高等数学B(1)教学辅导.doc

高等数学B（1）教学辅导张彩芬一、考核内容和要求：内容是初等数学知识、函数、极限、导数和微分、定积分和不定积分、微分方程。考核对基本概念、思想方法、基本技能、基本运算和思维能力作全面测试。考核要求有三个层次，由低到高顺序排列，三个层次分别为：了解：对所列知识的含义有初步的认识，知道有关内容，并能直接运用。理解、掌握：对所列知识的含义有较深刻的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用有关知识解决问题。（六）试题类型及试卷结构：选择题、填空题、计算题、应用题。四种题型分数的百分比约为：15%；15%；60%；10%。二、课程考核内容和要求第一部分 函数考核目的：掌握和理解函数要领和理论。考核知识点：函数概念、函数简单性质、复合函数；反函数；基本初等函数；初等函数考核要求：1、理解函数概念，会求函数的定义域和函数值；2、会判断函数奇偶性、单调性；3、理解复合函数概念，掌握复合函数的复合过程；4、理解反函数概念，会求单调函数定义域和函数值；5、了解基本初等函数的概念、解析式，会求其定义域、值域、主要性质和图像。第二部分 极限考核目的：理解极限概念和理论，为学习一元微积分打下基础。考核知识点：数列的极限，数列极限的运算性质，x+、x、xa+、xa-、xa时函数的极限、极限四则运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量；连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。考核要求：1、了解数列限的描述性定义，给定一个简单数列，会判断其收敛性；2、理解函数极限的描述性定义，会求x+，x，xa+、xa-，xa 时函数的极限；3、掌握极限四则运算法则；4、掌握并会应用两个重要极限；5、理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系，了解无穷小量的比较；6、理解函数连续的概念。掌握y=f（x）在x=a处的连续性判断，掌握概念初等函数的连续性求极限的方法；7、了解闭区间上连续函数的性质。第三部分 导数和微分考核目的：掌握导数和微分概念和理论。考核知识点：导数概念及几何意义，导函数，几个基本初等函数的导数。函数和、差、积、商的导数，复合函数和反函数的导数，高阶导数。微分中值定理，洛必塔法则，函数的单调性，函数的极值和最大（小）值，较简单的函数图象的描绘，微分的概念及其几何意义，初等函数的微分。考核要求：1、 1、 理解导数的概念及其几何意义，会求曲线的切线方程及法线方程。 2、掌握求导法则及基本初等函数的求导公式。3、了解高阶导数的概念，掌握二阶导数的求法。4、了解微分中值定理。5、掌握用洛必塔法则求“0/0”和“/”未定式的极限的方法。6、掌握函数单调性的判别法和求极值、最大（小）值的方法。7、了解微分的概念及其几何意义，会求初等函数的微分。第四部分 定积分与不定积分考核目的：掌握定积分与不定积分概念和理论。考核知识点：定积分的概念与性质；原函数、不定积分、不定积分的性质；基本积分公式、直接积分法、换元法、牛顿莱布尼兹公式；定积分在几何上的简单应用（平面图形的面积、旋转体体积）、微分方程的基本概念。考核要求：1、了解定积分的概念，掌握定积分的性质。2、理解原函数与不定积分的概念。3、掌握不定积分性质与基本积分公式。4、掌握计算定积分的牛顿莱布尼兹公式。5、掌握定积分在几何上的简单应用，会求平面区域面积、会求旋转体体积）。6、了解微分方程的概念。 第一章 函数一、关于函数定义1、 1、 两个函数相等的条件（两要素：定义域、对应规则，这两条只要有一条不满足两函数就不同）例：判断下列各对函数是否相同（1） f(x)=ln(x2-4)与g(x)=ln(x+2)+ln(x-2)（2）f(x)=sinx与解：（1）f(x)的定义域x2-40，即2。g(x)的定义域，得x2 。由于f(x)、g(x)的定义域不同，因此两函数不同。（2）f(x)的定义域，g(t)的定义域,且g(t)=sin(2+t)=sint,说明了f(x)、g(t)的定义域及对应规则都相同（註：函数是否相同与变量所用字母无关），因此f(x)与g(t)相同。2、 2、 求函数定义域（1） （1） 分式函数的分母不为零。即：（2） （2） 偶次根式下的式子非负。即：（3） （3） 对数函数的真数必须取正值。即：logax,(a0,且a),x0（4） （4） 正切符号内的量不能等于，即：tgx, x.（5） （5） 余切符号内的量不能等于，即：ctgx, x.（6） （6） 反正弦、反余弦符号内的量，其绝对值小于或等于1, 即：arcsinx, arccosx,.（7） （7） 若函数表达式是有限项的四则运算组成，应取各项定义域的交集（8） （8） 分段函数定义域取各表达式定义域的并集（9） （9） 复合函数的定义域应使中间变量有意义且中间变量的取值落在外层函数定义域内。例：求下列函数定义域（1）y= (2)（3）若f(x)的定义域是0，1，求f(lnx) 、f(log0.1x)的定义域.解：(1)由 得即。（2）D=即。（3）lnx, lnx单调递增， 则；log0.1x,log0.1x单调递减，则。3、 3、 求函数值例1：已知，求f(0), f(1), f(u), f(-x),f(x+1), f(x)+1, 。解： ，由此看出： 例2：已知，求f(0).解法1：已知，设t=x+1,则,解法2：设t=x+1,则x=t-1,例3：设，求f(1), f(2),f(-x)解:这是分段函数，x在不同区间上f(x)的表达式不同。f(1)=cos1; f(2)=2+1=3; 例4：f(x)=x2+1,g(x)=, 求fg(x), gf(x)解: fg(x)=g(x)2+1=, gf(x)=二、函数的性质（1） （1） 有界性：若存在正数M，使，有，称f(x)在D上有界。例如：在1，2上有界，但在-1，1上无界。（2） （2） 奇偶性：设D为对称区间-a,a , 若，恒有f(-x)= -f(x), 称f(x)是奇函数；若，恒有f(-x)= f(x), 称f(x)是偶函数。例：讨论下列函数的奇偶性（1）f(x)= (2)f(x)=ln(x+解: （1）f(-x)= 是奇函数。(2)f(-x)=ln(-x+是奇函数。註：（1）讨论奇偶性应在对称区间上。（2） （2） 奇偶性判别除了用定义外，还常用下列性质：）奇函数之和（差）仍是奇函数；偶函数之和（差）仍是偶函数。）奇函数之积（商）是偶函数；偶函数之积（商）是偶函数。）奇函数与偶函数之积（商）是奇函数。（3） （3） 周期性：若有f(x+T)=f(x),称f(x)是以T为周期的周期函数。显然nT(n=)也是f(x) 的周期。一般，周期是指f(x+T)=f(x)成立的最小正数。例：设周期函数f(x)是以T为周期的周期函数，证明f(ax) (a0) 是以为周期的周期函数。分析：要证明fa(x+)=f(ax)证明:因为f(x)是以T为周期的周期函数，所以f(ax+T)=f(ax),于是fa(x+)= f(ax+T)=f(ax)。故f(ax) (a0) 是以为周期的周期函数。如：sinx,cosx是以为周期的周期函数，tgx,ctgx是以为周期的周期函数。因此y= sin3x的周期是, y= tg2x的周期是。（4） （4） 单调性：； ；註.单调性也可用导数符号判断：;三、复合函数首先要熟悉六个基本初等函数的形式：（1） （1） 常数函数 y = C（2） （2） 幂函数 y = x a（3） （3） 指数函数y =ax (a0且a)（4） （4） 对数函数y =logax (a0且a)（5） （5） 三角函数 sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cscx（6） （6） 反三角函数arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx复合函数就是以这六个基本初等函数复合而成的函数。如：y=lnsin是由y=lnu, u=sinv, v=复合而成。其定义域由 ,。四、初等函数由基本初等函数经有限次四则运算、复合运算并能用一个解析式表示的函数关系称为初等函数。註. 初等函数包括了复合函数，反之不然。如：是复合函数，也是初等函数；但只是初等函数，而不是复合函数。练习题：高等数学P40/自我测试题。第二章 第二章 极限与连续一、极限概念1、数列极限：对于数列若当n无限增大时，无限趋进于某一确定的常数A，则称A为数列的极限。2、函数极限：对于函数f(x)，若在自变量的某一变化过程中，f(x) 无限趋进于某一确定的常数A，则称A为函数f(x)的极限。3、单侧极限：左极限，（自变量x从x0左侧趋于x0时函数的极限）右极限，（自变量x从x0右侧趋于x0时，函数的极限）4、单侧极限与双侧极限的关系：=A 。例：设 ，求 。解：。f(x)在 处的左、右极限不相等，因此不存在。註.用左、右极限来判定极限的存在性，一般只对分段函数在分界点处求极限时使用。二、求极限运算1、四则运算：设皆存在，则2. 连续函数求极限代入法：，如：3.有理化：例1.求 解：例2.求 解：4.消去零因子：例. 5.自变量趋向于无穷大的情况：可用分子、分母的最高次幂同除以分子、分母。例1. 例2.例3.6.两个重要极限：（1）（2）例：（1） (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 7.无穷小量、无穷大量1） 1） 定义：以0为极限的量称为无穷小量。如：称当时是无穷小量。称当时是无穷小量。2） 2） 性质：（）非零无穷小量与无穷大量互为倒数。例如：当时，是无穷小量，是无穷大量。当时，是无穷大量，是无穷小量。例：（）有限个无穷小量之积（和）仍是无穷小量。例：註.若是无限个无穷小量之积（和）不一定是无穷小量。如：事实上，利用求和公式（）有界量与无穷小量之积仍是无穷小量。例：其中是有界量，当时，是无穷小量。其中是有界量，当时，是无穷小量。注意。註. 有界量与无穷大量之积不一定是无穷大量。如：（）无穷小量的比较：设、都是无穷小量，若称是比高阶无穷小量（即：比趋于0的速度快。）或称是比低阶无穷小量。若为非零常数）称与同阶无穷小量。特别，当称与是等价无穷小量。8.洛比塔法则设存在，则。例1.例2.例3.註.1) 在使用洛比塔法则过程中，能化简的尽量先化简。2）若不存在，洛比塔法则无效。例如：正确解法：3） 3） 其它不定式的转化“”=“”型 或 “”=“”型 “”=“”型，通分型幂指型“”= “”或“”或“”，先取对数转化为“”型，再转化为型。例1：例2：例3： 这是幂指型的，先取对数：设于是 。三、连续性1、连续性概念：若，称f(x)在连续。连续性包括三个方面：）f(x)在有定义。）f(x)在有极限。）f(x)在的极限值等于函数值。2、间断点：若f(x)在有下述三种情形之一，则是f(x)的不连续点，即间断点）f(x)在无定义。）f(x)在无极限。）f(x)在的极限值不等于函数值。3、间断点的分类：f(x)在的左、右极限皆存在，但f(x)在间断，则是f(x)的第一类间断点；其余的间断点称为第二类间断点。例：，在x=0处无定义，x=0是间断点；且，不存在；故x=0是f(x)的第二类间断点。而，在x=0处无定义，x=0是间断点；但，极限存在；故x=0是g(x)的第一类间断点。4、几个结论1) 1) 初等函数在其定义域上连续如：当时有定义，连续。註.分段函数不是初等函数，判断其在分界点处的连续性需用左、右极限。例如：求的连续区间。解：当是初等函数，有定义，连续；当是初等函数，有定义，连续；是分界点，左、右极限相等，f(x)在x=0处连续；所以f(x)在上连续。2）闭区间上连续函数性质（）最值存在性 （）零点定理 （）介值定理第三章 导数与微分一、 一、导数与微分概念1、 1、 导数定义设y=f(x),则例：已知f(x)可导，,求。解：已知f(x)可导，则。2、微分设f(x)在可导，则称为f(x)在的微分，记作例：解：3、高阶导数，例：解：，二、 二、求导运算1、 1、 求导基本公式、求导四则运算要熟记。2、 2、 复合函数的导数设；若对复合函数求导，首先要分析有几层复合关系，由外向内一层层分解。如：。 .3、 3、 隐函数求导例：设解：方程两边关于x求导，视y为x的函数得 。4、 4、 取对数求导取对数求导法主要用于幂指型或较多项连乘积及商的式子的求导。例1：。解：先取对数，两边求导：例2：解：先取对数，两边求导：5、 5、 参数方程函数的求导设函数由参数方程 表示，则例：设解：三、 三、可导、可微、连续的关系1） 1） 一元函数可导可微，即：。（註：多元函数不成立）2） 2） 可导连续。反之不一定成立。可见，连续是可导的必要条件。3）不连续不可导。反之不一定成立。练习：学习指导P31/自我检查题，高等数学P79/158习题三。第四章 导数的应用一、中值定理（条件、结论）1、 1、 罗尔定理条件：（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在（a,b）内可导（3）f(a)=f(b)结论：在(a,b) 内至少有一点2、 2、 拉格朗日定理条件：（1）f(x)在a,b上连续 （2）f(x)在（a,b）内可导结论：在(a,b) 内至少有一点推论1、推论2、3、 3、 柯西定理条件：（1）f(x)和g(x)在a,b上连续 （2）f(x) 和g(x)在（a,b）内可导(3).结论：在(a,b) 内至少有一点二、导数的应用1、判别单调性：设f(x)在(a,b)内可导，如果在(a,b) 内，单调增加；如果在(a,b) 内，单调减少。例1：证明 当。证明：设f(x)=x-arctgx,则f(x) 单调增加，当。例2：证明 当。证明：设f(x)=ln(1+x)-x,则当f(x) 单调减少，。2、函数单调区间求法：先求出f(x)的一切驻点和不可导点，用这些点把函数的定义区间分成若干子区间，然后判断区间上的符号。3、求函数极值点：先求极值可能点（驻点和不可导点x0,但f(x)在x0有定义），如果在x0两侧，导数改变符号，则x0是f(x)的极值点。若在x0两侧，导数符号左正右负，则f(x0)极大；导数符号左负右正，则f(x0)极小。4、 4、 判别曲线凹凸性：设f(x)在(a,b)内二阶导数存在，如果在(a,b) 内，（1）在(a,b) 内是凹的；（2）在(a,b) 内是凸的。註5、曲线凹凸区间求法：先求出使二阶导数为0或二阶导数不存在的点，用这些点把函数的定义区间分成若干子区间，然后根据区间上的符号确定曲线凹凸性。6、 6、 求曲线拐点：先求出拐点可能点（使二阶导数为0或二阶导数不存在的点x0, 但f(x)在x0有定义），如果在x0两侧，二阶导数改变符号，则（x0，f(x0)）是拐点。例：求的单调区间、极值，凹凸区间、拐点。解：函数定义域是，得驻点x=3,x=(註：x=1时，不存在，但x=1不在定义域内)。 x=1时，不存在。列表如下：x-1(-1,1)(1,3)3(3,+)+0 -0+ -+极大值f(-1)=-2极小值f(3)=0(註：点x=1 不在定义域内，无须讨论)在上，曲线单调增加；在（-1，1）上，曲线单调减少。极大值f(-1)=-2；极小值，f(3)=0。在上，曲线凸；在上，曲线凹；无拐点。7、 7、 求曲线渐近线(1) (1)若是曲线的水平渐近线。例如：故y=0是的水平渐近线。故y=1也是的水平渐近线。(2) (2)若x=x0是曲线的垂直渐近线。例如：故x=0是的垂直渐近线。又如：有垂直渐近线x=1;有垂直渐近线.三、最值问题1）求函数在闭区间上的最值：比较极值可能点及闭区间端点处的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值。例：求在-1，1上的最值。解：极值可能点x=0.比较:f(1)=1,f(-1)=1,f(0)=0,故2）应用题（几何应用题为主）：根据题意列函数式；求驻点；判断是否极值点；若驻点唯一，可根据实际意义断定该极值点是最值点。例1：在底边长为a,高为h的直角三角形中，嵌入有最大面积的矩形，求此矩形的长和宽。 解：设矩形的长和宽分别为x、y, 则矩形的面积s=xy, 由于x、y满足：，当是极大值点，且驻点唯一，是最大值点。于是最大面积的矩形的长和宽分别是。例2：一长方形内接于由抛物线y=x2及直线y=h(h0)围成的图形内，求面积最大的长方形的长和宽。 y解：设长方形的长为2x，宽为h-y=h-x2, h则点（x,y）在抛物线上，长方形面积为 S=2xy=2x(h-x2) (x0),s=2(h-x2)-2x(-2x)=2h-6x2,令s=0，驻点当， x故时，S取极大值。由于驻点唯一，故是S的最大值点。因此当长方形的长为2宽为时，长方形的面积最大。第五章 第五章 不定积分一、原函数概念若称F是f的一个原函数。例1：已知一个原函数是。例2：已知f(x)的一个原函数是则f(x)的导数是（，或称f(x)是6x的一个原函数。二、不定积分性质（1）即：求导与求不定积分互为逆运算。例：。（2）即：常数可提出积分号外。（3）即：代数和的积分等于积分的代数和。三、不定积分的几何应用已知曲线的切线斜率，求曲线方程。例：已知某曲线在点（1，2）处的切线斜率是，求该曲线方程。解：曲线,将点（1，2）代入，得C=2，所求曲线。四、不定积分的计算方法基本积分公式、积分性质要熟记。1、 1、直接积分法 适当变形应用基本积分公式例1：例2：2、 2、凑微分方法：常见凑微分类型：（1）例1：例2：（2）例：（3）例1：例2：（4）例1：例2：（5）例1：例2：（6）例1：例2：3、第二换元积分法（去根号）1） 1） 被积函数含（根号里是一次式）。可设，其中k是m、n的最小公倍数。例1：求。解：设则x=t3-4,dx=3t2dt,原式=例2：求。解：设则x=t6,dx=6t5dt,2) 被积函数含根号，根号里是二次式，不含一次项。可作三角代换。如：被积函数含可设；被积函数含可设；被积函数含可设。例：求。解：设x=tgt,则dx=sec2tdt,另解：（凑微分法）4、分部积分法分部积分公式：。当被积函数是两不同类型函数之积，可用分部积分法。常见类型有：幂函数与三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数之积；指数函数与三角函数之积等。形如：；等等。例： u,v的选择，一般是：1） 1） 当被积函数为幂函数与三角函数或指数函数之积，选u为幂函数，v为三角函数或指数函数。2）幂函数与反三角函数或对数函数之积，选u为反三角函数或对数函数，v 为幂函数。3）被积函数为指数函数与三角函数之积，一般选u为三角函数，v 为指数函数；也可以反之选择。例1：求解：选u=x,v=cos2x,例2：求解：选u=arctgx, v=x2,例3：求解：选u=lnx,。例4：求解：选u=sinx, v=ex,移项，得。例5：例6：移项，得5、有理分式函数的积分有理分式函数,其中分别是关于x的n次 、m次多项式。若L(x)是假分式（即：分式的分子的最高次幂大于或小于分母的最高次幂），应先将假分式化为多项式与真分式之和。真分式（即：分式的分子的最高次幂小于分母的最高次幂）再化为最简分式之和。最简分式：1）； 2）；3）； 4）；其中A、B、p、q为常数；,即：分母的二次三项式在实数域内不可再因式分解。1）、2）、3）的积分可用凑微分法解决。例1：註.形如，可根据分母判别式的不同情况，分别用不同方法进行计算：()当=0，分母可完全平方，后凑微分：() 当0，分母可因式分解，后拆项、凑微分：() 当0，分母可先配方，后换元、利用基本积分公式：例2：註.形如；即：分子先凑成分母的微分，其余转化为上述情形。例3：6、三角函数类积分1） 1） 被积函数形如 sinmx.cosnx (mn)。当m、n中至少有一个是奇数，如：sin2k+1x.cosnxdx=sin2kx.cosnxd(-cosx);当m、n皆为偶数，可利用：2） 2） 被积函数形如：例1： 例2：例3：例4：三角函数类的积分比较灵活，需先观察被积函数的类型，利用三角恒等变换，往基本积分公式靠拢。小结. 积分方法的选择：首先观察被积函数的类型，考虑（1）能否凑微分；（2）能否分部积分（尤其是当被积函数为两不同类型函数之积）；（3）若被积函数是无理函数（含根式），可考虑作变量替换，去根号；（4）若被积函数是有理分式函数，先观察是否最简分式，若不是应先转化，后凑微分。第六章 定积分及其应用一、 一、 定积分定义若存在，且极限值与区间的分划、点的取法无关，则称f(x)在a,b上可积。记。几何意义：当f(x)0, 表示以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形面积（即：由曲线y=f(x)及x轴、直线x=a、x=b所围区域面积）。二、连续函数原函数存在定理 如果函数f(t)在a,b上有定义且连续，则积分上限的函数在a,b上可导，并且它的导数为1） 1） 变上限积分的导数例1：设求.解：。2） 2） 变下限积分的导数例2：设求dy.解：dy=ydx=.3） 3） 复合上限积分的导数例3：设求.解：设u=x2, 则三、定积分性质（1）即：常数可提出积分号外。（2）即：代数和的积分等于积分的代数和。（3）即：对调积分的上、下限，应改变符号。（4）即：若积分的上、下限相同，则积分值为零。（5）即：积分区间的可加性。例1：设 ，求解：例2：求解：先将被积函数的绝对号脱去：，于是（6）如果在a,b上，f(x)g(x),则。例：在0，1上，特别是：如果在a,b上，f(x)0,则。（7）如果在a,b上，mf(x)M,则例：在0，1上，故。又 于是12。（8）若在a,b上，f(x)可积，则也可积（但反之不成立），且。反例：在a,b上不可积，但=1在a,b上连续、可积。四、定积分的计算牛顿莱布尼兹公式：若f(x)在a,b上连续，则其中F(x)是f(x)的一个原函数。例：（1）。（2）。（3）。（4）註. 定积分的换元变换需跟着换限。例1：求。解：设则x=t2,dx=2tdt, 例2：设f(x)是可积函数，试证：。证明：对积分作变量替换：则当x=0时，；当时，t=0;所以有註. 定积分与积分变量无关。例3：证明从而说明奇函数在对称区间的积分为零。证明：对作变量替换：x=-t,则dx=-dt,当x=-a,t=a;当x=a,t=-a;所以，若 f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x), 从而,移项，得，于是，即：奇函数在对称区间的积分为零。例如：。五、定积分的几何应用1） 1） 求平面区域面积由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a, x=b 围成的区域面积A=。例：求x2=8y与它及x轴围成的区域面积。解：曲线在点A（4，2）处切线方程：y-2=x-4,即：y=x-2, A先做平面区域图形， 2 面积A=2） 2） 求旋转体体积由曲线y=f(x)，绕x轴旋转生成的旋转体体积。由曲线x=g(y)，绕y轴旋转生成的旋转体体积。例：求由曲线绕1）x轴 , 2）y轴 旋转生成的旋转体体积。解：绕x轴旋转生成的旋转体体积 。 0 绕y轴旋转生成的旋转体体积微分方程教学目的：使学生理解微分方程的有关概念即微分方程、微分方程的阶、微分方程的解（通解和特解）、初始条件、初值问题。教学过程： 一、引 例 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y=y(x). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y=y(x)应满足关系式(称为微分方程) . (1) 此外, 未知函数y=y(x)还应满足下列条件: x=1时, y=2, 简记为y|x=1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) , 即y=x2+C, (3) 其中C是任意常数. 把条件“x=1时, y=2”代入(3)式, 得 2=12+C, 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满足关系式 . (4)此外, 未知函数s=s(t)还应满足下列条件: t=0时, s=0, . 简记为s|t=0=0, s|t=0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得 ; (6)再积分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (7)这里C1, C2都是任意常数. 把条件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2. 把C1, C2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 (s). 再把t=50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2502+2050=500(m). 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米, s=-0.4, 并且s|t=0=0, s|t=0=20. 把等式s=-0.4两端积分一次, 得 s=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是任意常数), 再积分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2 (C1, C2都C1是任意常数). 由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t +20; 由s|t=0=0得0=C2