高等数学教案--一元函数微积分学.pdf

高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 67 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 教学内容教学内容 导数的概念 函数的求导法则 高阶导数的定义及求法 隐函数及含参数方程的 函数的求导 相关变化率 函数的微分 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 曲率 教学目标教学目标 1 使学生理解导数的概念及会利用定义求导数 2 使学生掌握函数的基本求导 法则 3 使学生熟练应用基本求导公式计算函数的导数 4 使学生理解高阶导 数的定义并能进行计算 5 使学生掌握一般隐函数及一般含参数方程的函数的 求导方法 6 使学生理解微分概念 并会进行计算 7 使学生掌握罗尔定理 拉 格朗日中值定理 柯西中值定理的条件及结论 了解三个定理之间的关系 理解 罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义 并会利用罗尔定理 拉格朗日中值定 理 柯西中值定理 泰勒公式证明有关命题和不等式 8 使学生掌握运用罗必塔 法则求极限的方法 9 使学生掌握函数增减性的判定方法 使学生掌握函数凹凸性 的判定方法 10 使学生掌握函数的极值及其判定法 会求最大最小值问题 11 使 学生掌握利用导数研究函数性态和描绘函数图像的方法 教学重点教学重点 导数的概念及求导法则 高阶导数的定义 隐函数及含参数方程的函数的求导 法则 函数的微分 微分中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 教学难点教学难点 导数的概念及求导法则 隐函数及含参数方程的函数求高阶导数 微分中值定 理的应用 利用导数研究函数性态 课时安排课时安排 22课时 其中习题课4课时 2 1 导数的概念导数的概念 2 1 1 导数问题的提出导数问题的提出 课题引入 问题课题引入 问题 1 平面曲线切线的斜率 1 切线定义切线定义 设点 000 yxM是曲线 xfyC 上 的一点 当自变量x由 0 x变到xx 0 时 在曲线上得到 另一点 00 yyxxM 如图 2 1 当0 x时 M 点沿曲线移动而趋向于 0 M点时 这时割线MM0以 0 M点 为支点逐渐转动而趋于一极限位置TM0 直线TM0就称 为曲线C在M点处的切线 图 2 1 2 下面求切线的斜率k 设割线MM0与x轴的夹角为 切线TM0与x轴的夹角为 则有 x y x xfxxf k xxx 0 00 00 lim limtanlimtan 1 其中 00 xfxxfy 问题问题 2 变速直线运动物体的瞬时速度 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 68 设物体沿直线作变速运动 运动开始时 0 t 物体M位于原点O如图 2 2 物体所走过的路 程s显然为时间t的函数 tss 称为位置函数 经过一段时间 0 t之后 物体到达点 0 M 下面求 物体在时刻 0 t的瞬时速度 若物体作匀速运动 则速度速度 所花的时间 经过的路程 但现在是作变速直线运动 物体每时每刻的速度 是不相同的 而对非匀速运动 上述公式表达的是在时间段的平均速度 而不是某时刻的速度 求瞬时速度的想法是 瞬时速度瞬时速度 平均速度当时间间隔无限缩小时的极限平均速度当时间间隔无限缩小时的极限 先求平均速度 给时间 0 t一个增量t 当时间t由 0 t变到tt 0 时 物体由点 0 M到达点M 对应于时间t的增量t 物体所走路程s有相应增量 00 tsttss 从而在 0 t到tt 0 这段时间内的平均速度平均速度V为为 t s t tstts t s V 00 图 2 2 当0 t时 V趋于一确定的极限值 该值就是物体在时刻 0 t的瞬时速度瞬时速度V 即 t s t tstts V tt 0 00 0 lim lim 2 2 1 2 导数的定义导数的定义 1 xf在点在点 0 x处的导数定义 处的导数定义 定义定义 1 设 xfy 在 0 x的某邻域 0 xU内有定义 当自变量x在 0 x处取得增量x 时 且 00 xUxx 相应地函数y取得增量 00 xfxxfy 如果 x y x 0 lim x xfxxf x lim 00 0 3 存在 则称函数 xfy 在点 0 x处可导 并称这个极限为函数 xfy 在点 0 x处的导数 记为 0 xx y 或 00 0 xxxx dx xdf xf dx dy 若 3 式中的极限不存在 则称 xf在点 0 x处不可导 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 69 导数的定义式 3 可取不同形式 在 3 中令xxx 0 得 0 xx y 0 0 lim 0 xx xfxf xx 4 也可写成 0 xx y h xfhxf h lim 00 0 5 5 式中的h即自变量的增量x 注注1 如果不可导是因为当0 x时 比式 x y 为了方便起见 往往说函数 xfy 在 点 0 x处的导数为无穷大导数为无穷大 注注 2 x y 是因变量y在以 0 x和xx 0 为端点的区间上的平均变化率 而导数 0 xx y 则是因 变量y在 0 x处的变化率 它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 例例 1 求函数 3 xxf 在2 0 x处的导数 解解 1223 22 lim 2 2 lim 2 2 lim 2 222 2 33 22 xx x x x fxf f xxx 或 x x x fxf f xx 33 00 2 2 lim 2 2 lim 2 1223 3 623 lim 222 0 x x 若将上例中在2 0 x处的导数改为在任一点 x处的导数 则有 x xxx x xfxxf xf xx 33 00 lim lim 222 0 3 33 limxxxxx x 由此可见 对 3 xy 定义域内任任一点 x处的导数存在 且导数值为 2 3 xxf 这样由函数 3 xy 产生了另一个函数 x f 称为原来函数的导函数 2 xf在开区间在开区间 ba上可导上可导 定义定义 2 若 xf在开区间 ba上每一点处可导 则称函数 xf在开区间 ba上可导 这 时对 x ba 都对应着 xf的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数 这个函数称为 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 70 原来函数 xfy 在区间 ba上的导函数 简称为导数 记为 y 或 x f 或 dx xdf dx dy 即有 y x xfxxf x lim 0 或 h xfhxf y h lim 0 注意注意 导函数是一个函数 而函数在某一点处的导数是一个实数 它是导函数在该点处的函数 值 即 0 0 xx xfxf 例例 2 求函数Cxf C为常数 的导数 解解 0lim lim 00 h CC h xfhxf xf hh 即 0 C 常数的导数等于零常数的导数等于零 例例 3 求函数 n xxf Nn为正整数 在ax 处的导数 解解 x xxx x xfxxf xf nn axx lim lim 0 2 1 lim 1121 0 nnnn x nxxxx nn nxL 得 1 n nxxf即 1 nn nxx 1 n ax n nax 对于一般的幂函数 xy R 的的导数公式 1 xx 例如 当 2 1 时 0 2 1 xxxy的导数为 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 xxx 即 x x 2 1 当1 时 0 1 1 x x xy的导数为 2111 1 xxx 即 1 1 2 xx 例例 4 求函数xxfsin 的导数 解解 h xhx h xfhxf xf hh sin sin lim lim 00 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 71 2 sin 2 cos2 1 lim 0 hh x h h x h h h x h cos 2 2 sin 2 coslim 0 即 xxcos sin 正弦函数的导数是余弦函数正弦函数的导数是余弦函数 用类似的方法 可求得xxsin cos 例例 5 求函数 x axf 1 0 aa 的导数 解解 h aa h xfhxf xf xhx axh lim lim 0 h a a h ax x 1 lim 又 t a t a t h h ax t t t ta h a 1 00 1 log 1 lim 1 log lim1 1 lim a e t a t t a ln log 1 1 limlog 1 1 0 从而有 aaxf x ln 即 aaa xx ln 特殊地 当ea 时 因1ln e 故有 xx ee 这里同时证明了 0 ln 1 xaxa x 上式表明 以e为底的指数函数的导数就是它自己 这是以e为底的指数函数的一个重要的特 性 3 xf在点在点 0 x处的单边处的单边 左 右左 右 导数导数 因导数是用极限来定义的 极限有左 右极限的概念 因而导数相应地有左 右导数的概念 定义定义 3 设 xfy 在 0 x的一个右邻域内有定义 若 x xfxxf x lim 00 0 存在 则称此极限值为函数 xf在点 0 x处的右导数 记作 0 xf 即 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 72 0 0 0 00 0 0 lim lim xx xfxf x xfxxf xf xx x 类似地 有 xf在点 0 x处的左导数定义 0 0 0 00 0 0 lim lim xx xfxf x xfxxf xf xx x 由极限与左右极限的关系 可得 定理定理 1 xf在点 0 x处可导 00 xfxf 存在且相等 命题命题设 xf在 0 xU内除 0 x 外可导 在 0 x处连续 如果 lim 0 xf xx 存在且等于a 则 xf在 0 x处可导 且axf 0 即 lim 0 xf xx axf 0 定义定义 4 如果函数 xf在开区间 ba内可导 且 af 及 bf 都存在 则称 xf在闭区 间 ba上可导 例例 6 求函数xxf 在0 x处的导数 解解 0 f1lim 0 lim 0 0 lim 0 00 x x x x x fxf x xx 0 f 1lim 0 lim 0 0 lim 0 00 x x x x x fxf x xx 显然有 0 fQ 0 f 故由定理 1 知函数xxf 在0 x处不可导 例例 7 求 0 0 2 3 xx xx xf在0 x处的左 右导数 解解 0lim 0 0 lim 0 0 lim 2 0 33 00 x x x x fxf xxx Q 0lim 0 0 lim 0 0 lim 0 32 00 x x x x fxf xxx 0 0 0 ff 0 0 f 法 2 0 2 0 3 0 0 2 2 3 xx xx xf xx xx xfQ又 0 lim 0 xf x 0 0 f 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 73 定义定义 4 如果函数 xf在开区间 ba内可导 且 af 及 bf 都存在 则称 xf在闭区 间 ba上可导 四 导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义 1 设函数 xfy 的在点 0 xx 处可导 由问题 1 知 函数 xfy 在点 0 xx 处的导数 fx 0 在几何上表示曲线 xfy 在点 00 xfx 处的切线的斜率 切线的斜率 即 tan 0 x f 其中 是曲线过点 00 xfx 的切线的倾斜角 0 yy 因此 由公式 1 在对应区间 1 1 x内有 yy x cos 1 sin 1 arcsin 但 22 1sin1cosxyy 因为当 22 y 所以根号前只取正 号 从而得反反正弦函数的导数正弦函数的导数公式公式 2 1 1 arcsin x x 1 1 x 用类似的方法可得其它几个反三角反三角函数的导数函数的导数公式公式 2 1 1 arccos x x 1 1 x 2 1 1 arctan x x x 2 1 1 cot x xarc x 例例 7 求xy a log 1 0 aa 0 x的导数 解解因为 1 0 aaax y 在区间 y内单调 可导 且 0ln aaa yy 因此在对应区间 0 x内 有 aaa x yy a ln 1 1 log 但xa y 从而得到对数函数的导数公式 ax x a ln 1 log 特别地 x x 1 ln 2 2 3 复合复合函数函数求求导法导法则则 定理定理 5 设 xu 在点x处可导 而 ufy 在点 xu 处可导 则复合函数 xfy 在点x处可导 且 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 80 xuf dx dy 5 证证 给x一个增量x 则u有增量u 相应地y有增量y 由于 ufy 在点u可导 因此 lim 0 uf u y u 存在 于是根据极限与无穷小的关系有 uuf u y 其中0 lim 0 u u 上式中当0 u时 用u 乘上式两边 得 uuufy 0 6 当0 u时 规定0 这时因0 ufuufy 而 6 式右端亦为零 故 6 式对0 u也成立 用0 x除 6 式两边 得 x u x u uf x y 于是 x u x u uf x y xx limlim 00 根据函数在某点可导必在该点连续的性质及 xu 在点x可导 可得 当0 x时 0 u 从而有 0limlim 00 ux lim 0 x x u x 故 x u uf x y xx 00 lim lim xuf 根据上述的法则 如果 xu 在开区间 内可导 ufy 在开区间U内可导 且当 x时 对应的Uu 那么复合函数 xfy 在区间 内可导 且下式成立 dx du du dy dx dy 即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导 等于因变量对中间变量求导等于因变量对中间变量求导 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导 链链 式法则式法则 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 我们以两个中间变量为例 设 xvvuufy 则 dx du du dy dx dy dx dv dv du dx du 故复合函数 xfy 的导数为 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 81 dx dv dv du du dy dx dy 例例 8 求下列函数的导数 1 xy3sin 2 102 2 xxy 3 xylnarctan 4 x ey 2 sin 解解 1 记uyxusin 3 因此 3cos3x dx du du dy dx dy 2 记 2 10 2 xxuuy 92 2 41 10 xxx dx du du dy dx dy 做题熟练之后 中间变量可不写出 按照从外到内逐层求导法 此例可这样写 2 41 10 2 2 10 92292 xxxxxxxy 3 ln1 1 ln ln1 1 ln arctan 22 xx x x xy 4 x ey 2 sin 可看作由xvvuey u sin 2 复合而成 因此 xve dx dv dv du du dy dx dy u cos2 xx xexex 2 sin 2 sin 2sincossin2 sinsin2 sin 2 sin2 2 sin 2 sin xxexeey xxxx xe 2 sin 2sin 例例 9 设xysinln 求 dx dy 解 cot 2 1 cos sin 1 sin sin 1 sin lnx x xx x x x xy 例例 10 当 0 x时 证明幂函数的导数公式 1 xx 因为 lnlnxx eex Q所以 1lnln x x eex xx 小小结结 复合函数求导 如同剥竹笋 由外往里层层深入 直至殆尽 最后求它们的连乘积 例例 11 sinsin为常数nxnxy n 求 y 解解 首先应用积的求导法则 得 sinsinsin sin xnxxnxy nn 在计算 sin sin xnx n 与时 都要应用复合函数求导法则 由此得 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 82 xxnnxxnxny nn cossinsinsincos 1 cossinsin cossin 1 xnxxnxxn n 1sin sin 1 xnxn n 小结 小结 若函数构成中既有四则运算 又有复合运算 求导时 要先用四则运算求导法则 再用复合函数求导法则 例例 12 设 x 时 x exf 当0 x时 cos xxf 从而有 1coslim lim 0 1lim lim 0 0000 xxffexff xx x xx 因此 1 lim 0 xf x 存在 故1 lim 0 0 xff x 例例 13 设 0 0 sin 2 xx xx xf讨论 xf在0 0 x处的可导性 0 2 0 cos xx xx xfQ 解解显然 xf在0 x处连续 又当0 x时 cos xxf 当0 xxy x 的导数 解解 这函数既不是幂函数也不是指数函数 通常称为幂指函数 为了求这函数的导数 可以先在两边取对数 得 xxylnsinln 上式两边对x求导 注意到y是x的函数 得 x xxxy y 1 sinlncos 1 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 86 于是 sin ln cos sin ln cos sin x x xxx x x xxyy x 或 xxxx eexy x lnsinlnsin sin ln sin lnsinlnsin xxeey xxxx sin ln cos sin x x xxx x 对一般形式的幂指函数 xv xuy 0 xu 1 其中vu 是x的函数 如果vu 都可导 则可象例 4 那样利用对数求导法求出幂指函数 1 的导数如下 uvylnln 上式两边对x还应导 注意到vuy 都是x的函数 得 u u vuvy y 1 ln 1 于是 ln ln u uv uvu u uv uvyy v 幂指函数也可表示为 ln uv ey 这样便可直接求得 ln ln ln u uv uvu u u vuvey vuv 例例 5 求 x ex xx y 2 4 1 1 1 x 的导数 解解 先在两边取对数 得 xxxxy 4ln 2 1ln 2 1 1ln ln 上式两边对x求导 注意到y是x的函数 得 1 4 2 1 2 1 1 11 xxx y y 于是 x ex xx y 2 4 1 1 1 4 2 1 2 1 1 1 xxx 2 4 2 由参由参数方程数方程所确所确定的函数的导数定的函数的导数 一般地 若参数方程 ty tx 2 确定y与x间的函数关系 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 2 所确定的函数 在 2 式中 如果函数 tx 具有单调连续反函数 xt 且此反函数能与函数 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 87 ty 复合成复合函数 那么由参数方程 2 所确定的函数可以看成是由函数 xtty 复合而成的函数 xy 现在 要计算这个复合函数的导数 为此 再假定函数 tytx 都可导 而且 0 t 于是根据复合函数的求导法则与反函 数的导数公式 就有 1 t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy 即 t t dx dy 或 t t y 3 上式也可写成 dt dx dt dy dx dy 3 式就是由参数方程 2 所确定的x的函数的导数公式 如果 tytx 还是二阶可导的 那么从 3 式又可得到函数的二阶导数公 式 dx dt t t dx d dx dy dx d dx yd 2 2 1 2 tt tttt 即 32 2 t tttt dx yd 或由新的参数方程组 tx t t y 及公式 3 得 t t t tx ty y 3 t tttt 例例 6 设 1ln arctan 2 ty tx 求 2 2 dx yd dx dy 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 88 解解 t t t t t t dx dy 2 1 1 1 2 arctan 1ln 2 2 2 1 2 1 1 2 arctan 2 2 2 2 2 t t t t tx ty dx yd 例例 7 已知椭圆的参数方程为 sin cos tby tax 求椭圆在 4 t相应的点处的切线方程 解解 当 4 t时 椭圆上的相应点 0 M的坐标是 2 2 4 cos 0 a ax 2 2 4 sin 0 b by 曲线在 0 M的切线斜率为 sin cos cos sin 444 a b ta tb ta tb dx dy ttt 代入点斜式方程 即得椭圆在点 0 M的切线方程 2 2 2 2 a x a bb y 化简后得 0 2 abaybx 例例 8 求心形线 cos1 ar在 2 对应点处的切线方程 解解 先由极坐标方程导出曲线的参数方程 得 sin cos1 sin cos cos1 cos ary arx 0 2 aP所对应的点为 所求切线的斜率为 1 2sinsin 2coscos 22 2 d dx d dy dx dy 于是所求切线方程为xay 即ayx 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 89 2 4 3 相关变化率相关变化率 设 tx 及 ty 都是可导函数 而变量x与y间存在某种关系 从而变化率 dt dx 与 dt dy 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相相关关变化变化率率 相关变化率问题就是 研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例例 9 设正圆锥形容器高m8 顶面直径亦为m8 现以每分钟 4 2 m的速率将水注入 问当 水深为m5时 其水面上升速率是多少 解解 建立坐标系如图所示 设在时刻t容器中水深为 th 水面半经为 tr 锥内水的 体积为V 则 84 hr 得 2 th tr 从而得 12 3 32 ththtrtV 其中V及h都是时间t的函数 上式两边对t求导 得 4 2 dt dh th dt dV 已知min 4 3 m dt dV 设当 0 tt 时 水深 mth5 0 代入上式得 0 2 5 4 4 tt dt dh 所以 min 204 0 25 16 0 m dt dh tt 图 2 3 故当水深为m5时 其水面上升速率是min 204 0m 求导方法小结求导方法小结 1 利用定义求导数 利用定义求导数 2 求分段函数在其分段点处的导数方法求分段函数在其分段点处的导数方法 方 法方 法 1 先 用 定 义 求 出 xf左 右 导 数 0 xf 与 0 xf 然 后 再 由 0 xf 0 xf 是否成立来确定 xf在 0 x 处的导数 方法方法 2 利用下述定理求之 定理定理 设 xf在 0 xU除 0 x 外均可导 在 0 x 处连续 如果Axf xx lim 0 存在 则 xf在 0 x 处可导 且Axf 0 即Axfxf xx lim 0 0 由此得到 若 xf在 0 x 处左 右两边表达式相同 则直接验证 xf在 0 x 处 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 90 连续性 即 lim 0 0 xfxf xx 是否成立 再验证Axf xx lim 0 是否存在 若 xf在 0 x 处左 右两 边表达式不相同 则需考虑上面两个极限的左 右极限是否存 在且相等进行判别 3 利用基本公式求导数 利用基本公式求导数 4 利用导数四则运数法则求导数 利用导数四则运数法则求导数 5 利用复合函数求导法则求导数 利用复合函数求导法则求导数 6 利用反函数求导法则求导数 利用反函数求导法则求导数 7 利用隐函数求导法利用隐函数求导法 8 对数求导法则对数求导法则 此法则是先对函数表达式两边取对数 然后将等式两边对 x求导数 视y为中间变量 再解出 y 适 用 范 围适 用 范 围 常 用 于 形 如 xg xfy 的 幂 指 函 数 和 形 如 xh xvxu y xv xu yn 或等多个函数相乘 除的情形 9 参数方程所确定的函数的求导法则参数方程所确定的函数的求导法则 若方程组 ty tx t 其中 t 和 t 为可微函数 且0 t 则 dy dx y x t t t t 作业作业 p85 1 2 4 2 3 4 3 4 1 3 4 1 3 5 3 4 6 1 4 7 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 91 2 5 函数的微分及其应用函数的微分及其应用 2 5 1 微分的概念及函数可微的条件微分的概念及函数可微的条件 课题引入 例课题引入 例 设正方形边长为 x则面积 A 可表为 2 xA 现 有一块边长为 0 x的正方形金属薄铁板 受温度变化的影响 当自变量x由 0 x取得增量x 时 即其边长由 0 x变到 xx 0 如图 2 4 从而面积 A 相应的有增量 图 2 4 2 2 0 2 0 2 0 xxxxxxA A 分成两部分 第一部分xx 0 2是x 的线性函数 当0 x时 第二部分 2 x 为x 的高阶无穷小 即 2 xox 如果边长改变很微小 即x 很小时 面积的改变量A 可 近似地用第一部分来代替 我们把第一部分称为函数 2 xA 在点 0 x处的微分 1 微分的定义微分的定义 定义定义 设函数 xfy 在点 0 x的某个邻域内有定义 当自变量在 0 x处取得增量 x 点xx 0 仍在该邻域内 时 如果相应的函数的增量 00 xfxxfy 可以表 示为 xoxAy 1 其中A是只与 0 x有关而与x 无关的常数 xo 是比x 高阶无穷小 当0 x时 那 么称 xfy 在点 0 x处可微的 xA 称为函数 xf在点 0 x处的微分 记为dy 即 xAdy 2 可微与可导的关系可微与可导的关系 可微 可导 且xxfdy 定理定理 函数 xf在点 0 x可微的充充分分必要条件必要条件是函数 xf在点 0 x可导 且当 xf在点 0 x 可微时 其微分一定是 0 xxfdy 2 证证 必要必要性性 设函数 xfy 在点 0 x可微 则按定义有 1 式成立 1 式两边除以x 得 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 92 x xo A x y 于是 当0 x时 由上式就得到 lim 0 0 xf x y A x 因此 如果函数 xf在点 0 x可微 则 xf在点 0 x一定可导 即 0 x f 存在 且 0 xfA 充充分性分性 设 xfy 在点 0 x可导 即 lim 0 0 xf x y x 存在 根据极限与无穷小的关系 1 4 定理 1 0lim lim 00 xxxx AxfAxf 上式可写成 0 xxf x y 其中0 当0 x 由此又有 0 xxxxfy 显然 0 lim 0 x xx x 即 xox 且 0 x f 不依赖于x 令 0 xfA 故 1 式成立 由上述定义知 xf在点 0 x处可微 且 0 xxfdy 若函数 xf在区间I内每一点处都可微 就称 xf是I内的可微函数 函数 xf在区 间I内任一点处的微分就称为函数的微分 也记为dy 即有 xxfdy 由于当xxf 时 1 xxxxfdxxdfdy 故通常把自变量x的增 量x 称为自变量的微分 记作dx 即xdx 于是函数 xfy 的微分可记作 dxxfdy 3 从而有 xf dx dy 这就是说 函数的微分dy与自变量dx之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做 微 商 在此之前我们把 dx dy 看作是导数的整体记号 现在由于分别赋予dy和dx各自独立的含 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 93 义 于是也可以把它看作分式了 例例 1 求函数 3 xy 分别在1 x和3 x处的微分 解解 函数 3 xy 在1 x处的微分为 3 1 3 1 xxxdy xx 在3 x处的微分为 27 3 3 3 xxxdy xx 显然 函数的微分xxfdy 与x和x 有关 例例 2 求函数xysin 的微分 解解 cos sinxxxxdy 例例 3 求函数 x ey 在0 x 02 0 x时的微分 解解 先求函数在任意点x的微分 xexedy xx 再求函数当0 x 02 0 x时的微分 02 002 0 0 02 0 0 2 02 0 0 exedy x x x x 2 5 2 微分的几何意义微分的几何意义 在直角坐标系中 函数 xfy 的图形是一条曲线 对于某一固定的 0 x值 曲线上有一 个确定点 00 yxM 当自变量x有微小增量x 时 就得到曲线上另一点 00 yyxxM 图 2 5 所示 xNM 0 yNM 过点 0 M作曲线的切线TM0 它的倾角为a 则 图 2 5 dyxfxaNMNT tan 00 4 即当y 是曲线 xfy 上的点纵坐标的增量时 dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应 增量 当x 很小时 dyy 比x 小得多 因此在点 0 M的邻近 我们可以用切线段来 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 94 近似代替曲线段 2 5 3 微分公式与运算法则微分公式与运算法则 1 微分公式微分公式 例如例如 xdxxdxxcos sincos sin 2 微分运算法则微分运算法则 dvduvudvuvu 其中 为常数 udvvduuvdvuvuuv 22 v udvvdu v u d v vuvu v u 3 复合复合函数的微分法函数的微分法则则 设 ufy xu 则复合函数 xfy 在点 0 x的导数为 xxf dx dy 4 所以复合函数的微分为 dxxxfdy 由于 dudxxufxf 因此 4 式也可以写成duufdy 由此可见 对 ufy 无论u是自变量还是另一变量的可微函数 中间变量 xuu 均有 duufdy 即微分形式保持不变 这一性质称为一一阶阶微分微分形式不变形式不变性性 例例 4 求函数xey x 3sin 2 的微分 解解dxxexdxdxexddedy xxx 3cos32 3cos323sin 222 例例 5 求函数 2 sin x x y 的微分 解解 dx x xxx x xdxxdx x x ddy 34 22 2 sin2cossinsin sin 例例 6 求函数 x ey 2 sin 的微分 解解利用一阶微分形式不变性 得 2sinsinsin2sin 2 sin 2 sin2 2 sin 2 sin dxxexdxexdededy xxxx 例例 7 在下列等式左端的括号内填入适当函数使等式成立 1 d 2dx x 2 d sintdt 解解 1 由导数与微分的关系可知 我们要填入 xf 使 2 xxf 因为 23 3 xx 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 95 所以 23 3 1 xx 故 3 1 23 dxxxd 2 因为tt sin cos 所以ttt sin sin 1 cos 1 故 sin cos 1 tdttd 2 5 4 微分在微分在近似计算中近似计算中的的应用应用 在实际问题中 经常需要对函数进行近似计算 微分法为我们提供了一种近似计算的方法 下面我们给出常用的近似计算公式 由微分定义知 当函数 xf在x处可微时 有 xoxAy 特别当0 0 x f时 函数增量y 可近似值地表示成自变量x 的线性函数 xxfdy 0 即当 x 充分小时 y xxfdy 0 5 并且误差仅是x 的高阶无穷小 其中 000 xfxxfxfxfy 0 xxx 又 1lim 1 limlim 0 00 00 dx y xfxxf y dy y xxx 从而 当0 x时y 与dy是等价无穷小 dyy 利用 5 式 可以计算函数的增量y 的近似值 例例 8 已知半径为 10cm 的金属圆片加热后半径伸长了 0 05cm 求圆面积约增加了多少 解解以 A 表示圆面积 r表示圆的半径 则 2 rA 在10 0 r处 当r取得增量05 0 r 时 则圆面积的增量 rrAdAA 0 14 3 05 01022 22 0 cmcmrr 5 式也可以写成xxfxfxxfy 000 或 xxfxfxxf 000 6 在 5 式中记 00 xxxxxx 有 000 xxxfxfxf 7 7 式右端就是曲线 xfy 在点 00 xfx处的切线的表达式 000 xxxfxfy 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 96 6 式或 7 式通常称为函数 xfy 的一次近似或线性近似一次近似或线性近似 利用 6 式或 7 式可以计算函数的近似值 例例 9 计算0330sin 0 的值 解解将03300 化为弧度得 3606 03300 取 360 6 sin 0 xxxxf则由 2 1 sin 2 3 cos sin 6 6 6 x x x xxx 得 0 330sin 0 3606 cos 6 sin 3606 sin 5076 00076 05 0 3602 3 2 1 例例 10 求302 1的近似值 解解 取 02 0 1 0 3 xxxxf由 3 1 3 2 xxf得 0067 102 0 3 1 102 0 1 1 02 1 02 1 3 fff 下面介绍绝对误差绝对误差和相对误差相对误差概念 若某个量的精确值是A 它的近似值是a 称aA 为 a的绝对误差 而绝对误差与a之比 a aA 称为a的相对误差 小小 结结 1 可导函数 xf在点 0 x处的微分为 dxxfdy 0 2 当y 是曲线 xfy 上点的纵坐标的增量时 dy就是曲线的切线上点的纵坐标的 相应增量 3 在点 0 x处的邻近用微分代替增量dyy 即在局部对 xf作线性近似 000 xxxfxfxf 4 线性近似的误差为 xodyy 作业作业 p91 1 2 1 2 5 3 5 1 2 6 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 97 2 6 微分中值定理微分中值定理 微分中值定理揭示的是函数在区间上的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的 关系 它是研究函数在区间上的整体性质有力工具 是几个中值定理的总称 2 6 1 罗尔罗尔 Rolle 定理定理 定理定理 1 Rolle 若函数 xfy 满足条件 1 在闭区间 ba上连续 2 在开区间 ba内可导 3 bfaf 那么在 ba 内至少存在一点 使得 0 f 1 由于 xf在闭区间 ba上连续 所以 xf必在 ba上取到它的最大值M与最小 值m 显然只有mM 与Mm 两种情形 图 2 6 若mM 则 xf为常数 因此对 bax 均有 0 x f即 baxx 有 0 f 若Mm x时 0 x fxf 从而当0 x时 0 x fxf 由函数 xfy 在点 可导的条件 及极限的保号性 便得到 0 lim 0 x fxf ff x 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 98 0 lim 0 x fxf ff x 故 0 f 通常称导数等于零的点为函数的驻驻点点 或稳或稳定点定点 临界临界点点 几何意义几何意义 在定理的条件下 ba内至少存在一点 使得曲线在点 f 具有 水平切线 如图 2 6 例例 1 验证函数1074 23 xxxxf在区间 2 1 上满足罗尔定理的条件 并求出 满足0 f的 的点 解题提解题提示 示 验证定理正确与否 需验证两点 1 定理条件是否满足 2 若条件满足 求出定理中的 解解 xf为多项式 显然在区间 2 1 上连续 在 2 1 内可导 又0 2 1 ff 故 满足罗尔定理的条件 因 为783 2 xxxf 令0 x f 3 374 3 374 21 xx 1 2 xQ 2 1 2 x 3 374 有0 f 注意中值定理中的条件缺少一个 结论可能不成立 定理的条件是充分的 但非必要 例例 2 10 0 1 xx x xf不满足罗尔定理的第 1 个条件 显然无水平切线 例例 3 1 1 xxxf 不满足罗尔定理的第 2 个条件 显然无水平切线 例 1 例 2 说明定理中的条件缺少一个 结论可能不成立 即条件是充分的 例例 4 0 sin 1 xx x xf虽不满足罗尔定理的第 3 个条件 但仍有0 2 x xf 且 0 2 该例说明定理中条件非必要 例例 5 设 3 2 1 xxxxf 证明0 x f有且仅有两个实根 并指出根存在的 区间 证证 方程0 xf有解3 2 1 321 xxx 分别在区间 2 1 及 3 2 上用定理 1 可知存 在 3 2 2 1 21 使得 0 0 21 ff即 21 为0 x f的根 又 x f 为二次函数 由于二次方程最多有两个实根 故0 x f有且仅有两个根 且分别位于 2 1 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 99 和 3 2 两个区内 2 6 2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 定理定理 2 Lagrange 设函数 xf满足条件 1 在闭区间 ba上连续 2 在开区间 ba内可导 则在 ba内至少存在一点 使得 ab afbf f 2 图 2 7 或写成 abfafbf 2 此公式称为拉格朗日中值公式 且对于 ab 也成立 几何意义几何意义 如果连续曲线 xfy 的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线 那么在 ba内至少有一点 使曲线在点 f 处的切线平行于弦AB 因为过 A B 两 点的直线的斜率 ab afbf k 如图 2 分分析析 从对图 2 的观察可见定理 1 是定理 2 的特殊情形 为了利用定理 1 来证明定理 2 我们设想利用 xf构造一个函数 x 称为辅助函数 使 x 满足定理 1 的条件 由于弦 AB 的方程为 ax ab afbf afy 又弦 AB 的两个端点与曲线 xfy 的端点相同 则令 ax ab afbf afxfx 或 ax ab afbf xfx 则曲线 xy 的两个端点在同一水平线上 事实上0 ba 后者 afba 证证令 ax ab afbf xfx 则 x 满足罗尔定理的三个条件 由罗尔定理 至 少存在一点 ba 使 0 f ab afbf ab afbf f 或写成 abfafbf 证毕 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 100 如果取x与xx 为 ba 上任意两个不同的点 则在以x xx 为端点的区间内的任 一满足定理的点总可以表示为xx 10 于是由定理 2 即得 10 xxxfxfxxf 3 或写成 10 xxxfy 4 4 称为有限增量公式 它给出了白变量的有限增量x x 不一定很小 与函数增量y 之间 的准确关系式 推论推论 设函数 xfy 在开区间 ba内可导 且0 x f 则在 ba内 xf为常数 证证 21 baxx 不妨设 21 xx x时 xx x x 1ln 1 证证设 1ln xxf 显然 xf在 x 0上满足定理 2 的条件 所以有 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 101 0 0 0 xxffxf 由于0 0 f x xf 1 1 因此上式即为 0 1 1ln x x x 又由于x 0 所以x x x x 11 这就是 xx x x x 证法证法 2 取xxfln 在 x 1 1上应用定理 2 11 11 1 1 xxffxf x x 1ln 1ln x x 1ln 由x 11 得1 1 1 1 x 从而有x x x x 1 这就是 xx x x x 小小结结 利用微分中值定理证不等式 若不等式一端可写成 f bf a ba 不妨用微分中值 定理一试 证明步骤 1 作函数 xf 使当x取某两个数值时就成为 f bf a ba 形式 2 写出中值公式 f ab afbf 3 根据需要对 f 进行放大或缩小得到不等式 2 6 3 柯西柯西 Cauchy 中值中值定理定理 定理定理 3 Cauchy 定理定理 设 xgxf与满足条件 1 在闭区间 ba上连续 2 在开区间 ba内可导且0 x g 则在 ba内至少存在一点 使得 ba g f agbg afbf 5 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 102 证证由于0 x g bax 由定理 2 可推得0 agbg 因此分式 agbg afbf 有意 义 作辅助函数 agxg agbg afbf xfx 容易验证 x 满足罗尔定理的三个条件 由罗尔定理 至少存在一点 ba 使 0 g agbg afbf f 即 ba g f agbg afbf 时 x f 与 x g 都存在 且0 x g 3 lim xg xf x 存在 或为无穷大 那么 lim lim xg xf xg xf xx 例例 1 求 bx ax x sin sin lim 0 0 b 解解 b a bxb axa bx ax xx cos cos lim sin sin lim 00 例例 2 求 3 0 sin lim x xx x 解解 6 1 6 sin lim 3 cos1 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 例例 3 求 1 23 lim 23 3 1 xxx xx x 解解 0 13 33 lim 23 lim 2 2 1 3 3 1 x x xx xx xx 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 105 注意在上式中的 13 33 lim 2 2 1 x x x 已不是未定式 分母不趋于零 不能对它应用洛必达法则 否则要导致错误结果 例例 4 求 x x x1 arctan 2 lim 解解1 1 lim 1 1 1 lim 1 arctan 2 lim 2 2 2 2 x x x x x x xxx 由 1 3 定理 6 可得 n n nn nn1 arctan 2 lim arctan 2 lim 1 1 arctan 2 lim x x x 2 7 2 型未型未定定式式 定理定理 3 设 xgxf与满足条件 1 lim lim 00 xgxf xxxx 2 在点 0 x的某个去心邻域 0 xU o 内可导 并且0 x g 3 lim 0 xg xf xx 存在或为 那么 lim lim 00 xg xf xg xf xxxx 存在或为 证证明从略明从略 如同定理1 在定理3中 将 0 xx 换成 xxxx 0 0 可以证明相应的结论也成 立 例例 5 求 ln lim Nn x x n x 解解0 1 lim 1 lim ln lim 1 n x n x n x nxnx x x x 例例 6 求 0 lim Nn e x x n x 高等数学教案 第二章 一元函数微分学 湖南师范大学数学与计算机科学学院 106 解解 相继应用洛必达法则n次 得 0 limlimlim 1 xn x x n x x n x e n e nx e x L 注注上例中若n是任何正数 那末极限仍为零 例例 7 求 3 1 0 lim x e x