数 振幅 対 方程式 導 方程式 振幅方程式 呼 章 方程式 似 形 一様定常解 転移 関 振幅方程式 方程式 W t W W r W 定常 転移 関 振幅方程式 対称性 異 一番単純 熱対流 状 転移 関 Newell Whitehead方程式 得 簡単 方向 考 複素変数 W 関 方程式 W t W jWj W W x 一様振動状態 転移 関 係数 複素数 複素 方程式 得 W t W ic jWj W ic W x 波動状態 転移 関 右 進行 波動 左 進行 波動 生 間 結合 考 結合複素 方程式 得 W r t W r f ic jW r j g ig jW l j gW r ic W r x W l t W l f ic jW l j g ig jW r j gW l ic W l x 関 Cross Newell 詳 波動 関 空間微分項 無視 g 時 進行波解W r W l W r W l g 時 定在波動解W r W l 得 分 空間微分項 影響 考慮 進行波 定在波間 転移 複雑 場合 右進行波 左進行波 空間的 周期 的 交互 場合 示 液晶 異方的 系 向 違 斜 進行波解 交互 杉綾模様 液晶 電気対流 杉綾模様 実際 観測 模 様 上 違 図 式 計算 空間的 左右 波 交互 優勢 例 b 位相方程式 一様定常状態 転移以外 場合 振幅方程式 複素変数 使 解 W x t exp i W 位相 解 持 空間 場合 位置 一様振動 場合 時間 対応 解 一般化 位相状態 変動 摂動 関 位相方程式 導出 線形位相方程式 t D 拡散方程式 形 D 正 場合 摂動 緩 和 規則的 空間 時間振動 場合 D 負 位相変調 増大 位相不安定性 不安定性 進行 線形方程式 系 発展 記述 非線形位相方程式 重要 蔵本先生 一様振動解 位相変調 対 Kuramoto Sivashinsky方程 式 導出 t x x x Kuramoto Sivashinsky方程式 時空 示 方程式 詳 研究 同様 定常 対 位相変調 対 非線形位相方程式 導出 t x x x x 位相不安定性 不安定性 呼 不安定性 進 空間周期 構造 周期 詰 開 非線形位 相方程式 数値計算 不安定性 有限 発散 分 実際 実験 不安定性 有限 最終的 空間周期構造 違 状態 移行 場合位相方程式 記述 破綻 Kuramoto Sivashinsky方程式 場合 解 有限 一様振動解 振幅方程式 複素 方程式 数値 計算 位相不安定性 弱 Kuramoto Sivashinsky方程式 近似 位相乱流状態 不安定性 強 振幅jWj 近 変動 振幅乱流状態 状態 Kuramoto Sivashinsky方程式 位相記述 破綻 0 1000 2000 3000 4000 5000 050100 150 200 250 300 350 t x Figure a 不安定 方程式 時間発展 b 位置 関 時間発展 波動 関 非線形位相方程式 導出 場 合 右進行波 対 位相 r 左進行波 対 位相 l 結合方程式 得 結合方程式 液膜流 不安定性 記述 方程式 結合系 形 一方向進行波 時 結合項 方程式 時空 a Kuramoto Sivashinsky方程式 不安定 方程式 少数自由度 研究 非常 盛 行 後 空間自由度 含 時空 研究 行 自由度 大 時空 本 質 Kuramoto Sivashinsky方程式 x微分 用 形 研究 多 u t u x u x u u x Kuramoto Sivashinsky方程式 時空 生成 一番簡単 偏微分方程式 系 知 様 系 理論的 式 導出 方 程式 従 現象 実験例 多 Sivashinsky 最初導出 燃焼波面 不安定性 実験例 波数k p 変 動 線形成長率 最大 付近 構造 比較的 構造 生成消滅 系 特徴 構造自体 非線形項 形 流体力学 出 移流項 形 時空 Kuramoto Sivashinsky 方程式 持 長波長安定性 対称性 保持 不安定 方程式 計算 衝撃波 対 流体力学 知 方 程式 長波長成分 不安定 項 付 加 方程式 時間発展 同様 生成 方程式 0 2 4 6 8 10 00 050 10 150 20 250 3 k 3 2 1 0 1 2 3 0100200300400 u x Figure a KS方程式 構造 点線 時刻 u x t 実線 長時間平均 b 振幅 自己相関関数 求 有効粘性係数 互 融合 数 減 間 間隔 大 長波長 不安定項 導入 間 間隔 広 新 自発的 生成 結果 生成 融合 繰 返 時空 幅 間隔 大 異 生成融合 描像 明瞭 見 位置 関 簡単 方程式 生成消滅過程 力学的 表 図 a 不安定 方程式 時間発展 表 図 b 位置 関 簡単化 方程式 数値計算 結果 近 融合 離 中間 新 計算 Kuramoto Sivashinsky方程式 大 Kuramoto Sivashinsky方程式 KS方程式 時空 統計的 詳 研 究 上 構造 大 大 着目 統計的 KPZ方程式 t x x x t 微分系 noisyBurgers方程式 u t u x u u x x t x 同 推測 x t KPZ方程式 界面 成長 研究 noisyBurgers方程式 流 体力学系 研究 繰 込 群 用 研究 長波 Figure 流 場 結合系 a 振動 図 違 時刻 b 時空 長 則 従 項 大 方程式 境界 段差 付 系 大 tanh型 構造 予想 微分型 Kuramoto Sivashinsky方程式 境界条件u U u L U 数値計算 段差U 小 時空 消 u x t 長時間平均 U 大 u x t 長時間平均 U tanh x L 近似 分 構造 幅 有効粘性 eff 見積 数値計算 結 果 有効粘性 幅 大 幅 大 有効粘性 程度 分 値 従来言 有効粘性 値 元 周期境界条件 KS方程式 長 波長成分 時間相関係数 計算 有効粘性 見積 波長 大 程度 近 分 時空 系 段差 付 外力 対 応答 外力 性質 対応 線形応答関係 成 立 示 唆 思 b 複合場 時空 熱対流 定常 対 振幅方程式 関数 持 定常 解 向 性質 温度差 大 換 欠陥 生成 消滅 含 時空 実験 見 振幅方程式 時空 化 熱対流 実験 化 起 粘性 小 流体 対 系 大 流 誘起 流 構造 結合 時空 起 方程式 Siggia 等 提案 数値計算 欠陥 生成 乱流 確認 緩和 遅 場 振幅方程式 動 方程式 結合 長波長 強 化 起 考 液晶 電気対流 甲斐先生等 実験的 詳 研究 電圧 上 FluctuatingWiliiamsDomain 欠陥乱流 0 100 200 0100200 Figure 配向場 結合系 時空 生 知 液晶 電気対流 理論的 Kramer等 詳 研究 液晶対流系 対 流 場 振幅方程式 複雑 結合方程式 提案 簡略 数値計算 構造 横方向 振動 化 欠陥 生 見 振動生成 簡単 方程式 出 定量的 解析 流 場 時空 化 原因 言 切 実験 様子 横方向 振動的 運動 時空 基礎的 運動 見 図 a 振動 表 図 b 時空 状態 通常 液晶 電気対流 液晶分子 上下 壁 水平 配置 垂直配向 配向 系 電圧 上 液晶 分子配向 一部傾 傾 向 任意 電圧 上 電気対流 生 時 分子配向 向 形 成 傾 方向 任意 向 変 自由 度 遅 変数 対流 起 同時 変 動 時空 観測 甲斐先生 Softmodeturbulence 呼 遅 結合 化 例 考 分子配向 向 自由度 複素変数 方程式 表 対流 Swift Hohenberg方程式 化 数値計算 W t W jWj W r W u x i u y u x W x u y W y u t u u r u W x u x W x W y u x y W y u y 結合 W 向 向 任意 向 結合係数 正 向 W 垂直方向 取 傾向 逆 W 向 平行方向 傾向 互 好 方向 x軸 向 W x方向 W x方向 0 50 100 150 050100150 0 50 100 150 050100150 0 50 100 150 50100150 0 50 100 150 50100150 Figure 位置 操作 対消滅 過程 y方向 向 関 種 結果時空 生 図 数値計算 時空 状 態 様 向 生 変動 渦巻 静止 回転 拡大 縮小 動 感 図形 回転 半径方向 変換 元 戻 対称性 起因 思 渦巻 吸 込 想像 非平衡系 形成 中 BZ 反応 知 種 粘菌 形成 一様振動解 関 振幅方程式 複素 方程式 解 中心点 周 周 位相 位相欠陥 中心 位相波 伝播 結晶成長 転位 周 状 結晶成長 進 成長 結晶成長 重要 成長様式 考 BZ反応 多 生成 実験 位置 動 見 我 複素 方程式 位相 欠陥 用意 運動 調 複素係数 実数 場合 形 成 右回 左回 欠陥対 互 引 合 同方向 欠陥対 反発 一般 複素係数 場合 逆向 欠陥対 距離 近 引 合 消滅 度程度引 離 反発 通常 BZ 反応 共存 振動 速 次第 領域 増大 Figure 除去過程 知 複素 系 自然振動数 局所的 高 領域 作 中心 自然振動数 十分大 振動数 大 逆 領域 増大 領域 近 動 出 最終的 計算領域 出 行 反応拡散系 方程式 FitzHugh Nagumo 神経軸 策中 伝播 説明 方程式 提案 方程式 次 元 興奮 一定 速度 伝播 次元系 伝播 状 方程式 u t u u r u v a x y v t u v 用 移動 示 u 式 中 a 大 変 興奮性 変 付近 a 局所的 状 低 領域 状態 移動 引 移 動 図 逆回転 最初離 上 方法 移動 最終的 対消滅 位置 光感受性 BZ反応 光 使 位置 考 細胞以外 多 心筋細胞 興奮性媒質 考 神経細 胞 興奮 異 特徴 回 興奮 持続時間 興奮 頻度 心拍数 変化 点 化 方程式 Aliev Pan lov 不安定化 自発的 生成 時空 生 知 系 数値計算 不安定化 脈動不安 定性 幅 興奮 持続時間 振動 不安定性 示 0 1 2 3 68101214 x 2 1 0 1 2 05101520 x Figure a 振動系 局在 b 空間周期 c 次元局在 脈動 周期付近 振動数 強制振動外力 加 時 空 状態 除去 示 図 初期 状 態 系 周期外力 静止状態 例 示 心臓 心拍 異常 不整脈 呼 空間的 不規則 時間的 不規則 速 心拍異常 心室細動 呼 緊急処置 必要 重篤 不整脈 人 心室細動 関係 必 明 時空 制御 現実 問題 例 局在 a 局在散逸構造 空間的 局在 散逸構造 水 種類 流体 混合流体 熱対流 進行波動 散逸構造 定常状態 進行波状態 中間 局在進行波 実験的 観測 粉体 鉛直方向 空間周期 得 定常状態 中間 局在振動状態 得 複素 方程式 係数 純虚数 保存 非線形 方程式 非線形 方程式 解 空間的 局在 解 保存系 解 振幅 速度 任意 値 取 複素 系 係数 虚数 近 実部 虚部 比 小 的 解 得 期待 Fauve 次 複素 系 数値計算 一定振幅 解 見 同様 次 複素Swift Hohenberg系 一 定速度 伝播 解 定在 解 見出 成分流体 対 流 局在進行波 対応 解 次 複素 方程式 振動項 W 複素共役W 付 加 式 W t i W ic jWj W ic W x W 数値計算 空間周期解 局在振動解 得 特 c c 場合 sech型 厳密解 得 振動系 局在解 粉体振動層 局在 関連 思 図 系 空間周期解 局在解 次元系 局在 示 液晶 電気対流 電圧 大 呼 格 子状 領域 振動 局在 得 佐野先生等 実験 見出 空間周期構造 振動不安定化 振幅方程式 Coullet等 導 出 振幅方程式 W t ic W ic jWj W ic W x i x W t x jWj i W x W W W x x 数値計算 局在 対応 得 対応 sech型 厳密解 得 局在散逸構造 拡散項 進行速度 一定値 近 速度 動 一定 進行速度 持 接近 部分 光 中 散逸 想定 空間微分 係数 実部 結合複素 方程式 数値計算 振幅 一定値 進行速度 任意 値 取 局在 解 得 b 非線形 方程式 方程式 代表例 詳 研究 特 光 中 非線形 方程式 記述 光 使 高密度光通信 可能性 詳 研究 近年 凝縮体 研究 高 中 BEC 凝縮体 実験的 見出 BEC凝縮体 磁場 光 閉 物質波 従 方程式 中 非線形 方程式 i t x j j U x 簡単 定数 質量 有効原子間力 非線 形項 係数 狭 幅 領域 U 持 壁 散乱 数値計算 行 壁 高 U 大 非線形項 効果 小 量子力学的 振 舞 見 U 小 分裂 透過 反射 見出 透過 反射 境 臨界運動 0 50 100 150 01020304050 t x a 0 50 100 150 01020304050 t x b Figure 散乱 a 反射 b 透過 現象 壁 高 U 小 見出 運動 U 以下 全部 粒子 壁 通 抜 効果 表 通 赤信号 手 渡 心理的 壁 低 図 反射 透過 様子 示 周期的 中 研究 近年盛 行 周期 的 中 方程式 基本解 態 非線 形性 状態 生成 特 付 近 状態 有効質量 負 有効質量 負 空 間的 変化 調和 中 運動 数値計算 結 果 上 凸 反閉 込 中 調和振動 下 凸 本来粒子 閉 込 調和 中 加速度的 逃 質量 負 粒子 振 舞 質量 負 粒子 現実 BEC系 観測 面白 思 成長 非線形非平衡系 物理 樹枝状結晶 DLA 拡散律速凝集体 研究 盛 行 熱平衡条件 離 過冷却 液体 結晶化 形態形成 問題 数学的 動 界面 対 問題 一例 難 問題 針状結晶 成長速度 先端曲率 関係 年代 放物界面 先端曲率 選択問題 解 先端曲率半径 成長速度v 間 v 一定値 関係 過冷却度 成 立 最大 成果 DLA 年代 物理 系 詳 研究 拡散律速凝集系 次元 系 種類 一定値 次元 程度 実際 電解析出 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0100200300400500600 Figure a 結合写像 回対称樹枝状形態 b 線上 成長 0 50 100 150 200 250 300 0100200300400500600700 Figure 先端振動 樹枝状 金属葉 空気 押 込 系 DLA状 得 結合写像系 phase eldmodel 呼 偏微分方程式系 成長 作 結合写像格子 界面 x n i x n i c T c u n i u n i u n i c T c u n i 形 写像 時間発展 i 格子点 位置 表 u 温度場 x 結晶 化度 表 c 比例 比例 項 結晶化 際 潜熱 発生 表 写像 熱拡散方程式 離散系 交互 時間発展 成長 系 異方性 写像 置 格子 種類 決 写像系 簡単 短時間 正方形 DLA状 DBM 密 分岐 樹枝状 作 図 作 雪 回対称 線上 成長 競合 示 上 結合写像系 簡単 意味 定量性 欠 面 phase eldmodel 界面張力 本来 Figure a 競合進化 性質z 分布 z 大 方 進化 b 進 化速度 競合度 a 関係 結晶成長 対応 特 Karma等 改良 phase eldmodel 使 計算 使 樹枝状 先端振動 針状形態 結 合 安定化 研究 行 樹枝状形態 横枝 生成機 構 増幅 説 有力 本庄先生 塩化 樹枝状結晶 実験 成長方向 変化 近傍 規則的 振動成長 見出 振動 結果 横枝 規則的 条件 定常成長 不安定化 振動成長 可能性 成長方向 変化 現象 再現 図 成長方向 変 付近 見 規則的 先端振動 先端付近 温度場 的 振動 示 確認 溝 構造 先端振動形態 見 進化 形成 非線形力学 研究 生物系 経済 複雑 系 展開 一般 複雑系 総称 物理学会 統計力学 分野 物理学 講演 複雑系 研究 非線形 不 安定現象 一例 計算 a 進化 生物 進化 突然変異 生存競争 結果起 進化 論 進化 赤 女王 進化 呼 進化形態 説 足 速 獲物 敵 容易 逃 適応力 高 生 逆 足 速 捕食者 獲物 取 適 応力 高 生存競争 勝 互 足 速 競争 勝 足 速 進化 止 常 動 強 鏡 国 中 赤 女王 言葉 呼 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 050100150200 i 0 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 050100150200 i Figure a 中間規模 階層構造 b 全域 階層構造 定向進化 実際 起 議論 力学 使 計算機中 過程 起 示 dx i dt x i f i c D X x j x i 書 x i i番目 種 f i 適応度 D 突然変異 j i 変 割合 示 c 総和 一定 制限 項 互 競合 D 最大適応度 持 生 赤 女王 型 進化 考 競合 種 考 種内 足 速 z 量 異 分布 y z t y z f z c D y z z y z t y z f z c D y z z 被食者 獲物 種 関 捕食者 z 大 z 持 適 応度f z 大 f z 形 仮定 f z a R z y z dz 捕食者 適応度 同様 仮定 実際 計算 見 図 a z 分布 状 一定速度 z 大 移動 型 進化 捕食被食関係 種間 互 同等 競合関係 種間 互 相手 出 抜 一定速度 進化 起 互 力関係 接近 競合 強 進