高考数学 7.5直线、平面垂直的判定及其性质配套课件 文 新人教A版 .ppt

第五节直线 平面垂直的判定及其性质 三年20考高考指数 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定 2 理解直线与平面所成角 二面角的概念 3 能证明一些空间垂直关系的简单命题 1 垂直关系的判断多以选择题或填空题的形式考查 考查对概念 公理 定理 性质 结论的理解 往往与命题的概念及平行关系综合在一起考查 难度较小 2 线面垂直 面面垂直关系的证明及运算常以解答题的形式出现 且常与平行关系综合命题 难度中等 3 通过求线面角 或与几何体的体积结合在一起命题 进而考查学生的空间想象能力和运算能力 常以解答题的形式出现 1 直线与平面垂直 1 直线与平面垂直的定义直线l与平面 垂直 直线l与平面 内的 都垂直 任意一条直线 文字语言 图形语言 判定定理 一条直线与一个平面内的 都垂直 则该直线与此平面垂直 a b o l l a l b a b a b o l 符号语言 两条相交直线 2 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 a b 平行 a b a b 符号语言 3 直线与平面垂直的性质定理 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线l有可能在平面 内 或者l与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 2 直线与平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角 如图 就是斜线ap与平面 所成的角 2 线面角 的范围 0 特别地 当直线与平面平行或在平面内时 规定直线与平面所成的角为 当直线与平面垂直时 规定直线与平面所成的角为 射影 锐角 pao 0 即时应用 1 思考 如果两直线与一个平面所成的角相等 则这两直线一定平行吗 提示 不一定 这两直线的位置关系可能平行 相交或异面 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 其大小为 d1b与平面abcd所成的角为 其正弦值为 解析 b1c与平面a1b1c1d1所成的角为 cb1c1 其大小为45 连接bd 则d1b与平面abcd所成的角为 d1bd 其正弦值为 答案 cb1c145 d1bd 3 平面与平面垂直 1 二面角 定义 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 两个半平面叫做 如图 可记作 二面角 或二面角 或二面角 或二面角 两个半平面 二面角的棱 二面角的面 l ab p ab q p l q 二面角的平面角如图 从二面角 l 的棱l上的一点o在两个半平面内分别作bo l ao l 则 就叫做二面角 l 的平面角 平面角的范围设二面角的平面角为 且半平面不共面 则 0 aob 2 平面与平面垂直 定义 一般地 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 文字语言 图形语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 垂线 l l l 平面与平面垂直的判定定理 符号语言 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直 交线 a l l a l a l 即时应用 1 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 两平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则do bo 所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 1 证明线面垂直的常用方法 直线与平面垂直的判定和性质 2 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 直线与平面内的所有直线都垂直 常利用这个结论来证明线线垂直 这种方法体现了 线线垂直 与 线面垂直 间的相互转化 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写解题过程 否则容易失分 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 2012 北京模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论不正确的是 a cd 平面paf b df 平面paf c cf 平面pab d cf 平面pad 2 2012 鹰潭模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 解题指南 1 根据线面平行 垂直的判定定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可得出结论 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的问题 规范解答 1 选d 由正六边形的性质得cd af cf ab 故a c正确 因为pa 平面abc 所以pa df 又df af pa af a 故df 平面paf 即b正确 故选d 2 由等腰三角形pbc 得be pc 又de垂直平分pc de pc be 平面bde且de 平面bde be de e pc 平面bde 由 得 pc bd 因为pa 底面abc 所以pa bd pc 平面pac pa 平面pac pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc 2 ab bc ac 2 pc 4 ce 2 且bd cde cpa de 由 知 bd de 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 则如何求解 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直之间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 这是证明垂直时常用到的方法 2 解题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直是解题的关键 所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理知 a1e ae 则a1a2 a1e2 ae2 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e 平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 平面与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明面面垂直的技巧面面垂直的证明综合性强 可通过转化使问题得以解决 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的关系如下图 要熟练掌握它们之间的转化关系 其中线线垂直是基础 线面垂直是核心 解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直 线面垂直的条件 2 面面垂直性质的应用技巧 1 两平面垂直 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 这是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于第三个平面 此性质在不是很复杂的题目中 要进行证明 例2 如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 1 判断ef与平面abc的位置关系并给予证明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 解题指南 1 结合图形猜测ef与平面abc垂直 由条件知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd 易证cd 平面abc 2 由ef cd可得 问题相当于过点b作一个平面与平面acd垂直 这样的平面一定存在 故只需计算出 即可 由条件不难得到be cd 故只需be ac 规范解答 1 ef 平面abc 证明 因为ab 平面bcd 所以ab cd 又在 bcd中 bcd 90 所以bc cd 又ab bc b 所以cd 平面abc 又在 acd中 e f分别是ac ad上的动点 且 0 1 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be 平面abc be cd 易知要使平面bef 平面acd 只要be ac即可 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 则ac 当be ac时 be ae 则 即 时 be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be 平面bef 平面bef 平面acd 所以存在 且当 时 平面bef 平面acd 反思 感悟 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理 即证明一个面过另一个面的一条垂线 将证明面面垂直转化为证明线面垂直 一般先从现有直线中寻找 若图中不存在这样的直线 则借助中点 高线或添加辅助线解决 变式训练 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分别为ad bc的中点 即得知h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 垂直关系的综合问题 方法点睛 与垂直有关的综合题的类型 1 对于三种垂直的综合问题 解题时要注意通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与平行结合的问题 解题时应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 对于垂直与体积结合的问题 在求棱锥的体积时 可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段 进而求得体积 例3 2012 唐山模拟 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 3 若bc 4 ab 20 求三棱锥d bcm的体积 解题指南 1 要证dm 平面apc 只需证明dm ap即可 2 证面面垂直转化为证线面垂直 即证bc 平面apc 3 利用等积转化 即通过vd bcm vm bcd解题 规范解答 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm平面apc ap 平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb又已知ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc 3 ab 20 mp 10 pb 10又bc 4 pc 2 又md vd bcm vm bcd s bdc dm 反思 感悟 1 解决平行或垂直问题时 要重视各种平行或各种垂直间的相互转化在解题中所起的作用 2 通过 平移 将一些线面关系转化为平面内的线线关系 通过线面平行 将空间角最终转化为平面角 并构造三角形 借助于三角形的知识解决问题 3 通过添加辅助线将立体问题转化为平面问题 变式训练 1 如图 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是 a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面pae d 平面pde 平面abc 解析 选d 因bc df 所以bc 平面pdf a成立 易证bc 平面pae bc df 所以结论b c均成立 点p在底面abc内的射影为 abc的中心 不在中位线de上 故结论d不成立 2 2012 鞍山模拟 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l m l m l m 其中所有正确的序号是 解析 中 由 l 得l 可得l m 故正确 中 由 l 得l在平面 内或与 平行 不一定有l m 故不正确 中 由l m l 可得m 又m 故 正确 中 由l m不能得到 综上 正确 答案 变式备选 2012 济南模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别为所在边的中点 o为面对角线a1c1的中点 1 求证 平面mnp 平面a1c1b 2 求证 mo 平面a1bc1 证明 1 连接d1c mn为 dd1c的中位线 mn d1c 又 d1c a1b mn a1b 同理mp c1b 而mn与mp相交 mn mp 平面mnp bc1 a1b 平面a1c1b 平面mnp 平面a1c1b 2 方法一 连接c1m和a1m 设正方体的棱长为a 正方体abcd a1b1c1d1 c1m a1m 又 o为a1c1的中点 a1c1 mo 连接bo和bm 在三角形bmo中 经计算知 ob a mo a bm a ob2 mo2 mb2 即bo mo 而a1c1 bo 平面a1c1b a1c1 bo o mo 平面a1c1b 方法二 连接ab1 b1d b1d1 则o是b1d1的中点 ad 平面abb1a1 a1b 平面abb1a1 ad a1b 又a1b ab1 ad和ab1是平面ab1d内两条相交直线 a1b 平面ab1d 又b1d 平面ab1d a1b b1d 同理 bc1 b1d 又a1b和bc1是平面a1bc1内两条相交直线 b1d 平面a1bc1 om是 d1b1d的中位线 om b1d om 平面a1bc1 线面角 二面角的求法 方法点睛 1 求空间角的步骤 1 一找 即作出相关的角 2 二证 即证明作出的角即为所求的角 3 三计算 即通过解三角形的方式求出所求角的大小 2 空间角的求法 1 线面角找出斜线在平面上的射影 关键是作出垂线 确定垂足 2 二面角二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的常见作法有 定义法 垂面法 提醒 在作二面角的平面角时 一定要注意题目中面面垂直的条件 即由面面垂直得到线面垂直 进而作出二面角的平面角 例4 2011 广东高考 如图 在锥体p abcd中 abcd是边长为1的菱形 且 dab 60 pa pd pb 2 e f分别是bc pc的中点 1 证明 ad 平面def 2 求二面角p ad b的余弦值 解题指南 1 取ad中点g 证明ad 平面pgb 再证明平面pgb 平面def可得结论 2 取ad的中点g 连接pg bg 证 pgb是所求二面角的平面角 在 pgb中由余弦定理可求得所求二面角的余弦值 规范解答 1 取ad的中点g 连接pg bg bd 又pa pd pg ad 由题意知 abd是等边三角形 bg ad 又pg bg是平面pgb的两条相交直线 ad 平面pgb ef pb de gb 平面def 平面pgb ad 平面def 2 由 1 知 pgb为二面角p ad b的平面角 在rt pga中 在rt bga中 在 pgb中 由余弦定理得cos pgb 即所求二面角的余弦值为 反思 感悟 1 见中点找中点 通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中的常用方法 2 通过 平移 将一些线面关系转化为平面内的线线关系 通过线面平行 将空间角最终转化为平面角 并构造三角形 借助于三角形的知识解决问题 3 通过添加辅助线将立体问题转化为平面问题 变式训练 如图 在三棱锥p abc中 pa 底面abc pa ab abc 60 bca 90 点d e分别在棱pb pc上 且de bc 1 求证 bc 平面pac 2 当d为pb的中点时 求ad与平面pac所成的角的正弦值 解析 1 pa 底面abc pa bc 又 bca 90 ac bc pa ac a pa ac 平面pac bc 平面pac 2 d为pb的中点 de bc de bc 又由 1 知 bc 平面pac de 平面pac 垂足为点e dae就是ad与平面pac所成的角 pa 底面abc pa ab 又pa ab abp为等腰直角三角形 ad ab 在rt abc中 abc 60 bc ab 在rt ade中 sin dae ad与平面pac所成的角的正弦值为 变式备选 在如图所示的多面体中 已知正方形abcd和直角梯形acef所在的平面互相垂直 ec ac ef ac ab ef ec 1 1 求证 平面bef 平面def 2 求二面角a bf e的余弦值 解析 1 平面acef 平面abcd ec ac ec 平面abcd 连接bd交ac于点o 连接fo 正方形abcd的边长为 ac bd 2 在直角梯形acef中 ef ec 1 o为ac中点 易证得fo ec 且fo 1 易求得df bf de be 由勾股定理知df ef bf ef 由bf df bd 2可知df bf ef bf f df 平面bef 平面bef 平面def 2 取bf的中点m be的中点n 连接am mn an 则mn ef ab bf af am bf 又 mn ef ef bf mn bf amn就是二面角a bf e的平面角 易求得am ab mn ef 设bc中点为p 连接pn pa 则np ec 又ec 平面abcd np 平面abcd np ap 在rt apn中 可求得an2 ap2 np2 在 amn中 由余弦定理求得cos amn 二面角a bf e的余弦值为 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 14分 2011 浙江高考 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 在线段ap上是否存在点m 使得二面角a mc b为直二面角 若存在 求出am的长 若不存在 请说明理由 解题指南 1 通过线面垂直的判定定理证明bc 平面pad 进而得结论 2 作bm pa于m 连接cm 证明平面bmc 平面apc 构造出直二面角a mc b 在 pab中 求得三边的长 利用余弦定理求出cos bpa 最后可得pm am的长 进而确定点m的位置 规范解答 1 由ab ac d是bc的中点 得ad bc 又po 平面abc 所以po bc 2分因为po ad o 所以bc 平面pad 故bc pa 4分 2 如图 在平面pab内作bm pa于m 连接cm 由 1 知ap bc 又bm bc b 所以ap 平面bmc 又ap 平面apc 所以平面bmc 平面apc 5分在rt adb中 ab2 ad2 bd2 ao od 2 bc 2 41得ab 8分在rt pod中 pd2 po2 od2 在rt pdb中 pb2 pd2 bd2 所以pb2 po2 od2 db2 36 得pb 6 在rt poa中 pa2 ao2 op2 25 得pa 5 又cos bpa 10分从而pm pbcos bpa 2 所以am pa pm 3 综上所述 存在点m符合题意 且am 3 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数