高等流体力学 ch8 小雷诺数流动.pdf

1 第 八 章 小雷诺数流动第 八 章 小雷诺数流动 2 背景背景 微小粒子 液滴或气泡在粘性流体中的缓慢流动 粘性流体在微小尺寸通道内的缓慢流动 如地下水的流动 石油 在岩层中的流动 粘性薄液膜的流动 如滑动轴承中的润滑油膜的流动等 惯性力与粘性力相比可以忽略不计 或只占次要地位 称之为小 雷诺数流动 3 8 1 斯托克斯近似斯托克斯近似 斯托克斯方程与斯托克斯流动斯托克斯方程与斯托克斯流动 2 0 2 2 2 2 1 Re u uupuf t tLU U uu uuUL L U u u L 引入特征时间 特征长度 特征速度 对流惯性力 粘性力 当雷诺数很小 时 流体的对流惯性力远远小于粘性力 因此 N S 方程中的非线性对流惯性项可略去 Re0 2 1u puf t 4 2 0 2 2 0 2 Ns Uu u ttL t U ut u L 局部惯性力 粘性力 2 1u puf t 斯特鲁哈利 Strouhal 数表示宏观流动特征时间 L U 与非定常特征时间 如振动周期 之比 如果流动的 St不太大 流动化为准定常问 题 可以进一步忽略N S方程左侧的局部惯性力项 如果质量 力也可以忽略 则有 NsSt Re 0 St L Ut Re0 Ns0 2 1 0 up u 斯托克斯数 斯托克斯方程 斯托克斯流动 斯托克斯方程与斯托克斯流动斯托克斯方程与斯托克斯流动 0 t 5 对斯托克斯方程两侧取散度 对斯托克斯方程两侧作运算 对斯托克斯方程两侧取旋度 2 0p 2 22 0u 2 0 2 1 up 斯托克斯方程与斯托克斯流动斯托克斯方程与斯托克斯流动 0 u 2 0 p 0 p 6 流函数方程流函数方程 22 0 k 22 222 22 0 xy 2 2 22 2 22 22 2 sin1 sin 11 sinsin sinsin 0 r E rr uu rrr PP EE rr E E r 球坐标系 轴对称 球坐标系 轴对称 平面流动平面流动 7 在运动学方程及其相应的边界条件中 不出现流体的物性参数 和 流场的运动学变量 如速度 涡量 流线和涡线等与 流体的粘性和密度无关 在斯托克斯方程中只出现而没有 所有流场的动力学变 量 如压强 应力和物体所受合力等都只与粘性系数有关而与密 度无关 流函数方程流函数方程 斯托克斯流动的运动学问题与动力学问题是相互独立的 可先求 流函数或速度场 再确定压强场 8 8 2 绕圆球的缓慢流动绕圆球的缓慢流动 x U a o 22 0E E 22 1 sin 2 Ur 无穷远处 2 sin cos sin 0 0 r r f r ruUuU rauuraff 2 1 up 也可求解斯托克斯方程 速度与压强耦合在一起 需联立求解连续方程和斯托克斯方程 控制方程与边界条件控制方程与边界条件 9 222 2222 222222 222 22222 222222 22 2222 sin122 sinsinsin sin 222 sin sin 22 0 d ffd Eff rrdrrdrr d ffdd E EEf drrdrrdrr dd f drrdrr 欧拉方程 流函数流函数 10 2 222 22 222 2 222222 4 1 1 2 1212 222 12 23212 232120 1 1 2 4 nnnn nn n d rn nrrn nr drr ddd rn nr drrdrrdrr nnn nr nnn n n fAr 24 234 1242 1234 sin A rA rA r ArA rA rA r n fr 令 22 2222 22 0 dd f drrdrr 11 124 1234 222 34 122 1212 3 12 2 2 122 coscos sin cos 0 2 0 0 0 2 13 44 131 442 r r f uArA rA rA r rrr ruU U AA raff U AaA aaAaAUa AUaAUa arr fUa raa 于是 2 22 131 sin 442 arr Ua raa 21242 1234 sinsinfArA rA rA r 流函数流函数 12 3 2 3 2 222 22 23 2 131 1cos sin22 131 1sin sin44 23 sinsin 2 3cos sin sin r aa uU rrr aa uU rrrr d ffa EU drrr p EUar rr p 因为 22 2 2 3 sin 2 3 cos 2 3 cos 2 EUar r pUarc rppcp pUarp 2 22 131 sin 442 arr Ua raa 速度场和压强场速度场和压强场 13 1 0 sin 20 13 sin 2 r r r a r a r rr r a r a r r r a r a uu r rrr u r uuuU rrra D6Ua 第一章例8 圆球受到的流体总阻力为 33 cos sin 0 22 rrrr UU p aa 2 3 cos 2 pUarp ijijij p 斯托克斯阻力公式斯托克斯阻力公式 x U a o 14 D6Ua 迎流面积 阻力系数 2 1 2 D DCU A 令 2 Aa 2222 62424 11 2Re 22 2 24 Re Re D D DaU C U a UaUa aU C 斯托克斯阻力公式斯托克斯阻力公式 参阅233 页图8 2 15 例1 例1 求半径为a 的球形气泡在均质不可压缩流体中作缓慢等速直线 运动时的阻力 质量力不计 流体的粘性系数 为常数 解解 气泡绕流与刚体球绕流情形类似 区别在于气泡表面的边界条 件不同 22 0E E 2 124 1234 1242 1234 sin sin f r fArA rA rA r ArA rA rA r cos r ruU 无穷远边界条件 34 12122 1212 2 0 sin 22 AUA UU fArA rrArA rr 16 122 1212 12 1 0 0 0 20 0 420 2 0 2 r rr uu ra ur rrr raffaf U AaA aaAaAUa U AAa 12 12 122 12 2 sin 2 U fArA rr U ArA rr 222 2 11 sin 2222 1 1cos sin 1 1sin sin2 r aa frrUrrU a uU rr a uU rrr 于是 17 22 1 sin 22 a rrU 2 22222 222 2 223 22 22 2 sinsinsin 2 2sincoscos sinsin sinsin sinsin d ffUa EUrarU drrrr paUa EU rrrrr pUaUa E rrr 2 2 cos cos Ua pc r rppcp Ua pp r 18 刚体圆球受到的总阻力为 气泡阻力是刚体圆球阻力的2 3 2 22cos2cos 0 r rr r a r ar a rr uaU U rra 6Ua 2 0 22 0 cos cos2coscos 2sin 3 2cossin4 4 rr r a A FpdA UU pad aa U adUa a FUa 气泡表面粘性应力 气泡运动阻力 2 1cos cos r a uU r Ua pp r rr a 19 例2 例2 试确定雾滴在空气中的沉降速度 33 414 6 323 du aa gau dt 0 0tu 初始条件 2 9 2 2 2 2 1 9 t a tt ga u ueu 解解 设雾滴近似为半径为a 的球形 密度为 空气的密度和粘 性系数分别为 和 雾滴除本身重量外 在沉降过程中受到空气 浮力和斯托克斯阻力作用 是时的终极沉降速度 t ut 见课本235页 20 8 3 奥辛近似8 3 奥辛近似 斯托克斯近似的局限性斯托克斯近似的局限性 斯托克斯佯谬斯托克斯佯谬 参阅 Fundamental Mechanics of Fluids pp 306 309 2 D cos0 R uU R 2 D sin0uU R 上述解已满足无限远边界条件 0 R Rauu 但无论怎样选取D 都无法满足圆柱表面边界条件 如先满足圆柱表面边界条件 则又无法满足无限远条件 不存在同时满足无限远和圆柱表面边界条件的斯托克斯方程二维解 21 2 2 01 01 00 1 Re Re Re ReO Re Re0Stokes Whi u uupu t N S 对于很小的 可对 作级数展开 将上式代入 方程 先求 再求 等等 相当于的情形 即流动近似 对圆球存在 对圆柱 不存在 对圆球绕流不存在 即均匀来流绕过三维物体的无界流动不存在一级 近似解 称 tehead 佯谬 想用逐次逼近法来考虑低雷诺数流动的惯性效应 是不能从斯托克斯 流动的解出发的 斯托克斯近似的局限性斯托克斯近似的局限性 怀特赫德佯谬怀特赫德佯谬 22 斯托克斯近似的局限性斯托克斯近似的局限性 2 23 2 2 3 1 1 11 0 0 1 0 2 0 0Re 0 1 0 uUa r u UauUa xrr u UUUa UU arrxr r aau Ua r 球面附近r a近似为1 惯性力与粘性力之比为Re量级 是小量 Rerr 当 无论多么小 惯性力将随 增大而增大 并超过粘性力 3 3 31 1cos 22 31 1sin 44 r aa uU rr aa uU rr 考虑惯性项和粘性项的量级 23 2 0 1 Stokes Stokes u uu Upu tx u U x 对于对流惯性项中的速度 奥辛近似既没有采用零速度 也没有采 用局部速度 而是选用了自由来流速度 在远场合理地考虑了惯性效应 在物面附近这一项自动变为小量 从而与 方程一致 事实上由奥辛近似得到的解在近场与 近似的解完全一致 方程是线性的 奥辛近似奥辛近似 速度场见236页 24 奥辛近似避免了 斯托克斯佯谬 对于圆柱在无界粘性流体中的绕流 问题可得到全流场一致成立的解 从奥辛方程出发可以通过逐次逼近的方法不断扩展解的适用范围 近年求得的三级近似解直到Re 6 都与实验符合得很好 奥辛近似的进步奥辛近似的进步 奥辛近似奥辛近似 25 圆球阻力圆球阻力 22 3 61Re 16 243 1Re 1 Re16 2 D FUa F C Ua 对低雷诺数流动上述公式与斯托克斯阻力公式相比差别不大 参阅233 页图8 2 经验公式经验公式 5 246 0 4 0Re2 10 Re1Re D C 0 AB U y x 1 2 L 控制方程及其简化控制方程及其简化 30 2 2 22 2 u u ULUL x uUL y 惯性力 粘性力 则惯性力与粘性力相比可以忽略 2 1 UL L 0 0UP 则惯性力与粘性力相比可以忽略 2 1 ULh L 于是 2 2 2 2 0 pu xz pv yz p z 222 222 222 222 1 1 1 0 uupuuu uv xyxxyz vvpvvv uv xyyxyz p z 40 2 2 2 12 2 12 22 22 1 2 1 0 0 2 1 2 1 2 pu pp x y xz p uzc x y p u zc x y x p zh uchc x zh x p vzh y 考虑到积分 得 同理 0 zz 不是z0的函数 即任一z为常数平面内的流线形状完全相同 2222 00 11 22 pp uzhvzh xy dyvpy dxupx 平面内 2 2 2 2 0 p z pu xz pv yz 41 22 2222 00 11 0 22 z vupp zhzh xyx yy x 0 zz 平面内 22 0 22 0 1 2 1 2 p uzh x p vzh y 满足势流方程 于是存在速度势函数 22 0 2 p zh 0 uv xy 2 0 42 此条件与理想流体平面势流绕流运动的边界条件相同 因此可用 海雷 肖 Hele Shaw 装置来模拟二维流动的速度分布和流 线图谱 但海雷 肖 Hele Shaw 装置内尚需满足壁面的无 滑移条件 这将导致柱体表面出现一薄层边界层 但当柱体尺寸 远大于h 时 边界层的影响可以忽略 流线变化不易看出 2 0 对于柱体有 22 2222 0 0 xyaFF n xyU hzi 边界条件 43 8 5 通过多孔介质的缓慢流动8 5 通过多孔介质的缓慢流动 多孔介质 如土壤 岩石 砂砾堆 滤纸 陶瓷管壁 动物体 内的微血管网络 达西渗流定律达西渗流定律 i i k upg k upgzz x 轴铅垂向上 是流体的动力粘性系数 k 称为介质的内在透水率 具有长度平 方的量纲 取决于介质中孔的尺寸和结构 表观速度和压降的关系 44 对于不可压缩流体 当忽略流体粘性时 沿流线有伯努利方程成立 1 2 pu ugzc 对于粘性流体上式需加以修正 沿流线两点1和2 上式可改写为 12 22 pu ugzpu ugzh 式中h为单位体积流体由于粘性摩擦引起的机械能损失 注意到多孔 介质内的流动缓慢 动能头可忽略 于是上式以微分形式表示 d pgzdh 多孔介质内流道尺寸微小 液流速度低 流动基本处于层流状态 则 与速度u和流体粘性系数成正比 dh dhudl k 式中1 k 是比例系数 是沿流线的微元距离 综合考虑上两式得dl d pgzk u dl 达西定律的物理基础达西定律的物理基础 45 表观速度与有效速度表观速度与有效速度 void void u u 称空隙率 46 多孔介质的缓慢流动满足势流条件多孔介质的缓慢流动满足势流条件 由于渗流的速度非常底 动能头可以忽略 于是势函数 就相当于流动的 总水头 kkgkp upgpgzz g p z g uK 定义势 函数 Kgk 称 K 为渗透系数 它具有速度的量纲 表示介质渗透强弱