高等流体力学 Ch5 轴对称运动.pdf

1 第五章轴对称运动第五章轴对称运动 2 轴对称运动轴对称运动 鱼雷 火箭 炮弹 潜艇等的运动是轴对称运动 要形成轴对称流动 物体外形必须是轴对称的 旋转体 而且来流 必须沿着对称轴方向 轴对称流动中 任一通过对称轴的平面上的流动图案都是相同的 本章采用球坐标 描述轴对称流动 由于轴对称 流动具 有如下特点 r 0 0u r U x z y 3 5 1 速度势函数与斯托克斯流函数5 1 速度势函数与斯托克斯流函数 在无旋流动中存在速度势 球坐标下 eueue r e r u rrr 1 1 r u r u r 势函数势函数 4 对于不可压缩流体 0 2 2 22 11 sin0 sin r rrrr 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 势函数势函数 5 0 sin sin 2 urur r r 令 2 sin sin r ruru r 则自动满足连续方程 称 Stokes 流函数 2 11 sinsin r uu rrr 0 sin sin 11 2 2 u r ur r r r 在三维流动中 一般无法找到一个标量函数满足连续方程 但在轴 对称运动条件下 这样的流函数是存在的 不可压缩流体在球坐标 下的连续方程 Stokes 流函数流函数 6 平面无旋流动条件下流函数满足拉氏方程 Stokes流函数在无旋条 件下满足的方程不是拉氏方程 设无旋流动 0u 2 2 sin 1 sin 0 1 0 sinsin r r r erere eu uru rrrr uru er rrrrr 2 1 sin 1 sin r u r u rr 2 22 sin1 0 sinrr Stokes 流函数流函数 7 求解的拉氏方程可得出不可压缩流体轴对称无旋运动的解 在有旋流动中势函数不存在 只有应用流函数才能找到一个标量方 程来代替矢量形式的运动方程 2 22 sin1 0 sinrr 22 2222 1 0 ctg rrr 2 22 22 2222 11 sin0 sin 2ctg1 0 r rrrr rrrrr Stokes 流函数流函数 8 Stokes流函数的性质流函数的性质 过对称轴的平面内任意两点流 函数值的差乘以 等于通 过以这两点的任意连线绕对称 轴旋转形成的旋转面的流量 2 2 2sin 2sin 1 2sin sinsin 22 r dQu ndlru rdu drr r ddrr rrr ddrd r 2 2 2 B BA BA A Q Q d sinr dl dr rd dl r u rd u dr A B r x d 2 1 sin 1 sin r u r u rr Stokes 流函数流函数 9 是流线 面 C 流线上速度与线元平行 r drdrerd e rr uu eu e 0 0 11 0 sinsin 0 r r drrd udr uu u rdu dr ddrd rrr dC 是流线 流面 2 1 sin 1 sin r u r u rr Stokes 流函数的性质流函数的性质 Stokes 流函数流函数 10 0sin sin 11 2 2 2 rr r rr R r T 0sin sin 2 2 2 d dT d d r R dr dR r dr d r T RT r 2 两边同乘以 5 2势流方程的解5 2势流方程的解 分离变量分离变量 d dT d d Tdr dR r dr d R sin sin 11 2 11 方程一边是 r 的函数 一边是 的函数 要恒等必需两边均等于 常数 2 1 1 1 sin 1 sin ddR rl l R drdr ddT l l Tdd 式中 l 可为整数也可为非整数 d dT d d Tdr dR r dr d R sin sin 11 2 12 0 1 sin sin 1 Tll d dT d d cos sin dx x x dx 令 0 1 1 2 Tll dx dT x dx d cos cos lllll QDPCT 上式为勒让德方程 通解为 勒让德方程勒让德方程 1 sin sin 1 ll d dT d d T 13 是第一类勒让德函数 当l 不为整数时 其在 时发散 取 为第二类勒让德函数 当时对所有的l值发 散 所以应取 cos lll PCT 1cos cos l P 2 1 0 l l 取整数 cos l Q 0 l D 1cos cos cos lllll QDPCT 14 0 1 2 2 2 2 Rll dr dR r dr Rd r 为欧拉方程 对于非负整数l 存在两组独立的解 rl和 所 以欧拉方程通解可写为 1 l l ll l B R rAr r R的方程 欧拉方程欧拉方程 1 1 2 ll dr dR r dr d R 1 l r 15 1 l l ll l B R rAr r 根据线性方程解的叠加原理 势函数的通解可由勒让德方程的解 和欧拉方程的解叠加而成 1 0 cos l l ll l l B rArP r 上式中Cl已吸收到Al 和Bl中 勒让德函数或称勒让德多项式的表 达式为 其前3 项分别是 2 1 1 2 l l l ll d P xx l dx 2 012 1 1 31 2 P xP xxP xx 势函数通解势函数通解 cos lll PCT 16 沿x方向均匀流 速度为U P 点势函数 1 cos si c s n o UU rr Ur 5 3 基本流动5 3 基本流动 势函数势函数 x r P U U sinU cosU 均匀流均匀流 17 根据流函数与势函数之间的关系式求均匀流的流函数 22 11 cos sinsin r uU rrr 222 1 sincos sin 2 UrUrf r 2 111 sinsin sinsin uUUrfr rrrr 0 frf r c 22 1 sin 2 Ur 取c 0 流函数流函数 cosUr 均匀流均匀流 18 令原点流函数值为0 P 点流函数为 则均匀流穿过位置矢量 围绕对称轴旋转形成的圆锥面的流量为2 流函数 也可确定如下 圆锥面在垂直于流动方向的投影面积为 考虑到穿过圆 锥面的流体将全部通过该投影面积 有 2 sin r 2 sin 2 rU 22 sin 2 1 Ur 流函数流函数 x r P U sinr 均匀流均匀流 19 势函数势函数 设空间点源位于原点 强度为Q 作半径为r 的圆球面包围点源 由于对称的原因 球面上的速度分量0 u 2 4 r Q u r r u r 0 1 r 4 Q r 请注意上式中负号对应于点源 正号对应于点汇 原点是一个奇点 考虑到 r u Q r 点源和点汇点源和点汇 20 设点源Q稍稍偏离原点位于原点以右 则点源释放的流体将通过 OP围绕对称轴旋转产生的圆锥面以及圆锥面在垂直于对称轴方向 的投影面流出 通过圆锥面向外流出的流量 通过圆锥面投影面的流量 2 0 2sin r u rdr 0 22sin r Qu rdr 流函数流函数 o o P r u d r r u rd sinr dl dr 点源和点汇点源和点汇 21 如果让点源位于原点左边 则得到的流函数与上式仅相差一个常数 并不影响得到的流场分布 流函数也可利用势函数与流函数关系式求得 2 4 r Q ur 代入 cos1 2 2 Q Q 1cos 4 Q 流函数流函数 0 2 0 22sin 22sin r r Qu rdr urd 点源和点汇点源和点汇 22 当时 一对相等强度的点源和点汇在 P点的势函数 44 1 1 41 QQ rrr Q rr r 1 时 毕托管静压孔要距离头部直径 毕托管毕托管 p p0 h o V 38 令 0 0的流面是一个球面 均匀流和位于原点的偶极子叠加得到圆球绕流流动 222 1 sinsin 24 Ur r 1 3 0 2 raconst U 3 2 Ua 3 22 1 sin 2 a U r r 流函数流函数 5 5圆球绕流5 5圆球绕流 a 39 势函数势函数 2 3 2 3 coscos 4 2 cos 1 2 a U Ur r Ua r r 40 由势流方程的解求圆球绕流解由势流方程的解求圆球绕流解 参阅153 154页 41 p x y z a 3 2 3 3 3 3 cos 2 1 cos 1 1 sin 2 3 0 sin 2 r r a rU r r a uU rr a uU rr ra uuU 解 先求速度场 在圆球表面 例例2 利用流体绕流圆球的势函数求圆球表面的压强分 布 并计算流体作用在圆球上的力 3 2 cos 2 a rU r r 22222 9 1sin 2224 r pUpuuppU 伯努利方程 42 0 223 0 0 cos cos 2sin 9 2sincos 24 0 sincos z A S FpdA paad Uad Fpnds dpi 求沿流动方向流体作用在圆球上的力 取微元面积为图中阴影部分所 示则 也可求解如下 2 2 0 2 222 0 0 sinsincos sin 9 sin sincossinsincos sin 24 0 jk ad dUijk ad 达朗贝尔佯谬 达朗贝尔佯谬 p x y z a 22 9 1sin 24 ppU 43 例3 兰金卵球体绕流可通过均 匀流和一对等强度的点源和点 汇叠加得到 设均匀流速度为 U 点源和点汇的强度均为Q 分别位于原点两侧 距原点距 离为 l 求物面方程 并求特 征尺寸 h 和 L 的算式 解 解 流函数 21 22 coscos 4 sin 2 1 Q Ur QQ h L l 2 r l 1 r r 1 2 sinRr U P Q Q U 44 2 012 2 012 12120 0 1 0coscos 24 coscos 2 0 0 3 2 2 Q UR Q R U R R 及 取最大值 000 0 sinrrRr 设面上 21 22 coscos 4 sin 2 1 Q Ur QQ h L l 2 r l 1 r r 1 2 sinRr U P Q Q U 45 卵球体后驻点速度为零 后驻点 速度可由均匀流 点源和点汇在 该点的速度叠加得到 22 2 22 0 4 4 0 QQ U LlLl Ql LlL U 求解上式即可得到 L 求对称卵球体的 L 和 h QQ h L l 2 r l 1 r r 1 2 sinRr U P Q Q U 46 求解上式可得到 h 在卵球体表面 2 0 2 12 12 2222 2 2222 222 coscos 2 cos cos 2 0 Rh Q h U ll lhlh Qll h U hlhl Ql hhl U 时 2 012 coscos 2 Q R U QQ h L l 2 r l 1 r r 1 2 sinRr U P Q Q U 47 5 6 旋转体无攻角绕流旋转体无攻角绕流 正问题与反问题正问题与反问题 反问题 奇点叠加解 对应流场 正问题 流场 奇点分布 48 均匀流与在 x 轴上区间连续分布的线源 汇 相叠加axb 22 1 sin1cos 24 b a q x d Ur m P i m r x 1i x i x 1i x n x n q i q 3 P 2 P 1 P 1 q 1 x 2 x 3 x m R 旋转体无攻角绕流旋转体无攻角绕流 rr 旋转体方程 求恰当的线源 汇 分布使得物面上流函数为零 2 1 1cos0 24 b a q x d UR 积分方程很难采用解析方法求解 而需借助于数值方法 49 离散线源 汇 为 小段 而在每一小段 上取为常数 对于 积分方程求解积分方程求解 m P i m r x 1i x i x 1i x n x n q i q 3 P 2 P 1 P 1 q 1 x 2 x 3 x m R i q 1ii xx x 1 11 2 11 1 1cos 44 1 0 24 i i x ii iiimi m x N i miiimi m i q dq xxrr q URxxrr 4 q Lr 在物面上选个点 对每一点写上述方程 如此可以获得 M个 方程 联立求解这个方程可得出 xi 和 qi 也可以先选定 xi 这样 就只需在物面上选个点 得到关于qi的 N 个方程 求解这个 方程可得到qi 2 1 1cos0 24 b a q x d UR 2MN MN 50 积分方程求解积分方程求解 2 11 1 1 0 24 N i miiimi m i q URxxrr 物面线封闭 rr 1 1 2 1 1 0 11 0 24 N iii i N miimi m i qxx URq rr 奇点可以布置在流场中的任何位置 而最有效的是布置在物面上 51 上式中 是由于物体运动引起的速度势函数 无界流场中均匀来流绕流物体时流体总动能 是无穷大的 而物体在静止流体中运动时引 起的流体动能则是有限值 本节研究后一种 情形下的流体动能 U n V A n o A 1 22 Tu u dd 取物面和围绕物体的任意封闭曲面间的空间为 A o A 5 10 虚拟质量5 10 虚拟质量 运动流体的动能运动流体的动能 52 0 0 0 22 22 22 AA Tdd ndAdA n AA TdAdA nn 不可压缩流体 当趋于无穷大时即得到物体周围流体的总动能 0 A U n V A n o A 运动流体的动能运动流体的动能 53 当取得无穷大时 0 22 AA TdAdA nn 0 0 2 A A T n A n dA d 0 A r 上式即当物体在静止流体中运动时周围流体的总动能 0 2 2 11 1 A OOdsO r rnr dAO nr 运动流体的动能运动流体的动能 1 0 1 0 23 cos cos 1 cos 44 l l ll l l l l l l B rArP r r B rP r Q O rrr 物体对流场的影响消失 54 虚拟质量虚拟质量 M 2 2 11 22 A A M UdA n MdA Un M 设质量为的流体以物体速度 U 运动 它的动能等于周围流体所 具有的总动能 即 称为虚拟质量 一个给定物体的虚拟质量只与该物体的形状和方位有关 而与其运 动速度 角速度和加速度无关 一般情况下虚拟质量有三个主轴 轴对称物体有两个主轴 而圆球则只有一个主轴 55 虚拟质量虚拟质量 作直线运动圆球的虚拟质量作直线运动圆球的虚拟质量 33 22 11 coscoscos 22 aa U rUrU rr 圆球在静止的流体中以速度沿负 x 轴方向运动的速度势函数 3 3 22 2 222 2 00 3 cos 1 cos 2 1 cossin 2 2 3 r a a U nrr U a n MdU aad U Ma 圆球的虚拟质量或附加质量相当于圆球所排开的流体质量的一半 56 虚拟质量虚拟质量 牛顿第二定理牛顿第二定理 dU FMM dt 在第3章例4中利用非惯性系的伯努利方程求得半径为a的圆球以变 速度U